Ley de Stefan-Boltzmann

Ley física sobre el poder emisivo del cuerpo negro.

Energía total emitida, , de un cuerpo negro en función de su temperatura, . La curva superior (negra) representa la ley de Stefan-Boltzmann . La curva inferior (azul) es la energía total según la aproximación de Viena , ${\displaystyle j\equiv M^{\circ }}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle M^{\circ }=\sigma \,T^{4}}$ ${\displaystyle M_{W}^{\circ }=M^{\circ }/\zeta (4)\approx 0.924\,\sigma T^{4}\!\,}$

La ley de Stefan-Boltzmann , también conocida como ley de Stefan , describe la intensidad de la radiación térmica emitida por la materia en términos de la temperatura de esa materia . Lleva el nombre de Josef Stefan , quien derivó empíricamente la relación, y Ludwig Boltzmann, quien derivó la ley teóricamente.

Para un absorbente/emisor ideal o cuerpo negro , la ley de Stefan-Boltzmann establece que la energía total radiada por unidad de superficie por unidad de tiempo (también conocida como salida radiante ) es directamente proporcional a la cuarta potencia de la temperatura del cuerpo negro, T :

$${\displaystyle M^{\circ }=\sigma \,T^{4}.}$$

La constante de proporcionalidad , se llama constante de Stefan-Boltzmann . tiene un valor ${\displaystyle \sigma }$

s =5.670 374 419 ... × 10 ⁻⁸  W⋅m ⁻² ⋅K ⁻⁴ .

En el caso general, la ley de Stefan-Boltzmann para la salida radiante toma la forma:

$${\displaystyle M=\varepsilon \,M^{\circ }=\varepsilon \,\sigma \,T^{4}}$$

emisividad ${\displaystyle \varepsilon }$

Explicación detallada

La exitancia radiante (anteriormente llamada emitancia radiante ), tiene dimensiones de flujo de energía (energía por unidad de tiempo por unidad de área), y las unidades de medida del SI son julios por segundo por metro cuadrado (J⋅s ⁻¹ ⋅m ⁻² ) , o equivalentemente, vatios por metro cuadrado (W⋅m ⁻² ). ^[1] La unidad SI para temperatura absoluta , T , es el kelvin (K). ${\displaystyle M}$

Para encontrar la potencia total radiada por un objeto, multiplique la salida radiante por el área de la superficie del objeto : ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle A}$

$${\displaystyle P=A\cdot M=A\,\varepsilon \,\sigma \,T^{4}.}$$

La materia que no absorbe toda la radiación incidente emite menos energía total que un cuerpo negro. Las emisiones se reducen mediante un factor , donde la emisividad , , es una propiedad material que, para la mayor parte de la materia, satisface . En general, la emisividad puede depender de la longitud de onda , la dirección y la polarización . Sin embargo, la emisividad que aparece en la forma no direccional de la ley de Stefan-Boltzmann es la emisividad total hemisférica , que refleja las emisiones totalizadas en todas las longitudes de onda, direcciones y polarizaciones. ^{[2] : 60} ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle 0\leq \varepsilon \leq 1}$

La forma de la ley de Stefan-Boltzmann que incluye la emisividad es aplicable a toda la materia, siempre que la materia esté en un estado de equilibrio termodinámico local (LTE) de modo que su temperatura esté bien definida. ^{[2] : 66n, 541} (Ésta es una conclusión trivial, ya que la emisividad, , se define como la cantidad que hace que esta ecuación sea válida. Lo que no es trivial es la proposición de que , que es una consecuencia de la ley de temperatura térmica de Kirchhoff radiación ^[3] : ³⁸⁵ ) ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle \varepsilon \leq 1}$

