En filosofía y lógica , la paradoja clásica del mentiroso o paradoja del mentiroso o antinomia del mentiroso es la afirmación del mentiroso de que está mintiendo: por ejemplo, cuando dice: "Estoy mintiendo". Si el mentiroso está mintiendo, entonces está diciendo la verdad, lo que significa que simplemente mintió. En la frase "esta oración es una mentira", la paradoja se refuerza para que sea susceptible de un análisis lógico más riguroso. Generalmente, todavía se la llama "paradoja del mentiroso", aunque se hace abstracción precisamente del mentiroso que hace la afirmación. Tratar de asignar a esta afirmación, la del mentiroso reforzado, un valor de verdad binario clásico conduce a una contradicción .
Si "esta oración es falsa" es verdadera, entonces es falsa, pero la oración establece que es falsa, y si es falsa, entonces debe ser verdadera, y así sucesivamente.
La paradoja de Epiménides (c. 600 a. C.) se ha sugerido como un ejemplo de la paradoja del mentiroso, pero no son lógicamente equivalentes. El vidente semimítico Epiménides , un cretense , supuestamente afirmó que "Todos los cretenses son mentirosos". [1] Sin embargo, la afirmación de Epiménides de que todos los cretenses son mentirosos puede resolverse como falsa, dado que conoce al menos a otro cretense que no miente (alternativamente, puede tomarse simplemente como una afirmación de que todos los cretenses dicen mentiras, no que solo dicen mentiras).
El nombre de la paradoja se traduce como pseudómenos lógos (ψευδόμενος λόγος) en griego antiguo . Una versión de la paradoja del mentiroso se atribuye al filósofo griego Eubulides de Mileto , que vivió en el siglo IV a. C. Se dice que Eubulides preguntó: "Un hombre dice que está mintiendo. ¿Lo que dice es verdadero o falso?" [2]
La paradoja fue discutida una vez por Jerónimo de Estridón en un sermón:
« En mi angustia dije: ¡Todo hombre es mentiroso! » ¿ David dice la verdad o miente? Si es verdad que todo hombre es mentiroso y la afirmación de David: «Todo hombre es mentiroso» es verdadera, entonces David también miente; él también es un hombre. Pero si él también miente, su afirmación de que «Todo hombre es mentiroso» no es, en consecuencia, verdadera. Cualquiera que sea la forma en que se mire la proposición, la conclusión es una contradicción. Puesto que David mismo es un hombre, se sigue que también miente; pero si miente porque todo hombre es mentiroso, su mentira es de otra clase. [3]
El gramático y filósofo indio Bhartrhari (finales del siglo V d. C.) conocía bien la paradoja del mentiroso, que formuló así: «todo lo que digo es falso» (sarvam mithyā bravīmi). Analiza esta afirmación junto con la paradoja de la «insignificancia» y explora el límite entre las afirmaciones que no plantean problemas en la vida cotidiana y las paradojas. [4] [5]
La paradoja del mentiroso se ha discutido en la tradición islámica temprana durante al menos cinco siglos, a partir de finales del siglo IX, y aparentemente sin ser influenciada por ninguna otra tradición. Naṣīr al-Dīn al-Ṭūsī podría haber sido el primer lógico en identificar la paradoja del mentiroso como autorreferencial . [6]
El problema de la paradoja del mentiroso es que parece demostrar que las creencias comunes sobre la verdad y la falsedad en realidad conducen a una contradicción . Se pueden construir oraciones a las que no se les puede asignar un valor de verdad de manera consistente, aunque estén en total acuerdo con las reglas gramaticales y semánticas .
La versión más simple de la paradoja es la frase:
Si (A) es verdadera, entonces "Esta afirmación es falsa" es verdadera. Por lo tanto, (A) debe ser falsa. La hipótesis de que (A) es verdadera lleva a la conclusión de que (A) es falsa, una contradicción.
Si (A) es falsa, entonces "Esta afirmación es falsa" es falsa. Por lo tanto, (A) debe ser verdadera. La hipótesis de que (A) es falsa lleva a la conclusión de que (A) es verdadera, otra contradicción. De cualquier manera, (A) es verdadera y falsa, lo cual es una paradoja.
Sin embargo, el hecho de que la oración mentirosa pueda demostrarse que es verdadera si es falsa y falsa si es verdadera ha llevado a algunos a concluir que "no es ni verdadera ni falsa". [7] Esta respuesta a la paradoja es, en efecto, el rechazo de la afirmación de que todo enunciado tiene que ser verdadero o falso, también conocido como el principio de bivalencia , un concepto relacionado con la ley del tercio excluido .
