Física de la transferencia de calor

rama de la física

La física de la transferencia de calor describe la cinética del almacenamiento , transporte y transformación de energía mediante los principales portadores de energía : fonones (ondas de vibración reticular), electrones , partículas fluidas y fotones . ^{[1] [2] [3] [4] [5]} El calor es energía térmica almacenada en el movimiento de partículas dependiente de la temperatura, incluidos electrones, núcleos atómicos, átomos individuales y moléculas. El calor se transfiere hacia y desde la materia mediante los principales portadores de energía. El estado de la energía almacenada dentro de la materia, o transportada por los portadores, se describe mediante una combinación de mecánica estadística clásica y cuántica . La energía se produce (convierte) de manera diferente entre varios portadores. Los procesos de transferencia de calor (o cinética) se rigen por las velocidades a las que ocurren diversos fenómenos físicos relacionados, como (por ejemplo) la velocidad de colisiones de partículas en la mecánica clásica . Estos diversos estados y cinéticas determinan la transferencia de calor, es decir, la tasa neta de almacenamiento o transporte de energía. Las leyes de la termodinámica , incluida la conservación de la energía , gobiernan estos procesos desde el nivel atómico (escala de longitud de átomos o moléculas) hasta la macroescala.

Introducción

Variación de la función de distribución de partículas en equilibrio con respecto a la energía para diferentes portadores de energía.

Cinética del transporte de energía a nivel atómico y la interacción de transición ^[5]

Regímenes de escala de tiempo para ab initio, MD, transporte de Boltzmann y tratamientos macroscópicos de transferencia de calor. ^[5]

El calor es energía térmica asociada con el movimiento de partículas dependiente de la temperatura. La ecuación de energía macroscópica para el volumen infinitesimal utilizada en el análisis de transferencia de calor es ^[6]

$${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {q} =-\rho c_{p}{\frac {\partial T}{\partial t}}+\sum _{i,j}{\dot {s}}_{i-j},}$$

q− ρc _p ( ∂T / ∂t )ρc _pla capacidad calorífica específicaTtijqconducciónq _k = − k ∇ Tkconductividad térmicaconvecciónq _u = ρc _p u TuradiaciónωθI _ph,ωsq = q _k + q _u + q _r ${\displaystyle {\dot {s}}}$ ${\textstyle \mathbf {q} _{r}=2\pi \int _{0}^{\infty }\int _{0}^{\pi }\mathbf {s} I_{ph,\omega }\sin(\theta )d\theta \,d\omega }$

Una vez que se conocen los estados y la cinética de la conversión de energía y las propiedades termofísicas, la ecuación anterior describe el destino de la transferencia de calor. Estos mecanismos y cinética a nivel atómico se abordan en la física de la transferencia de calor. La energía térmica microscópica es almacenada, transportada y transformada por los principales portadores de energía: fonones ( p ), electrones ( e ), partículas fluidas ( f ) y fotones ( ph ). ^[7]

Escalas de duración y tiempo

Las propiedades termofísicas de la materia y la cinética de interacción e intercambio de energía entre los principales portadores se basan en la configuración e interacción a nivel atómico. ^[1] Las propiedades de transporte, como la conductividad térmica, se calculan a partir de estas propiedades a nivel atómico utilizando la física clásica y cuántica . ^{[5] [8]} Los estados cuánticos de los portadores principales (por ejemplo, impulso, energía) se derivan de la ecuación de Schrödinger (llamada primer principio o ab initio ) y las tasas de interacción (para cinética) se calculan utilizando los estados cuánticos y la perturbación cuántica. teoría (formulada como la regla de oro de Fermi ). ^[9] Existe una variedad de solucionadores (software) ab initio (en latín, desde el principio) (p. ej., ABINIT , CASTEP , Gaussiano , Q-Chem , Quantum ESPRESSO , SIESTA , VASP , WIEN2k ). Los electrones de las capas internas (núcleo) no participan en la transferencia de calor y los cálculos se reducen en gran medida mediante aproximaciones adecuadas sobre los electrones de las capas internas. ^[10]

Los tratamientos cuánticos, incluida la dinámica molecular (MD) ab initio de equilibrio y no equilibrio , que implican longitudes y tiempos mayores, están limitados por los recursos de cálculo, por lo que se han utilizado varios tratamientos alternativos con supuestos simplificadores y cinéticos. ^[11] En la MD clásica (newtoniana), el movimiento de un átomo o molécula (partículas) se basa en los potenciales de interacción empíricos o efectivos, que a su vez pueden basarse en el ajuste de curvas de cálculos ab initio o el ajuste de curvas a propiedades termofísicas. . A partir de conjuntos de partículas simuladas se derivan propiedades térmicas estáticas o dinámicas o tasas de dispersión. ^{[12] [13]}

En escalas de longitud aún mayores (mesoescala, que involucran muchos caminos libres medios), se aplica la ecuación de transporte de Boltzmann (BTE), que se basa en la mecánica estadística hamiltoniana clásica. BTE considera los estados de las partículas en términos de vectores de posición y momento ( x , p ) y esto se representa como la probabilidad de ocupación del estado. La ocupación tiene distribuciones de equilibrio (los conocidos bosones, fermiones y partículas de Maxwell-Boltzmann) y el transporte de energía (calor) se debe al desequilibrio (causado por una fuerza impulsora o potencial). Un elemento central del transporte es el papel de la dispersión, que hace que la distribución se equilibre. La dispersión se presenta mediante las relaciones tiempo o camino libre medio. El tiempo de relajación (o su inversa, que es la tasa de interacción) se encuentra a partir de otros cálculos ( ab initio o MD) o empíricamente. BTE se puede resolver numéricamente con el método de Monte Carlo , etc. ^[14]

Dependiendo de la duración y la escala de tiempo, se selecciona el nivel adecuado de tratamiento ( ab initio , MD o BTE). Los análisis de la física de la transferencia de calor pueden involucrar múltiples escalas (por ejemplo, BTE usando la tasa de interacción desde ab initio o MD clásica) con estados y cinética relacionados con el almacenamiento, transporte y transformación de energía térmica.