Un cuerpo llamado gris es un cuerpo cuya emisividad espectral es independiente de la longitud de onda, de modo que la emisividad total, , es una constante. ^{[2] : 71} En el caso más general (y realista), la emisividad espectral depende de la longitud de onda. La emisividad total, aplicable a la ley de Stefan-Boltzmann, puede calcularse como un promedio ponderado de la emisividad espectral, con el espectro de emisión del cuerpo negro como función de ponderación . De ello se deduce que si la emisividad espectral depende de la longitud de onda, entonces la emisividad total depende de la temperatura, es decir , ^{[2] : 60} Sin embargo, si la dependencia de la longitud de onda es pequeña, entonces la dependencia de la temperatura también será pequeña. ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle \varepsilon =\varepsilon (T)}$

Las partículas de longitud de onda y sublongitud de onda, ^[4] metamateriales , ^[5] y otras nanoestructuras ^[6] no están sujetas a límites de rayos ópticos y pueden diseñarse para tener una emisividad mayor que 1.

En documentos de normas nacionales e internacionales , se recomienda el símbolo para denotar salida radiante ; un círculo en superíndice (°) indica un término relacionado con un cuerpo negro. ^[1] (Se agrega un subíndice "e" cuando es importante distinguir la cantidad energética ( radiométrica ) de salida radiante , de la cantidad análoga de visión humana ( fotométrica ), salida luminosa , denotada . ^[7] ) En el uso común, El símbolo utilizado para la salida radiante (a menudo llamado emitancia radiante ) varía entre diferentes textos y en diferentes campos. ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M_{\mathrm {e} }}$ ${\displaystyle M_{\mathrm {v} }}$

La ley de Stefan-Boltzmann puede expresarse como una fórmula para calcular la radiancia en función de la temperatura. La radiación se mide en vatios por metro cuadrado por estereorradián (W⋅m ⁻² ⋅sr ⁻¹ ). La ley de Stefan-Boltzmann para la radiancia de un cuerpo negro es: ^{[8] : 26  [9]}

$${\displaystyle L_{\Omega }^{\circ }={\frac {M^{\circ }}{\pi }}={\frac {\sigma }{\pi }}\,T^{4}.}$$

La ley de Stefan-Boltzmann expresada como fórmula para la densidad de energía de la radiación es: ^[10]

$${\displaystyle w_{\mathrm {e} }^{\circ }={\frac {4}{c}}\,M^{\circ }={\frac {4}{c}}\,\sigma \,T^{4},}$$

${\displaystyle c}$

Historia

En 1864, John Tyndall presentó mediciones de la emisión infrarroja de un filamento de platino y el color correspondiente del filamento. ^{[11] [12] [13] [14]} La proporcionalidad a la cuarta potencia de la temperatura absoluta fue deducida por Josef Stefan (1835–1893) en 1877 sobre la base de las mediciones experimentales de Tyndall, en el artículo Über die Beziehung zwischen der Wärmestrahlung und der Temperatur ( Sobre la relación entre radiación térmica y temperatura ) en los boletines de las sesiones de la Academia de Ciencias de Viena. ^[15]

Ludwig Boltzmann (1844-1906) presentó en 1884 una derivación de la ley a partir de consideraciones teóricas , basándose en el trabajo de Adolfo Bartoli . ^[16] Bartoli en 1876 había deducido la existencia de la presión de radiación a partir de los principios de la termodinámica . Siguiendo a Bartoli, Boltzmann consideró un motor térmico ideal que utilizaba radiación electromagnética en lugar de un gas ideal como materia de trabajo.

La ley fue verificada experimentalmente casi de inmediato. Heinrich Weber señaló en 1888 desviaciones a temperaturas más altas, pero en 1897 se confirmó una precisión perfecta dentro de las incertidumbres de medición hasta temperaturas de 1535 K. ^[17] La ​​ley, incluida la predicción teórica de la constante de Stefan-Boltzmann en función de la velocidad de la luz , la constante de Boltzmann y la constante de Planck , es una consecuencia directa de la ley de Planck formulada en 1900.

