bifurcación de horca

Bifurcación de un sistema que tiene un punto fijo a tres puntos fijos

En la teoría de la bifurcación , un campo dentro de las matemáticas , una bifurcación en horquilla es un tipo particular de bifurcación local donde el sistema pasa de un punto fijo a tres puntos fijos. Las bifurcaciones de horquilla, al igual que las bifurcaciones de Hopf , tienen dos tipos: supercríticas y subcríticas.

En los sistemas dinámicos continuos descritos por EDO , es decir, flujos, las bifurcaciones en horquilla ocurren genéricamente en sistemas con simetría .

Caso supercrítico

Caso supercrítico: las líneas continuas representan puntos estables, mientras que las líneas de puntos representan puntos inestables.

La forma normal de la bifurcación supercrítica en horquilla es

${\displaystyle {\frac {dx}{dt}}=rx-x^{3}.}$

Porque hay un equilibrio estable en . Porque hay un equilibrio inestable en y dos equilibrios estables en . ${\displaystyle r<0}$ ${\displaystyle x=0}$ ${\displaystyle r>0}$ ${\displaystyle x=0}$ ${\displaystyle x=\pm {\sqrt {r}}}$

Caso subcrítico

Caso subcrítico: la línea continua representa puntos estables, mientras que las líneas de puntos representan puntos inestables.

La forma normal para el caso subcrítico es

${\displaystyle {\frac {dx}{dt}}=rx+x^{3}.}$

En este caso, porque el equilibrio en es estable y hay dos equilibrios inestables en . Porque el equilibrio en es inestable. ${\displaystyle r<0}$ ${\displaystyle x=0}$ ${\displaystyle x=\pm {\sqrt {-r}}}$ ${\displaystyle r>0}$ ${\displaystyle x=0}$

Definicion formal

Una ODA

${\displaystyle {\dot {x}}=f(x,r)\,}$

descrito por una función de un parámetro que satisface: ${\displaystyle f(x,r)}$ ${\displaystyle r\in \mathbb {R} }$

${\displaystyle -f(x,r)=f(-x,r)\,\,}$  (f es una función impar ),

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial f}{\partial x}}(0,r_{0})&=0,&{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}(0,r_{0})&=0,&{\frac {\partial ^{3}f}{\partial x^{3}}}(0,r_{0})&\neq 0,\\[5pt]{\frac {\partial f}{\partial r}}(0,r_{0})&=0,&{\frac {\partial ^{2}f}{\partial r\partial x}}(0,r_{0})&\neq 0.\end{aligned}}}$

tiene una bifurcación en forma de horca en . La forma de la horca viene dada por el signo de la tercera derivada: ${\displaystyle (x,r)=(0,r_{0})}$

${\displaystyle {\frac {\partial ^{3}f}{\partial x^{3}}}(0,r_{0}){\begin{cases}<0,&{\text{supercritical}}\\>0,&{\text{subcritical}}\end{cases}}\,\,}$

Tenga en cuenta que subcrítico y supercrítico describen la estabilidad de las líneas exteriores de la horca (discontinua o continua, respectivamente) y no dependen de la dirección en la que mira la horca. Por ejemplo, el negativo de la primera EDO de arriba, mira en la misma dirección que la primera imagen pero invierte la estabilidad. ${\displaystyle {\dot {x}}=x^{3}-rx}$

Ver también

• Teoría de la bifurcación
• Diagrama de bifurcación

Referencias

• Steven Strogatz, Caos y dinámica no lineal: con aplicaciones a la física, la biología, la química y la ingeniería , Perseus Books, 2000.
• S. Wiggins, Introducción al caos y los sistemas dinámicos no lineales aplicados , Springer-Verlag, 1990.