Pandeo

Cambio repentino en la forma de un componente estructural bajo carga.

Paneles de piel abrochados en un avión B-52 . Los paneles de piel delgada se pandean con cargas muy bajas. En el caso que se muestra aquí, el peso de la estructura delantera del fuselaje delante del tren de aterrizaje de morro es suficiente para hacer que los paneles se pandeen. Los paneles pandeados siguen siendo eficaces para soportar el corte mediante tensión diagonal. ^[1]

En ingeniería estructural , el pandeo es el cambio repentino de forma ( deformación ) de un componente estructural bajo carga , como la curvatura de una columna bajo compresión o el arrugamiento de una placa bajo corte . Si una estructura se somete a una carga que aumenta gradualmente, cuando la carga alcanza un nivel crítico, un miembro puede cambiar repentinamente de forma y se dice que la estructura y el componente se han pandeado . ^[2] La carga crítica de Euler y la fórmula parabólica de Johnson se utilizan para determinar la tensión de pandeo de una columna.

El pandeo puede ocurrir incluso aunque las tensiones que se desarrollan en la estructura estén muy por debajo de las necesarias para causar falla en el material del que se compone la estructura. Una carga adicional puede causar deformaciones significativas y algo impredecibles, lo que posiblemente lleve a la pérdida total de la capacidad de carga del miembro. Sin embargo, si las deformaciones que ocurren después del pandeo no causan el colapso completo de ese miembro, el miembro continuará soportando la carga que provocó su pandeo. Si el miembro pandeado es parte de un conjunto más grande de componentes, como un edificio, cualquier carga aplicada a la parte pandeada de la estructura más allá de la que causó que el miembro se pandeara se redistribuirá dentro de la estructura. Algunos aviones están diseñados para que los paneles de revestimiento delgado continúen transportando carga incluso en estado pandeado.

Formas de pandeo

columnas

Una columna sometida a una carga axial concéntrica que presenta la deformación característica de pandeo.

La excentricidad de la fuerza axial da como resultado un momento flector que actúa sobre el elemento de la viga.

La relación entre la longitud efectiva de una columna y el menor radio de giro de su sección transversal se llama relación de esbeltez (a veces expresada con la letra griega lambda, λ). Esta relación proporciona un medio para clasificar las columnas y su modo de falla. La relación de esbeltez es importante para las consideraciones de diseño. Todos los siguientes son valores aproximados utilizados por conveniencia.

Si la carga sobre una columna se aplica a través del centro de gravedad (centroide) de su sección transversal, se llama carga axial . Una carga en cualquier otro punto de la sección transversal se conoce como carga excéntrica. Una columna corta bajo la acción de una carga axial fallará por compresión directa antes de pandearse, pero una columna larga cargada de la misma manera fallará saltando repentinamente hacia afuera (pandeo) en un modo de flexión. El modo de deflexión por pandeo se considera un modo de falla y generalmente ocurre antes de que los esfuerzos de compresión axial (compresión directa) puedan causar la falla del material por fluencia o fractura de ese miembro comprimido. Sin embargo, las columnas de longitud intermedia fallarán por una combinación de tensión de compresión directa y flexión.

En particular:

• Una columna corta de acero es aquella cuya relación de esbeltez no excede de 50; una columna de acero de longitud intermedia tiene una relación de esbeltez que oscila entre aproximadamente 50 y 200, y su comportamiento está dominado por el límite de resistencia del material, mientras que se puede suponer que una columna de acero larga tiene una relación de esbeltez mayor que 200 y su comportamiento está dominado. por el módulo de elasticidad del material.
• Una columna de hormigón corta es aquella que tiene una relación entre la longitud sin soporte y la menor dimensión de la sección transversal igual o menor que 10. Si la relación es mayor que 10, se considera una columna larga (a veces denominada columna esbelta).
• Las columnas de madera pueden clasificarse como columnas cortas si la relación entre la longitud y la dimensión mínima de la sección transversal es igual o menor que 10. La línea divisoria entre columnas de madera intermedias y largas no se puede evaluar fácilmente. Una forma de definir el límite inferior de columnas largas de madera sería establecerlo como el valor más pequeño de la relación entre la longitud y el área de sección transversal mínima que excedería una cierta constante K del material. Dado que K depende del módulo de elasticidad y del esfuerzo de compresión permisible paralelo a la fibra, se puede ver que este límite arbitrario variará con la especie de la madera. El valor de K se da en la mayoría de los manuales estructurales.