Constante de Stefan-Boltzmann

La constante de Stefan-Boltzmann, σ , se deriva de otras constantes físicas conocidas :

$${\displaystyle \sigma ={\frac {2\pi ^{5}k^{4}}{15c^{2}h^{3}}}}$$

kconstante de Boltzmannhconstante de Planckcvelocidad de la luz en el vacío^{[18] [3] : 388}

A partir de la redefinición de las unidades básicas del SI de 2019 , que establece valores fijos exactos para k , h y c , la constante de Stefan-Boltzmann es exactamente:

$${\displaystyle \sigma =\left[{\frac {2\pi ^{5}\left(1.380\ 649\times 10^{-23}\right)^{4}}{15\left(2.997\ 924\ 58\times 10^{8}\right)^{2}\left(6.626\ 070\ 15\times 10^{-34}\right)^{3}}}\right]\,{\frac {\mathrm {W} }{\mathrm {m} ^{2}{\cdot }\mathrm {K} ^{4}}}}$$

^[19]

s =5.670 374 419 ... × 10 ⁻⁸  W⋅m ⁻² ⋅K ⁻⁴ .

Antes de esto, el valor de se calculaba a partir del valor medido de la constante del gas . ^[20] ${\displaystyle \sigma }$

El valor numérico de la constante de Stefan-Boltzmann es diferente en otros sistemas de unidades, como se muestra en la siguiente tabla.

Ejemplos

Temperatura del sol

Gráficos log-log de longitud de onda de emisión máxima y salida radiante frente a la temperatura del cuerpo negro . Las flechas rojas muestran que los cuerpos negros de 5780 K tienen un pico de 501 nm y una salida radiante de 63,3 MW/ ^m2 .

Con su ley Stefan también determinó la temperatura de la superficie del Sol . ^[23] Dedujo de los datos de Jacques-Louis Soret (1827-1890) ^[24] que la densidad de flujo de energía del Sol es 29 veces mayor que la densidad de flujo de energía de cierta laminilla metálica calentada (una placa delgada). Se colocó una laminilla redonda a una distancia tal del dispositivo de medición que se pudiera ver con el mismo diámetro angular que el Sol. Soret estimó que la temperatura de la laminilla era de aproximadamente 1900 °C a 2000 °C. Stefan supuso que 1/3 del flujo de energía del Sol es absorbido por la atmósfera terrestre , por lo que tomó como flujo de energía solar correcto un valor 3/2 veces mayor que el valor de Soret, es decir, 29 × 3/2 = 43,5.

No se realizaron mediciones precisas de la absorción atmosférica hasta 1888 y 1904. La temperatura que obtuvo Stefan fue un valor mediano de los anteriores, 1950 °C y el termodinámico absoluto 2200 K. Como 2,57 · ⁴ = 43,5, se deduce de la ley que la temperatura del Sol es 2,57 veces mayor que la temperatura de la laminilla, por lo que Stefan obtuvo un valor de 5430 °C o 5700 K. Este fue el primer valor sensible para la temperatura del Sol. Antes de esto, los valores oscilaban desde 1800 °C hasta 1800 °C.Se afirmaron 13.000.000  °C ^[25] . El valor más bajo de 1800 °C fue determinado por Claude Pouillet (1790-1868) en 1838 utilizando la ley de Dulong-Petit . ^{[26] [27]} Pouillet también tomó sólo la mitad del valor del flujo de energía correcto del Sol.

Temperatura de las estrellas

La temperatura de otras estrellas además del Sol se puede aproximar utilizando un método similar tratando la energía emitida como radiación de un cuerpo negro . ^[28] Entonces:

$${\displaystyle L=4\pi R^{2}\sigma T^{4}}$$

LluminosidadσRTtemperatura efectiva

$${\displaystyle T={\sqrt[{4}]{\frac {L}{4\pi R^{2}\sigma }}}}$$

$${\displaystyle R={\sqrt {\frac {L}{4\pi \sigma T^{4}}}}}$$

Las mismas fórmulas también se pueden simplificar para calcular los parámetros relativos al Sol:

