Topología inicial

Topología más burda que hace que ciertas funciones sean continuas

En topología general y áreas relacionadas de las matemáticas , la topología inicial (o topología inducida ^{[1] [2]} o topología fuerte o topología límite o topología proyectiva ) de un conjunto con respecto a una familia de funciones en es la topología más burda de que hace que esas funciones sean continuas . ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle X}$

Las construcciones de topología de subespacio y topología de producto son casos especiales de topologías iniciales. De hecho, la construcción de topología inicial puede considerarse como una generalización de estas.

La noción dual es la topología final , que para una familia dada de funciones que asignan a un conjunto es la topología más fina que hace que esas funciones sean continuas. ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle Y}$

Definición

Dado un conjunto y una familia indexada de espacios topológicos con funciones, la topología inicial en es la topología más burda en tal que cada una es continua . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \left(Y_{i}\right)_{i\in I}}$ $${\displaystyle f_{i}:X\to Y_{i},}$$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ $${\displaystyle f_{i}:(X,\tau )\to Y_{i}}$$

Definición en términos de conjuntos abiertos

Si es una familia de topologías indexadas por entonces la topología de límite superior mínimo de estas topologías es la topología más gruesa que es más fina que cada una. Esta topología siempre existe y es igual a la topología generada por ^[3] ${\displaystyle \left(\tau _{i}\right)_{i\in I}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle I\neq \varnothing ,}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \tau _{i}.}$ ${\displaystyle {\textstyle \bigcup \limits _{i\in I}\tau _{i}}.}$

Si para cada denota la topología en entonces es una topología en , y la topología inicial de por las asignaciones es la topología de límite superior mínimo de la familia de topologías indexadas (para ). ^[3] Explícitamente, la topología inicial es la colección de conjuntos abiertos generados por todos los conjuntos de la forma donde es un conjunto abierto en para algunos bajo intersecciones finitas y uniones arbitrarias. ${\displaystyle i\in I,}$ ${\displaystyle \sigma _{i}}$ ${\displaystyle Y_{i},}$ ${\displaystyle f_{i}^{-1}\left(\sigma _{i}\right)=\left\{f_{i}^{-1}(V):V\in \sigma _{i}\right\}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y_{i}}$ ${\displaystyle f_{i}}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle f_{i}^{-1}\left(\sigma _{i}\right)}$ ${\displaystyle i\in I}$ ${\displaystyle f_{i}^{-1}(U),}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle Y_{i}}$ ${\displaystyle i\in I,}$

Los conjuntos de la forma se denominan a menudo conjuntos cilíndricos . Si contiene exactamente un elemento , entonces todos los conjuntos abiertos de la topología inicial son conjuntos cilíndricos. ${\displaystyle f_{i}^{-1}(V)}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle (X,\tau )}$

Ejemplos

Varias construcciones topológicas pueden considerarse casos especiales de la topología inicial.

• La topología del subespacio es la topología inicial en el subespacio con respecto al mapa de inclusión .
• La topología del producto es la topología inicial con respecto a la familia de mapas de proyección .
• El límite inverso de cualquier sistema inverso de espacios y mapas continuos es el límite inverso de la teoría de conjuntos junto con la topología inicial determinada por los morfismos canónicos.
• La topología débil en un espacio localmente convexo es la topología inicial con respecto a las formas lineales continuas de su espacio dual .
• Dada una familia de topologías en un conjunto fijo, la topología inicial en con respecto a las funciones es el supremo (o unión) de las topologías en la red de topologías en Es decir, la topología inicial es la topología generada por la unión de las topologías. ${\displaystyle \left\{\tau _{i}\right\}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \operatorname {id} _{i}:X\to \left(X,\tau _{i}\right)}$ ${\displaystyle \left\{\tau _{i}\right\}}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle \left\{\tau _{i}\right\}.}$
• Un espacio topológico es completamente regular si y sólo si tiene la topología inicial con respecto a su familia de funciones continuas de valor real ( acotadas ).
• Todo espacio topológico tiene la topología inicial con respecto a la familia de funciones continuas desde hasta el espacio de Sierpiński . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

Propiedades

Propiedad característica

La topología inicial en se puede caracterizar por la siguiente propiedad característica: Una función desde algún espacio hasta es continua si y sólo si es continua para cada ^[4] ${\displaystyle X}$
${\displaystyle g}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f_{i}\circ g}$ ${\displaystyle i\in I.}$

Propiedad característica de la topología inicial

Tenga en cuenta que, a pesar de parecer bastante similares, no se trata de una propiedad universal . A continuación se ofrece una descripción categórica.