La teoría del comportamiento de las columnas fue investigada en 1757 por el matemático Leonhard Euler . Derivó la fórmula, denominada carga crítica de Euler , que da la carga axial máxima que una columna ideal, larga y delgada puede soportar sin pandearse. Una columna ideal es aquella que es:

• perfectamente recto
• hecho de un material homogéneo
• libre de estrés inicial.

Cuando la carga aplicada alcanza la carga de Euler, a veces llamada carga crítica, la columna llega a un estado de equilibrio inestable . Con esa carga, la introducción de la más mínima fuerza lateral hará que la columna falle "saltando" repentinamente a una nueva configuración, y se dice que la columna se ha pandeado. Esto es lo que sucede cuando una persona se para sobre una lata de aluminio vacía y luego golpea brevemente los lados, provocando que ésta quede aplastada instantáneamente (los lados verticales de la lata pueden entenderse como una serie infinita de columnas extremadamente delgadas). ^{[ cita necesaria ]} La fórmula derivada de Euler para columnas largas y delgadas es

$${\displaystyle F_{c}={\frac {\pi ^{2}EI}{(KL)^{2}}}}$$

dónde

• ${\displaystyle F_{c}}$, fuerza máxima o crítica (carga vertical sobre la columna),
• ${\displaystyle E}$, módulo de elasticidad ,
• ${\displaystyle I}$, momento de inercia del área más pequeña (segundo momento de área) de la sección transversal de la columna,
• ${\displaystyle L}$, longitud de columna sin soporte,
• ${\displaystyle K}$, factor de longitud efectiva de la columna , cuyo valor depende de las condiciones de apoyo terminal de la columna, de la siguiente manera.
  • Para ambos extremos fijados (con bisagras, libres para girar), . ${\displaystyle K=1.0}$
  • Para ambos extremos fijos, . ${\displaystyle K=0.50}$
  • Para un extremo fijo y el otro extremo fijado, . ${\displaystyle K\approx 0.699}$
  • Para un extremo fijo y el otro extremo libre para moverse lateralmente, . ${\displaystyle K=2.0}$
• ${\displaystyle KL}$es la longitud efectiva de la columna.

El examen de esta fórmula revela los siguientes hechos con respecto a la capacidad de carga de columnas esbeltas.

• La elasticidad del material de la columna y no la resistencia a la compresión del material de la columna determina la carga de pandeo de la columna.
• La carga de pandeo es directamente proporcional al segundo momento del área de la sección transversal.
• Las condiciones de contorno tienen un efecto considerable sobre la carga crítica de columnas esbeltas. Las condiciones de contorno determinan el modo de flexión de la columna y la distancia entre los puntos de inflexión en la curva de desplazamiento de la columna deformada. Los puntos de inflexión en la forma de deflexión de la columna son los puntos en los que la curvatura de la columna cambia de signo y también son los puntos en los que los momentos flectores internos de la columna son cero. Cuanto más cerca estén los puntos de inflexión, mayor será la capacidad de carga axial resultante (carga de pandeo) de la columna.

Un modelo de demostración que ilustra los diferentes modos de pandeo "Euler". El modelo muestra cómo las condiciones de contorno afectan la carga crítica de una columna esbelta. Las columnas son idénticas, salvo las condiciones de contorno.

Una conclusión de lo anterior es que la carga de pandeo de una columna se puede aumentar cambiando su material por uno con un módulo de elasticidad (E) más alto, o cambiando el diseño de la sección transversal de la columna para aumentar su momento de inercia. Esto último se puede hacer sin aumentar el peso de la columna distribuyendo el material lo más lejos posible del eje principal de la sección transversal de la columna. Para la mayoría de los propósitos, el uso más eficaz del material de una columna es el de una sección tubular.

Otra idea que se puede extraer de esta ecuación es el efecto de la longitud sobre la carga crítica. Duplicar la longitud sin soporte de la columna equivale a un cuarto de la carga permitida. La restricción ofrecida por las conexiones finales de una columna también afecta su carga crítica. Si las conexiones son perfectamente rígidas (no permiten la rotación de sus extremos), la carga crítica será cuatro veces mayor que para una columna similar donde los extremos están articulados (permitiendo la rotación de sus extremos).