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {L}{L_{\odot }}}&=\left({\frac {R}{R_{\odot }}}\right)^{2}\left({\frac {T}{T_{\odot }}}\right)^{4}\\[1ex]{\frac {T}{T_{\odot }}}&=\left({\frac {L}{L_{\odot }}}\right)^{1/4}\left({\frac {R_{\odot }}{R}}\right)^{1/2}\\[1ex]{\frac {R}{R_{\odot }}}&=\left({\frac {T_{\odot }}{T}}\right)^{2}\left({\frac {L}{L_{\odot }}}\right)^{1/2}\end{aligned}}}$$

radio solarA ${\displaystyle R_{\odot }}$ ${\displaystyle M^{\circ }}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}L&=AM^{\circ }\\[1ex]M^{\circ }&={\frac {L}{A}}\\[1ex]A&={\frac {L}{M^{\circ }}}\end{aligned}}}$$

${\displaystyle A=4\pi R^{2}}$ ${\displaystyle M^{\circ }=\sigma T^{4}.}$

Con la ley de Stefan-Boltzmann, los astrónomos pueden deducir fácilmente los radios de las estrellas. La ley también se cumple en la termodinámica de los agujeros negros , en la llamada radiación de Hawking .

Temperatura efectiva de la Tierra.

De manera similar, podemos calcular la temperatura efectiva de la Tierra T _⊕ igualando la energía recibida del Sol y la energía irradiada por la Tierra, bajo la aproximación del cuerpo negro (la propia producción de energía de la Tierra es lo suficientemente pequeña como para ser insignificante). La luminosidad del Sol, L _⊙ , viene dada por:

$${\displaystyle L_{\odot }=4\pi R_{\odot }^{2}\sigma T_{\odot }^{4}}$$

En la Tierra, esta energía pasa a través de una esfera con un radio de ₀ , la distancia entre la Tierra y el Sol, y la irradiancia (potencia recibida por unidad de área) está dada por

$${\displaystyle E_{\oplus }={\frac {L_{\odot }}{4\pi a_{0}^{2}}}}$$

La Tierra tiene un radio de R _⊕ y por lo tanto tiene una sección transversal de . El flujo radiante (es decir, la energía solar) absorbida por la Tierra viene dado por: ${\displaystyle \pi R_{\oplus }^{2}}$

$${\displaystyle \Phi _{\text{abs}}=\pi R_{\oplus }^{2}\times E_{\oplus }}$$

Debido a que la ley de Stefan-Boltzmann utiliza una cuarta potencia, tiene un efecto estabilizador sobre el intercambio y el flujo emitido por la Tierra tiende a ser igual al flujo absorbido, cercano al estado estacionario donde:

$${\displaystyle {\begin{aligned}4\pi R_{\oplus }^{2}\sigma T_{\oplus }^{4}&=\pi R_{\oplus }^{2}\times E_{\oplus }\\&=\pi R_{\oplus }^{2}\times {\frac {4\pi R_{\odot }^{2}\sigma T_{\odot }^{4}}{4\pi a_{0}^{2}}}\\\end{aligned}}}$$

Entonces se puede encontrar T _{⊕ :}

$${\displaystyle {\begin{aligned}T_{\oplus }^{4}&={\frac {R_{\odot }^{2}T_{\odot }^{4}}{4a_{0}^{2}}}\\T_{\oplus }&=T_{\odot }\times {\sqrt {\frac {R_{\odot }}{2a_{0}}}}\\&=5780\;{\rm {K}}\times {\sqrt {6.957\times 10^{8}\;{\rm {m}} \over 2\times 1.495\ 978\ 707\times 10^{11}\;{\rm {m}}}}\\&\approx 279\;{\rm {K}}\end{aligned}}}$$

T _⊙R _⊙a ₀

La Tierra tiene un albedo de 0,3, lo que significa que el 30% de la radiación solar que incide en el planeta se dispersa hacia el espacio sin ser absorbida. El efecto del albedo sobre la temperatura se puede aproximar suponiendo que la energía absorbida se multiplica por 0,7, pero que el planeta aún irradia como un cuerpo negro (esto último por definición de temperatura efectiva , que es lo que estamos calculando). Esta aproximación reduce la temperatura en un factor de 0,7 ^1/4 , dando 255 K (-18 °C; -1 °F). ^{[29] [30]}

La temperatura anterior es la de la Tierra vista desde el espacio, no la temperatura del suelo sino un promedio de todos los cuerpos emisores de la Tierra desde la superficie hasta gran altitud. Debido al efecto invernadero , la temperatura promedio real de la superficie de la Tierra es de aproximadamente 288 K (15 °C; 59 °F), que es más alta que la temperatura efectiva de 255 K (-18 °C; -1 °F), e incluso más alta. que la temperatura de 279 K (6 °C; 43 °F) que tendría un cuerpo negro.