Un filtro converge a un punto si y solo si el prefiltro converge a para cada ^[4] ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle f_{i}({\mathcal {B}})}$ ${\displaystyle f_{i}(x)}$ ${\displaystyle i\in I.}$

Evaluación

Por la propiedad universal de la topología del producto , sabemos que cualquier familia de mapas continuos determina un mapa continuo único ${\displaystyle f_{i}:X\to Y_{i}}$ $${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}f:\;&&X&&\;\to \;&\prod _{i}Y_{i}\\[0.3ex]&&x&&\;\mapsto \;&\left(f_{i}(x)\right)_{i\in I}\\\end{alignedat}}}$$

Este mapa se conoce como elMapa de evaluación .^{[ cita requerida ]}

Se dice que una familia de mapas ${\displaystyle \{f_{i}:X\to Y_{i}\}}$puntos separados ensi para todosenexiste algunotal queLa familiasepara puntos si y sólo si el mapa de evaluación asociadoesinyectivo. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x\neq y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle f_{i}(x)\neq f_{i}(y).}$ ${\displaystyle \{f_{i}\}}$ ${\displaystyle f}$

El mapa de evaluación será una incrustación topológica si y solo si la topología inicial está determinada por los mapas y esta familia de mapas separa los puntos en ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \{f_{i}\}}$ ${\displaystyle X.}$

La condición de Hausdorff

Si tiene la topología inicial inducida por y si cada es de Hausdorff, entonces es un espacio de Hausdorff si y solo si estos mapas separan puntos en ^[3] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \left\{f_{i}:X\to Y_{i}\right\}}$ ${\displaystyle Y_{i}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$

Transitividad de la topología inicial

Si tiene la topología inicial inducida por la familia de mapeos indexada y si para cada la topología en es la topología inicial inducida por alguna familia de mapeos indexada (como rangos sobre ), entonces la topología inicial en inducida por es igual a la topología inicial inducida por la familia de mapeos indexada como rangos sobre y rangos sobre ^[5] Ahora se dan varios corolarios importantes de este hecho. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle \left\{f_{i}:X\to Y_{i}\right\}}$ ${\displaystyle i\in I,}$ ${\displaystyle Y_{i}}$ ${\displaystyle J_{i}}$ ${\displaystyle \left\{g_{j}:Y_{i}\to Z_{j}\right\}}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle J_{i}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \left\{f_{i}:X\to Y_{i}\right\}}$ ${\displaystyle {\textstyle \bigcup \limits _{i\in I}J_{i}}}$ ${\displaystyle \left\{g_{j}\circ f_{i}:X\to Z_{j}\right\}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle J_{i}.}$

En particular, si entonces la topología del subespacio que hereda de es igual a la topología inicial inducida por el mapa de inclusión (definido por ). En consecuencia, si tiene la topología inicial inducida por entonces la topología del subespacio que hereda de es igual a la topología inicial inducida por por las restricciones de a ^[4] ${\displaystyle S\subseteq X}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle S\to X}$ ${\displaystyle s\mapsto s}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \left\{f_{i}:X\to Y_{i}\right\}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \left\{\left.f_{i}\right|_{S}:S\to Y_{i}\right\}}$ ${\displaystyle f_{i}}$ ${\displaystyle S.}$