Dado que el radio de giro se define como la raíz cuadrada de la relación entre el momento de inercia de la columna alrededor de un eje y su área de sección transversal, la fórmula de Euler anterior se puede reformatear sustituyendo el radio de giro por : ${\displaystyle Ar^{2}}$ ${\displaystyle I}$

$${\displaystyle \sigma ={\frac {F}{A}}={\frac {\pi ^{2}E}{(l/r)^{2}}}}$$

donde es el esfuerzo que provoca el pandeo en la columna y es la relación de esbeltez. ${\displaystyle \sigma =F/A}$ ${\displaystyle l/r}$

Dado que las columnas estructurales suelen tener una longitud intermedia, la fórmula de Euler tiene poca aplicación práctica para el diseño ordinario. Los problemas que causan una desviación del comportamiento puro de la columna de Euler incluyen imperfecciones en la geometría de la columna en combinación con el comportamiento de plasticidad/tensión-deformación no lineal del material de la columna. En consecuencia, se han desarrollado varias fórmulas empíricas de columnas que concuerdan con los datos de prueba, y todas ellas incorporan la relación de esbeltez. Debido a la incertidumbre en el comportamiento de las columnas, para el diseño se introducen en estas fórmulas factores de seguridad adecuados. Una de esas fórmulas es la fórmula de Perry Robertson, que estima la carga de pandeo crítica basándose en una curvatura inicial pequeña supuesta, por lo tanto, una excentricidad de la carga axial. La fórmula de Rankine Gordon, llamada así en honor a William John Macquorn Rankine y Perry Hugesworth Gordon (1899 – 1966), también se basa en resultados experimentales y sugiere que una columna se pandeará con una carga F _máx dada por:

$${\displaystyle {\frac {1}{F_{\max }}}={\frac {1}{F_{e}}}+{\frac {1}{F_{c}}}}$$

donde es la carga máxima de Euler y es la carga de compresión máxima. Esta fórmula normalmente produce una estimación conservadora de . ${\displaystyle F_{e}}$ ${\displaystyle F_{c}}$ ${\displaystyle F_{\max }}$

Autopandeo

Una columna vertical independiente, con densidad , módulo de Young y área de sección transversal , se pandeará por su propio peso si su altura excede un cierto valor crítico: ^{[3] [4] [5]} ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle A}$

$${\displaystyle h_{\text{crit}}=\left({\frac {9B^{2}}{4}}\,{\frac {EI}{\rho gA}}\right)^{\frac {1}{3}}}$$

donde es la aceleración de la gravedad, es el segundo momento del área de la sección transversal de la viga, y es el primer cero de la función de Bessel de primer tipo −1/3, que es igual a 1.86635086... ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle B}$

Pandeo de placa

Una placa es una estructura tridimensional que se define por tener un ancho de tamaño comparable a su largo, con un espesor muy pequeño en comparación con sus otras dos dimensiones. Al igual que las columnas, las placas delgadas experimentan deformaciones por pandeo fuera del plano cuando se las somete a cargas críticas; sin embargo, a diferencia del pandeo de columnas, las placas sometidas a cargas de pandeo pueden continuar soportando cargas, lo que se denomina pandeo local. Este fenómeno es increíblemente útil en numerosos sistemas, ya que permite diseñar sistemas para proporcionar mayores capacidades de carga.

Para una placa rectangular, apoyada a lo largo de cada borde, cargada con una fuerza de compresión uniforme por unidad de longitud, la ecuación gobernante derivada se puede expresar mediante: ^[6]

$${\displaystyle {\frac {\partial ^{4}w}{\partial x^{4}}}+2{\frac {\partial ^{4}w}{\partial x^{2}\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{4}w}{\partial y^{4}}}={\frac {12\left(1-\nu ^{2}\right)}{Et^{3}}}\left(-N_{x}{\frac {\partial ^{2}w}{\partial x^{2}}}\right)}$$

dónde

• ${\displaystyle w}$, deflexión fuera del plano
• ${\displaystyle N_{x}}$, carga de compresión uniformemente distribuida
• ${\displaystyle \nu }$, El coeficiente de Poisson
• ${\displaystyle E}$, módulo de elasticidad
• ${\displaystyle t}$, espesor

