Trabajo virtual

Trabajo realizado por una fuerza para mover una partícula a lo largo de un desplazamiento virtual

En mecánica , el trabajo virtual surge en la aplicación del principio de mínima acción al estudio de las fuerzas y el movimiento de un sistema mecánico . El trabajo de una fuerza que actúa sobre una partícula a medida que se desplaza a lo largo de un desplazamiento es diferente para distintos desplazamientos. Entre todos los posibles desplazamientos que puede seguir una partícula, llamados desplazamientos virtuales , uno minimizará la acción. Este desplazamiento es por tanto el desplazamiento seguido por la partícula según el principio de mínima acción.

El trabajo de una fuerza sobre una partícula a lo largo de un desplazamiento virtual se conoce como trabajo virtual.

Históricamente, el trabajo virtual y el cálculo de variaciones asociado se formularon para analizar sistemas de cuerpos rígidos, ^[1] pero también se han desarrollado para el estudio de la mecánica de cuerpos deformables. ^[2]

Historia

El principio del trabajo virtual siempre se ha utilizado de alguna forma desde la antigüedad en el estudio de la estática. Lo utilizaban los griegos, los árabes y latinos medievales y los italianos del Renacimiento como "la ley de la palanca". ^[3] La idea del trabajo virtual fue invocada por muchos físicos notables del siglo XVII, como Galileo, Descartes, Torricelli, Wallis y Huygens, en diversos grados de generalidad, al resolver problemas de estática. ^[3] Trabajando con conceptos leibnizianos, Johann Bernoulli sistematizó el principio del trabajo virtual e hizo explícito el concepto de desplazamiento infinitesimal. Fue capaz de resolver problemas tanto para cuerpos rígidos como para fluidos. La versión de Bernoulli de la ley del trabajo virtual apareció en su carta a Pierre Varignon en 1715, que luego se publicó en el segundo volumen de Varignon de Nouvelle mécanique ou Statique en 1725. Esta formulación del principio se conoce hoy como el principio de velocidades virtuales y se considera comúnmente como el prototipo de los principios contemporáneos del trabajo virtual. ^[3] En 1743, D'Alembert publicó su Traité de Dynamique donde aplicó el principio del trabajo virtual, basado en el trabajo de Bernoulli, para resolver varios problemas en dinámica. Su idea era convertir un problema dinámico en un problema estático introduciendo la fuerza inercial . ^[4] En 1768, Lagrange presentó el principio del trabajo virtual en una forma más eficiente al introducir coordenadas generalizadas y lo presentó como un principio alternativo de la mecánica mediante el cual se podían resolver todos los problemas de equilibrio. Una exposición sistemática del programa de Lagrange de aplicación de este enfoque a toda la mecánica, tanto estática como dinámica, esencialmente el principio de D'Alembert , fue dada en su Mécanique Analytique de 1788. ^[3] Aunque Lagrange había presentado su versión del principio de mínima acción antes de este trabajo, reconoció que el principio de trabajo virtual era más fundamental principalmente porque podía asumirse solo como la base de toda la mecánica, a diferencia de la comprensión moderna de que la mínima acción no tiene en cuenta las fuerzas no conservativas. ^[3]

Descripción general

Si una fuerza actúa sobre una partícula mientras se mueve de un punto a otro , entonces, para cada trayectoria posible que la partícula pueda tomar, es posible calcular el trabajo total realizado por la fuerza a lo largo de la trayectoria. El principio del trabajo virtual , que es la forma del principio de mínima acción aplicado a estos sistemas, establece que la trayectoria realmente seguida por la partícula es aquella para la cual la diferencia entre el trabajo a lo largo de esta trayectoria y otras trayectorias cercanas es cero (de primer orden). El procedimiento formal para calcular la diferencia de funciones evaluadas en trayectorias cercanas es una generalización de la derivada conocida del cálculo diferencial, y se denomina cálculo de variaciones . ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$

Considere una partícula puntual que se mueve a lo largo de una trayectoria que se describe mediante una función desde el punto , donde , hasta el punto , donde . Es posible que la partícula se mueva desde a a lo largo de una trayectoria cercana descrita por , donde se denomina variación de . La variación satisface el requisito . Los componentes escalares de la variación , y se denominan desplazamientos virtuales. Esto se puede generalizar a un sistema mecánico arbitrario definido por las coordenadas generalizadas , . En cuyo caso, la variación de la trayectoria se define mediante los desplazamientos virtuales , . ${\displaystyle \mathbf {r} (t)}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \mathbf {r} (t=t_{0})}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \mathbf {r} (t=t_{1})}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \mathbf {r} (t)+\delta \mathbf {r} (t)}$ ${\displaystyle \delta \mathbf {r} (t)}$ ${\displaystyle \mathbf {r} (t)}$ ${\displaystyle \delta \mathbf {r} (t)}$ ${\displaystyle \delta \mathbf {r} (t_{0})=\delta \mathbf {r} (t_{1})=0}$ ${\displaystyle \delta r_{1}(t)}$ ${\displaystyle \delta r_{2}(t)}$ ${\displaystyle \delta r_{3}(t)}$ ${\displaystyle q_{i}}$ ${\displaystyle i=1,2,...,n}$ ${\displaystyle q_{i}(t)}$ ${\displaystyle \delta q_{i}}$ ${\displaystyle i=1,2,...,n}$

El trabajo virtual es el trabajo total realizado por las fuerzas aplicadas y las fuerzas de inercia de un sistema mecánico a medida que se mueve a través de un conjunto de desplazamientos virtuales. Al considerar las fuerzas aplicadas a un cuerpo en equilibrio estático, el principio de mínima acción requiere que el trabajo virtual de estas fuerzas sea cero.