La topología del producto en es igual a la topología inicial inducida por las proyecciones canónicas como rangos sobre ^[4] En consecuencia, la topología inicial en inducida por es igual a la imagen inversa de la topología del producto en por el mapa de evaluación ^[4] Además, si los mapas separan puntos en entonces el mapa de evaluación es un homeomorfismo sobre el subespacio del espacio del producto ^[4] ${\displaystyle \prod _{i}Y_{i}}$ ${\displaystyle \operatorname {pr} _{i}:\left(x_{k}\right)_{k\in I}\mapsto x_{i}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle I.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \left\{f_{i}:X\to Y_{i}\right\}}$ ${\displaystyle \prod _{i}Y_{i}}$ ${\textstyle f:X\to \prod _{i}Y_{i}\,.}$ ${\displaystyle \left\{f_{i}\right\}_{i\in I}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f(X)}$ ${\displaystyle \prod _{i}Y_{i}.}$

Separación de puntos de conjuntos cerrados

Si un espacio viene equipado con una topología, a menudo es útil saber si la topología en es o no la topología inicial inducida por alguna familia de mapas en Esta sección proporciona una condición suficiente (pero no necesaria). ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$

Una familia de mapas separa puntos de conjuntos cerrados en si para todos los conjuntos cerrados en y todos existe alguno tal que donde denota el operador de cierre . ${\displaystyle \left\{f_{i}:X\to Y_{i}\right\}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x\not \in A,}$ ${\displaystyle i}$ $${\displaystyle f_{i}(x)\notin \operatorname {cl} (f_{i}(A))}$$ ${\displaystyle \operatorname {cl} }$

Teorema . Una familia de aplicaciones continuas separa puntos de conjuntos cerrados si y sólo si los conjuntos cilíndricos para abiertos forman una base para la topología en ${\displaystyle \left\{f_{i}:X\to Y_{i}\right\}}$ ${\displaystyle f_{i}^{-1}(V),}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle Y_{i},}$ ${\displaystyle X.}$

De ello se deduce que siempre que separa puntos de conjuntos cerrados, el espacio tiene la topología inicial inducida por las aplicaciones. La inversa falla, ya que generalmente los conjuntos cilíndricos solo formarán una subbase (y no una base) para la topología inicial. ${\displaystyle \left\{f_{i}\right\}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \left\{f_{i}\right\}.}$

Si el espacio es un espacio T , entonces cualquier colección de mapas que separa puntos de conjuntos cerrados en también debe separar puntos. En este caso, el mapa de evaluación será una incrustación. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \left\{f_{i}\right\}}$ ${\displaystyle X}$

Estructura uniforme inicial

Si es una familia de estructuras uniformes en indexada por entonces la estructura uniforme de límite superior mínimo de es la estructura uniforme más gruesa en que es más fina que cada una. Este uniforme siempre existe y es igual al filtro en generado por la subbase del filtro ^[6] Si es la topología en inducida por la estructura uniforme entonces la topología en asociada con la estructura uniforme de límite superior mínimo es igual a la topología de límite superior mínimo de ^[6] ${\displaystyle \left({\mathcal {U}}_{i}\right)_{i\in I}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle I\neq \varnothing ,}$ ${\displaystyle \left({\mathcal {U}}_{i}\right)_{i\in I}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {U}}_{i}.}$ ${\displaystyle X\times X}$ ${\displaystyle {\textstyle \bigcup \limits _{i\in I}{\mathcal {U}}_{i}}.}$ ${\displaystyle \tau _{i}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {U}}_{i}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \left(\tau _{i}\right)_{i\in I}.}$