La solución a la deflexión se puede ampliar a dos funciones armónicas que se muestran: ^[6]

$${\displaystyle w=\sum _{m=1}^{\infty }\sum _{n=1}^{\infty }w_{mn}\sin \left({\frac {m\pi x}{a}}\right)\sin \left({\frac {n\pi y}{b}}\right)}$$

dónde

• ${\displaystyle m}$, número de curvaturas de medio seno que ocurren longitudinalmente
• ${\displaystyle n}$, número de curvaturas de medio seno que ocurren a lo ancho
• ${\displaystyle a}$, longitud de la muestra
• ${\displaystyle b}$, ancho de la muestra

La ecuación anterior se puede sustituir en la ecuación diferencial anterior donde es igual a 1. Se puede separar proporcionando la ecuación para la carga de compresión crítica de una placa: ^[6] ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle N_{x}}$

$${\displaystyle N_{x,cr}=k_{cr}{\frac {\pi ^{2}Et^{3}}{12\left(1-\nu ^{2}\right)b^{2}}}}$$

donde el coeficiente de pandeo , viene dado por: ^[6] ${\displaystyle k_{cr}}$

$${\displaystyle k_{cr}=\left({\frac {mb}{a}}+{\frac {a}{mb}}\right)^{2}}$$

El coeficiente de pandeo está influenciado por el aspecto de la muestra, / , y el número de curvaturas longitudinales. Para un número creciente de tales curvaturas, la relación de aspecto produce un coeficiente de pandeo variable; pero cada relación proporciona un valor mínimo para cada una . Este valor mínimo se puede utilizar como una constante, independiente tanto de la relación de aspecto como de . ^[6] ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle {b}}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle m}$

Dado que la tensión se encuentra mediante la carga por unidad de área, se encuentra la siguiente expresión para la tensión crítica:

$${\displaystyle \sigma _{cr}=k_{cr}{\frac {\pi ^{2}E}{12\left(1-\nu ^{2}\right)\left({\frac {b}{t}}\right)^{2}}}}$$

A partir de las ecuaciones derivadas, se pueden ver las estrechas similitudes entre la tensión crítica para una columna y para una placa. A medida que el ancho se reduce, la placa actúa más como una columna ya que aumenta la resistencia al pandeo a lo largo del ancho de la placa. El aumento de permite un aumento del número de ondas sinusoidales producidas por el pandeo a lo largo, pero también aumenta la resistencia del pandeo a lo largo del ancho. ^[6] Esto crea la preferencia de la placa por pandearse de tal manera que iguale el número de curvaturas tanto a lo ancho como a lo largo. Debido a las condiciones de contorno, cuando una placa se carga con una tensión crítica y se pandea, los bordes perpendiculares a la carga no pueden deformarse fuera del plano y, por lo tanto, continuarán soportando las tensiones. Esto crea una carga de compresión no uniforme a lo largo de los extremos, donde las tensiones se imponen en la mitad del ancho efectivo en cada lado de la muestra, dada por lo siguiente: ^[6] ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle a}$

$${\displaystyle {\frac {b_{\text{eff}}}{b}}\approx {\sqrt {{\frac {\sigma _{cr}}{\sigma _{y}}}\left(1-1.022{\sqrt {\frac {\sigma _{cr}}{\sigma _{y}}}}\right)}}}$$

dónde

• ${\displaystyle b_{\text{eff}}}$, ancho efectivo
• ${\displaystyle \sigma _{y}}$, produciendo estrés

A medida que aumenta la tensión cargada, el ancho efectivo continúa reduciéndose; Si las tensiones en los extremos alguna vez alcanzan el límite elástico, la placa fallará. Esto es lo que permite que la estructura pandeada siga soportando cargas. Cuando la carga axial sobre la carga crítica se traza contra el desplazamiento, se muestra la trayectoria fundamental. Demuestra la similitud de la placa con una columna bajo pandeo; sin embargo, más allá de la carga de pandeo, el camino fundamental se bifurca en un camino secundario que se curva hacia arriba, lo que brinda la capacidad de estar sujeto a cargas más altas más allá de la carga crítica.