Entonces, la física de la transferencia de calor cubre los cuatro principales transportes de energía y su cinética desde las perspectivas de la mecánica clásica y cuántica. Esto permite análisis multiescala ( ab initio , MD, BTE y macroescala), incluidos efectos de tamaño y baja dimensionalidad. ^[2]

fonón

Phonon (onda de vibración reticular cuantificada) es un portador de energía térmica central que contribuye a la capacidad calorífica (almacenamiento de calor sensible) y a la transferencia de calor conductiva en fase condensada, y desempeña un papel muy importante en la conversión de energía térmica. Sus propiedades de transporte están representadas por el tensor de conductividad de fonones K _p (W/mK, de la ley de Fourier q _k,p = - K _p ⋅∇ T ) para materiales a granel, y la resistencia límite de fonones AR _p,b [K/( W/m ² )] para interfaces sólidas, donde A es el área de la interfaz. La capacidad calorífica específica del fonón c _v,p (J/kg-K) incluye el efecto cuántico. La tasa de conversión de energía térmica que involucra fonones se incluye en . La física de la transferencia de calor describe y predice, c _v,p , K _p , R _p,b (o conductancia G _p,b ) y , basándose en propiedades a nivel atómico. ${\displaystyle {\dot {s}}_{i{\mbox{-}}j}}$ ${\displaystyle {\dot {s}}_{i{\mbox{-}}j}}$

Para un potencial de equilibrio ⟨ φ ⟩ _o de un sistema con N átomos, el potencial total ⟨ φ ⟩ se encuentra mediante una expansión en serie de Taylor en el equilibrio y esto puede aproximarse mediante las segundas derivadas (la aproximación armónica) como

$${\displaystyle {\begin{aligned}\langle \varphi \rangle &=\langle \varphi \rangle _{\mathrm {o} }+\left.\sum _{i}\sum _{\alpha }{\frac {\partial \langle \varphi \rangle }{\partial d_{i\alpha }}}\right|_{\mathrm {o} }d_{i\alpha }+\left.{\frac {1}{2}}\sum _{i,j}\sum _{\alpha ,\beta }{\frac {\partial ^{2}\langle \varphi \rangle }{\partial d_{i\alpha }\partial d_{j\beta }}}\right|_{\mathrm {o} }d_{i\alpha }d_{j\beta }+\left.{\frac {1}{6}}\sum _{i,j,k}\sum _{\alpha ,\beta ,\gamma }{\frac {\partial ^{3}\langle \varphi \rangle }{\partial d_{i\alpha }\partial d_{j\beta }\partial d_{k\gamma }}}\right|_{\mathrm {o} }d_{i\alpha }d_{j\beta }d_{k\gamma }+\cdots \\&\approx \langle \varphi \rangle _{\mathrm {o} }+{\frac {1}{2}}\sum _{i,j}\sum _{\alpha ,\beta }\Gamma _{\alpha \beta }d_{i\alpha }d_{j\beta },\end{aligned}}}$$

donde d _i es el vector de desplazamiento del átomo i y Γ es la constante del resorte (o fuerza) como derivadas de segundo orden del potencial. La ecuación de movimiento para la vibración de la red en términos del desplazamiento de átomos [ d ( jl , t ): vector de desplazamiento del j -ésimo átomo en la l -ésima celda unitaria en el tiempo t ] es

$${\displaystyle m_{j}{\frac {d^{2}\mathbf {d} (jl,t)}{dt^{2}}}=-\sum _{j'l'}{\boldsymbol {\Gamma }}{\binom {j\ j^{\prime }}{l\ l'}}\cdot \mathbf {d} (j'l',T),}$$

mΓmodos normaless _ααω _pκ _p^{[15] [16]}

$${\displaystyle \mathbf {M} \omega _{p}^{2}({\boldsymbol {\kappa }}_{p},\alpha )\mathbf {s} _{\alpha }({\boldsymbol {\kappa }}_{p})=\mathbf {D} ({\boldsymbol {\kappa }}_{p})\mathbf {s} _{\alpha }({\boldsymbol {\kappa }}_{p}),}$$

MDω _pκ _prelación de dispersiónMDdω _pd_p^{[15] [17] [18]}

$${\displaystyle \mathrm {H} _{p}=\sum _{x}{\frac {1}{2m}}\mathbf {p} ^{2}(\mathbf {x} )+{\frac {1}{2}}\sum _{\mathbf {x} ,\mathbf {x} '}\mathbf {d} _{i}(\mathbf {x} )D_{ij}(\mathbf {x} -\mathbf {x} ')\mathbf {d} _{j}(\mathbf {x} '),}$$

Dij es el elemento _deijd _id _jij ), y poperador de aniquilación

$${\displaystyle b_{\kappa ,\alpha }={\frac {1}{N^{1/2}}}\sum _{\kappa _{p},\alpha }e^{-i({\boldsymbol {\kappa }}_{p}\cdot \mathbf {x} )}\mathbf {s} _{\alpha }({\boldsymbol {\kappa }}_{p})\cdot \left[\left({\frac {m\omega _{p,\alpha }}{2\hbar }}\right)^{1/2}\mathbf {d} (\mathbf {x} )+i\left({\frac {1}{2\hbar m\omega _{p,\alpha }}}\right)^{1/2}\mathbf {p} (\mathbf {x} )\right],}$$

Nαħconstante de Planck reducidaoperador de creación

$${\displaystyle b_{\kappa ,\alpha }^{\dagger }={\frac {1}{N^{1/2}}}\sum _{\kappa _{p},\alpha }e^{i({\boldsymbol {\kappa }}_{p}\cdot \mathbf {x} )}\mathbf {s} _{\alpha }({\boldsymbol {\kappa }}_{p})\cdot \left[\left({\frac {m\omega _{p,\alpha }}{2\hbar }}\right)^{1/2}\mathbf {d} (\mathbf {x} )-i\left({\frac {1}{2\hbar m\omega _{p,\alpha }}}\right)^{1/2}\mathbf {p} (\mathbf {x} )\right].}$$

b _κ,α ^†b _{κ,αpκ , α} ħω _p,αb _κ,α ^† b _κ,αb _κ,α ^† b _{κ ,α}operador del númeroE _{pκ , α}f _pκαħω _p,ακ _pħω _p