En la discusión anterior, hemos asumido que toda la superficie de la Tierra está a una misma temperatura. Otra pregunta interesante es cuál sería la temperatura de la superficie de un cuerpo negro en la Tierra suponiendo que alcance el equilibrio con la luz solar que incide sobre él. Por supuesto, esto depende del ángulo del sol sobre la superficie y de cuánto aire ha atravesado la luz del sol. Cuando el sol está en el cenit y la superficie es horizontal, la irradiancia puede llegar a 1120 W/m ² . ^[31] La ley de Stefan-Boltzmann da entonces una temperatura de

$${\displaystyle T=\left({\frac {1120{\text{ W/m}}^{2}}{\sigma }}\right)^{1/4}\approx 375{\text{ K}}}$$

Origen

Derivación termodinámica de la densidad de energía.

El hecho de que la densidad de energía de la caja que contiene radiación es proporcional se puede derivar mediante termodinámica. ^{[32] [14]} Esta derivación utiliza la relación entre la presión de radiación p y la densidad de energía interna , una relación que se puede mostrar usando la forma del tensor de energía-estrés electromagnético . Esta relación es: ${\displaystyle T^{4}}$ ${\displaystyle u}$

$${\displaystyle p={\frac {u}{3}}.}$$

Ahora bien, a partir de la relación termodinámica fundamental

$${\displaystyle dU=T\,dS-p\,dV,}$$

${\displaystyle dV}$ ${\displaystyle T}$

$${\displaystyle \left({\frac {\partial U}{\partial V}}\right)_{T}=T\left({\frac {\partial S}{\partial V}}\right)_{T}-p=T\left({\frac {\partial p}{\partial T}}\right)_{V}-p.}$$

La última igualdad proviene de la siguiente relación de Maxwell :

$${\displaystyle \left({\frac {\partial S}{\partial V}}\right)_{T}=\left({\frac {\partial p}{\partial T}}\right)_{V}.}$$

De la definición de densidad de energía se deduce que

$${\displaystyle U=uV}$$

$${\displaystyle \left({\frac {\partial U}{\partial V}}\right)_{T}=u\left({\frac {\partial V}{\partial V}}\right)_{T}=u.}$$

Ahora la igualdad es

$${\displaystyle u=T\left({\frac {\partial p}{\partial T}}\right)_{V}-p,}$$

${\displaystyle \left({\frac {\partial U}{\partial V}}\right)_{T}.}$

Mientras tanto, la presión es la tasa de cambio de impulso por unidad de área. Como el impulso de un fotón es igual a la energía dividida por la velocidad de la luz,

$${\displaystyle u={\frac {T}{3}}\left({\frac {\partial u}{\partial T}}\right)_{V}-{\frac {u}{3}},}$$

Dado que la derivada parcial se puede expresar como una relación entre solo y (si se aísla en un lado de la igualdad), la derivada parcial se puede reemplazar por la derivada ordinaria. Después de separar las diferenciales la igualdad queda ${\displaystyle \left({\frac {\partial u}{\partial T}}\right)_{V}}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle T}$

$${\displaystyle {\frac {du}{4u}}={\frac {dT}{T}},}$$

${\displaystyle u=AT^{4}}$ ${\displaystyle A}$

Derivación de la ley de Planck

Derivar la ley de Stefan-Boltzmann utilizando la ley de Planck .

La ley se puede derivar considerando una pequeña superficie plana de un cuerpo negro que irradia formando una media esfera. Esta derivación utiliza coordenadas esféricas , con θ como ángulo cenital y φ como ángulo azimutal; y la pequeña superficie plana del cuerpo negro se encuentra en el plano xy, donde θ = ^π / ₂ .