Tratamiento matemático

Consideremos una partícula P que se mueve desde un punto A hasta un punto B siguiendo una trayectoria r ( t ) , mientras se le aplica una fuerza F ( r ( t )) . El trabajo realizado por la fuerza F está dado por la integral donde d r es el elemento diferencial a lo largo de la curva que es la trayectoria de P , y v es su velocidad. Es importante notar que el valor del trabajo W depende de la trayectoria r ( t ) . $${\displaystyle W=\int _{\mathbf {r} (t_{0})=A}^{\mathbf {r} (t_{1})=B}\mathbf {F} \cdot d\mathbf {r} =\int _{t_{0}}^{t_{1}}\mathbf {F} \cdot {\frac {d\mathbf {r} }{dt}}~dt=\int _{t_{0}}^{t_{1}}\mathbf {F} \cdot \mathbf {v} ~dt,}$$

Ahora considere la partícula P que se mueve del punto A al punto B nuevamente, pero esta vez se mueve a lo largo de la trayectoria cercana que difiere de r ( t ) por la variación δ r ( t ) = ε h ( t ) , donde ε es una constante de escala que puede hacerse tan pequeña como se desee y h ( t ) es una función arbitraria que satisface h ( t ₀ ) = h ( t ₁ ) = 0 . Suponga que la fuerza F ( r ( t ) + ε h ( t )) es la misma que F ( r ( t )) . El trabajo realizado por la fuerza está dado por la integral La variación del trabajo δW asociado con esta trayectoria cercana, conocida como trabajo virtual , se puede calcular como $${\displaystyle {\bar {W}}=\int _{\mathbf {r} (t_{0})=A}^{\mathbf {r} (t_{1})=B}\mathbf {F} \cdot d(\mathbf {r} +\varepsilon \mathbf {h} )=\int _{t_{0}}^{t_{1}}\mathbf {F} \cdot {\frac {d(\mathbf {r} (t)+\varepsilon \mathbf {h} (t))}{dt}}~dt=\int _{t_{0}}^{t_{1}}\mathbf {F} \cdot (\mathbf {v} +\varepsilon {\dot {\mathbf {h} }})~dt.}$$ $${\displaystyle \delta W={\bar {W}}-W=\int _{t_{0}}^{t_{1}}(\mathbf {F} \cdot \varepsilon {\dot {\mathbf {h} }})~dt.}$$

Si no hay restricciones en el movimiento de P , entonces se necesitan 3 parámetros para describir completamente la posición de P en cualquier momento t . Si hay k ( k ≤ 3 ) fuerzas de restricción, entonces se necesitan n = (3 − k ) parámetros. Por lo tanto, podemos definir n coordenadas generalizadas q _i ( t ) ( i = 1,..., n ), y expresar r ( t ) y δ r = ε h ( t ) en términos de las coordenadas generalizadas. Es decir, Entonces, la derivada de la variación δ r = ε h ( t ) está dada por entonces tenemos $${\displaystyle \mathbf {r} (t)=\mathbf {r} (q_{1},q_{2},\dots ,q_{n};t),}$$ $${\displaystyle \mathbf {h} (t)=\mathbf {h} (q_{1},q_{2},\dots ,q_{n};t).}$$ $${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\delta \mathbf {r} ={\frac {d}{dt}}\varepsilon \mathbf {h} =\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial \mathbf {h} }{\partial q_{i}}}\varepsilon {\dot {q}}_{i},}$$ $${\displaystyle \delta W=\int _{t_{0}}^{t_{1}}\left(\sum _{i=1}^{n}\mathbf {F} \cdot {\frac {\partial \mathbf {h} }{\partial q_{i}}}\varepsilon {\dot {q}}_{i}\right)dt=\sum _{i=1}^{n}\left(\int _{t_{0}}^{t_{1}}\mathbf {F} \cdot {\frac {\partial \mathbf {h} }{\partial q_{i}}}\varepsilon {\dot {q}}_{i}~dt\right).}$$

El requisito de que el trabajo virtual sea cero para una variación arbitraria δ r ( t ) = ε h ( t ) es equivalente al conjunto de requisitos Los términos Q _i se denominan fuerzas generalizadas asociadas con el desplazamiento virtual δ r . $${\displaystyle Q_{i}=\mathbf {F} \cdot {\frac {\partial \mathbf {h} }{\partial q_{i}}}=0,\quad i=1,\ldots ,n.}$$

