Ley de Stefan-Boltzmann

Ley física sobre el poder emisivo del cuerpo negro

Energía total emitida, , de un cuerpo negro en función de su temperatura, . La curva superior (negra) representa la ley de Stefan-Boltzmann, . La curva inferior (azul) es la energía total según la aproximación de Wien , . ${\displaystyle j\equiv M^{\circ }}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle M^{\circ }=\sigma \,T^{4}}$ ${\displaystyle M_{W}^{\circ }=M^{\circ }/\zeta (4)\approx 0.924\,\sigma T^{4}\!\,}$

La ley de Stefan-Boltzmann , también conocida como ley de Stefan , describe la intensidad de la radiación térmica emitida por la materia en función de la temperatura de dicha materia . Recibe su nombre de Josef Stefan , quien derivó la relación empíricamente, y de Ludwig Boltzmann , quien derivó la ley teóricamente.

Para un absorbedor/emisor ideal o cuerpo negro , la ley de Stefan-Boltzmann establece que la energía total irradiada por unidad de superficie por unidad de tiempo (también conocida como excitancia radiante ) es directamente proporcional a la cuarta potencia de la temperatura del cuerpo negro, T : $${\displaystyle M^{\circ }=\sigma \,T^{4}.}$$

La constante de proporcionalidad , , se llama constante de Stefan-Boltzmann . Tiene el valor ${\displaystyle \sigma }$

σ  = 5.670 374 419 ... × 10 ⁻⁸  W⋅m ⁻² ⋅K ⁻⁴ . ^[1]

En el caso general, la ley de Stefan-Boltzmann para la excitación radiante adopta la forma: donde es la emisividad de la superficie que emite la radiación. La emisividad está generalmente entre cero y uno. Una emisividad de uno corresponde a un cuerpo negro. $${\displaystyle M=\varepsilon \,M^{\circ }=\varepsilon \,\sigma \,T^{4},}$$ ${\displaystyle \varepsilon }$

Explicación detallada

La excitancia radiante (anteriormente llamada emitancia radiante ) , tiene dimensiones de flujo de energía (energía por unidad de tiempo por unidad de área), y las unidades de medida del SI son julios por segundo por metro cuadrado (J⋅s ⁻¹ ⋅m ⁻² ), o equivalentemente, vatios por metro cuadrado (W⋅m ⁻² ). ^[2] La unidad SI para la temperatura absoluta , T , es el kelvin (K). ${\displaystyle M}$

Para encontrar la potencia total , irradiada por un objeto, multiplique la excitación radiante por el área de superficie del objeto, : ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle A}$ $${\displaystyle P=A\cdot M=A\,\varepsilon \,\sigma \,T^{4}.}$$

La materia que no absorbe toda la radiación incidente emite menos energía total que un cuerpo negro. Las emisiones se reducen por un factor , donde la emisividad , , es una propiedad material que, para la mayoría de la materia, satisface . La emisividad puede, en general, depender de la longitud de onda , la dirección y la polarización . Sin embargo, la emisividad que aparece en la forma no direccional de la ley de Stefan-Boltzmann es la emisividad total hemisférica , que refleja las emisiones totalizadas en todas las longitudes de onda, direcciones y polarizaciones. ^{[3] : 60} ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle 0\leq \varepsilon \leq 1}$

La forma de la ley de Stefan-Boltzmann que incluye la emisividad es aplicable a toda la materia, siempre que la materia esté en un estado de equilibrio termodinámico local (ETL) de modo que su temperatura esté bien definida. ^{[3] : 66n, 541} (Esta es una conclusión trivial, ya que la emisividad, , se define como la cantidad que hace válida esta ecuación. Lo que no es trivial es la proposición de que , que es una consecuencia de la ley de radiación térmica de Kirchhoff . ^{[4] : 385} ) ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle \varepsilon \leq 1}$

