En términos generales, un espacio topológico es un objeto geométrico , y un homeomorfismo resulta de una deformación continua del objeto en una nueva forma. Por tanto, un cuadrado y un círculo son homeomorfos entre sí, pero una esfera y un toro no lo son. Sin embargo, esta descripción puede resultar engañosa. Algunas deformaciones continuas no dan lugar a homeomorfismos, como la deformación de una línea en un punto. Algunos homeomorfismos no resultan de deformaciones continuas, como el homeomorfismo entre un nudo trébol y un círculo. Homotopía e isotopía son definiciones precisas del concepto informal de deformación continua .
Un homeomorfismo a veces se denomina función bicontinua . Si tal función existe, y son homeomorfas . Un autohomeomorfismo es un homeomorfismo de un espacio topológico sobre sí mismo. Ser "homeomórfico" es una relación de equivalencia en espacios topológicos. Sus clases de equivalencia se denominan clases de homeomorfismo .
El tercer requisito, que sea continuo , es imprescindible. Considere, por ejemplo, la función (el círculo unitario en ) definida por Esta función es biyectiva y continua, pero no un homeomorfismo ( es compacta pero no lo es). La función no es continua en el punto porque, aunque se asigna a cualquier vecindad de este punto, también incluye puntos a los que la función se asigna cerca, pero los puntos que asigna a números intermedios se encuentran fuera de la vecindad. [4]
En algunos contextos, existen objetos homeomórficos que no pueden deformarse continuamente de uno a otro. La homotopía y la isotopía son relaciones de equivalencia que se han introducido para abordar este tipo de situaciones.
De manera similar, como es habitual en la teoría de categorías, dados dos espacios que son homeomorfismos, el espacio de homeomorfismos entre ellos es un torsor para los grupos de homeomorfismos y , dado un homeomorfismo específico entre ellos, se identifican los tres conjuntos. [ se necesita aclaración ]
Ejemplos
El intervalo abierto es homeomorfo a los números reales para cualquiera (en este caso, un mapeo directo bicontinuo está dado por mientras que otros mapeos de este tipo están dados por versiones escaladas y traducidas de las funciones tan o arg tanh ).
La unidad 2- disco y la unidad cuadrado en son homeomorfas; ya que el disco unitario se puede deformar en el cuadrado unitario. Un ejemplo de mapeo bicontinuo del cuadrado al disco es, en coordenadas polares ,
La proyección estereográfica es un homeomorfismo entre la esfera unitaria en con un solo punto eliminado y el conjunto de todos los puntos en (un plano bidimensional ).
Si es un grupo topológico , su mapa de inversión es un homeomorfismo. Además, para cualquier traducción a la izquierda, la traducción a la derecha y el automorfismo interno son homeomorfismos.
Contraejemplos
y no sonm ≠ n .
La recta real euclidiana no es homeomorfa al círculo unitario como subespacio de , ya que el círculo unitario es compacto como subespacio de euclidiano pero la recta real no es compacta.
Los intervalos unidimensionales y no son homeomórficos porque uno es compacto mientras que el otro no.
Propiedades
Dos espacios homeomorfos comparten las mismas propiedades topológicas . Por ejemplo, si uno de ellos es compacto , entonces el otro también lo es; si uno de ellos está conectado , entonces el otro también lo está; si uno de ellos es Hausdorff , entonces el otro también lo es; sus grupos de homotopía y homología coincidirán. Sin embargo, tenga en cuenta que esto no se extiende a las propiedades definidas mediante una métrica ; hay espacios métricos que son homeomórficos aunque uno de ellos esté completo y el otro no.
Cada autohomeomorfismo en se puede extender a un autohomeomorfismo de todo el disco ( el truco de Alexander ).
Discusión informal
El criterio intuitivo de estirar, doblar, cortar y volver a pegar requiere cierta práctica para aplicarlo correctamente; puede que no sea obvio a partir de la descripción anterior que deformar un segmento de línea hasta un punto sea inadmisible, por ejemplo. Por tanto, es importante darse cuenta de que lo que cuenta es la definición formal dada anteriormente. En este caso, por ejemplo, el segmento de recta posee una cantidad infinita de puntos y, por lo tanto, no se puede colocar en una biyección con un conjunto que contenga solo un número finito de puntos, incluido un solo punto.
Esta caracterización de un homeomorfismo lleva muchas veces a una confusión con el concepto de homotopía , que en realidad se define como una deformación continua, pero de una función a otra, más que de un espacio a otro. En el caso de un homeomorfismo, imaginar una deformación continua es una herramienta mental para realizar un seguimiento de qué puntos del espacio X corresponden a qué puntos de Y ; uno simplemente los sigue a medida que X se deforma. En el caso de la homotopía, la deformación continua de un mapa a otro es esencial y también es menos restrictiva, ya que ninguno de los mapas involucrados necesita ser uno a uno o uno a uno. La homotopía conduce a una relación en los espacios: equivalencia de homotopía .
Existe un nombre para el tipo de deformación involucrada en la visualización de un homeomorfismo. Es (excepto cuando es necesario cortar y volver a pegar) una isotopía entre el mapa de identidad en X y el homeomorfismo de X a Y.
Isomorfismo isométrico : la transformación matemática que preserva la distancia Páginas que muestran descripciones breves de los objetivos de redireccionamientoes un isomorfismo entre espacios métricos.
^ Hubbard, John H.; Oeste, Beverly H. (1995). Ecuaciones diferenciales: un enfoque de sistemas dinámicos. Parte II: Sistemas de dimensiones superiores. Textos en Matemática Aplicada. vol. 18. Saltador. pag. 204.ISBN 978-0-387-94377-0.
^ Poincaré, H. (1895). Análisis Situs. Revista de la Escuela Politécnica. Gauthier-Villars. OCLC 715734142. Archivado desde el original el 11 de junio de 2016 . Consultado el 29 de abril de 2018 . Poincaré, Henri (2010). Artículos sobre topología: análisis situs y sus cinco suplementos . Traducido por Stillwell, John. Sociedad Matemática Estadounidense. ISBN 978-0-8218-5234-7.
^ Gamelin, TW; Greene, RE (1999). Introducción a la topología (2ª ed.). Dover. pag. 67.ISBN978-0-486-40680-0.
^ Väisälä, Jussi (1999). Topología I. Limas RY. pag. 63.ISBN951-745-184-9.
^ Dijkstra, Jan J. (1 de diciembre de 2005). "Sobre los grupos de homeomorfismo y la topología abierta y compacta" (PDF) . El Mensual Matemático Estadounidense . 112 (10): 910–912. doi :10.2307/30037630. JSTOR 30037630. Archivado (PDF) desde el original el 16 de septiembre de 2016.