Equilibrio estático

El equilibrio estático es un estado en el que la fuerza neta y el par neto que actúan sobre el sistema son cero. En otras palabras, tanto el momento lineal como el momento angular del sistema se conservan. El principio del trabajo virtual establece que el trabajo virtual de las fuerzas aplicadas es cero para todos los movimientos virtuales del sistema desde el equilibrio estático . Este principio se puede generalizar de modo que se incluyan rotaciones tridimensionales : el trabajo virtual de las fuerzas aplicadas y los momentos aplicados es cero para todos los movimientos virtuales del sistema desde el equilibrio estático. Es decir , donde F _i , i = 1, 2, ..., m y M _j , j = 1, 2, ..., n son las fuerzas aplicadas y los momentos aplicados, respectivamente, y δ r _i , i = 1, 2, ..., m y δ φ _j , j = 1, 2, ..., n son los desplazamientos virtuales y las rotaciones virtuales , respectivamente. $${\displaystyle \delta W=\sum _{i=1}^{m}\mathbf {F} _{i}\cdot \delta \mathbf {r} _{i}+\sum _{j=1}^{n}\mathbf {M} _{j}\cdot \delta \mathbf {\phi } _{j}=0,}$$

Supongamos que el sistema consta de N partículas y tiene f ( f ≤ 6 N ) grados de libertad . Es suficiente utilizar sólo las coordenadas f para dar una descripción completa del movimiento del sistema, por lo que se definen las coordenadas generalizadas f q _k , k = 1, 2, ..., f de modo que los movimientos virtuales se puedan expresar en términos de estas coordenadas generalizadas . Es decir, $${\displaystyle \delta \mathbf {r} _{i}(q_{1},q_{2},\dots ,q_{f};t),\quad i=1,2,\dots ,m;}$$ $${\displaystyle \delta \phi _{j}(q_{1},q_{2},\dots ,q_{f};t),\quad j=1,2,\dots ,n.}$$

El trabajo virtual puede entonces ser reparametrizado por las coordenadas generalizadas : donde las fuerzas generalizadas Q _k se definen como Kane ^[5] muestra que estas fuerzas generalizadas también pueden formularse en términos de la relación de las derivadas temporales. Es decir, $${\displaystyle \delta W=\sum _{k=1}^{f}\left[\left(\sum _{i=1}^{m}\mathbf {F} _{i}\cdot {\frac {\partial \mathbf {r} _{i}}{\partial q_{k}}}+\sum _{j=1}^{n}\mathbf {M} _{j}\cdot {\frac {\partial \mathbf {\phi } _{j}}{\partial q_{k}}}\right)\delta q_{k}\right]=\sum _{k=1}^{f}Q_{k}\delta q_{k},}$$ $${\displaystyle Q_{k}=\sum _{i=1}^{m}\mathbf {F} _{i}\cdot {\frac {\partial \mathbf {r} _{i}}{\partial q_{k}}}+\sum _{j=1}^{n}\mathbf {M} _{j}\cdot {\frac {\partial \mathbf {\phi } _{j}}{\partial q_{k}}},\quad k=1,2,\dots ,f.}$$ $${\displaystyle Q_{k}=\sum _{i=1}^{m}\mathbf {F} _{i}\cdot {\frac {\partial \mathbf {v} _{i}}{\partial {\dot {q}}_{k}}}+\sum _{j=1}^{n}\mathbf {M} _{j}\cdot {\frac {\partial \mathbf {\omega } _{j}}{\partial {\dot {q}}_{k}}},\quad k=1,2,\dots ,f.}$$

El principio del trabajo virtual exige que el trabajo virtual realizado sobre un sistema por las fuerzas F _i y los momentos M _j se anule si el sistema está en equilibrio . Por lo tanto, las fuerzas generalizadas Q _k son cero, es decir $${\displaystyle \delta W=0\quad \Rightarrow \quad Q_{k}=0\quad k=1,2,\dots ,f.}$$

Fuerzas de restricción

Un beneficio importante del principio del trabajo virtual es que solo se necesitan fuerzas que realizan trabajo a medida que el sistema se mueve a través de un desplazamiento virtual para determinar la mecánica del sistema. Hay muchas fuerzas en un sistema mecánico que no realizan trabajo durante un desplazamiento virtual , lo que significa que no es necesario considerarlas en este análisis. Los dos ejemplos importantes son (i) las fuerzas internas en un cuerpo rígido y (ii) las fuerzas de restricción en una articulación ideal .

Lanczos ^[1] presenta esto como el postulado: "El trabajo virtual de las fuerzas de reacción es siempre cero para cualquier desplazamiento virtual que esté en armonía con las restricciones cinemáticas dadas". El argumento es el siguiente. El principio del trabajo virtual establece que en equilibrio el trabajo virtual de las fuerzas aplicadas a un sistema es cero. Las leyes de Newton establecen que en equilibrio las fuerzas aplicadas son iguales y opuestas a las fuerzas de reacción o de restricción. Esto significa que el trabajo virtual de las fuerzas de restricción también debe ser cero.