Pandeo por flexión-torsión

El pandeo por flexión-torsión se puede describir como una combinación de respuesta de flexión y torsión de un miembro en compresión. Este modo de deflexión debe considerarse a efectos de diseño. Esto ocurre principalmente en columnas con secciones transversales "abiertas" y, por lo tanto, tienen una rigidez torsional baja, como canales, tes estructurales, formas de doble ángulo y ángulos simples de lados iguales. Las secciones transversales circulares no experimentan este modo de pandeo.

Pandeo lateral-torsional

Pandeo por torsión lateral de una viga en I con fuerza vertical en el centro: a) vista longitudinal, b) sección transversal cerca del soporte, c) sección transversal en el centro con pandeo por torsión lateral

Cuando una viga simplemente apoyada se carga en flexión , el lado superior está en compresión y el lado inferior está en tensión . Si la viga no está soportada en la dirección lateral (es decir, perpendicular al plano de flexión) y la carga de flexión aumenta hasta un límite crítico, la viga experimentará una deflexión lateral del ala comprimida a medida que se pandea localmente. La deflexión lateral del ala comprimida está restringida por el alma de la viga y el ala traccionada, pero para una sección abierta el modo de torsión es más flexible, por lo tanto la viga se tuerce y se desvía lateralmente en un modo de falla conocido como pandeo lateral-torsional . En secciones de ala ancha (con alta rigidez a la flexión lateral), el modo de deflexión será principalmente torsión. En secciones de ala estrecha, la rigidez a la flexión es menor y la deflexión de la columna será más cercana a la del modo de deflexión lateral.

El uso de secciones cerradas, como secciones huecas cuadradas , mitigará los efectos del pandeo lateral debido a su alta rigidez torsional .

C _b es un factor de modificación utilizado en la ecuación para la resistencia nominal a la flexión al determinar el pandeo lateral-torsional. La razón de este factor es permitir diagramas de momentos no uniformes cuando los extremos de un segmento de viga están arriostrados. El valor conservador para C _b puede tomarse como 1, independientemente de la configuración o carga de la viga, pero en algunos casos puede ser excesivamente conservador. C _b es siempre igual o mayor que 1, nunca menor. Para voladizos o voladizos donde el extremo libre no está arriostrado, C _b es igual a 1. Existen tablas de valores de C _b para vigas simplemente apoyadas.

Si no se proporciona un valor apropiado de C _b en las tablas, se puede obtener mediante la siguiente fórmula:

$${\displaystyle C_{b}={\frac {12.5M_{\max }}{2.5M_{\max }+3M_{A}+4M_{B}+3M_{C}}}}$$

dónde

• ${\displaystyle M_{\max }}$, valor absoluto del momento máximo en el segmento no arriostrado,
• ${\displaystyle M_{A}}$, valor absoluto del momento máximo en el cuarto de punto del segmento no arriostrado,
• ${\displaystyle M_{B}}$, valor absoluto del momento máximo en la línea central del segmento no arriostrado,
• ${\displaystyle M_{C}}$, valor absoluto del momento máximo en el punto tres cuartos del segmento no arriostrado,

El resultado es el mismo para todos los sistemas unitarios.

Pandeo de plástico

La resistencia al pandeo de un miembro es menor que la resistencia al pandeo elástico de una estructura si el material del miembro se esfuerza más allá del rango del material elástico y dentro del rango de comportamiento del material no lineal (plástico). Cuando la carga de compresión está cerca de la carga de pandeo, la estructura se doblará significativamente y el material de la columna se desviará de un comportamiento lineal de tensión-deformación. El comportamiento tensión-deformación de los materiales no es estrictamente lineal incluso por debajo del límite elástico, por lo tanto, el módulo de elasticidad disminuye a medida que aumenta la tensión, y significativamente a medida que las tensiones se acercan al límite elástico del material. Esta rigidez reducida del material reduce la resistencia al pandeo de la estructura y da como resultado una carga de pandeo menor que la predicha por el supuesto de comportamiento elástico lineal.

Se puede obtener una aproximación más precisa de la carga de pandeo mediante el uso del módulo de elasticidad tangente, E _t , que es menor que el módulo de elasticidad, en lugar del módulo de elasticidad elástico. La tangente es igual al módulo de elasticidad y luego disminuye más allá del límite proporcional. El módulo tangente es una línea trazada tangente a la curva tensión-deformación en un valor particular de deformación (en la sección elástica de la curva tensión-deformación, el módulo tangente es igual al módulo elástico). Los gráficos del módulo de elasticidad tangente para una variedad de materiales están disponibles en referencias estándar.

