Topología de puntos excluidos

En matemáticas , la topología de puntos excluidos es una topología en la que la exclusión de un punto particular define la apertura . Formalmente, sea X cualquier conjunto no vacío y p ∈ X . La colección

${\displaystyle T=\{S\subseteq X:p\notin S\}\cup \{X\}}$

de subconjuntos de X es entonces la topología de puntos excluidos en X . Hay una variedad de casos que se nombran individualmente:

• Si X tiene dos puntos, se llama espacio de Sierpiński . Este caso es algo especial y se trata por separado.
• Si X es finito (con al menos 3 puntos), la topología de X se denomina topología de puntos finitos excluidos.
• Si X es infinitamente contable , la topología de X se denomina topología de puntos excluidos contables.
• Si X es incontable , la topología de X se denomina topología de puntos excluidos incontables.

Una generalización es la topología de extensión abierta ; Si tiene la topología discreta , entonces la topología de extensión abierta es la topología de punto excluido. ${\displaystyle X\setminus \{p\}}$ ${\displaystyle (X\setminus \{p\})\cup \{p\}}$

Esta topología se utiliza para proporcionar ejemplos y contraejemplos interesantes.

Propiedades

Sea un espacio con la topología de puntos excluidos con punto especial. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle p.}$

El espacio es compacto , ya que el único vecindario es todo el espacio. ${\displaystyle p}$

La topología es una topología de Alexandrov . La vecindad más pequeña de es todo el espacio la vecindad más pequeña de un punto es el singleton Estas vecindades más pequeñas son compactas. Sus cierres son respectivamente y que además son compactos. Así, el espacio es localmente relativamente compacto (cada punto admite una base local de vecindades relativamente compactas) y localmente compacto en el sentido de que cada punto tiene una base local de vecindades compactas. Pero los puntos no admiten una base local de barrios compactos cerrados. ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle X;}$ ${\displaystyle x\neq p}$ ${\displaystyle \{x\}.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \{x,p\},}$ ${\displaystyle x\neq p}$

El espacio está ultraconectado , ya que cualquier conjunto cerrado no vacío contiene el punto. Por lo tanto, el espacio también está conexo y está conectado por caminos . ${\displaystyle p.}$

Ver también

• Espacio topológico finito
• Espacio fuerte
• Lista de topologías
• Topología de puntos particulares

Referencias

• Steen, Lynn Arturo ; Seebach, J. Arthur Jr. (1995) [1978], Contraejemplos en topología ( reimpresión de Dover de 1978 ed.), Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-486-68735-3, señor  0507446