La relación de dispersión de fonones proporciona todos los modos de fonones posibles dentro de la zona de Brillouin (zona dentro de la celda primitiva en el espacio recíproco ) y la densidad de fonones de estados D _p (la densidad numérica de posibles modos de fonones). La velocidad del grupo de fonones u _p,g es la pendiente de la curva de dispersión, dω _p / d κ _p . Dado que el fonón es una partícula de bosón, su ocupación sigue la distribución de Bose-Einstein { f _p ^o = [exp( ħω _p / k _B T )-1] ⁻¹ , k _B : constante de Boltzmann }. Usando la densidad de fonones de estados y esta distribución de ocupación, la energía de los fonones es E _p ( T ) = ∫ D _p ( ω _p ) f _p ( ω _p ,T ) ħω _p dω _p , y la densidad de fonones es n _p ( T ) = ∫ D _p ( ω _p ) f _p ( ω _p ,T ) dω _p . La capacidad calorífica de los fonones c _v,p (en sólido c _v,p = c _p,p , c _v,p  : capacidad calorífica de volumen constante, c _p,p : capacidad calorífica de presión constante) son las derivadas de temperatura de la energía de los fonones para el modelo de Debye (modelo de dispersión lineal), es ^[19]

$${\displaystyle c_{v,p}=\left.{\frac {dE_{p}}{dT}}\right|_{v}={\frac {9k_{\mathrm {B} }}{m}}\left({\frac {T}{T_{D}}}\right)^{3}n\int _{0}^{T_{D}/T}{\frac {x^{4}e^{x}}{\left(e^{x}-1\right)^{2}}}dx\qquad (x={\frac {\hbar \omega }{k_{\mathrm {B} }T}}),}$$

T _Dtemperatura de Debyemnnley de Debye T ³la ley de Dulong-Petit

De la teoría cinética de los gases, ^[20] la conductividad térmica del portador principal i ( p , e , f y ph ) es

$${\displaystyle k_{i}={\frac {1}{3}}n_{i}c_{v,i}u_{i}\lambda _{i},}$$

n _iu _iλ _icamino libre medioλ _pτ _pτ _pλ _pu _p τ _pλ _pregla de MatthiessenTT _D.^[21]

Se encuentran disponibles varios modelos de conductividad con aproximaciones en cuanto a la dispersión y λ _p . ^{[17] [19] [21] [22] [23] [24] [25]} Usando la aproximación del tiempo de relajación monomodo (∂ f _p ^′ /∂ t | _s = − f _p ^′ / τ _p ) y el Teoría cinética de gases, modelo de conductividad de fonones (red) de Callaway como ^{[21] [26]}

$${\displaystyle k_{p,\mathbf {s} }={\frac {1}{8\pi ^{3}}}\sum _{\alpha }\int c_{v,p}\tau _{p}(\mathbf {u} _{p,g}\cdot \mathbf {s} )^{2}d\kappa \ \ \ \ \ {\text{ for component along }}\mathbf {s} ,}$$

$${\displaystyle k_{p}={\frac {1}{6\pi ^{3}}}\sum _{\alpha }\int c_{v,p}\tau _{p}{u}_{p,g}^{2}\kappa ^{2}d\kappa \ \ \ \ \ \ \ \ {\text{for isotropic conductivity}}.}$$

Con el modelo de Debye (una velocidad de grupo único up _,g y una capacidad calorífica específica calculada anteriormente), esto se convierte en

$${\displaystyle k_{p}=\left(48\pi ^{2}\right)^{1/3}{\frac {k_{\mathrm {B} }^{3}T^{3}}{ah_{\mathrm {P} }^{2}T_{\mathrm {D} }}}\int _{0}^{T/T_{\mathrm {D} }}\tau _{p}{\frac {x^{4}e^{x}}{\left(e^{x}-1\right)^{2}}}dx,}$$

donde a es la constante de red a = n ^−1/3 para una red cúbica y n es la densidad de números atómicos. El modelo de conductividad de fonones flojos que considera principalmente la dispersión de fonones acústicos (interacción de tres fonones) se proporciona como ^{[27] [28]}

$${\displaystyle k_{p}=k_{p,S}={\frac {3.1\times 10^{12}\langle M\rangle V_{a}^{1/3}T_{D,\infty }^{3}}{T\langle \gamma _{G}^{2}\rangle N_{o}^{2/3}}}\qquad {\text{ high temperatures }}(T>0.2T_{D},{\text{ phonon-phonon scattering only)}},}$$

⟨ M ⟩V _anT _D,∞TN _o² _G

Según la consideración de la cinética y la estructura atómica, se espera que un material con interacciones fuertes y altamente cristalinas, compuesto de átomos ligeros (como el diamante y el grafeno) tenga una gran conductividad de fonones. Los sólidos con más de un átomo en la celda unitaria más pequeña que representa la red tienen dos tipos de fonones, es decir, acústicos y ópticos. (Los fonones acústicos son movimientos en fase de átomos alrededor de sus posiciones de equilibrio, mientras que los fonones ópticos son movimientos fuera de fase de átomos adyacentes en la red). Los fonones ópticos tienen energías (frecuencias) más altas, pero contribuyen menos a la transferencia de calor por conducción. , debido a su menor velocidad y ocupación de grupo.

El transporte de fonones a través de los límites de la heteroestructura (representado con R _p,b , resistencia de los límites de los fonones ) de acuerdo con las aproximaciones de dispersión de límites se modela como modelos de desajuste acústico y difuso. ^[29] La transmisión de fonones más grande (pequeña R _p,b ) ocurre en límites donde los pares de materiales tienen propiedades de fonón similares ( up _, D _p , etc.), y en contrato, la gran R p,b ocurre cuando algún material es más blando (menor R _p,b) . frecuencia de corte de fonones) que la otra.