La propuesta de que la afirmación no es ni verdadera ni falsa ha dado lugar a la siguiente versión reforzada de la paradoja:
Si (B) no es ni verdadera ni falsa, entonces debe ser no verdadera . Como esto es lo que (B) en sí misma establece, significa que (B) debe ser verdadera . Como inicialmente (B) no era verdadera y ahora lo es, surge otra paradoja.
Otra reacción a la paradoja de (A) es postular, como lo hizo Graham Priest , que la afirmación es a la vez verdadera y falsa. No obstante, incluso el análisis de Priest es susceptible de la siguiente versión del mentiroso:
Si (C) es a la vez verdadera y falsa, entonces (C) es sólo falsa. Pero entonces, no es verdadera . Dado que inicialmente (C) era verdadera y ahora no lo es , es una paradoja. Sin embargo, se ha argumentado que al adoptar una semántica relacional de dos valores (en oposición a la semántica funcional ), el enfoque dialéctico puede superar esta versión del Mentiroso. [8]
También existen versiones de la paradoja del mentiroso que contienen varias oraciones. La siguiente es la versión de dos oraciones:
Supongamos que (D1) es verdadera. Entonces (D2) es verdadera. Esto significaría que (D1) es falsa. Por lo tanto, (D1) es verdadera y falsa.
Supongamos que (D1) es falso. Entonces (D2) es falso. Esto significaría que (D1) es verdadero. Por lo tanto, (D1) es verdadero y falso. De cualquier manera, (D1) es verdadero y falso: la misma paradoja que (A) anterior.
La versión de varias oraciones de la paradoja del mentiroso se generaliza a cualquier secuencia circular de tales declaraciones (en la que la última declaración afirma la verdad/falsedad de la primera), siempre que haya un número impar de declaraciones que afirmen la falsedad de su sucesora; la siguiente es una versión de tres oraciones, en la que cada declaración afirma la falsedad de su sucesora:
Supongamos que (E1) es verdadero. Entonces (E2) es falso, lo que significa que (E3) es verdadero y, por lo tanto, (E1) es falso, lo que genera una contradicción.
Supongamos que (E1) es falso. Entonces (E2) es verdadero, lo que significa que (E3) es falso y, por lo tanto, (E1) es verdadero. De cualquier manera, (E1) es verdadero y falso a la vez: la misma paradoja que con (A) y (D1).
Existen muchas otras variantes y muchos complementos posibles. En la construcción normal de oraciones, la versión más simple del complemento es la oración:
Si se supone que F tiene un valor de verdad, entonces se plantea el problema de determinar el objeto de ese valor. Pero es posible una versión más sencilla, suponiendo que la palabra "verdadero" tiene un valor de verdad. El análogo de la paradoja es suponer que la palabra "falso" también tiene un valor de verdad, es decir, que es falsa. Esto revela que la paradoja puede reducirse al acto mental de suponer que la idea misma de falacia tiene un valor de verdad, es decir, que la idea misma de falacia es falsa: un acto de tergiversación. Por lo tanto, la versión simétrica de la paradoja sería:
En la lógica difusa , el valor de verdad de una afirmación puede ser cualquier número real entre 0 y 1, ambos incluidos, a diferencia de la lógica booleana , donde los valores de verdad solo pueden ser los valores enteros 0 o 1. En este sistema, la afirmación "Esta afirmación es falsa" ya no es paradójica, ya que se le puede asignar un valor de verdad de 0,5, [9] [10], lo que la convierte exactamente en mitad verdadera y mitad falsa. A continuación se muestra una explicación simplificada.
Sea el valor de verdad de la afirmación "Esta afirmación es falsa" denotada por . La afirmación se convierte en
Al generalizar el operador NOT al operador Zadeh equivalente de la lógica difusa , la declaración se convierte en
De lo cual se sigue que
Alfred Tarski diagnosticó que la paradoja surge únicamente en lenguajes que son "semánticamente cerrados", es decir, un lenguaje en el que es posible que una oración predique la verdad (o falsedad) de otra oración en el mismo lenguaje (o incluso de sí misma). Para evitar la autocontradicción, es necesario, al discutir los valores de verdad, imaginar niveles de lenguajes, cada uno de los cuales puede predicar la verdad (o falsedad) solo de lenguajes de un nivel inferior. Por lo tanto, cuando una oración se refiere al valor de verdad de otra, es semánticamente superior. La oración a la que se hace referencia es parte del "lenguaje objeto", mientras que la oración referente se considera parte de un "metalenguaje" con respecto al lenguaje objeto. Es legítimo que las oraciones en "lenguajes" más altos en la jerarquía semántica se refieran a oraciones más bajas en la jerarquía del "lenguaje", pero no al revés. Esto evita que un sistema se vuelva autorreferencial.