Herida

Las secciones que están formadas por placas con bridas, como un canal, aún pueden soportar cargas en las esquinas después de que las bridas se hayan pandeado localmente. Paralizante es el fracaso de la sección completa. ^[1]

tensión diagonal

Debido a los revestimientos finos que se utilizan normalmente en aplicaciones aeroespaciales, los revestimientos pueden pandearse con niveles de carga bajos. Sin embargo, una vez pandeados, en lugar de poder transmitir fuerzas de corte, todavía pueden soportar cargas a través de tensiones de tensión diagonal (DT) en el alma. Esto da como resultado un comportamiento no lineal en el comportamiento de carga de estos detalles. La relación entre la carga real y la carga a la que se produce el pandeo se conoce como relación de pandeo de una lámina. ^[1] Las relaciones de pandeo elevadas pueden provocar un arrugamiento excesivo de las láminas, que luego pueden fallar debido a la fluencia de las arrugas. Aunque pueden pandearse, las láminas delgadas están diseñadas para no deformarse permanentemente y volver a un estado desabrochado cuando se retira la carga aplicada. El pandeo repetido puede provocar fallas por fatiga .

Las láminas sometidas a tensión diagonal están soportadas por refuerzos que, como resultado del pandeo de la lámina, soportan una carga distribuida a lo largo de su longitud y, a su vez, pueden provocar que estos miembros estructurales fallen bajo el pandeo.

Las placas más gruesas pueden formar sólo parcialmente un campo de tensión diagonal y pueden continuar soportando parte de la carga a través del corte. Esto se conoce como tensión diagonal incompleta (IDT). Este comportamiento fue estudiado por Wagner y estas vigas a veces se conocen como vigas de Wagner. ^[1]

La tensión diagonal también puede dar como resultado una fuerza de tracción sobre cualquier elemento de sujeción, como los remaches, que se utilizan para sujetar la red a los miembros de soporte. Los sujetadores y las láminas deben diseñarse para resistir el desprendimiento de sus soportes.

Pandeo dinámico

Si una columna se carga repentinamente y luego se libera, la columna puede soportar una carga mucho mayor que su carga de pandeo estática (aplicada lentamente). Esto puede suceder en una columna larga y sin soporte que se utiliza como martillo. La duración de la compresión en el extremo del impacto es el tiempo necesario para que una onda de tensión viaje a lo largo de la columna hasta el otro extremo (libre) y regrese hacia abajo como una onda de alivio. El pandeo máximo ocurre cerca del extremo del impacto a una longitud de onda mucho más corta que la longitud de la varilla y a una tensión muchas veces mayor que la tensión de pandeo de una columna cargada estáticamente. La condición crítica para que la amplitud de pandeo permanezca menor que aproximadamente 25 veces la imperfección de rectitud efectiva de la varilla en la longitud de onda de pandeo es

$${\displaystyle \sigma L=\rho c^{2}h}$$

donde es el esfuerzo de impacto, es la longitud de la varilla, es la velocidad de la onda elástica y es la dimensión lateral más pequeña de una varilla rectangular. Debido a que la longitud de onda de la hebilla depende sólo de y , esta misma fórmula es válida para capas cilíndricas delgadas de espesor . ^[7] ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle h}$

Teoría

Método energético

A menudo es muy difícil determinar la carga de pandeo exacta en estructuras complejas utilizando la fórmula de Euler, debido a la dificultad para determinar la constante K. Por lo tanto, la carga de pandeo máxima a menudo se aproxima mediante la conservación de energía y se denomina método de energía en el análisis estructural. .

El primer paso en este método es asumir un modo de desplazamiento y una función que represente ese desplazamiento. Esta función debe satisfacer las condiciones de contorno más importantes, como el desplazamiento y la rotación. Cuanto más precisa sea la función de desplazamiento, más preciso será el resultado.

