Fórmula parabólica de Johnson

Fórmula para cuantificar el pandeo de una columna bajo una carga determinada

Gráfica de la parábola de Johnson (en rojo) frente a la fórmula de Euler, con el punto de transición indicado. El área por encima de la curva indica el fallo. La parábola de Johnson crea una nueva región de fallo.

En ingeniería estructural , la fórmula parabólica de Johnson es una ecuación basada empíricamente para calcular la tensión crítica de pandeo de una columna . La fórmula se basa en resultados experimentales de J. B. Johnson de alrededor de 1900 como una alternativa a la fórmula de carga crítica de Euler en condiciones de baja relación de esbeltez (la relación entre el radio de giro y la longitud efectiva). La ecuación interpola entre la tensión de fluencia del material y la tensión crítica de pandeo dada por la fórmula de Euler que relaciona la relación de esbeltez con la tensión necesaria para pandear una columna.

El pandeo se refiere a un modo de falla en el que la estructura pierde estabilidad. Es causado por una falta de rigidez estructural. ^[1] Colocar una carga sobre una barra larga y delgada puede causar una falla por pandeo antes de que la muestra pueda fallar por compresión. ^[2]

Parábola de Johnson

La fórmula de Euler para el pandeo de una columna esbelta proporciona el nivel de tensión crítica que provoca el pandeo, pero no considera los modos de falla del material, como la fluencia, que se ha demostrado que reduce la tensión crítica de pandeo. La fórmula de Johnson interpola entre la tensión de fluencia del material de la columna y la tensión crítica dada por la fórmula de Euler. Crea un nuevo borde de falla ajustando una parábola al gráfico de falla para el pandeo de Euler utilizando

${\displaystyle \sigma _{cr}=\sigma _{y}-{1 \over E}{\left({\frac {\sigma _{y}}{2\pi }}\right)}^{2}{\left({\frac {l}{k}}\right)}^{2}}$

En la gráfica de la curva de Euler hay un punto de transición que se encuentra en la razón de esbeltez crítica. En valores de esbeltez inferiores a este punto (que se dan en muestras con una longitud relativamente corta en comparación con su sección transversal), la gráfica seguirá la parábola de Johnson; por el contrario, valores de esbeltez mayores se alinearán más estrechamente con la ecuación de Euler.

La fórmula de Euler es

${\displaystyle \sigma _{cr}={P_{cr} \over A}={\pi ^{2}EI \over AL_{e}^{2}}={\pi ^{2}E \over \left({\frac {l}{k}}\right)^{2}}}$

dónde

${\displaystyle \sigma _{cr}=}$estrés crítico,

${\displaystyle P_{cr}=}$fuerza crítica,

${\displaystyle A=}$área de sección transversal,

${\displaystyle L_{e}=}$Longitud efectiva de la varilla,

${\displaystyle E=}$módulo de elasticidad,

${\displaystyle I=}$momento de inercia del área de la sección transversal de la varilla,

${\displaystyle {l \over k}}$= relación de esbeltez.

La ecuación de Euler es útil en situaciones como una columna ideal de elementos fijos, o en casos en los que la longitud efectiva se puede utilizar para ajustar la fórmula existente (es decir, Fijo-Libre). ^[3]

(L es la longitud original de la muestra antes de aplicar la fuerza).

Sin embargo, la fórmula de Euler no representa con precisión ciertas geometrías. Una de las variables de la ecuación anterior que refleja la geometría de la muestra es el coeficiente de esbeltez, que es la longitud de la columna dividida por el radio de giro. ^[4]

La relación de esbeltez es un indicador de la resistencia de la muestra a la flexión y al pandeo, debido a su longitud y sección transversal. Si la relación de esbeltez es menor que la relación de esbeltez crítica, la columna se considera una columna corta. En estos casos, la parábola de Johnson es más aplicable que la fórmula de Euler. ^[5] La relación de esbeltez del miembro se puede encontrar con ${\displaystyle \left({\frac {l}{k}}\right)=L_{e}{\sqrt {A \over I}}}$

La relación crítica de esbeltez es

${\displaystyle \left({\frac {l}{k}}\right)_{cr}={\sqrt {2\pi ^{2}E \over \sigma _{y}}}}$

Ejemplo

Gráfico de las fórmulas de Euler y Johnson para Al 2024. El punto de transición se produce en la relación de esbeltez crítica.

Un material común en aplicaciones aeroespaciales es el aluminio 2024. Se han determinado experimentalmente ciertas propiedades del material de aluminio 2024, como la resistencia a la tracción (324 MPa) y el módulo de elasticidad (73,1 GPa). ^[6] La fórmula de Euler podría utilizarse para trazar una curva de fallo, pero no sería precisa por debajo de un valor determinado, la relación de esbeltez crítica. ${\displaystyle {\frac {l}{k}}}$

${\displaystyle {\left({\frac {l}{k}}\right)}_{cr}={\sqrt {2\pi ^{2}E \over \sigma _{y}}}={\sqrt {\frac {2\pi ^{2}\times 73.1\times 10^{9}}{324\times 10^{6}}}}=66.7}$

Por lo tanto, la ecuación de Euler es aplicable para valores mayores que 66,7. ${\displaystyle {\frac {l}{k}}}$

Euler: para ${\displaystyle \sigma _{cr}={\pi ^{2}E \over \left({\frac {l}{k}}\right)^{2}}={\pi ^{2}\times 73.1\times 10^{9} \over \left({\frac {l}{k}}\right)^{2}}}$ ${\displaystyle {\frac {l}{k}}>66.7}$

(unidades en pascales)

La parábola de Johnson se encarga de los valores más pequeños. ${\displaystyle {\frac {l}{k}}}$

Johnson: para ${\displaystyle \sigma _{cr}=\sigma _{y}-{1 \over E}{\left({\frac {\sigma _{y}}{2\pi }}\right)}^{2}{\left({\frac {l}{k}}\right)}^{2}=324\times 10^{6}-{1 \over 73.1\times 10^{9}}{\left({\frac {324\times 10^{6}}{2\pi }}\right)}^{2}{\left({\frac {l}{k}}\right)}^{2}}$ ${\displaystyle 0\leq {\frac {l}{k}}\leq 66.7}$

(unidades en pascales)

Referencias

1. Rice University (2009). "Análisis de pandeo". Recuperado de https://www.clear.rice.edu/mech403/HelpFiles/FEA_Buckling_analysis.pdf
2. Dornfeld, W (27 de octubre de 2016. "Diseño de máquinas". Universidad de Fairfield . Recuperado de http://www.faculty.fairfield.edu/wdornfeld/ME311/ME311MachineDesignNotes07.pdf
3. MechaniCalc (2016). "Pandeo de columnas". Recuperado de https://mechanicalc.com/reference/column-buckling
4. Bello, D (2016). "Buckling". Allan Hancock College . Recuperado de http://www.ah-engr.com/som/10_buckling/text_10-1.htm
5. Engineers Edge (2016). "Cálculo y ecuación del pandeo ideal de columnas articuladas". Recuperado de http://www.engineersedge.com/column_buckling/column_ideal.htm
6. CRP Meccanica. "Aluminio 2024-T4". Recuperado de http://www.crpmeccanica.com/PDF/aluminium-2024-t4-2024-t351.pdf