Electrón

Los estados de energía cuántica de los electrones se encuentran utilizando el hamiltoniano cuántico del electrón, que generalmente se compone de términos de energía cinética (- ħ ² ∇ ² /2 m _e ) y potencial ( φ _e ). El orbital atómico, una función matemática que describe el comportamiento ondulatorio de un electrón o de un par de electrones en un átomo , se puede encontrar a partir de la ecuación de Schrödinger con este electrón hamiltoniano. Los átomos similares al hidrógeno (un núcleo y un electrón) permiten una solución cerrada de la ecuación de Schrödinger con el potencial electrostático (la ley de Coulomb ). La ecuación de Schrödinger de átomos o iones atómicos con más de un electrón no ha sido resuelta analíticamente debido a las interacciones de Coulomb entre electrones. Por lo tanto, se utilizan técnicas numéricas y se aproxima una configuración electrónica como producto de orbitales atómicos similares al hidrógeno más simples (orbitales electrónicos aislados). Las moléculas con múltiples átomos (núcleos y sus electrones) tienen orbitales moleculares (MO, una función matemática para el comportamiento ondulatorio de un electrón en una molécula) y se obtienen a partir de técnicas de solución simplificadas como la combinación lineal de orbitales atómicos (LCAO). . El orbital molecular se utiliza para predecir propiedades químicas y físicas, y la diferencia entre el orbital molecular ocupado más alto ( HOMO ) y el orbital molecular desocupado más bajo ( LUMO ) es una medida de la excitabilidad de las moléculas.

En una estructura cristalina de sólidos metálicos, se utiliza el modelo de electrones libres (potencial cero, φ _e = 0) para el comportamiento de los electrones de valencia . Sin embargo, en una red periódica (cristal) , existe un potencial cristalino periódico, por lo que el electrón hamiltoniano se convierte en ^[19]

$${\displaystyle \mathrm {H} _{e}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m_{e}}}\nabla ^{2}+\varphi _{c}(\mathbf {x} ),}$$

m _eφ _cx_g φ _gigxg

$${\displaystyle \mathrm {H} _{e}\psi _{e,\mathbf {x} }(\mathbf {x} )=E_{e}({\boldsymbol {\kappa }}_{e})\psi _{e,\mathbf {x} }(\mathbf {x} ),}$$

ψ _e,κE _eκ _eκ _eκ _eE _eestructura de banda electrónicasistemas de muchos cuerposla teoría funcional de la densidaddensidad electrónicaab initioABINITCASTEPQuantum ESPRESSOSIESTAVASPWIEN2kestadísticas de Fermi-DiracKK _eK _p

Los electrones se ven afectados por dos fuerzas termodinámicas [de la carga, ∇( E _F / e _c ) donde E _F es el nivel de Fermi y e _c es la carga del electrón y el gradiente de temperatura, ∇(1/ T )] porque llevan ambas cargas. y la energía térmica, y por lo tanto la corriente eléctrica j _e y el flujo de calor _q se describen con los tensores termoeléctricos ( A _ee , A _et , A _te y Att ) a partir de las relaciones recíprocas de Onsager ^[30] como

$${\displaystyle \mathbf {j} _{e}=\mathbf {A} _{ee}\cdot \nabla {\frac {E_{\mathrm {F} }}{e_{c}}}+\mathbf {A} _{et}\cdot \nabla {\frac {1}{T}},\ \ {\text{and}}}$$

$${\displaystyle \mathbf {q} =\mathbf {A} _{te}\cdot \nabla {\frac {E_{\mathrm {F} }}{e_{c}}}+\mathbf {A} _{tt}\cdot \nabla {\frac {1}{T}}.}$$

Convirtiendo estas ecuaciones para tener j _e ecuación en términos de campo eléctrico e _e y ∇ T y q ecuación con j _e y ∇ T , (usando coeficientes escalares para transporte isotrópico, α _ee , α _et , α _te y α _tt en lugar de A _ee , A _et , A _te y Att )_​

$${\displaystyle \mathbf {j} _{e}=\alpha _{ee}\mathbf {e} _{e}-{\frac {\alpha _{et}}{T^{2}}}\nabla T\qquad (\mathbf {e} _{e}=\alpha _{ee}^{-1}\mathbf {j} _{e}+{\frac {\alpha _{ee}^{-1}\alpha _{et}}{T^{2}}}\nabla T),}$$

$${\displaystyle \mathbf {q} =\alpha _{te}\alpha _{ee}^{-1}\mathbf {j} _{e}-{\frac {\alpha _{tt}-\alpha _{te}\alpha _{ee}^{-1}\alpha _{et}}{T^{2}}}\nabla T.}$$

Conductividad/resistividad eléctrica σ _e (Ω ⁻¹ m ⁻¹ )/ ρ _e (Ω-m), conductividad térmica eléctrica k _e (W/mK) y coeficientes de Seebeck/Peltier α _S (V/K)/ α _P ( V) se definen como,

$${\displaystyle \sigma _{e}={\frac {1}{\rho _{e}}}=\alpha _{ee},\ \ k_{e}={\frac {\alpha _{tt}-\alpha _{te}\alpha _{ee}^{-1}\alpha _{et}}{T^{2}}},\mathrm {and} \ \alpha _{\mathrm {S} }={\frac {\alpha _{et}\alpha _{ee}^{-1}}{T^{2}}}\ \ (\alpha _{\mathrm {S} }=\alpha _{\mathrm {P} }T).}$$

Varios portadores (electrones, magnones , fonones y polarones ) y sus interacciones afectan sustancialmente el coeficiente de Seebeck. ^{[31] [32]} El coeficiente de Seebeck se puede descomponer con dos contribuciones, α _S = α _S,pres + α _S,trans , donde α _S,pres es la suma de las contribuciones al cambio de entropía inducido por el portador, es decir, α _S,pres = α _S,mix + α _S,spin + α _S,vib ( α _S,mix : entropía de mezcla, α _S,spin : entropía de espín y α _S,vib : entropía vibracional). La otra contribución α _S,trans es la energía neta transferida al mover un portador dividida por qT ( q : carga del portador). Las contribuciones del electrón al coeficiente de Seebeck se encuentran principalmente en α _S,pres . La mezcla α _S suele ser dominante en semiconductores ligeramente dopados. El cambio de entropía de mezcla al agregar un electrón a un sistema es la llamada fórmula de Heikes.