Ley de la palanca

Una palanca se modela como una barra rígida conectada a un marco en el suelo mediante una articulación articulada llamada fulcro. La palanca se opera aplicando una fuerza de entrada F _A en un punto A ubicado por el vector de coordenadas r _A en la barra. Luego, la palanca ejerce una fuerza de salida F _B en el punto B ubicado por r _B . La rotación de la palanca alrededor del fulcro P está definida por el ángulo de rotación θ .

Este es un grabado de la revista Mechanics Magazine publicada en Londres en 1824.

Sea r _P el vector de coordenadas del punto P que define el fulcro , e introduzcamos las longitudes que son las distancias desde el fulcro al punto de entrada A y al punto de salida B , respectivamente. $${\displaystyle a=|\mathbf {r} _{A}-\mathbf {r} _{P}|,\quad b=|\mathbf {r} _{B}-\mathbf {r} _{P}|,}$$

Ahora introduzcamos los vectores unitarios e _A y e _B desde el fulcro hasta los puntos A y B , de modo que Esta notación nos permite definir la velocidad de los puntos A y B como donde e _A ^⊥ y e _B ^⊥ son vectores unitarios perpendiculares a e _A y e _B , respectivamente. $${\displaystyle \mathbf {r} _{A}-\mathbf {r} _{P}=a\mathbf {e} _{A},\quad \mathbf {r} _{B}-\mathbf {r} _{P}=b\mathbf {e} _{B}.}$$ $${\displaystyle \mathbf {v} _{A}={\dot {\theta }}a\mathbf {e} _{A}^{\perp },\quad \mathbf {v} _{B}={\dot {\theta }}b\mathbf {e} _{B}^{\perp },}$$

El ángulo θ es la coordenada generalizada que define la configuración de la palanca, por lo tanto, utilizando la fórmula anterior para fuerzas aplicadas a un mecanismo de un grado de libertad, la fuerza generalizada está dada por $${\displaystyle Q=\mathbf {F} _{A}\cdot {\frac {\partial \mathbf {v} _{A}}{\partial {\dot {\theta }}}}-\mathbf {F} _{B}\cdot {\frac {\partial \mathbf {v} _{B}}{\partial {\dot {\theta }}}}=a(\mathbf {F} _{A}\cdot \mathbf {e} _{A}^{\perp })-b(\mathbf {F} _{B}\cdot \mathbf {e} _{B}^{\perp }).}$$

Ahora, denotemos como F _A y F _B las componentes de las fuerzas que son perpendiculares a los segmentos radiales PA y PB . Estas fuerzas están dadas por Esta notación y el principio del trabajo virtual dan como resultado la fórmula para la fuerza generalizada como $${\displaystyle F_{A}=\mathbf {F} _{A}\cdot \mathbf {e} _{A}^{\perp },\quad F_{B}=\mathbf {F} _{B}\cdot \mathbf {e} _{B}^{\perp }.}$$ $${\displaystyle Q=aF_{A}-bF_{B}=0.}$$

La relación entre la fuerza de salida F _B y la fuerza de entrada F _A es la ventaja mecánica de la palanca y se obtiene a partir del principio del trabajo virtual como $${\displaystyle MA={\frac {F_{B}}{F_{A}}}={\frac {a}{b}}.}$$

Esta ecuación muestra que si la distancia a desde el fulcro hasta el punto A donde se aplica la fuerza de entrada es mayor que la distancia b desde el fulcro hasta el punto B donde se aplica la fuerza de salida, entonces la palanca amplifica la fuerza de entrada. Si ocurre lo contrario, es decir, que la distancia desde el fulcro hasta el punto de entrada A es menor que la distancia desde el fulcro hasta el punto de salida B , entonces la palanca reduce la magnitud de la fuerza de entrada.

Esta es la ley de la palanca , que fue demostrada por Arquímedes mediante razonamiento geométrico. ^[6]

Tren de engranajes

Un tren de engranajes se forma montando engranajes en un marco de modo que los dientes de los engranajes se engranen. Los dientes de los engranajes están diseñados para garantizar que los círculos de paso de los engranajes engranados rueden uno sobre el otro sin deslizarse, lo que proporciona una transmisión suave de la rotación de un engranaje al siguiente. Para este análisis, consideramos un tren de engranajes que tiene un grado de libertad, lo que significa que la rotación angular de todos los engranajes del tren de engranajes está definida por el ángulo del engranaje de entrada.

