Carga crítica de Euler

Fórmula para cuantificar el pandeo de una columna bajo una carga determinada

Fig. 1: Relación de tensión crítica vs esbeltez del acero, para E = 200  GPa, límite elástico = 240  MPa .

La carga crítica de Euler o carga de pandeo de Euler es la carga de compresión a la que una columna esbelta se doblará o pandeará repentinamente . Se expresa mediante la fórmula: ^[1]

$${\displaystyle P_{cr}={\frac {\pi ^{2}EI}{(KL)^{2}}}}$$

dónde

• ${\displaystyle P_{cr}}$, Carga crítica de Euler (carga de compresión longitudinal en la columna),
• ${\displaystyle E}$, Módulo de Young del material de la columna,
• ${\displaystyle I}$, segundo momento del área de la sección transversal de la columna (momento de inercia del área),
• ${\displaystyle L}$, longitud de columna sin soporte,
• ${\displaystyle K}$, factor de longitud efectiva de la columna

Esta fórmula fue derivada en 1744 por el matemático suizo Leonhard Euler . ^[2] La columna permanecerá recta para cargas menores que la carga crítica. La carga crítica es la carga más grande que no causará deflexión lateral (pandeo). Para cargas mayores que la carga crítica, la columna se desviará lateralmente. La carga crítica pone a la columna en un estado de equilibrio inestable . Una carga más allá de la carga crítica hace que la columna falle por pandeo . A medida que la carga aumenta más allá de la carga crítica, las deflexiones laterales aumentan, hasta que puede fallar en otros modos, como la fluencia del material. La carga de columnas más allá de la carga crítica no se aborda en este artículo.

Alrededor de 1900, J. B. Johnson demostró que para relaciones de esbeltez bajas se debería utilizar una fórmula alternativa .

Supuestos del modelo

Fig. 2: Factores de longitud efectiva de la columna para la carga crítica de Euler. En el diseño práctico, se recomienda aumentar los factores como se muestra arriba.

Al derivar la fórmula de Euler se hacen las siguientes suposiciones: ^[3]

1. El material de la columna es homogéneo e isótropo .
2. La carga de compresión sobre la columna es únicamente axial.
3. La columna está libre de tensión inicial .
4. Se desprecia el peso de la columna.
5. La columna es inicialmente recta (sin excentricidad de la carga axial).
6. Las uniones mediante pasadores no tienen fricción (no hay restricción de momento) y los extremos fijos son rígidos (no hay desviación por rotación).
7. La sección transversal de la columna es uniforme en toda su longitud.
8. La tensión directa es muy pequeña en comparación con la tensión de flexión (el material se comprime sólo dentro del rango elástico de deformaciones).
9. La longitud de la columna es muy grande en comparación con las dimensiones de la sección transversal de la columna.
10. La columna falla únicamente por pandeo. Esto es así si la tensión de compresión en la columna no supera la resistencia a la fluencia (véase la figura 1): donde: ${\displaystyle \sigma _{y}}$ $${\displaystyle \sigma ={\frac {P_{cr}}{A}}={\frac {\pi ^{2}E}{(L_{e}/r)^{2}}}<\sigma _{y}}$$
    • ${\textstyle {L_{e}}/{r}}$es la relación de esbeltez,
    • ${\displaystyle L_{e}=KL}$es la longitud efectiva,
    • ${\textstyle r={\sqrt {I/A}}}$es el radio de giro ,
    • ${\displaystyle I}$es el segundo momento del área (momento de inercia del área),
    • ${\displaystyle A}$es el área de la sección transversal.

En el caso de columnas esbeltas, la tensión crítica de pandeo suele ser inferior a la tensión de fluencia. Por el contrario, una columna robusta puede tener una tensión crítica de pandeo superior a la tensión de fluencia, es decir, cede antes de pandearse.

Derivación matemática

Columna con final de pin

El siguiente modelo se aplica a columnas simplemente apoyadas en cada extremo ( ). ${\displaystyle K=1}$

En primer lugar, prestaremos atención al hecho de que no hay reacciones en los extremos articulados, por lo que tampoco tenemos fuerza de corte en ninguna sección transversal de la columna. La razón de que no haya reacciones se puede obtener de la simetría (por lo que las reacciones deberían ser en la misma dirección) y del equilibrio de momentos (por lo que las reacciones deberían ser en direcciones opuestas).

Utilizando el diagrama de cuerpo libre en el lado derecho de la figura 3, y haciendo una suma de momentos respecto al punto x : donde w es la deflexión lateral. $${\displaystyle \Sigma M=0\Rightarrow M(x)+Pw=0}$$

Según la teoría de vigas de Euler-Bernoulli , la deflexión de una viga está relacionada con su momento flector mediante: $${\displaystyle M=-EI{\frac {d^{2}w}{dx^{2}}}.}$$

Fig. 3: Columna con extremos de pasador bajo el efecto de la carga de pandeo

entonces: $${\displaystyle EI{\frac {d^{2}w}{dx^{2}}}+Pw=0}$$

Sea , entonces: ${\displaystyle \lambda ^{2}={\frac {P}{EI}}}$ $${\displaystyle {\frac {d^{2}w}{dx^{2}}}+\lambda ^{2}w=0}$$

Obtenemos una ecuación diferencial ordinaria clásica homogénea de segundo orden .