La intensidad de la luz emitida desde la superficie del cuerpo negro está dada por la ley de Planck ,

$${\displaystyle I(\nu ,T)={\frac {2h\nu ^{3}}{c^{2}}}{\frac {1}{e^{h\nu /(kT)}-1}},}$$

• ${\displaystyle I(\nu ,T)}$es la cantidad de potencia por unidad de superficie por unidad de ángulo sólido por unidad de frecuencia emitida a una frecuencia por un cuerpo negro a temperatura T. ${\displaystyle \nu }$
• ${\displaystyle h}$es la constante de Planck
• ${\displaystyle c}$es la velocidad de la luz , y
• ${\displaystyle k}$es la constante de Boltzmann .

La cantidad es la potencia radiada por una superficie de área A a través de un ángulo sólido d Ω en el rango de frecuencia entre ν y ν + dν . ${\displaystyle I(\nu ,T)~A\cos \theta ~d\nu ~d\Omega }$

La ley de Stefan-Boltzmann da la potencia emitida por unidad de área del cuerpo emisor,

$${\displaystyle {\frac {P}{A}}=\int _{0}^{\infty }I(\nu ,T)\,d\nu \int \cos \theta \,d\Omega }$$

Tenga en cuenta que el coseno aparece porque los cuerpos negros son lambertianos (es decir, obedecen la ley del coseno de Lambert ), lo que significa que la intensidad observada a lo largo de la esfera será la intensidad real multiplicada por el coseno del ángulo cenital. Para derivar la ley de Stefan-Boltzmann, debemos integrar sobre la media esfera e integrar de 0 a ∞. ${\textstyle d\Omega =\sin \theta \,d\theta \,d\varphi }$ ${\displaystyle \nu }$

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {P}{A}}&=\int _{0}^{\infty }I(\nu ,T)\,d\nu \int _{0}^{2\pi }\,d\varphi \int _{0}^{\pi /2}\cos \theta \sin \theta \,d\theta \\&=\pi \int _{0}^{\infty }I(\nu ,T)\,d\nu \end{aligned}}}$$

Luego nos conectamos para I :

$${\displaystyle {\frac {P}{A}}={\frac {2\pi h}{c^{2}}}\int _{0}^{\infty }{\frac {\nu ^{3}}{e^{\frac {h\nu }{kT}}-1}}\,d\nu }$$

Para evaluar esta integral, haga una sustitución,

$${\displaystyle {\begin{aligned}u&={\frac {h\nu }{kT}}\\[6pt]du&={\frac {h}{kT}}\,d\nu \end{aligned}}}$$

$${\displaystyle {\frac {P}{A}}={\frac {2\pi h}{c^{2}}}\left({\frac {kT}{h}}\right)^{4}\int _{0}^{\infty }{\frac {u^{3}}{e^{u}-1}}\,du.}$$

La integral de la derecha es estándar y recibe muchos nombres: es un caso particular de integral de Bose-Einstein , polilogaritmo o función zeta de Riemann . El valor de la integral es (donde está la función Gamma ), dando como resultado que, para una superficie de cuerpo negro perfecta: ${\displaystyle \zeta (s)}$ ${\displaystyle \Gamma (4)\zeta (4)={\frac {\pi ^{4}}{15}}}$ ${\displaystyle \Gamma (s)}$

$${\displaystyle M^{\circ }=\sigma T^{4}~,~~\sigma ={\frac {2\pi ^{5}k^{4}}{15c^{2}h^{3}}}={\frac {\pi ^{2}k^{4}}{60\hbar ^{3}c^{2}}}.}$$

Finalmente, esta prueba comenzó considerando sólo una pequeña superficie plana. Sin embargo, cualquier superficie diferenciable puede aproximarse mediante una colección de pequeñas superficies planas. Mientras la geometría de la superficie no haga que el cuerpo negro reabsorba su propia radiación, la energía total irradiada es simplemente la suma de las energías irradiadas por cada superficie; y el área de superficie total es simplemente la suma de las áreas de cada superficie, por lo que esta ley también se aplica a todos los cuerpos negros convexos , siempre que la superficie tenga la misma temperatura en todas partes. La ley se extiende a la radiación de cuerpos no convexos aprovechando el hecho de que la cáscara convexa de un cuerpo negro irradia como si fuera un cuerpo negro.