Ilustración del Entrenamiento del Cuerpo de Servicio del Ejército sobre Transporte Mecánico (1911), Fig. 112 Transmisión de movimiento y fuerza mediante ruedas dentadas, tren compuesto

El tamaño de los engranajes y la secuencia en la que se acoplan definen la relación entre la velocidad angular ω _A del engranaje de entrada y la velocidad angular ω _B del engranaje de salida, conocida como relación de velocidad o relación de transmisión del tren de engranajes. Sea R la relación de velocidad, entonces $${\displaystyle {\frac {\omega _{A}}{\omega _{B}}}=R.}$$

El par de entrada T _A que actúa sobre el engranaje de entrada G _A es transformado por el tren de engranajes en el par de salida T _B ejercido por el engranaje de salida G _B . Si suponemos que los engranajes son rígidos y que no hay pérdidas en el engrane de los dientes de los engranajes, entonces se puede utilizar el principio del trabajo virtual para analizar el equilibrio estático del tren de engranajes.

Sea el ángulo θ del engranaje de entrada la coordenada generalizada del tren de engranajes, entonces la relación de velocidad R del tren de engranajes define la velocidad angular del engranaje de salida en términos del engranaje de entrada, es decir $${\displaystyle \omega _{A}=\omega ,\quad \omega _{B}=\omega /R.}$$

La fórmula anterior para el principio de trabajo virtual con pares aplicados produce la fuerza generalizada $${\displaystyle Q=T_{A}{\frac {\partial \omega _{A}}{\partial \omega }}-T_{B}{\frac {\partial \omega _{B}}{\partial \omega }}=T_{A}-T_{B}/R=0.}$$

La ventaja mecánica del tren de engranajes es la relación entre el par de salida T _B y el par de entrada T _A , y la ecuación anterior da como resultado $${\displaystyle MA={\frac {T_{B}}{T_{A}}}=R.}$$

Por lo tanto, la relación de velocidad de un tren de engranajes también define su ventaja mecánica. Esto demuestra que si el engranaje de entrada gira más rápido que el de salida, entonces el tren de engranajes amplifica el par de entrada. Y, si el engranaje de entrada gira más lento que el de salida, entonces el tren de engranajes reduce el par de entrada.

Equilibrio dinámico para cuerpos rígidos

Si se utiliza el principio del trabajo virtual para fuerzas aplicadas sobre partículas individuales de un cuerpo rígido , el principio se puede generalizar para un cuerpo rígido: cuando un cuerpo rígido que está en equilibrio está sujeto a desplazamientos virtuales compatibles, el trabajo virtual total de todas las fuerzas externas es cero; y a la inversa, si el trabajo virtual total de todas las fuerzas externas que actúan sobre un cuerpo rígido es cero, entonces el cuerpo está en equilibrio .

Si un sistema no está en equilibrio estático, D'Alembert demostró que al introducir los términos de aceleración de las leyes de Newton como fuerzas de inercia, este enfoque se generaliza para definir el equilibrio dinámico. El resultado es la forma de D'Alembert del principio del trabajo virtual, que se utiliza para derivar las ecuaciones de movimiento para un sistema mecánico de cuerpos rígidos.

La expresión desplazamientos compatibles significa que las partículas permanecen en contacto y se desplazan juntas de modo que el trabajo realizado por pares de fuerzas de acción/reacción entre partículas se cancela. Se han atribuido diversas formas de este principio a Johann (Jean) Bernoulli (1667-1748) y Daniel Bernoulli (1700-1782).

Fuerzas de inercia generalizadas

Sea un sistema mecánico construido a partir de n cuerpos rígidos, B _i , i = 1,..., n, y sea la resultante de las fuerzas aplicadas sobre cada cuerpo los pares fuerza-par, F _i y T _i , i = 1,..., n . Nótese que estas fuerzas aplicadas no incluyen las fuerzas de reacción donde los cuerpos están conectados. Finalmente, supongamos que la velocidad V _i y las velocidades angulares ω _i , i = 1,..., n , para cada cuerpo rígido, están definidas por una única coordenada generalizada q. Se dice que un sistema de cuerpos rígidos de este tipo tiene un grado de libertad .

Considere un solo cuerpo rígido que se mueve bajo la acción de una fuerza resultante F y un torque T , con un grado de libertad definido por la coordenada generalizada q. Suponga que el punto de referencia para la fuerza resultante y el torque es el centro de masa del cuerpo, entonces la fuerza de inercia generalizada Q* asociada con la coordenada generalizada q está dada por Esta fuerza de inercia se puede calcular a partir de la energía cinética del cuerpo rígido, utilizando la fórmula $${\displaystyle Q^{*}=-(M\mathbf {A} )\cdot {\frac {\partial \mathbf {V} }{\partial {\dot {q}}}}-([I_{R}]\alpha +\omega \times [I_{R}]\omega )\cdot {\frac {\partial {\boldsymbol {\omega }}}{\partial {\dot {q}}}}.}$$ $${\displaystyle T={\frac {1}{2}}M\mathbf {V} \cdot \mathbf {V} +{\frac {1}{2}}{\boldsymbol {\omega }}\cdot [I_{R}]{\boldsymbol {\omega }},}$$ $${\displaystyle Q^{*}=-\left({\frac {d}{dt}}{\frac {\partial T}{\partial {\dot {q}}}}-{\frac {\partial T}{\partial q}}\right).}$$