Ahora supongamos que es una familia de mapas y para cada sea una estructura uniforme en Entonces la estructura uniforme inicial de por las aplicaciones es la única estructura uniforme más burda en haciendo que todos sean uniformemente continuos . ^[6] Es igual a la estructura uniforme de límite superior mínimo de la familia de estructuras uniformes indexada por (para ). ^[6] La topología en inducida por es la topología más burda en tal que cada es continuo. ^[6] La estructura uniforme inicial también es igual a la estructura uniforme más burda tal que las aplicaciones identidad son uniformemente continuas. ^[6] ${\displaystyle \left\{f_{i}:X\to Y_{i}\right\}}$ ${\displaystyle i\in I,}$ ${\displaystyle {\mathcal {U}}_{i}}$ ${\displaystyle Y_{i}.}$ ${\displaystyle Y_{i}}$ ${\displaystyle f_{i}}$ ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f_{i}:\left(X,{\mathcal {U}}\right)\to \left(Y_{i},{\mathcal {U}}_{i}\right)}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle f_{i}^{-1}\left({\mathcal {U}}_{i}\right)}$ ${\displaystyle i\in I}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f_{i}:X\to Y_{i}}$ ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$ ${\displaystyle \operatorname {id} :\left(X,{\mathcal {U}}\right)\to \left(X,f_{i}^{-1}\left({\mathcal {U}}_{i}\right)\right)}$

Hausdorffness : La topología en inducida por la estructura uniforme inicial es Hausdorff si y solo si para siempre que sean distintos ( ) entonces existe algún y algún entorno de tal que ^[6] Además, si para cada índice la topología en inducida por es Hausdorff entonces la topología en inducida por la estructura uniforme inicial es Hausdorff si y solo si las funciones separan puntos en ^[6] (o equivalentemente, si y solo si la función de evaluación es inyectiva) ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$ ${\displaystyle x,y\in X}$ ${\displaystyle x\neq y}$ ${\displaystyle i\in I}$ ${\displaystyle V_{i}\in {\mathcal {U}}_{i}}$ ${\displaystyle Y_{i}}$ ${\displaystyle \left(f_{i}(x),f_{i}(y)\right)\not \in V_{i}.}$ ${\displaystyle i\in I,}$ ${\displaystyle Y_{i}}$ ${\displaystyle {\mathcal {U}}_{i}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$ ${\displaystyle \left\{f_{i}:X\to Y_{i}\right\}}$ ${\displaystyle X}$ ${\textstyle f:X\to \prod _{i}Y_{i}}$

Continuidad uniforme : si es la estructura uniforme inicial inducida por las aplicaciones , entonces una función de algún espacio uniforme en es uniformemente continua si y solo si es uniformemente continua para cada ^[6] ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$ ${\displaystyle \left\{f_{i}:X\to Y_{i}\right\},}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle (X,{\mathcal {U}})}$ ${\displaystyle f_{i}\circ g:Z\to Y_{i}}$ ${\displaystyle i\in I.}$

Filtro de Cauchy : Un filtro activado es un filtro de Cauchy activado si y solo si es un prefiltro de Cauchy activado para cada ^[6] ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle (X,{\mathcal {U}})}$ ${\displaystyle f_{i}\left({\mathcal {B}}\right)}$ ${\displaystyle Y_{i}}$ ${\displaystyle i\in I.}$

Transitividad de la estructura uniforme inicial : Si la palabra "topología" se reemplaza por "estructura uniforme" en la declaración de "transitividad de la topología inicial" dada anteriormente, entonces la declaración resultante también será verdadera.

Descripción categórica

En el lenguaje de la teoría de categorías , la construcción topológica inicial se puede describir de la siguiente manera. Sea el funtor de una categoría discreta a la categoría de espacios topológicos que aplica . Sea el funtor olvidadizo habitual de a . Las aplicaciones pueden entonces considerarse como un cono de a Es decir, es un objeto de —la categoría de conos a Más precisamente, este cono define un cosink estructurado en ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle \mathrm {Top} }$ ${\displaystyle j\mapsto Y_{j}}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \mathrm {Top} }$ ${\displaystyle \mathrm {Set} }$ ${\displaystyle f_{j}:X\to Y_{j}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle UY.}$ ${\displaystyle (X,f)}$ ${\displaystyle \mathrm {Cone} (UY):=(\Delta \downarrow {UY})}$ ${\displaystyle UY.}$ ${\displaystyle (X,f)}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \mathrm {Set} .}$