Un llamado cuerpo gris es un cuerpo para el cual la emisividad espectral es independiente de la longitud de onda, de modo que la emisividad total, , es una constante. ^{[3] : 71} En el caso más general (y realista), la emisividad espectral depende de la longitud de onda. La emisividad total, como se aplica a la ley de Stefan-Boltzmann, se puede calcular como un promedio ponderado de la emisividad espectral, con el espectro de emisión del cuerpo negro sirviendo como la función de ponderación . De ello se deduce que si la emisividad espectral depende de la longitud de onda, entonces la emisividad total depende de la temperatura, es decir, . ^{[3] : 60} Sin embargo, si la dependencia de la longitud de onda es pequeña, entonces la dependencia de la temperatura también será pequeña. ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle \varepsilon =\varepsilon (T)}$

Las partículas a escala de longitud de onda y sublongitud de onda, ^[5] los metamateriales ^[6] y otras nanoestructuras ^[7] no están sujetas a límites ópticos de rayos y pueden diseñarse para tener una emisividad mayor a 1.

En los documentos de normas nacionales e internacionales , se recomienda el símbolo para denotar la exitancia radiante ; un círculo superíndice (°) indica un término relacionado con un cuerpo negro. ^[2] (Se agrega un subíndice "e" cuando es importante distinguir la cantidad energética ( radiométrica ) exitancia radiante , , de la cantidad análoga de visión humana ( fotométrica ), exitancia luminosa , denotada . ^[8] ) En el uso común, el símbolo utilizado para la exitancia radiante (a menudo llamada emitancia radiante ) varía entre diferentes textos y en diferentes campos. ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M_{\mathrm {e} }}$ ${\displaystyle M_{\mathrm {v} }}$

La ley de Stefan-Boltzmann puede expresarse como una fórmula para la radiancia en función de la temperatura. La radiancia se mide en vatios por metro cuadrado por estereorradián (W⋅m ⁻² ⋅sr ⁻¹ ). La ley de Stefan-Boltzmann para la radiancia de un cuerpo negro es: ^{[9] : 26  [10]} $${\displaystyle L_{\Omega }^{\circ }={\frac {M^{\circ }}{\pi }}={\frac {\sigma }{\pi }}\,T^{4}.}$$

La ley de Stefan-Boltzmann expresada como fórmula para la densidad de energía de radiación es: ^[11] donde es la velocidad de la luz. $${\displaystyle w_{\mathrm {e} }^{\circ }={\frac {4}{c}}\,M^{\circ }={\frac {4}{c}}\,\sigma \,T^{4},}$$ ${\displaystyle c}$

Historia

En 1864, John Tyndall presentó mediciones de la emisión infrarroja por un filamento de platino y el color correspondiente del filamento. ^{[12] [13] [14] [15]} La proporcionalidad a la cuarta potencia de la temperatura absoluta fue deducida por Josef Stefan (1835-1893) en 1877 sobre la base de las mediciones experimentales de Tyndall, en el artículo Über die Beziehung zwischen der Wärmestrahlung und der Temperatur ( Sobre la relación entre la radiación térmica y la temperatura ) en los Boletines de las sesiones de la Academia de Ciencias de Viena. ^[16]

Ludwig Boltzmann (1844-1906) presentó en 1884 una derivación de la ley a partir de consideraciones teóricas, basándose en el trabajo de Adolfo Bartoli . ^[17] Bartoli en 1876 había derivado la existencia de presión de radiación a partir de los principios de la termodinámica . Siguiendo a Bartoli, Boltzmann consideró un motor térmico ideal que utiliza radiación electromagnética en lugar de un gas ideal como materia activa.

La ley fue verificada experimentalmente casi inmediatamente. En 1888, Heinrich Weber señaló desviaciones a temperaturas más altas, pero en 1897 se confirmó una precisión perfecta dentro de las incertidumbres de medición hasta temperaturas de 1535 K. ^[18] La ley, incluida la predicción teórica de la constante de Stefan-Boltzmann en función de la velocidad de la luz , la constante de Boltzmann y la constante de Planck , es una consecuencia directa de la ley de Planck tal como se formuló en 1900.