$${\displaystyle \alpha _{\mathrm {S,mix} }={\frac {1}{q}}{\frac {\partial S_{\mathrm {mix} }}{\partial N}}={\frac {k_{\mathrm {B} }}{q}}\ln \left({\frac {1-f_{e}^{\mathrm {o} }}{f_{e}^{\mathrm {o} }}}\right),}$$

f _e ^oNN _aμk _B Tα _S,mixk _BqE _eμk _B Tα _S,spinS _spinqk _Bqss ₀s ₀s

$${\displaystyle S_{\mathrm {vib} }=-{\frac {\partial F_{\mathrm {mix} }}{\partial T}}=3Nk_{\mathrm {B} }T\int _{0}^{\omega }\left\{{\frac {\hbar \omega }{2k_{\mathrm {B} }T}}\coth \left({\frac {\hbar \omega }{2k_{\mathrm {B} }T}}\right)-\ln \left[2\sinh \left({\frac {\hbar \omega }{2k_{\mathrm {B} }T}}\right)\right]\right\}D_{p}(\omega )d\omega ,}$$

D _pωα _S,vibS _vibqk _Bq_iω _iω _i

El coeficiente de Seebeck derivado en la formulación de Onsager anterior es el componente de mezcla α _S,mix , que domina en la mayoría de los semiconductores. El componente vibratorio en materiales con banda prohibida alta, como el B ₁₃ C _2, es muy importante.
Considerando el transporte microscópico (el transporte es el resultado del desequilibrio),

$${\displaystyle \mathbf {j} _{e}=-{\frac {e_{c}}{\hbar ^{3}}}\sum _{p}\mathbf {u} _{e}f_{e}^{\prime }=-{\frac {e_{c}}{\hbar ^{3}k_{\mathrm {B} }T}}\sum _{p}\mathbf {u} _{e}\tau _{e}\left(-{\frac {\partial f_{e}^{\mathrm {o} }}{\partial E_{e}}}\right)(\mathbf {u} _{e}\cdot \mathbf {F} _{te}),}$$

$${\displaystyle \mathbf {q} ={\frac {1}{\hbar ^{3}}}\sum _{p}(E_{e}-E_{\mathrm {F} })\mathbf {u} _{e}f_{e}^{\prime }={\frac {1}{\hbar ^{3}k_{\mathrm {B} }T}}\sum _{p}\mathbf {u} _{e}\tau _{e}\left(-{\frac {\partial f_{e}^{\mathrm {o} }}{\partial E_{e}}}\right)(E_{e}-E_{\mathrm {F} })(\mathbf {u} _{e}\cdot \mathbf {F} _{te}),}$$

donde u _e es el vector de velocidad del electrón, f _e ( fe _o ⁾ es la distribución de desequilibrio (equilibrio) del electrón, τ _e es el tiempo de dispersión de los electrones, E _e es la energía del electrón y F _te son las fuerzas eléctricas y térmicas de ∇( E _F / e _c ) y ∇(1/ T ). Relacionando los coeficientes termoeléctricos con las ecuaciones de transporte microscópicas para j _e y q, se calculan las propiedades térmicas, eléctricas y termoeléctricas. Por lo tanto, k _e aumenta con la conductividad eléctrica σe y la temperatura T , como presenta la ley de Wiedemann-Franz [ k _e /( σ _e T _e ) = (1/3)( πk _B / e _c ) ² =2,44 × 10 ⁻⁸  W-Ω/K ² ]. El transporte de electrones (representado como σ _e ) es función de la densidad de portadores n _e,c y la movilidad de los electrones μ _e ( σ _e = e _c n _e,c μ _e ). μ _e está determinada por las tasas de dispersión de electrones (o tiempo de relajación ) en varios mecanismos de interacción, incluida la interacción con otros electrones, fonones, impurezas y límites. ${\displaystyle {\dot {\gamma }}_{e}}$ ${\displaystyle \tau _{e}=1/{\dot {\gamma }}_{e}}$

Los electrones interactúan con otros principales portadores de energía. Los electrones acelerados por un campo eléctrico se relajan mediante la conversión de energía en fonones (en semiconductores, principalmente fonones ópticos), lo que se denomina calentamiento de Joule . La conversión de energía entre el potencial eléctrico y la energía de los fonones se considera en termoeléctricos como el enfriamiento Peltier y el generador termoeléctrico. Además, el estudio de la interacción con fotones es fundamental en aplicaciones optoelectrónicas (es decir, diodos emisores de luz , células solares fotovoltaicas , etc.). Las tasas de interacción o tasas de conversión de energía se pueden evaluar utilizando la regla de oro de Fermi (de la teoría de la perturbación) con un enfoque ab initio .

Partícula fluida

La partícula fluida es la unidad más pequeña (átomos o moléculas) en la fase fluida (gas, líquido o plasma) sin romper ningún enlace químico. La energía de una partícula fluida se divide en energía potencial, electrónica, de traslación, vibratoria y rotacional. El almacenamiento de energía térmica (térmica) en partículas fluidas se realiza a través del movimiento de partículas dependiente de la temperatura (energías de traslación, vibración y rotación). La energía electrónica se incluye sólo si la temperatura es lo suficientemente alta como para ionizar o disociar las partículas del fluido o para incluir otras transiciones electrónicas. Estos estados de energía cuántica de las partículas fluidas se encuentran utilizando su respectivo hamiltoniano cuántico. Estos son H _{f , t} = −( ħ ² /2 m )∇ ² , H _f,v = −( ħ ² /2 m )∇ ² + Γ x ² /2 y H _{f , r} = −( ħ ² / 2 I _f )∇ ² para modos traslacional, vibratorio y rotacional. (Γ: constante del resorte , If _: el momento de inercia de la molécula). Del hamiltoniano, el estado energético cuantificado de las partículas de fluido E _f y las funciones de partición Z _f [con la distribución de ocupación de Maxwell-Boltzmann (MB) ] se encuentran como ^[33]