El funtor olvidadizo induce un funtor . La propiedad característica de la topología inicial es equivalente a la afirmación de que existe un morfismo universal de a es decir, un objeto terminal en la categoría Explícitamente, esto consiste en un objeto en junto con un morfismo tal que para cualquier objeto en y morfismo existe un morfismo único tal que el siguiente diagrama conmuta: ${\displaystyle U:\mathrm {Top} \to \mathrm {Set} }$ ${\displaystyle {\bar {U}}:\mathrm {Cone} (Y)\to \mathrm {Cone} (UY)}$ ${\displaystyle {\bar {U}}}$ ${\displaystyle (X,f);}$ ${\displaystyle \left({\bar {U}}\downarrow (X,f)\right).}$
${\displaystyle I(X,f)}$ ${\displaystyle \mathrm {Cone} (Y)}$ ${\displaystyle \varepsilon :{\bar {U}}I(X,f)\to (X,f)}$ ${\displaystyle (Z,g)}$ ${\displaystyle \mathrm {Cone} (Y)}$ ${\displaystyle \varphi :{\bar {U}}(Z,g)\to (X,f)}$ ${\displaystyle \zeta :(Z,g)\to I(X,f)}$

La asignación que coloca la topología inicial en se extiende a un funtor que es adjunto derecho al funtor olvidadizo. De hecho, es un inverso derecho a ; ya que es el funtor identidad en ${\displaystyle (X,f)\mapsto I(X,f)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle I:\mathrm {Cone} (UY)\to \mathrm {Cone} (Y)}$ ${\displaystyle {\bar {U}}.}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle {\bar {U}}}$ ${\displaystyle {\bar {U}}I}$ ${\displaystyle \mathrm {Cone} (UY).}$

Véase también

• Topología final  : la mejor topología que hace que algunas funciones sean continuas
• Topología de productos  – Topología sobre productos cartesianos de espacios topológicos
• Espacio cociente (topología)  – Construcción del espacio topológico
• Topología del subespacio  – Topología heredada

Referencias

1. Rudin, Walter (1991). Análisis funcional. Serie internacional de matemáticas puras y aplicadas. Vol. 8 (segunda edición). Nueva York, NY: McGraw-Hill Science/Engineering/Math . ISBN 978-0-07-054236-5.OCLC 21163277  .
2. Adamson, Iain T. (1996). "Topologías inducidas y coinducidas". Un libro de trabajo de topología general . Birkhäuser, Boston, MA. págs. 23–30. doi :10.1007/978-0-8176-8126-5_3. ISBN 978-0-8176-3844-3. Recuperado el 21 de julio de 2020 . ... la topología inducida en E por la familia de aplicaciones ...
3. Grothendieck 1973, pág. 1.
4. Grothendieck 1973, pág. 2.
5. Grothendieck 1973, págs. 1–2.
6. Grothendieck 1973, pág. 3.

Bibliografía

• Bourbaki, Nicolás (1989) [1966]. Topología general: capítulos 1 a 4 [ Topologie Générale ]. Elementos matemáticos . Berlín Nueva York: Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-540-64241-1.OCLC 18588129  .
• Bourbaki, Nicolás (1989) [1967]. Topología general 2: Capítulos 5 a 10 [ Topologie Générale ]. Elementos matemáticos . vol. 4. Berlín Nueva York: Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-540-64563-4.OCLC 246032063  .
• Dugundji, James (1966). Topología . Boston: Allyn and Bacon. ISBN 978-0-697-06889-7.OCLC 395340485  .
• Grothendieck, Alexander (1973). Espacios vectoriales topológicos . Traducido por Chaljub, Orlando. Nueva York: Gordon and Breach Science Publishers. ISBN 978-0-677-30020-7.OCLC 886098  .
• Willard, Stephen (2004) [1970]. Topología general. Mineola, NY : Dover Publications . ISBN 978-0-486-43479-7.OCLC 115240  .
• Willard, Stephen (1970). Topología general . Reading, Massachusetts: Addison-Wesley. ISBN 0-486-43479-6.

Enlaces externos

• Topología inicial en PlanetMath .
• Topología de producto y topología de subespacio en PlanetMath .