Constante de Stefan-Boltzmann

La constante de Stefan-Boltzmann, σ , se deriva de otras constantes físicas conocidas : donde k es la constante de Boltzmann , h es la constante de Planck y c es la velocidad de la luz en el vacío . ^{[19] [4] : 388} $${\displaystyle \sigma ={\frac {2\pi ^{5}k^{4}}{15c^{2}h^{3}}}}$$

A partir de la revisión de 2019 del SI , que establece valores fijos exactos para k , h y c , la constante de Stefan-Boltzmann es exactamente: Por lo tanto, ^[20] $${\displaystyle \sigma =\left[{\frac {2\pi ^{5}\left(1.380\ 649\times 10^{-23}\right)^{4}}{15\left(2.997\ 924\ 58\times 10^{8}\right)^{2}\left(6.626\ 070\ 15\times 10^{-34}\right)^{3}}}\right]\,{\frac {\mathrm {W} }{\mathrm {m} ^{2}{\cdot }\mathrm {K} ^{4}}}}$$

σ =5.670 374 419 ... × 10 ⁻⁸  W⋅m ⁻² ⋅K ⁻⁴ .

Antes de esto, el valor de se calculaba a partir del valor medido de la constante del gas . ^[21] ${\displaystyle \sigma }$

El valor numérico de la constante de Stefan-Boltzmann es diferente en otros sistemas de unidades, como se muestra en la siguiente tabla.

Ejemplos

Temperatura del sol

Gráficos logarítmicos de la longitud de onda de emisión máxima y la excitación radiante en función de la temperatura del cuerpo negro . Las flechas rojas muestran que los cuerpos negros a 5780 K tienen un pico de 501 nm y una excitación radiante de 63,3 MW/ ^m2 .

Con su ley, Stefan también determinó la temperatura de la superficie del Sol . ^[23] Dedujo de los datos de Jacques-Louis Soret (1827-1890) ^[24] que la densidad de flujo de energía del Sol es 29 veces mayor que la densidad de flujo de energía de una determinada lámina metálica calentada (una placa delgada). Se colocó una lámina redonda a tal distancia del dispositivo de medición que se vería con el mismo diámetro angular que el Sol. Soret estimó que la temperatura de la lámina era de aproximadamente 1900 °C a 2000 °C. Stefan supuso que 1/3 del flujo de energía del Sol es absorbido por la atmósfera de la Tierra , por lo que tomó como flujo de energía solar correcto un valor 3/2 veces mayor que el valor de Soret, es decir, 29 × 3/2 = 43,5.

Hasta 1888 y 1904 no se realizaron mediciones precisas de la absorción atmosférica. La temperatura que obtuvo Stefan fue un valor mediano de las anteriores, 1950 °C y el valor termodinámico absoluto 2200 K. Como 2,57 ⁴ = 43,5, de la ley se deduce que la temperatura del Sol es 2,57 veces mayor que la temperatura de la lámina, por lo que Stefan obtuvo un valor de 5430 °C o 5700 K. Este fue el primer valor sensible para la temperatura del Sol. Antes de esto, se habían obtenido valores que iban desde 1800 °C hasta 2200 K.Se afirmaron 13 000 000  °C ^{[25] . El valor más bajo de 1800 °C fue determinado por} Claude Pouillet (1790–1868) en 1838 utilizando la ley de Dulong–Petit . ^{[26] [27]} Pouillet también tomó solo la mitad del valor del flujo de energía correcto del Sol.

Temperatura de las estrellas

La temperatura de otras estrellas distintas del Sol se puede aproximar utilizando un método similar, tratando la energía emitida como una radiación de cuerpo negro . ^[28] Por lo tanto: donde L es la luminosidad , σ es la constante de Stefan-Boltzmann, R es el radio estelar y T es la temperatura efectiva . Esta fórmula se puede reorganizar para calcular la temperatura: o alternativamente el radio: $${\displaystyle L=4\pi R^{2}\sigma T^{4}}$$ $${\displaystyle T={\sqrt[{4}]{\frac {L}{4\pi R^{2}\sigma }}}}$$ $${\displaystyle R={\sqrt {\frac {L}{4\pi \sigma T^{4}}}}}$$