El método supone que el sistema (la columna) es un sistema conservador en el que la energía no se disipa en forma de calor, por lo tanto, la energía agregada a la columna por las fuerzas externas aplicadas se almacena en la columna en forma de energía de deformación.

$${\displaystyle U_{\text{applied}}=U_{\text{strain}}}$$

En este método, se utilizan dos ecuaciones (para deformaciones pequeñas) para aproximar la energía de "deformación" (la energía potencial almacenada como deformación elástica de la estructura) y la energía "aplicada" (el trabajo realizado sobre el sistema por fuerzas externas).

$${\displaystyle {\begin{aligned}U_{\text{strain}}&={\frac {E}{2}}\int I(x)(w_{xx}(x))^{2}\,\mathrm {d} x\\U_{\text{applied}}&={\frac {P_{\text{crit}}}{2}}\int (w_{x}(x))^{2}\,\mathrm {d} x\end{aligned}}}$$

donde está la función de desplazamiento y los subíndices y se refieren a la primera y segunda derivada del desplazamiento. ${\displaystyle w(x)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle xx}$

Modelos de un solo grado de libertad

Utilizando el concepto de energía potencial total , es posible identificar cuatro formas fundamentales de pandeo que se encuentran en modelos estructurales con un grado de libertad. Empezamos expresando ${\displaystyle V}$

$${\displaystyle V=U-P\Delta }$$

conservadora^[8] ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle \Delta }$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V}$

Estas cuatro formas de pandeo elástico son la bifurcación o punto límite del nodo silla ; la bifurcación supercrítica o simétrica estable ; la bifurcación subcrítica o inestable-simétrica ; y la bifurcación transcrítica o asimétrica . Todos estos ejemplos, excepto el primero, son una forma de bifurcación en forma de horquilla . En las siguientes figuras se muestran modelos simples para cada uno de estos tipos de comportamiento de pandeo, junto con los diagramas de bifurcación asociados.

Ejemplos de ingeniería

ruedas de bicicleta

Una rueda de bicicleta convencional consiste en una llanta delgada sometida a una alta tensión de compresión mediante la tracción (más o menos normal) hacia adentro de una gran cantidad de radios. Se puede considerar como una columna cargada que se ha doblado formando un círculo. Si la tensión de los radios aumenta más allá de un nivel seguro o si parte de la llanta está sujeta a una cierta fuerza lateral, la rueda falla espontáneamente y adopta una forma característica de silla de montar (a veces llamada "taco" o " pringle ") como un tridimensional. Columna de Euler. Si se trata de una deformación puramente elástica, la llanta recuperará su forma plana adecuada si se reduce la tensión de los radios o se aplica una fuerza lateral en la dirección opuesta.

Carreteras

El pandeo es un modo de falla en los materiales de pavimento , principalmente en el concreto, ya que el asfalto es más flexible. El calor radiante del sol es absorbido por la superficie de la carretera, lo que hace que se expanda , lo que obliga a las piezas adyacentes a empujarse entre sí. Si la tensión es suficiente, el pavimento puede levantarse y agrietarse sin previo aviso. Atravesar una sección con curvas puede resultar discordante para los conductores de automóviles , ya que se describe como pasar sobre un badén a velocidades de autopista.

Vías del tren

Las vías del ferrocarril en los Países Bajos se ven afectadas por el sol

De manera similar, las vías del tren también se expanden cuando se calientan y pueden fallar por pandeo, un fenómeno llamado Sun Kink . Es más común que los rieles se muevan lateralmente, a menudo arrastrando los tirantes subyacentes (traviesas).

Se consideró que estos accidentes estaban relacionados con el sol ( más información disponible en Lista de accidentes ferroviarios (2000-2009) ):

• 18 de abril de 2002 Descarrilamiento del Amtrak Auto-Train , fuera de las vías de CSX , cerca de Crescent City, Florida .
• 29 de julio de 2002 Descarrilamiento de Amtrak Capitol Limited , fuera de las vías de CSX , cerca de Kensington, Maryland .
• 8 de julio de 2010 Descarrilamiento del tren CSX en Waxhaw, Carolina del Norte .
• 6 de julio de 2012 Descarrilamiento del tren WMATA Metrorail cerca de la estación West Hyattsville , Maryland . ^[9]

Tuberías y recipientes a presión.

Las tuberías y recipientes a presión sujetos a sobrepresión externa, provocada, por ejemplo, por el enfriamiento del vapor dentro de la tubería y su condensación en agua con la posterior caída masiva de presión, corren el riesgo de pandeo debido a las tensiones circulares de compresión . Las reglas de diseño para el cálculo del espesor de pared requerido o de los anillos de refuerzo se dan en varios códigos de tuberías y recipientes a presión.