Densidad de energia

La densidad de energía total U se puede calcular de manera similar, excepto que la integración es sobre toda la esfera y no hay coseno, y el flujo de energía (U c) debe dividirse por la velocidad c para obtener la densidad de energía U :

$${\displaystyle U={\frac {1}{c}}\int _{0}^{\infty }I(\nu ,T)\,d\nu \int \,d\Omega }$$

${\textstyle \int _{0}^{\pi /2}\cos \theta \sin \theta \,d\theta }$ ${\textstyle \int _{0}^{\pi }\sin \theta \,d\theta }$

Así, en total:

$${\displaystyle U={\frac {4}{c}}\,\sigma \,T^{4}}$$

constante de radiaciónconstante de densidad de radiación^{[33] [34]} ${\displaystyle {\frac {4}{c}}\sigma }$

Descomposición en términos de fotones.

La ley de Stephan-Boltzmann se puede expresar como ^[35]

$${\displaystyle M^{\circ }=\sigma \,T^{4}=N_{\mathrm {phot} }\,\langle E_{\mathrm {phot} }\rangle }$$

${\displaystyle N_{\mathrm {phot} }}$

$${\displaystyle N_{\mathrm {phot} }=\pi \int _{0}^{\infty }{\frac {B_{\nu }}{h\nu }}\,\mathrm {d} \nu }$$

$${\displaystyle N_{\mathrm {phot} }=\left({1.5205\times 10^{15}}\;{\textrm {photons}}{\cdot }{\textrm {s}}^{-1}{\cdot }{\textrm {m}}^{-2}{\cdot }\mathrm {K} ^{-3}\right)\cdot T^{3}}$$

${\displaystyle \langle E_{\textrm {phot}}\rangle }$

$${\displaystyle \langle E_{\textrm {phot}}\rangle ={\frac {\pi ^{4}}{30\,\zeta (3)}}k\,T=\left({3.7294\times 10^{-23}}\mathrm {J} {\cdot }\mathrm {K} ^{-1}\right)\cdot T\,.}$$

Marr y Wilkin (2012) recomiendan que a los estudiantes se les enseñe, en lugar de enseñarles, la ley de desplazamiento de Wien , y que se les enseñe la descomposición anterior cuando se les enseñe la ley de Stefan-Boltzmann. ^[35] ${\displaystyle \langle E_{\textrm {phot}}\rangle }$