Un sistema de n cuerpos rígidos con m coordenadas generalizadas tiene la energía cinética que puede utilizarse para calcular las m fuerzas de inercia generalizadas ^[7] $${\displaystyle T=\sum _{i=1}^{n}\left({\frac {1}{2}}M\mathbf {V} _{i}\cdot \mathbf {V} _{i}+{\frac {1}{2}}{\boldsymbol {\omega }}_{i}\cdot [I_{R}]{\boldsymbol {\omega }}_{i}\right),}$$ $${\displaystyle Q_{j}^{*}=-\left({\frac {d}{dt}}{\frac {\partial T}{\partial {\dot {q}}_{j}}}-{\frac {\partial T}{\partial q_{j}}}\right),\quad j=1,\ldots ,m.}$$

La forma de D'Alembert del principio del trabajo virtual

La forma de D'Alembert del principio del trabajo virtual establece que un sistema de cuerpos rígidos está en equilibrio dinámico cuando el trabajo virtual de la suma de las fuerzas aplicadas y las fuerzas inerciales es cero para cualquier desplazamiento virtual del sistema. Por lo tanto, el equilibrio dinámico de un sistema de n cuerpos rígidos con m coordenadas generalizadas requiere que para cualquier conjunto de desplazamientos virtuales δq _j . Esta condición produce m ecuaciones, que también se pueden escribir como El resultado es un conjunto de m ecuaciones de movimiento que definen la dinámica del sistema de cuerpo rígido, conocidas como ecuaciones de Lagrange o ecuaciones generalizadas de movimiento . $${\displaystyle \delta W=(Q_{1}+Q_{1}^{*})\delta q_{1}+\dots +(Q_{m}+Q_{m}^{*})\delta q_{m}=0,}$$ $${\displaystyle Q_{j}+Q_{j}^{*}=0,\quad j=1,\ldots ,m,}$$ $${\displaystyle {\frac {d}{dt}}{\frac {\partial T}{\partial {\dot {q}}_{j}}}-{\frac {\partial T}{\partial q_{j}}}=Q_{j},\quad j=1,\ldots ,m.}$$

Si las fuerzas generalizadas Q _j son derivables de una energía potencial V ( q ₁ ,..., q _m ), entonces estas ecuaciones de movimiento toman la forma $${\displaystyle {\frac {d}{dt}}{\frac {\partial T}{\partial {\dot {q}}_{j}}}-{\frac {\partial T}{\partial q_{j}}}=-{\frac {\partial V}{\partial q_{j}}},\quad j=1,\ldots ,m.}$$

En este caso, introduzca el Lagrangiano , L = T − V , por lo que estas ecuaciones de movimiento se convierten en Estas se conocen como ecuaciones de Euler-Lagrange para un sistema con m grados de libertad, o ecuaciones de Lagrange de segundo tipo . $${\displaystyle {\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{j}}}-{\frac {\partial L}{\partial q_{j}}}=0\quad j=1,\ldots ,m.}$$

Principio de trabajo virtual para un cuerpo deformable

Consideremos ahora el diagrama de cuerpo libre de un cuerpo deformable , que está compuesto por un número infinito de cubos diferenciales. Definamos dos estados no relacionados para el cuerpo:

• El estado: muestra fuerzas superficiales externas T , fuerzas corporales f y tensiones internas en equilibrio. ${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}}$
• El -Estado: Muestra desplazamientos continuos y deformaciones constantes . ${\displaystyle {\boldsymbol {\epsilon }}}$ ${\displaystyle \mathbf {u} ^{*}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\epsilon }}^{*}}$

El superíndice * enfatiza que los dos estados no están relacionados. Aparte de las condiciones mencionadas anteriormente, no es necesario especificar si alguno de los estados es real o virtual.

Imaginemos ahora que las fuerzas y tensiones en el -Estado sufren desplazamientos y deformaciones en el -Estado: Podemos calcular el trabajo virtual (imaginario) total realizado por todas las fuerzas que actúan sobre las caras de todos los cubos de dos maneras diferentes: ${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\epsilon }}}$

• Primero, sumando el trabajo realizado por fuerzas como las que actúan sobre caras comunes individuales (Fig.c): Dado que el material experimenta desplazamientos compatibles , dicho trabajo se cancela, dejando solo el trabajo virtual realizado por las fuerzas superficiales T (que son iguales a las tensiones en las caras de los cubos, por equilibrio). ${\displaystyle F_{A}}$
• En segundo lugar, calculando el trabajo neto realizado por tensiones o fuerzas como , que actúan sobre un cubo individual, por ejemplo para el caso unidimensional de la figura (c): donde se ha utilizado la relación de equilibrio y se ha descuidado el término de segundo orden. ${\displaystyle F_{A}}$ ${\displaystyle F_{B}}$ $${\displaystyle F_{B}\left(u^{*}+{\frac {\partial u^{*}}{\partial x}}dx\right)-F_{A}u^{*}\approx {\frac {\partial u^{*}}{\partial x}}\sigma dV+u^{*}{\frac {\partial \sigma }{\partial x}}dV=\epsilon ^{*}\sigma dV-u^{*}fdV}$$ ${\displaystyle {\frac {\partial \sigma }{\partial x}}+f=0}$
  Integrando sobre todo el cuerpo se obtiene: – Trabajo realizado por las fuerzas corporales f . $${\displaystyle \int _{V}{\boldsymbol {\epsilon }}^{*T}{\boldsymbol {\sigma }}\,dV}$$