Las soluciones generales de esta ecuación son: , donde y son constantes que deben determinarse mediante las condiciones de contorno , que son: ${\displaystyle w(x)=A\cos(\lambda x)+B\sin(\lambda x)}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$

• Extremo izquierdo fijado: ${\displaystyle w(0)=0\rightarrow A=0}$
• Extremo derecho fijado: ${\displaystyle w(\ell )=0\rightarrow B\sin(\lambda \ell )=0}$

Fig. 4: Primeros tres modos de cargas de pandeo

Si no existe momento flector y obtenemos la solución trivial de . ${\displaystyle B=0}$ ${\displaystyle w(x)=0}$

Sin embargo, de la otra solución obtenemos , por ejemplo ${\displaystyle \sin(\lambda \ell )=0}$ ${\displaystyle \lambda _{n}\ell =n\pi }$ ${\displaystyle n=0,1,2,\ldots }$

Junto con lo definido anteriormente, las diversas cargas críticas son: y dependiendo del valor de , se producen diferentes modos de pandeo ^[4] como se muestra en la figura 4. La carga y el modo para n = 0 es el modo no pandeado. ${\displaystyle \lambda ^{2}={\frac {P}{EI}}}$ $${\displaystyle P_{n}={\frac {n^{2}\pi ^{2}EI}{\ell ^{2}}}\;,\quad {\text{ for }}n=0,1,2,\ldots }$$ ${\displaystyle n}$

En teoría, es posible cualquier modo de pandeo, pero en el caso de una carga aplicada lentamente solo es probable que se produzca la primera forma modal.

Por lo tanto, la carga crítica de Euler para una columna con extremos articulados es: y la forma obtenida de la columna pandeada en el primer modo es: $${\displaystyle P_{cr}={\frac {\pi ^{2}EI}{\ell ^{2}}}}$$ $${\displaystyle w(x)=B\sin \left({\pi \over \ell }x\right).}$$

Enfoque general

Fig. 5: Fuerzas y momentos que actúan sobre una columna.

La ecuación diferencial del eje de una viga ^[5] es: $${\displaystyle {\frac {d^{4}w}{dx^{4}}}+{\frac {P}{EI}}{\frac {d^{2}w}{dx^{2}}}={\frac {q}{EI}}}$$

Para una columna con solo carga axial, la carga lateral se desvanece y sustituyendo , obtenemos: ${\displaystyle q(x)}$ ${\displaystyle \lambda ^{2}={\frac {P}{EI}}}$ $${\displaystyle {\frac {d^{4}w}{dx^{4}}}+\lambda ^{2}{\frac {d^{2}w}{dx^{2}}}=0}$$

Esta es una ecuación diferencial homogénea de cuarto orden y su solución general es $${\displaystyle w(x)=A\sin(\lambda x)+B\cos(\lambda x)+Cx+D}$$

Las cuatro constantes están determinadas por las condiciones de contorno (restricciones finales) de , en cada extremo. Hay tres casos: ${\displaystyle A,B,C,D}$ ${\displaystyle w(x)}$

1. Extremo fijado:

   ${\displaystyle w=0}$y ${\displaystyle M=0\rightarrow {d^{2}w \over dx^{2}}=0}$

2. Extremo fijo:

   ${\displaystyle w=0}$y ${\displaystyle {dw \over dx}=0}$

3. Extremo libre:

   ${\displaystyle M=0\rightarrow {d^{2}w \over dx^{2}}=0}$y ${\displaystyle V=0\rightarrow {d^{3}w \over dx^{3}}+\lambda ^{2}{dw \over dx}=0}$

Para cada combinación de estas condiciones de contorno se obtiene un problema de valores propios . Resolviéndolos se obtienen los valores de la carga crítica de Euler para cada uno de los casos presentados en la Figura 2.

Véase también

• Pandeo
• Momento flector
• Doblado
• Teoría de vigas de Euler-Bernoulli

Referencias

1. "Pandeo de columnas | MechaniCalc". mechanicalc.com . Consultado el 27 de diciembre de 2020 .
2. Euler, Leonardo (1744). Methodus inveniendi lineas curvas maximi minimive proprietate gaudentes sive solutio problematis isoperimetrici latissimo sensu Accepti [ Un método para encontrar líneas curvas que disfruten de la propiedad máximo-mínimo, o la solución del problema isoperimétrico en el sentido más amplio ] (en latín). Ginebra, Suiza: Marc Michel Bousquet et Cie. págs. 267–268. De las págs. 267-268: "37. Quae ante de specie prima sunt annotata inservire possunt viribus columnarum dijudicandis. […] contra vero si pondus P fuerit majus, columna incurvationi resistere non poterit". (37. Las cosas que se han señalado antes sobre el primer tipo pueden servir para juzgar la resistencia de las columnas. Así pues, coloquemos la columna AB verticalmente sobre la base A, soportando la carga P. Porque si la columna ya está dispuesta de tal manera que no pueda deslizarse [lejos] de la carga P, [entonces] si [la carga] hubiera sido demasiado grande, no habrá nada más que temer excepto la flexión de la columna; en este caso, por lo tanto, La columna puede considerarse como dotada de elasticidad. Por lo tanto, sea la elasticidad absoluta de la columna = E kk , y su altura AB = 2 f = a ; y [en] §25 arriba [p. 261] hemos visto que la elasticidad requerida fuerza de flexión sobre esta columna o la mínima [carga que se requiere para doblar esta columna] = ππ E kk /4 ff = ππ E kk / aa . Por lo tanto, a menos que la carga P que se transporta sea mayor que E kk / aa , absolutamente ninguna La flexión tendrá que ser temido; pero por otro lado, si la carga P hubiera sido mayor, la columna no podrá resistir la flexión.)
3. "Doce preguntas de Viva sobre columnas y puntales". Tutoriales de ingeniería . 2015-03-28 . Consultado el 2020-12-27 .
4. "Pandeo de columnas" (PDF) . Archivado desde el original (PDF) el 28 de mayo de 2015.
5. Timoshenko, SP y Gere, JM (1961). Teoría de la estabilidad elástica (2.ª ed.). McGraw-Hill.