Las mismas fórmulas también se pueden simplificar para calcular los parámetros relativos al Sol: donde es el radio solar , y así sucesivamente. También se pueden reescribir en términos del área de superficie A y la excitación radiante : donde y $${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {L}{L_{\odot }}}&=\left({\frac {R}{R_{\odot }}}\right)^{2}\left({\frac {T}{T_{\odot }}}\right)^{4}\\[1ex]{\frac {T}{T_{\odot }}}&=\left({\frac {L}{L_{\odot }}}\right)^{1/4}\left({\frac {R_{\odot }}{R}}\right)^{1/2}\\[1ex]{\frac {R}{R_{\odot }}}&=\left({\frac {T_{\odot }}{T}}\right)^{2}\left({\frac {L}{L_{\odot }}}\right)^{1/2}\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle R_{\odot }}$ ${\displaystyle M^{\circ }}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}L&=AM^{\circ }\\[1ex]M^{\circ }&={\frac {L}{A}}\\[1ex]A&={\frac {L}{M^{\circ }}}\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle A=4\pi R^{2}}$ ${\displaystyle M^{\circ }=\sigma T^{4}.}$

Con la ley de Stefan-Boltzmann, los astrónomos pueden inferir fácilmente los radios de las estrellas. La ley también se cumple en la termodinámica de los agujeros negros en la llamada radiación de Hawking .

Temperatura efectiva de la Tierra

De manera similar, podemos calcular la temperatura efectiva de la Tierra T _⊕ igualando la energía recibida del Sol y la energía irradiada por la Tierra, según la aproximación del cuerpo negro (la producción de energía de la Tierra es lo suficientemente pequeña como para ser despreciable). La luminosidad del Sol, L _⊙ , viene dada por: $${\displaystyle L_{\odot }=4\pi R_{\odot }^{2}\sigma T_{\odot }^{4}}$$

_{En la} Tierra, esta energía pasa a través de una esfera con un radio de 0 , la distancia entre la Tierra y el Sol, y la irradiancia (potencia recibida por unidad de área) está dada por $${\displaystyle E_{\oplus }={\frac {L_{\odot }}{4\pi a_{0}^{2}}}}$$

La Tierra tiene un radio de R _⊕ y, por lo tanto, una sección transversal de . El flujo radiante (es decir, la energía solar) absorbido por la Tierra viene dado por: ${\displaystyle \pi R_{\oplus }^{2}}$ $${\displaystyle \Phi _{\text{abs}}=\pi R_{\oplus }^{2}\times E_{\oplus }}$$

Debido a que la ley de Stefan-Boltzmann utiliza una cuarta potencia, tiene un efecto estabilizador sobre el intercambio y el flujo emitido por la Tierra tiende a ser igual al flujo absorbido, cerca del estado estable donde: $${\displaystyle {\begin{aligned}4\pi R_{\oplus }^{2}\sigma T_{\oplus }^{4}&=\pi R_{\oplus }^{2}\times E_{\oplus }\\&=\pi R_{\oplus }^{2}\times {\frac {4\pi R_{\odot }^{2}\sigma T_{\odot }^{4}}{4\pi a_{0}^{2}}}\\\end{aligned}}}$$

T _⊕ se puede encontrar entonces: donde T _⊙ es la temperatura del Sol, R _⊙ el radio del Sol y a ₀ es la distancia entre la Tierra y el Sol. Esto da una temperatura efectiva de 6 °C en la superficie de la Tierra, asumiendo que absorbe perfectamente todas las emisiones que caen sobre ella y no tiene atmósfera. $${\displaystyle {\begin{aligned}T_{\oplus }^{4}&={\frac {R_{\odot }^{2}T_{\odot }^{4}}{4a_{0}^{2}}}\\T_{\oplus }&=T_{\odot }\times {\sqrt {\frac {R_{\odot }}{2a_{0}}}}\\&=5780\;{\rm {K}}\times {\sqrt {6.957\times 10^{8}\;{\rm {m}} \over 2\times 1.495\ 978\ 707\times 10^{11}\;{\rm {m}}}}\\&\approx 279\;{\rm {K}}\end{aligned}}}$$