Igualando ambos resultados se llega al principio del trabajo virtual para un cuerpo deformable:

donde el trabajo virtual externo total lo realizan T y f . Por lo tanto,

El lado derecho de ( d , e ) se denomina a menudo trabajo virtual interno. El principio del trabajo virtual establece lo siguiente: El trabajo virtual externo es igual al trabajo virtual interno cuando las fuerzas y tensiones equilibradas experimentan desplazamientos y deformaciones no relacionados pero constantes . Incluye el principio del trabajo virtual para cuerpos rígidos como un caso especial donde el trabajo virtual interno es cero.

Prueba de equivalencia entre el principio de trabajo virtual y la ecuación de equilibrio

Comenzamos observando el trabajo total realizado por la tracción superficial sobre el cuerpo que pasa por la deformación especificada: $${\displaystyle \int _{S}\mathbf {u} \cdot \mathbf {T} dS=\int _{S}\mathbf {u} \cdot {\boldsymbol {\sigma }}\cdot \mathbf {n} dS}$$

Aplicando el teorema de divergencia al lado derecho obtenemos: $${\displaystyle \int _{S}\mathbf {u\cdot {\boldsymbol {\sigma }}\cdot n} dS=\int _{V}\nabla \cdot \left(\mathbf {u} \cdot {\boldsymbol {\sigma }}\right)dV}$$

Ahora cambie a la notación indicial para facilitar la derivación. $${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{V}\nabla \cdot \left(\mathbf {u} \cdot {\boldsymbol {\sigma }}\right)dV&=\int _{V}{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}\left(u_{i}\sigma _{ij}\right)dV\\&=\int _{V}\left({\frac {\partial u_{i}}{\partial x_{j}}}\sigma _{ij}+u_{i}{\frac {\partial \sigma _{ij}}{\partial x_{j}}}\right)dV\end{aligned}}}$$

Para continuar con nuestra derivación, sustituimos en la ecuación de equilibrio . Entonces ${\displaystyle {\frac {\partial \sigma _{ij}}{\partial x_{j}}}+f_{i}=0}$ $${\displaystyle \int _{V}\left({\frac {\partial u_{i}}{\partial x_{j}}}\sigma _{ij}+u_{i}{\frac {\partial \sigma _{ij}}{\partial x_{j}}}\right)dV=\int _{V}\left({\frac {\partial u_{i}}{\partial x_{j}}}\sigma _{ij}-u_{i}f_{i}\right)dV}$$

El primer término del lado derecho debe dividirse en una parte simétrica y una parte oblicua de la siguiente manera: donde es la deformación que es consistente con el campo de desplazamiento especificado. La penúltima igualdad proviene del hecho de que la matriz de tensión es simétrica y que el producto de una matriz oblicua y una matriz simétrica es cero. $${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{V}\left({\frac {\partial u_{i}}{\partial x_{j}}}\sigma _{ij}-u_{i}f_{i}\right)dV&=\int _{V}\left({\frac {1}{2}}\left[\left({\frac {\partial u_{i}}{\partial x_{j}}}+{\frac {\partial u_{j}}{\partial x_{i}}}\right)+\left({\frac {\partial u_{i}}{\partial x_{j}}}-{\frac {\partial u_{j}}{\partial x_{i}}}\right)\right]\sigma _{ij}-u_{i}f_{i}\right)dV\\&=\int _{V}\left(\left[\epsilon _{ij}+{\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial u_{i}}{\partial x_{j}}}-{\frac {\partial u_{j}}{\partial x_{i}}}\right)\right]\sigma _{ij}-u_{i}f_{i}\right)dV\\&=\int _{V}\left(\epsilon _{ij}\sigma _{ij}-u_{i}f_{i}\right)dV\\&=\int _{V}\left({\boldsymbol {\epsilon }}:{\boldsymbol {\sigma }}-\mathbf {u} \cdot \mathbf {f} \right)dV\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\epsilon }}}$

Ahora recapitulemos. Hemos demostrado mediante la derivación anterior que $${\displaystyle \int _{S}\mathbf {u\cdot T} dS=\int _{V}{\boldsymbol {\epsilon }}:{\boldsymbol {\sigma }}dV-\int _{V}\mathbf {u} \cdot \mathbf {f} dV}$$

Mueva el segundo término del lado derecho de la ecuación hacia la izquierda: $${\displaystyle \int _{S}\mathbf {u\cdot T} dS+\int _{V}\mathbf {u} \cdot \mathbf {f} dV=\int _{V}{\boldsymbol {\epsilon }}:{\boldsymbol {\sigma }}dV}$$

La interpretación física de la ecuación anterior es que el trabajo virtual externo es igual al trabajo virtual interno cuando las fuerzas y tensiones equilibradas experimentan desplazamientos y deformaciones no relacionados pero consistentes .