Vehículos aeroespaciales super e hipersónicos

El calentamiento aerotérmico puede provocar el pandeo de los paneles de superficie de vehículos aeroespaciales supersónicos e hipersónicos, como aviones de alta velocidad, cohetes y vehículos de reentrada. ^[10] Si el pandeo es causado por cargas aerotérmicas, la situación puede complicarse aún más por una mayor transferencia de calor en áreas donde la estructura se deforma hacia el campo de flujo. ^[11]

Ver también

• Carga crítica de Euler  : fórmula para cuantificar el pandeo de columnas bajo una carga determinada
• Pandeo geométrico y de materiales  : la absorción y transmisión de neutrones por los materiales de los reactores nucleares.
• Fórmula de Perry-Robertson
• Tensado de carriles
• Rigidez  : método para aumentar la rigidez y la integridad estructural de materiales u objetos.Pages displaying wikidata descriptions as a fallback
• Método de la madera  – método en análisis estructuralPages displaying wikidata descriptions as a fallback
• Pandeo Yoshimura  : patrón de pandeo utilizado en ingeniería mecánica.

Referencias

1. Bruhn, EF (1973). Análisis y Diseño de Estructuras de Vehículos de Vuelo . Indianápolis: Jacobs.
2. Elishakoff, I. Li YW. y Starnes, JH Jr., Problemas no clásicos en la teoría de la estabilidad elástica, Cambridge University Press, 2001, XVI +pp.336; ISBN 0-521-78210-4 
3. Kato, K. (1915). "Investigación Matemática sobre los Problemas Mecánicos de la Línea de Transmisión". Revista de la Sociedad Japonesa de Ingenieros Mecánicos . 19 : 41.
4. Ratzersdorfer, Julio (1936). Die Knickfestigkeit von Stäben und Stabwerken [ La resistencia al pandeo de miembros y marcos ] (en alemán). Vino, Austria: J. Springer. págs. 107-109. ISBN 978-3-662-24075-5.
5. Cox, Steven J.; C. Maeve McCarthy (1998). "La forma de la columna más alta". Revista SIAM de Análisis Matemático . 29 (3): 547–554. doi :10.1137/s0036141097314537.
6. Bulson, PS (1970). Teoría de las Placas Planas . Chatto y Windus, Londres.
7. Lindberg, ÉL; Florencia, AL (1987). Pandeo dinámico por impulsos . Editores Martinus Nijhoff . págs. 11–56, 297–298.
8. Thompson, JMT; Cazar, GW (1973). Una teoría general de la estabilidad elástica . Londres: John Wiley. ISBN 9780471859918.
9. Lucero, Kat (7 de julio de 2012). "Vía desalineada por el calor 'causa probable' en el descarrilamiento de la Línea Verde". DCista . Radio de la Universidad Americana. Archivado desde el original el 4 de febrero de 2018 . Consultado el 21 de enero de 2019 .
10. Spottswood, S. Michael; Beberniss, Timothy J.; Eason, Thomas G.; Pérez, Ricardo A.; Donbar, Jeffrey M.; Ehrhardt, David A.; Riley, Zachary B. (marzo de 2019). "Explorando la respuesta de un panel delgado y flexible a las interacciones de la capa límite turbulentas y de choque". Revista de Sonido y Vibración . 443 : 74–89. Código Bib : 2019JSV...443...74S. doi : 10.1016/j.jsv.2018.11.035 . S2CID  125479249.
11. Embadurnamiento, Dennis; Esser, Burkard; Gülhan, Ali (abril de 2020). "Experimentos sobre la interacción estructura-fluido hipersónico de alta temperatura con deformación plástica". Revista AIAA . 58 (4): 1423-1431. Código Bib : 2020AIAAJ..58.1423D. doi : 10.2514/1.J059150 .

Otras lecturas

• Timoshenko, SP ; Gere, JM (1961). Teoría de la estabilidad elástica (2ª ed.). McGraw-Hill.
• Nenezich, M. (2004). "Mecánica del continuo termoplástico". Revista de estructuras aeroespaciales . 4 .
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enlaces externos

• La teoría completa y los resultados experimentales de ejemplo para columnas largas están disponibles como documento PDF de 39 páginas en http://lindberglce.com/tech/buklbook.htm