La Tierra tiene un albedo de 0,3, lo que significa que el 30% de la radiación solar que llega al planeta se dispersa de nuevo al espacio sin ser absorbida. El efecto del albedo sobre la temperatura se puede aproximar suponiendo que la energía absorbida se multiplica por 0,7, pero que el planeta sigue irradiando como un cuerpo negro (esto último por definición de temperatura efectiva , que es lo que estamos calculando). Esta aproximación reduce la temperatura en un factor de 0,7 ^1/4 , lo que da 255 K (−18 °C; −1 °F). ^{[29] [30]}

La temperatura anterior es la temperatura de la Tierra vista desde el espacio, no la temperatura superficial, sino un promedio de todos los cuerpos emisores de la Tierra desde la superficie hasta las grandes altitudes. Debido al efecto invernadero , la temperatura superficial promedio real de la Tierra es de aproximadamente 288 K (15 °C; 59 °F), que es más alta que la temperatura efectiva de 255 K (−18 °C; −1 °F), e incluso más alta que la temperatura de 279 K (6 °C; 43 °F) que tendría un cuerpo negro.

En la discusión anterior, hemos asumido que toda la superficie de la Tierra está a una temperatura. Otra pregunta interesante es preguntar cuál sería la temperatura de la superficie de un cuerpo negro en la Tierra suponiendo que alcanza el equilibrio con la luz solar que cae sobre ella. Esto, por supuesto, depende del ángulo del sol sobre la superficie y de cuánto aire ha atravesado la luz solar. Cuando el sol está en el cenit y la superficie es horizontal, la irradiancia puede ser tan alta como 1120 W/m ² . ^[31] La ley de Stefan-Boltzmann da entonces una temperatura de 102 °C (216 °F). (Por encima de la atmósfera, el resultado es incluso mayor: 394 K (121 °C; 250 °F).) Podemos pensar en la superficie de la Tierra como "tratando" de alcanzar la temperatura de equilibrio durante el día, pero siendo enfriada por la atmósfera, y "tratando" de alcanzar el equilibrio con la luz de las estrellas y posiblemente de la luna por la noche, pero siendo calentada por la atmósfera. $${\displaystyle T=\left({\frac {1120{\text{ W/m}}^{2}}{\sigma }}\right)^{1/4}\approx 375{\text{ K}}}$$

Origen

Derivación termodinámica de la densidad de energía.

El hecho de que la densidad de energía de la caja que contiene la radiación sea proporcional a se puede derivar utilizando la termodinámica. ^{[32] [15]} Esta derivación utiliza la relación entre la presión de radiación p y la densidad de energía interna , una relación que se puede mostrar utilizando la forma del tensor de energía-esfuerzo electromagnético . Esta relación es: ${\displaystyle T^{4}}$ ${\displaystyle u}$ $${\displaystyle p={\frac {u}{3}}.}$$

Ahora, de la relación termodinámica fundamental obtenemos la siguiente expresión, después de dividir por y fijar : $${\displaystyle dU=T\,dS-p\,dV,}$$ ${\displaystyle dV}$ ${\displaystyle T}$ $${\displaystyle \left({\frac {\partial U}{\partial V}}\right)_{T}=T\left({\frac {\partial S}{\partial V}}\right)_{T}-p=T\left({\frac {\partial p}{\partial T}}\right)_{V}-p.}$$

La última igualdad proviene de la siguiente relación de Maxwell : $${\displaystyle \left({\frac {\partial S}{\partial V}}\right)_{T}=\left({\frac {\partial p}{\partial T}}\right)_{V}.}$$

De la definición de densidad de energía se deduce que cuando la densidad de energía de la radiación solo depende de la temperatura, por lo tanto $${\displaystyle U=uV}$$ $${\displaystyle \left({\frac {\partial U}{\partial V}}\right)_{T}=u\left({\frac {\partial V}{\partial V}}\right)_{T}=u.}$$

Ahora, la igualdad es después de la sustitución de $${\displaystyle u=T\left({\frac {\partial p}{\partial T}}\right)_{V}-p,}$$ ${\displaystyle \left({\frac {\partial U}{\partial V}}\right)_{T}.}$