• traslacional
  $${\displaystyle E_{f,t,n}={\frac {\pi ^{2}\hbar ^{2}}{2m}}\left({\frac {n_{x}^{2}}{L^{2}}}+{\frac {n_{y}^{2}}{L^{2}}}+{\frac {n_{z}^{2}}{L^{2}}}\right)\ \ \ {\text{and}}\ \ \ Z_{f,t}\sum _{i=0}^{\infty }g_{f,t,i}\exp \left(-{\frac {E_{f,t,i}}{k_{\mathrm {B} }T}}\right)=V\left({\frac {mk_{\mathrm {B} }T}{2\pi \hbar ^{2}}}\right)^{3/2},}$$
• vibracional
  $${\displaystyle E_{f,v,l}=\hbar \omega _{f,v}\left(1+{\frac {1}{2}}\right)\ \ {\text{and}}\ \ Z_{f,v}\sum _{j=0}^{\infty }\exp \left[-\left(l+{\frac {1}{2}}\right){\frac {\hbar \omega _{f,v}}{k_{\mathrm {B} }T}}\right]={\frac {\exp(-T_{f,v}/2T)}{1-\exp(-T_{f,v}/T)}},}$$
• rotacional
  $${\displaystyle E_{f,r,j}={\frac {\hbar ^{2}}{2I_{f}}}\ \ {\text{and}}\ \ Z_{f,r}\sum _{j=0}^{\infty }(2j+1)\exp \left[-{\frac {-\hbar ^{2}j(j+1)}{2I_{f}k_{\mathrm {B} }T}}\right]\approx {\frac {T}{T_{f,r}}}\left(1+{\frac {T_{f,r}}{3T}}+{\frac {T_{f,r}^{2}}{15T^{2}}}+\cdots \right),}$$
• total
  $${\displaystyle E_{f}=\sum _{i}E_{f,i}=E_{f,t}+E_{f,v}+E_{f,r}+\dots \ \ {\text{and}}\ \ Z_{f}=\prod _{i}Z_{f,i}=Z_{f,t}Z_{f,v}Z_{f,r}\dots .}$$

Aquí, g _f es la degeneración, n , l y j son los números cuánticos de transición, vibracional y rotacional, T _f,v es la temperatura característica de vibración (= ħω _f,v / k _B , : frecuencia de vibración), y T _f,r es la temperatura rotacional [= ħ ² /(2 I _f k _B )]. La energía interna específica promedio está relacionada con la función de partición a través de Z _f , ${\displaystyle e_{f}=(k_{\mathrm {B} }T^{2}/m)(\partial \mathrm {ln} Z_{f}/\partial T)|_{N,V}.}$

Con los estados de energía y la función de partición, la capacidad calorífica específica de la partícula fluida c _v,f es la suma de la contribución de varias energías cinéticas (para el gas no ideal también se suma la energía potencial). Debido a que los grados totales de libertad en las moléculas están determinados por la configuración atómica, c _v,f tiene diferentes fórmulas dependiendo de la configuración, ^[33]

• gas ideal monoatómico
  $${\displaystyle c_{v,f}=\left.{\frac {\partial e_{f}}{\partial T}}\right|_{V}={\frac {3R_{g}}{2M}},}$$
• gas ideal diatómico
  $${\displaystyle c_{v,f}={\frac {R_{g}}{M}}\left\{{\frac {3}{2}}+\left({\frac {T_{f,v}}{T}}\right)^{2}{\frac {\exp(T_{f,v,i}/T)}{[\exp(T_{f,v,i}/T)-1]^{2}}}+1+{\frac {2}{15}}\left({\frac {T_{f,v}}{T}}\right)^{2}\right\},}$$
• gas ideal poliatómico no lineal
  $${\displaystyle c_{v,f}={\frac {R_{g}}{M}}\left\{3+\sum _{j=1}^{3N_{o}-6}\left({\frac {T_{f,v}}{T}}\right)^{2}{\frac {\exp(T_{f,v,i}/T)}{[\exp(T_{f,v,i}/T)-1]^{2}}}\right\}.}$$

donde R _g es la constante de los gases (= N _A k _B , N _A : la constante de Avogadro) y M es la masa molecular (kg/kmol). (Para el gas ideal poliatómico, N _o es el número de átomos en una molécula). En el gas, la capacidad calorífica específica a presión constante c _p,f tiene un valor mayor y la diferencia depende de la temperatura T , coeficiente de expansión térmica volumétrica β y la compresibilidad isotérmica κ [ c _p,f – c _v,f = Tβ ² /( ρ _f κ ), ρ _f  : la densidad del fluido]. Para fluidos densos, se deben incluir las interacciones entre las partículas (la interacción de van der Waals), y c _v,f y c _p,f cambiarían en consecuencia. El movimiento neto de las partículas (bajo gravedad o presión externa) da lugar al flujo de calor por convección q _u = ρ _f c _p,f u _f T . El flujo de calor por conducción q _k para el gas ideal se deriva con la teoría cinética de los gases o las ecuaciones de transporte de Boltzmann, y la conductividad térmica es

$${\displaystyle k_{f}={\tfrac {1}{3}}n_{f}c_{p,f}\langle u_{f}^{2}\rangle \tau _{f{\mbox{-}}f},}$$

u _f ^21/2raíz cuadrática mediak _B Tmmτ _f-f^1/2 π d ² n _fu _f⁻¹u _fk _B Tπm^1/2dn _f

k _f también se calcula mediante dinámica molecular (MD), que simula los movimientos físicos de las partículas de fluido con las ecuaciones de movimiento de Newton (clásicas) y de campo de fuerza (desde ab initio o propiedades empíricas). Para el cálculo de k _f , generalmente se emplea la DM de equilibrio con relaciones de Green-Kubo , que expresan los coeficientes de transporte en términos de integrales de funciones de correlación de tiempo (considerando la fluctuación), o la DM de no equilibrio (que prescribe el flujo de calor o la diferencia de temperatura en un sistema simulado). .

