Bifurcación del nodo en silla de montar

En el área matemática de la teoría de bifurcaciones , una bifurcación de nodo-silla , bifurcación tangencial o bifurcación de pliegue es una bifurcación local en la que dos puntos fijos (o equilibrios ) de un sistema dinámico chocan y se aniquilan entre sí. El término 'bifurcación de nodo-silla' se utiliza con mayor frecuencia en referencia a sistemas dinámicos continuos. En sistemas dinámicos discretos, la misma bifurcación a menudo se denomina bifurcación de pliegue . Otro nombre es bifurcación de cielo azul en referencia a la creación repentina de dos puntos fijos. ^[1]

Si el espacio de fases es unidimensional, uno de los puntos de equilibrio es inestable (la silla), mientras que el otro es estable (el nodo).

Las bifurcaciones de nodos en silla de montar pueden estar asociadas con bucles de histéresis y catástrofes .

Forma normal

Un ejemplo típico de una ecuación diferencial con una bifurcación en un nodo de silla es:

${\displaystyle {\frac {dx}{dt}}=r+x^{2}.}$

Aquí está la variable de estado y es el parámetro de bifurcación. ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle r}$

• Si hay dos puntos de equilibrio, un punto de equilibrio estable en y uno inestable en . ${\displaystyle r<0}$ ${\displaystyle -{\sqrt {-r}}}$ ${\displaystyle +{\sqrt {-r}}}$
• En el punto de bifurcación hay exactamente un punto de equilibrio. En este punto, el punto fijo ya no es hiperbólico . En este caso, el punto fijo se denomina punto fijo de nodo de silla. ${\displaystyle r=0}$
• Si no hay puntos de equilibrio. ^[2] ${\displaystyle r>0}$

Bifurcación del nodo en silla de montar

De hecho, se trata de una forma normal de una bifurcación de nodo de silla de montar. Una ecuación diferencial escalar que tiene un punto fijo en para con es localmente topológicamente equivalente a , siempre que satisfaga y . La primera condición es la condición de no degeneración y la segunda condición es la condición de transversalidad. ^[3] ${\displaystyle {\tfrac {dx}{dt}}=f(r,x)}$ ${\displaystyle x=0}$ ${\displaystyle r=0}$ ${\displaystyle {\tfrac {\partial f}{\partial x}}(0,0)=0}$ ${\displaystyle {\frac {dx}{dt}}=r\pm x^{2}}$ ${\displaystyle {\tfrac {\partial ^{2}\!f}{\partial x^{2}}}(0,0)\neq 0}$ ${\displaystyle {\tfrac {\partial f}{\partial r}}(0,0)\neq 0}$

Ejemplo en dos dimensiones

Retrato de fase que muestra la bifurcación del nodo en silla de montar

Un ejemplo de bifurcación de nodo de silla en dos dimensiones ocurre en el sistema dinámico bidimensional:

${\displaystyle {\frac {dx}{dt}}=\alpha -x^{2}}$

${\displaystyle {\frac {dy}{dt}}=-y.}$

Como se puede ver en la animación obtenida al trazar retratos de fase variando el parámetro , ${\displaystyle \alpha }$

• Cuando es negativo no hay puntos de equilibrio. ${\displaystyle \alpha }$
• Cuando , hay un punto de nodo de silla. ${\displaystyle \alpha =0}$
• Cuando es positivo, hay dos puntos de equilibrio: es decir, un punto de silla y un nodo (ya sea un atractor o un repelente). ${\displaystyle \alpha }$

Otros ejemplos se encuentran en el modelado de interruptores biológicos. ^[4] Recientemente, se ha demostrado que, en determinadas condiciones, las ecuaciones de campo de Einstein de la Relatividad General tienen la misma forma que una bifurcación de pliegue. ^[5] También se ha estudiado una versión no autónoma de la bifurcación de nodo de silla (es decir, el parámetro depende del tiempo). ^[6]

Véase también

• Bifurcación en forma de horca
• Bifurcación transcrítica
• Bifurcación de Hopf
• Punto de silla de montar

Notas

1. Strogatz 1994, pág. 47.
2. Kuznetsov 1998, págs. 80-81.
3. Kuznetsov 1998, Teoremas 3.1 y 3.2.
4. Chong, Ket Hing; Samarasinghe, Sandhya; Kulasiri, Don; Zheng, Jie (2015). Técnicas computacionales en el modelado matemático de interruptores biológicos . 21.º Congreso Internacional sobre Modelado y Simulación. hdl :10220/42793.
5. Kohli, Ikjyot Singh; Haslam, Michael C (2018). "Las ecuaciones de campo de Einstein como una bifurcación de pliegue". Revista de geometría y física . 123 : 434–7. arXiv : 1607.05300 . Código Bibliográfico :2018JGP...123..434K. doi :10.1016/j.geomphys.2017.10.001. S2CID  119196982.
6. Li, Jeremiah H.; Ye, Felix X. -F.; Qian, Hong; Huang, Sui (1 de agosto de 2019). "Bifurcación silla-nodo dependiente del tiempo: tiempo de ruptura y punto de no retorno en un modelo no autónomo de transiciones críticas". Physica D: Nonlinear Phenomena . 395 : 7–14. arXiv : 1611.09542 . Bibcode :2019PhyD..395....7L. doi :10.1016/j.physd.2019.02.005. ISSN  0167-2789. PMC 6836434 . PMID  31700198. 

Referencias

• Kuznetsov, Yuri A. (1998). Elementos de la teoría de la bifurcación aplicada (segunda edición). Springer. ISBN 0-387-98382-1.
• Strogatz, Steven H. (1994). Dinámica no lineal y caos . Addison Wesley. ISBN 0-201-54344-3.
• Weisstein, Eric W. "Bifurcación de pliegues". MathWorld .
• Chong, KH; Samarasinghe, S.; Kulasiri, D.; Zheng, J. (2015). Técnicas computacionales en el modelado matemático de interruptores biológicos . En Weber, T., McPhee, MJ y Anderssen, RS (eds.) MODSIM2015, 21.º Congreso internacional sobre modelado y simulación (MODSIM 2015). Sociedad de modelado y simulación de Australia y Nueva Zelanda, diciembre de 2015, págs. 578-584. ISBN 978-0-9872143-5-5.
• Kohli, Ikjyot Singh; Haslam, Michael C. (2018). Ecuaciones de campo de Einstein como una bifurcación de pliegues . Journal of Geometry and Physics, volumen 123, enero de 2018, páginas 434-437.