Mientras tanto, la presión es la tasa de cambio de momento por unidad de área. Dado que el momento de un fotón es igual a la energía dividida por la velocidad de la luz, donde el factor 1/3 proviene de la proyección de la transferencia de momento sobre la normal a la pared del recipiente. $${\displaystyle u={\frac {T}{3}}\left({\frac {\partial u}{\partial T}}\right)_{V}-{\frac {u}{3}},}$$

Dado que la derivada parcial se puede expresar como una relación entre y solamente (si se la aísla en un lado de la igualdad), la derivada parcial se puede reemplazar por la derivada ordinaria. Después de separar las diferenciales, la igualdad se convierte en lo que conduce inmediatamente a , con como una constante de integración. ${\displaystyle \left({\frac {\partial u}{\partial T}}\right)_{V}}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle T}$ $${\displaystyle {\frac {du}{4u}}={\frac {dT}{T}},}$$ ${\displaystyle u=AT^{4}}$ ${\displaystyle A}$

Derivación de la ley de Planck

Derivación de la ley de Stefan-Boltzmann utilizando la ley de Planck .

La ley se puede derivar considerando una pequeña superficie plana de cuerpo negro que irradia hacia una semiesfera. Esta derivación utiliza coordenadas esféricas , con θ como el ángulo cenital y φ como el ángulo acimutal; y la pequeña superficie plana de cuerpo negro se encuentra en el plano xy, donde θ = ^π / ₂ .

La intensidad de la luz emitida desde la superficie del cuerpo negro viene dada por la ley de Planck , donde $${\displaystyle I(\nu ,T)={\frac {2h\nu ^{3}}{c^{2}}}{\frac {1}{e^{h\nu /(kT)}-1}},}$$

• ${\displaystyle I(\nu ,T)}$es la cantidad de potencia por unidad de área de superficie por unidad de ángulo sólido por unidad de frecuencia emitida a una frecuencia por un cuerpo negro a una temperatura T. ${\displaystyle \nu }$
• ${\displaystyle h}$¿es la constante de Planck?
• ${\displaystyle c}$es la velocidad de la luz , y
• ${\displaystyle k}$es la constante de Boltzmann .

La magnitud es la potencia radiada por una superficie de área A a través de un ángulo sólido d Ω en el rango de frecuencia entre ν y ν + dν . ${\displaystyle I(\nu ,T)~A\cos \theta ~d\nu ~d\Omega }$

La ley de Stefan-Boltzmann da la potencia emitida por unidad de área del cuerpo emisor, $${\displaystyle {\frac {P}{A}}=\int _{0}^{\infty }I(\nu ,T)\,d\nu \int \cos \theta \,d\Omega }$$

Nótese que el coseno aparece porque los cuerpos negros son lambertianos (es decir, obedecen la ley del coseno de Lambert ), lo que significa que la intensidad observada a lo largo de la esfera será la intensidad real multiplicada por el coseno del ángulo cenital. Para derivar la ley de Stefan-Boltzmann, debemos integrar sobre la semiesfera e integrar desde 0 hasta ∞. ${\textstyle d\Omega =\sin \theta \,d\theta \,d\varphi }$ ${\displaystyle \nu }$

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {P}{A}}&=\int _{0}^{\infty }I(\nu ,T)\,d\nu \int _{0}^{2\pi }\,d\varphi \int _{0}^{\pi /2}\cos \theta \sin \theta \,d\theta \\&=\pi \int _{0}^{\infty }I(\nu ,T)\,d\nu \end{aligned}}}$$

Luego conectamos para I : $${\displaystyle {\frac {P}{A}}={\frac {2\pi h}{c^{2}}}\int _{0}^{\infty }{\frac {\nu ^{3}}{e^{\frac {h\nu }{kT}}-1}}\,d\nu }$$

Para evaluar esta integral, haga una sustitución, que da: $${\displaystyle {\begin{aligned}u&={\frac {h\nu }{kT}}\\[6pt]du&={\frac {h}{kT}}\,d\nu \end{aligned}}}$$ $${\displaystyle {\frac {P}{A}}={\frac {2\pi h}{c^{2}}}\left({\frac {kT}{h}}\right)^{4}\int _{0}^{\infty }{\frac {u^{3}}{e^{u}-1}}\,du.}$$