Para aplicaciones prácticas:

• Para imponer equilibrio a las tensiones y fuerzas reales, utilizamos desplazamientos y deformaciones virtuales consistentes en la ecuación de trabajo virtual.
• Para imponer desplazamientos y deformaciones consistentes, utilizamos tensiones y fuerzas virtuales equilibradas en la ecuación de trabajo virtual.

Estos dos escenarios generales dan lugar a dos principios variacionales que se enuncian a menudo y que son válidos independientemente del comportamiento del material.

Principio de los desplazamientos virtuales

Dependiendo del propósito, podemos especializar la ecuación de trabajo virtual. Por ejemplo, para derivar el principio de desplazamientos virtuales en notaciones variacionales para cuerpos apoyados, especificamos:

• Desplazamientos y deformaciones virtuales como variaciones de los desplazamientos y deformaciones reales utilizando notación variacional como y ${\displaystyle \delta \ \mathbf {u} \equiv \mathbf {u} ^{*}}$ ${\displaystyle \delta \ {\boldsymbol {\epsilon }}\equiv {\boldsymbol {\epsilon }}^{*}}$
• Los desplazamientos virtuales son cero en la parte de la superficie que tiene desplazamientos prescritos y, por lo tanto, el trabajo realizado por las reacciones es cero. Solo quedan fuerzas superficiales externas en la parte que realiza el trabajo. ${\displaystyle S_{t}}$

La ecuación del trabajo virtual se convierte entonces en el principio de los desplazamientos virtuales:

Esta relación es equivalente al conjunto de ecuaciones de equilibrio escritas para un elemento diferencial en el cuerpo deformable así como de las condiciones de contorno de tensión en la parte de la superficie. Por el contrario, ( f ) se puede alcanzar, aunque de manera no trivial, comenzando con las ecuaciones de equilibrio diferencial y las condiciones de contorno de tensión en , y procediendo de manera similar a ( a ) y ( b ). ${\displaystyle S_{t}}$ ${\displaystyle S_{t}}$

Dado que los desplazamientos virtuales son automáticamente compatibles cuando se expresan en términos de funciones continuas de un solo valor , a menudo solo mencionamos la necesidad de coherencia entre las deformaciones y los desplazamientos. El principio de trabajo virtual también es válido para grandes desplazamientos reales; sin embargo, la ecuación ( f ) se escribiría entonces utilizando medidas más complejas de tensiones y deformaciones.

Principio de fuerzas virtuales

Aquí especificamos:

• Fuerzas y tensiones virtuales como variaciones de las fuerzas y tensiones reales.
• Las fuerzas virtuales son cero en la parte de la superficie que tiene fuerzas prescritas y, por lo tanto, solo las fuerzas de superficie (de reacción) (donde se prescriben desplazamientos) realizarían trabajo. ${\displaystyle S_{t}}$ ${\displaystyle S_{u}}$

La ecuación del trabajo virtual se convierte en el principio de fuerzas virtuales:

Esta relación es equivalente al conjunto de ecuaciones de compatibilidad de deformaciones así como de las condiciones de contorno de desplazamiento en la pieza . Tiene otro nombre: principio de trabajo virtual complementario. ${\displaystyle S_{u}}$

Formas alternativas

Una especialización del principio de fuerzas virtuales es el método de fuerza ficticia unitaria , que resulta muy útil para calcular desplazamientos en sistemas estructurales. Según el principio de D'Alembert , la inclusión de fuerzas inerciales como fuerzas corporales adicionales dará como resultado la ecuación de trabajo virtual aplicable a sistemas dinámicos. Se pueden derivar principios más generalizados mediante:

• permitiendo variaciones de todas las cantidades.
• utilizando multiplicadores de Lagrange para imponer condiciones de contorno y/o relajar las condiciones especificadas en los dos estados.

Estos se describen en algunas de las referencias.

Entre los muchos principios de energía en la mecánica estructural , el principio de trabajo virtual merece un lugar especial debido a su generalidad que conduce a poderosas aplicaciones en el análisis estructural , la mecánica de sólidos y el método de elementos finitos en la mecánica estructural .

Véase también

• Método de flexibilidad
• Método de fuerza ficticia unitaria
• Método de elementos finitos en mecánica estructural
• Cálculo de variaciones
• Mecánica lagrangiana
• Principio de Müller-Breslau
• Principio de D'Alembert

Referencias

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6. Usher, AP (1929). Una historia de las invenciones mecánicas. Harvard University Press (reimpreso por Dover Publications 1988). pág. 94. ISBN 978-0-486-14359-0. OCLC  514178 . Consultado el 7 de abril de 2013 .
7. TR Kane y DA Levinson, Dinámica, teoría y aplicaciones, McGraw-Hill, NY, 2005.

Enlaces externos

• Ejemplos de aplicaciones del principio del trabajo virtual

Bibliografía

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