Las partículas fluidas pueden interactuar con otras partículas principales. Los modos vibratorios o rotacionales, que tienen una energía relativamente alta, se excitan o decaen mediante la interacción con fotones. Los láseres de gas emplean la cinética de interacción entre partículas de fluido y fotones, y el enfriamiento del láser también se ha considerado en el láser de gas _CO2 . ^{[34] [35]} Además, las partículas de fluido se pueden adsorber en superficies sólidas ( fisisorción y quimisorción ), y los modos vibratorios frustrados en los adsorbatos (partículas de fluido) se descomponen creando pares o fonones e ^{- -} h + ^. Estas tasas de interacción también se calculan mediante el cálculo ab initio de partículas fluidas y la regla de oro de Fermi. ^[36]

Fotón

Coeficiente de absorción de fotones espectrales para fases típicas de gas, líquido y sólido. Para la fase sólida se dan ejemplos de polímeros, óxidos, semiconductores y metales.

El fotón es el cuanto de radiación electromagnética (EM) y el portador de energía para la transferencia de calor por radiación . La onda EM se rige por las ecuaciones clásicas de Maxwell , y la cuantificación de la onda EM se utiliza para fenómenos como la radiación del cuerpo negro (en particular para explicar la catástrofe ultravioleta ). La energía de onda (fotón) de cuantos EM de frecuencia angular ω _ph es E _ph = ħω _ph y sigue la función de distribución de Bose-Einstein ( f _ph ). El fotón hamiltoniano para el campo de radiación cuantificado ( segunda cuantificación ) es ^{[37] [38]}

$${\displaystyle \mathrm {H} _{ph}={\frac {1}{2}}\int \left(\varepsilon _{\mathrm {o} }\mathbf {e} _{e}^{2}+\mu _{\mathrm {o} }^{-1}\mathbf {b} _{e}^{2}\right)dV=\sum _{\alpha }\hbar \omega _{ph,\alpha }\left(c_{\alpha }^{\dagger }c_{\alpha }+{\frac {1}{2}}\right),}$$

e _eb _eε _oμ _oVω _ph,ααc _α ^†c _αa _ee _ea _etb _ea _e

$${\displaystyle \mathbf {a} _{e}(\mathbf {x} ,t)=\sum _{\alpha }\left({\frac {\hbar }{2\varepsilon _{\mathrm {o} }\omega _{ph,\alpha }V}}\right)^{1/2}\mathbf {s} _{ph,\alpha }\left(c_{\alpha }e^{i{\boldsymbol {\kappa }}_{\alpha }\cdot \mathbf {x} }+c_{\alpha }^{\dagger }e^{-i{\boldsymbol {\kappa }}_{\alpha }\cdot \mathbf {x} }\right),}$$

s _ph,ακ _α

La radiación de cuerpo negro entre varios tipos de emisión de fotones emplea el modelo de gas fotónico con distribución de energía térmica sin interacción entre fotones. A partir de la relación de dispersión lineal (es decir, sin dispersión), las velocidades de fase y de grupo son iguales ( u _ph = d ω _ph / dκ = ω _ph / κ , up _ph : velocidad del fotón) y la densidad de estados de Debye (utilizada para fotones sin dispersión) es D _ph,b,ω dω = ω _ph ² dω _ph / π ² u _ph ³ . Con D _ph,b,ω y distribución de equilibrio f _ph , la distribución espectral de energía del fotón dI _b,ω o dI _b,λ ( λ _ph : longitud de onda) y la potencia emisiva total E _b se derivan como

$${\displaystyle dI_{b,\omega }={\frac {D_{ph,b,\omega }f_{ph}u_{ph}d\omega _{ph}}{4\pi }}={\frac {\hbar \omega _{ph}^{3}}{4\pi ^{3}u_{ph}^{2}}}{\frac {1}{e^{\hbar \omega _{ph}/k_{\mathrm {B} }T}-1}}d\omega _{ph}\ {\text{or}}\ dI_{b,\lambda }={\frac {4\pi \hbar u_{ph}^{2}d\lambda _{ph}}{\lambda _{ph}^{5}(e^{2\pi \hbar u_{ph}/\lambda _{ph}k_{\mathrm {B} }T}-1)}}}$$

ley de Planck

$${\displaystyle E_{b}=\int _{0}^{\infty }dE_{b,\lambda }=\sigma _{\mathrm {SB} }T^{4}\ {\text{, where}}\ \sigma _{\mathrm {SB} }={\frac {\pi ^{2}k_{\mathrm {B} }^{4}}{60\hbar ^{3}u_{ph}^{2}}}}$$

Ley de Stefan-Boltzmann

En comparación con la radiación de cuerpo negro, la emisión láser tiene una alta direccionalidad (pequeño ángulo sólido ΔΩ) y pureza espectral (bandas estrechas Δ ω ). Los láseres varían desde el infrarrojo lejano hasta los regímenes de rayos X/rayos γ basados ​​en la transición resonante ( emisión estimulada ) entre estados de energía electrónica. ^[39]

La radiación de campo cercano proveniente de dipolos excitados térmicamente y otras transiciones eléctricas/magnéticas es muy efectiva dentro de una distancia corta (del orden de longitud de onda) de los sitios de emisión. ^{[40] [41] [42]}

El BTE para el momento de la partícula fotónica p _ph = ħω _ph s / u _ph a lo largo de la dirección s que experimenta absorción/emisión (= u _ph σ _ph,ω [ f _ph ( ω _ph , T ) - f _ph ( s )], σ _{ph, ω} : coeficiente de absorción espectral ), y generación/eliminación , es ^{[43] [44]} ${\displaystyle \textstyle {\dot {s}}_{f,ph-e}\ }$ ${\displaystyle \textstyle {\dot {s}}_{f,ph,i}}$

$${\displaystyle {\frac {\partial f_{ph}}{\partial t}}+u_{ph}\mathbf {s} \cdot \nabla f_{ph}=\left.{\frac {\partial f_{ph}}{\partial t}}\right|_{s}+u_{ph}\sigma _{ph,\omega }[f_{ph}(\omega _{ph},T)-f_{ph}(\mathbf {s} )]+{\dot {s}}_{f,ph,i}.}$$