La integral de la derecha es estándar y tiene muchos nombres: es un caso particular de la integral de Bose-Einstein , el polilogaritmo o la función zeta de Riemann . El valor de la integral es (donde es la función Gamma ), lo que da como resultado que, para una superficie de cuerpo negro perfecta: ${\displaystyle \zeta (s)}$ ${\displaystyle \Gamma (4)\zeta (4)={\frac {\pi ^{4}}{15}}}$ ${\displaystyle \Gamma (s)}$ $${\displaystyle M^{\circ }=\sigma T^{4}~,~~\sigma ={\frac {2\pi ^{5}k^{4}}{15c^{2}h^{3}}}={\frac {\pi ^{2}k^{4}}{60\hbar ^{3}c^{2}}}.}$$

Finalmente, esta prueba comenzó considerando sólo una pequeña superficie plana. Sin embargo, cualquier superficie diferenciable puede ser aproximada por una colección de pequeñas superficies planas. Mientras la geometría de la superficie no haga que el cuerpo negro reabsorba su propia radiación, la energía total irradiada es simplemente la suma de las energías irradiadas por cada superficie; y el área total de la superficie es simplemente la suma de las áreas de cada superficie, por lo que esta ley se cumple también para todos los cuerpos negros convexos , siempre que la superficie tenga la misma temperatura en toda su extensión. La ley se extiende a la radiación de cuerpos no convexos utilizando el hecho de que la envoltura convexa de un cuerpo negro irradia como si fuera en sí misma un cuerpo negro.

Densidad de energía

La densidad de energía total U se puede calcular de manera similar, excepto que la integración es sobre toda la esfera y no hay coseno, y el flujo de energía (U c) debe dividirse por la velocidad c para obtener la densidad de energía U : Por lo tanto , se reemplaza por , lo que da un factor adicional de 4. $${\displaystyle U={\frac {1}{c}}\int _{0}^{\infty }I(\nu ,T)\,d\nu \int \,d\Omega }$$ ${\textstyle \int _{0}^{\pi /2}\cos \theta \sin \theta \,d\theta }$ ${\textstyle \int _{0}^{\pi }\sin \theta \,d\theta }$

Así, en total: El producto se conoce a veces como constante de radiación o constante de densidad de radiación . ^{[33] [34]} $${\displaystyle U={\frac {4}{c}}\,\sigma \,T^{4}}$$ ${\displaystyle {\frac {4}{c}}\sigma }$

Descomposición en términos de fotones

La ley de Stephan-Boltzmann se puede expresar como ^[35] donde el flujo de fotones, , está dado por y la energía promedio por fotón, , está dada por $${\displaystyle M^{\circ }=\sigma \,T^{4}=N_{\mathrm {phot} }\,\langle E_{\mathrm {phot} }\rangle }$$ ${\displaystyle N_{\mathrm {phot} }}$ $${\displaystyle N_{\mathrm {phot} }=\pi \int _{0}^{\infty }{\frac {B_{\nu }}{h\nu }}\,\mathrm {d} \nu }$$ $${\displaystyle N_{\mathrm {phot} }=\left({1.5205\times 10^{15}}\;{\textrm {photons}}{\cdot }{\textrm {s}}^{-1}{\cdot }{\textrm {m}}^{-2}{\cdot }\mathrm {K} ^{-3}\right)\cdot T^{3}}$$ ${\displaystyle \langle E_{\textrm {phot}}\rangle }$ $${\displaystyle \langle E_{\textrm {phot}}\rangle ={\frac {\pi ^{4}}{30\,\zeta (3)}}k\,T=\left({3.7294\times 10^{-23}}\mathrm {J} {\cdot }\mathrm {K} ^{-1}\right)\cdot T\,.}$$

Marr y Wilkin (2012) recomiendan que a los estudiantes se les enseñe la ley de desplazamiento de Wien en lugar de enseñarles la ley de desplazamiento de Wien , y que se enseñe la descomposición anterior cuando se enseñe la ley de Stefan-Boltzmann. ^[35] ${\displaystyle \langle E_{\textrm {phot}}\rangle }$