Ver también

• Radiación de cuerpo negro
• Ley de Rayleigh-Jeans
• Ecuación de Sakuma-Hattori

Notas

1. "Aislamiento térmico - Transferencia de calor por radiación - Vocabulario". ISO_9288:2022 . Organización Internacional de Normalización . 2022 . Consultado el 17 de junio de 2023 .
2. Siegel, Robert; Howell, John R. (1992). Transferencia de calor por radiación térmica (3 ed.). Taylor y Francisco. ISBN 0-89116-271-2.
3. Reif, F. (1965). Fundamentos de Física Estadística y Térmica . Prensa Waveland. ISBN 978-1-57766-612-7.
4. Bohren, Craig F.; Huffman, Donald R. (1998). Absorción y dispersión de la luz por pequeñas partículas. Wiley. págs. 123-126. ISBN 978-0-471-29340-8.
5. Narimanov, Evgenii E.; Smolyaninov, Igor I. (2012). "Más allá de la ley de Stefan-Boltzmann: hiperconductividad térmica". Jornada sobre Láseres y Electroóptica 2012 . Compendio técnico de la OSA. Sociedad Óptica de América. págs.QM2E.1. arXiv : 1109.5444 . CiteSeerX 10.1.1.764.846 . doi :10.1364/QELS.2012.QM2E.1. ISBN  978-1-55752-943-5. S2CID  36550833.
6. Golyk, VA; Krüger, M.; Kardar, M. (2012). "Radiación de calor de objetos cilíndricos largos". Física. Rev. E. 85 (4): 046603. doi : 10.1103/PhysRevE.85.046603. hdl : 1721.1/71630 . PMID  22680594. S2CID  27489038.
7. "salida radiante". Electropedia: el vocabulario electrotécnico en línea del mundo . Comisión Electrotécnica Internacional . Consultado el 20 de junio de 2023 .
8. Bueno, RM; Yung, YL (1989). Radiación Atmosférica: Base Teórica . Prensa de la Universidad de Oxford. ISBN 0-19-505134-3.
9. Grainger, RG (2020). "Introducción a la transferencia de radiación atmosférica: Capítulo 3. Conceptos básicos de radiometría" (PDF) . Grupo de datos de observación de la Tierra, Departamento de Física, Universidad de Oxford . Consultado el 15 de junio de 2023 .
10. "Densidad de energía de radiación". Hiperfísica . Consultado el 20 de junio de 2023 .
11. Tyndall, Juan (1864). "Sobre la radiación luminosa [es decir, visible] y oscura [es decir, infrarroja]". Revista Filosófica . 4ta serie. 28 : 329–341. ; ver pág. 333.
12. En su libro de texto de física de 1875, Adolph Wüllner citó los resultados de Tyndall y luego agregó estimaciones de la temperatura que correspondía al color del filamento de platino: Wüllner, Adolph (1875). Lehrbuch der Experimentalphysik [ Libro de texto de física experimental ] (en alemán). vol. 3. Leipzig, Alemania: BG Teubner. pag. 215.
13. De (Wüllner, 1875), pág. 215: "Wie aus gleich zu besprechenden Versuchen von Draper hervorgeht,... también rápido um das 12fache zu". (Como se desprende de los experimentos de Draper, que se discutirán en breve, una temperatura de aproximadamente 525°[C] corresponde al resplandor rojo débil; una [temperatura] de aproximadamente 1200°[C], al resplandor blanco pleno. Así , mientras que la temperatura aumentó sólo algo más del doble, la intensidad de la radiación aumentó de 10,4 a 122, es decir, casi 12 veces.)
14. Wisniak, Jaime (noviembre de 2002). "Ley de radiación del calor: de Newton a Stefan" (PDF) . Revista india de tecnología química . 9 : 551–552 . Consultado el 15 de junio de 2023 .
15. Stefan declaró (Stefan 1879, p. 421): "Zuerst will ich hier die Bemerkung anführen, ... die Wärmestrahlung der vierten Potenz der absolutn Temperatur proporcional anzunehmen". (En primer lugar, quiero señalar aquí la observación que Wüllner, en su libro de texto, añadió al informe de los experimentos de Tyndall sobre la radiación de un alambre de platino que se hizo brillar mediante una corriente eléctrica, porque esta observación fue la primera que me hizo suponer que la radiación térmica es proporcional a la cuarta potencia de la temperatura absoluta).
16. Boltzmann, Ludwig (1884). "Ableitung des Stefan'schen Gesetzes, betreffend die Abhängigkeit der Wärmestrahlung von der Temperatur aus der electromagnetischen Lichttheorie" [Derivación de la ley de Stefan, relativa a la dependencia de la radiación térmica con respecto a la temperatura, a partir de la teoría electromagnética de la luz]. Annalen der Physik und Chemie (en alemán). 258 (6): 291–294. Código bibliográfico : 1884AnP...258..291B. doi : 10.1002/andp.18842580616 .
17. Badino, M. (2015). El camino lleno de baches: Max Planck de la teoría de la radiación a la cuántica (1896-1906). SpringerBriefs de Historia de la Ciencia y la Tecnología. Publicaciones internacionales Springer. pag. 31.ISBN​ 978-3-319-20031-6. Consultado el 15 de junio de 2023 .
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Referencias

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