En términos de intensidad de radiación ( I _ph,ω = u _ph f _ph ħω _ph D _ph,ω /4 π , D _ph,ω : densidad de estados de fotones), esto se denomina ecuación de transferencia radiativa (ERT) ^[44]

$${\displaystyle {\frac {\partial I_{ph,\omega }(\omega _{ph},\mathbf {s} )}{u_{ph}\partial t}}+\mathbf {s} \cdot \nabla I_{ph,\omega }(\omega _{ph},\mathbf {s} )=\left.{\frac {\partial I_{ph,\omega }(\omega _{ph},\mathbf {s} )}{u_{ph}\partial t}}\right|_{s}+\sigma _{ph,\omega }[I_{ph,\omega }(\omega _{ph},T)-I_{ph}(\omega _{ph},\mathbf {s} )]+{\dot {s}}_{ph,i}.}$$

${\textstyle \mathbf {q} _{r}=\mathbf {q} _{ph}=\int _{0}^{\infty }\int _{4\pi }\mathbf {s} I_{ph,\omega }d\Omega d\omega .}$

A partir de la ecuación de la tasa de población de Einstein , el coeficiente de absorción espectral σ _ph,ω en ERT es, ^[45]

$${\displaystyle \sigma _{ph,\omega }={\frac {\hbar \omega {\dot {\gamma }}_{ph,a}n_{e}}{u_{ph}}},}$$

coeficiente de Einstein B ₁₂⁻¹³⁻¹n _eμ _eσ _ph,ωωσ _ph ${\displaystyle {\dot {\gamma }}_{ph,a}}$

Para el caso de un medio ópticamente grueso de longitud L , es decir, σ _ph L >> 1, y utilizando la teoría cinética de los gases, la conductividad del fotón k _ph es 16 σ _SB T ³ /3 σ _ph ( σ _SB : Constante de Stefan-Boltzmann , σ _ph : absorción promedio de fotones), y la capacidad calorífica de fotones n ph _c v _,ph es 16 σ _SBT ³ / u _ph .

Los fotones tienen la mayor variedad de energía y son fundamentales en una variedad de conversiones de energía. Los fotones interactúan con entidades eléctricas y magnéticas. Por ejemplo, dipolos eléctricos que a su vez son excitados por fonones ópticos o vibraciones de partículas fluidas, o momentos dipolares de transición de transiciones electrónicas. En física de transferencia de calor, la cinética de interacción de fonones se trata utilizando la teoría de la perturbación (la regla de oro de Fermi) y la interacción hamiltoniana. La interacción fotón-electrón es ^[46]

$${\displaystyle \mathrm {H} _{ph-e}=-{\frac {e_{c}}{m_{e}}}\left(a+a^{\dagger }\right)\mathbf {a} _{e}\cdot \mathbf {p} _{e}=-\left({\frac {\hbar \omega _{ph,\alpha }}{2\varepsilon _{o}V}}\right)^{1/2}(\mathbf {s} _{ph,\alpha }\cdot e_{c}\mathbf {x} _{e})\left(a+a^{\dagger }\right)\left(ce^{i\mathrm {\kappa } \cdot \mathrm {x} }+c^{\dagger }e^{-i\mathrm {\kappa } \cdot \mathrm {x} }\right),}$$

p _ea ^†a^{[47] [48][49] [50] [51]}

Usando cálculos ab initio basados ​​en los primeros principios junto con la teoría EM, varias propiedades radiativas como la función dieléctrica ( permisividad eléctrica , ε _e,ω ), el coeficiente de absorción espectral ( σ _ph,ω ) y el índice de refracción complejo ( m _ω ) , se calculan para diversas interacciones entre fotones y entidades eléctricas/magnéticas en la materia. ^{[52] [53]} Por ejemplo, la parte imaginaria ( ε _e,c,ω ) de la función dieléctrica compleja ( ε _e,ω = ε _e,r,ω + i ε _e,c,ω ) para la transición electrónica a través de una banda prohibida es ^[3]

$${\displaystyle \varepsilon _{e,c,\omega }={\frac {4\pi ^{2}}{\omega ^{2}V}}\sum _{i\in \mathrm {VB} ,j\in \mathrm {CB} }\sum _{\kappa }w_{\kappa }|p_{ij}|^{2}\delta (E_{\kappa ,j}-E_{\kappa ,i}-\hbar \omega ),}$$

Vw _κκp _ijε _e,r,ωε _e,c,ωrelación de Kramers-Kronig ^[54]

$${\displaystyle \varepsilon _{e,r,\omega }=1+{\frac {4}{\pi }}\mathbb {P} \int _{0}^{\infty }\mathrm {d} \omega '{\frac {\omega '\varepsilon _{e,c,\omega '}}{\omega '^{2}-\omega ^{2}}}.}$$

valor principal de la integral ${\displaystyle \mathbb {P} }$

En otro ejemplo, para las regiones del IR lejano donde están involucrados los fonones ópticos, la función dieléctrica ( ε _{e, ω} ) se calcula como

$${\displaystyle {\frac {\varepsilon _{e,\omega }}{\varepsilon _{e,\infty }}}=1+\sum _{j}{\frac {\omega _{\mathrm {LO} ,j}^{2}-\omega _{\mathrm {TO} ,j}^{2}}{\omega _{\mathrm {TO} ,j}^{2}-\omega ^{2}-i\gamma \omega }},}$$

jγε _e,∞

A partir de estos cálculos de la función dieléctrica ( ε _e,ω ) (por ejemplo, Abinit , VASP , etc.), el índice de refracción complejo m _ω (= n _ω + i κ _ω , n _ω : índice de refracción y κ _ω : índice de extinción) es encontrado, es decir, m _ω ² = ε _e,ω = ε _e,r,ω + i ε _e,c,ω ). La reflectancia superficial R de una superficie ideal con incidencia normal del vacío o del aire viene dada como ^[55] R = [( n _ω - 1) ² + κ _ω ² ]/[( n _ω + 1) ² + κ _ω ² ] . El coeficiente de absorción espectral se encuentra luego a partir de σ _ph,ω = 2 ω κ _ω / u _ph . El coeficiente de absorción espectral para varias entidades eléctricas se enumeran en la siguiente tabla. ^[56]

Ver también

• Transferencia de energía
• Transferencia de masa
• Transformación de energía (Conversión de energía)
• Física térmica
• ciencia termal
• Ingenieria termal

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