Véase también

• Radiación de cuerpo negro
• Ley de Rayleigh-Jeans
• Ecuación de Sakuma-Hattori

Notas

1. "Valor CODATA 2022: constante de Stefan–Boltzmann". Referencia del NIST sobre constantes, unidades e incertidumbre . NIST . Mayo de 2024. Consultado el 18 de mayo de 2024 .
2. «Aislamiento térmico — Transferencia de calor por radiación — Vocabulario». ISO_9288:2022 . Organización Internacional de Normalización . 2022 . Consultado el 17 de junio de 2023 .
3. Siegel, Robert; Howell, John R. (1992). Transferencia de calor por radiación térmica (3.ª ed.). Taylor & Francis. ISBN 0-89116-271-2.
4. Reif, F. (1965). Fundamentos de física estadística y térmica . Waveland Press. ISBN 978-1-57766-612-7.
5. Bohren, Craig F.; Huffman, Donald R. (1998). Absorción y dispersión de luz por partículas pequeñas. Wiley. págs. 123-126. ISBN. 978-0-471-29340-8.
6. Narimanov, Evgenii E.; Smolyaninov, Igor I. (2012). "Más allá de la ley de Stefan-Boltzmann: hiperconductividad térmica". Conferencia sobre láseres y electroóptica 2012. OSA Technical Digest. Sociedad Óptica de América. pp. QM2E.1. arXiv : 1109.5444 . CiteSeerX 10.1.1.764.846 . doi :10.1364/QELS.2012.QM2E.1. ISBN.  978-1-55752-943-5.S2CID36550833  .​
7. Golyk, VA; Krüger, M.; Kardar, M. (2012). "Radiación de calor de objetos cilíndricos largos". Phys. Rev. E . 85 (4): 046603. doi :10.1103/PhysRevE.85.046603. hdl : 1721.1/71630 . PMID  22680594. S2CID  27489038.
8. "exitancia radiante". Electropedia: el vocabulario electrotécnico en línea del mundo . Comisión Electrotécnica Internacional . Consultado el 20 de junio de 2023 .
9. Goody, RM; Yung, YL (1989). Radiación atmosférica: base teórica . Oxford University Press. ISBN 0-19-505134-3.
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11. "Densidad de energía de radiación". HyperPhysics . Consultado el 20 de junio de 2023 .
12. Tyndall, John (1864). «Sobre la radiación luminosa [es decir, visible] y oscura [es decir, infrarroja]». Philosophical Magazine . 4.ª serie. 28 : 329–341. ; ver pág. 333.
13. En su libro de texto de física de 1875, Adolph Wüllner citó los resultados de Tyndall y luego agregó estimaciones de la temperatura que correspondía al color del filamento de platino: Wüllner, Adolph (1875). Lehrbuch der Experimentalphysik [ Libro de texto de física experimental ] (en alemán). Vol. 3. Leipzig, Alemania: BG Teubner. p. 215.
14. De Wüllner 1875, p. 215: "Wie aus gleich zu besprechenden Versuchen von Draper hervorgeht, … also fast um das 12fache zu." (Como se desprende de los experimentos de Draper, que se tratarán en breve, una temperatura de unos 525° [C] corresponde al débil resplandor rojo; una [temperatura] de unos 1200° [C], al resplandor blanco pleno. Así, mientras que la temperatura subió sólo un poco más del doble, la intensidad de la radiación aumentó de 10,4 a 122; es decir, casi 12 veces.)
15. Wisniak, Jaime (noviembre de 2002). "Ley de radiación térmica: de Newton a Stefan" (PDF) . Indian Journal of Chemical Technology . 9 : 551–552 . Consultado el 15 de junio de 2023 .
16. Stefan afirmó (Stefan 1879, p. 421): " Primero que nada, quiero señalar aquí la observación que Wüllner, en su libro de texto, agregó al informe de los experimentos de Tyndall sobre la radiación de un alambre de platino que se puso incandescente mediante una corriente eléctrica, porque esta observación me hizo suponer por primera vez que la radiación térmica es proporcional a la cuarta potencia de la temperatura absoluta.)
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Referencias

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