Sin embargo, este sistema es incompleto. Uno quisiera poder hacer afirmaciones como "Para cada afirmación en el nivel α de la jerarquía, hay una afirmación en el nivel α +1 que afirma que la primera afirmación es falsa". Esta es una afirmación verdadera y significativa sobre la jerarquía que Tarski define, pero se refiere a afirmaciones en cada nivel de la jerarquía, por lo que debe estar por encima de cada nivel de la jerarquía y, por lo tanto, no es posible dentro de la jerarquía (aunque son posibles versiones limitadas de la oración). [11] [12] A Saul Kripke se le atribuye la identificación de esta incompletitud en la jerarquía de Tarski en su artículo muy citado "Esquema de una teoría de la verdad", [12] y se reconoce como un problema general en los lenguajes jerárquicos. [12] [13]
Arthur Prior afirma que no hay nada paradójico en la paradoja del mentiroso. Su afirmación (que atribuye a Charles Sanders Peirce y John Buridan ) es que cada enunciado incluye una afirmación implícita de su propia verdad. [14] Así, por ejemplo, el enunciado «es cierto que dos más dos son cuatro» no contiene más información que el enunciado «dos más dos son cuatro», porque la frase «es cierto que...» siempre está implícitamente ahí. Y en el espíritu autorreferencial de la paradoja del mentiroso, la frase «es cierto que...» es equivalente a «todo este enunciado es cierto y...».
Por lo tanto, las dos afirmaciones siguientes son equivalentes:
Esta última es una simple contradicción de la forma “A y no A”, y por lo tanto es falsa. Por lo tanto, no hay paradoja porque la afirmación de que este mentiroso de dos conjunciones es falso no conduce a una contradicción. Eugene Mills presenta una respuesta similar. [15]
Saul Kripke argumentó que si una oración es paradójica o no puede depender de hechos contingentes. [11] : 6 Si lo único que Smith dice sobre Jones es
Y Jones sólo dice estas tres cosas sobre Smith:
Si Smith realmente es un gran gastador pero no es indulgente con el crimen, entonces tanto el comentario de Smith sobre Jones como el último comentario de Jones sobre Smith son paradójicos.
Kripke propone una solución de la siguiente manera: si el valor de verdad de una afirmación está ligado en última instancia a algún hecho evaluable sobre el mundo, esa afirmación está "fundada". Si no, esa afirmación es "infundada". Las afirmaciones infundadas no tienen valor de verdad. Las afirmaciones mentirosas y las afirmaciones similares a mentirosas no están fundamentadas y, por lo tanto, no tienen valor de verdad.
Jon Barwise y John Etchemendy proponen que la oración mentirosa (que interpretan como sinónimo del Mentiroso Fortalecido) es ambigua. Basan esta conclusión en una distinción que hacen entre una "negación" y una "negación". Si el mentiroso quiere decir "No es cierto que esta afirmación sea verdadera", entonces se está negando a sí mismo. Si quiere decir "Esta afirmación no es verdadera", entonces se está negando a sí mismo. Continúan argumentando, basándose en la semántica de la situación , que el "mentiroso de la negación" puede ser verdadero sin contradicción mientras que el "mentiroso de la negación" puede ser falso sin contradicción. Su libro de 1987 hace un uso intensivo de la teoría de conjuntos no bien fundamentada . [16]
Graham Priest y otros lógicos, entre ellos JC Beall y Bradley Armour-Garb, han propuesto que la oración mentirosa debería considerarse verdadera y falsa, un punto de vista conocido como dialeteísmo . El dialeteísmo es la opinión de que existen contradicciones verdaderas. El dialeteísmo plantea sus propios problemas. El principal de ellos es que, dado que el dialeteísmo reconoce la paradoja del mentiroso, una contradicción intrínseca, como verdadera, debe descartar el principio de explosión , reconocido desde hace mucho tiempo, que afirma que cualquier proposición puede deducirse de una contradicción, a menos que el dialeteísta esté dispuesto a aceptar el trivialismo, la opinión de que todas las proposiciones son verdaderas. Dado que el trivialismo es una opinión intuitivamente falsa, los dialeteístas casi siempre rechazan el principio de explosión. Las lógicas que lo rechazan se denominan paraconsistentes .
Andrew Irvine ha defendido una solución no cognitivista a la paradoja, sugiriendo que algunas oraciones aparentemente bien formadas resultarán no ser ni verdaderas ni falsas y que "los criterios formales por sí solos resultarán inevitablemente insuficientes" para resolver la paradoja. [7]
El gramático y filósofo indio Bhartrhari (finales del siglo V d. C.) abordó paradojas como la del mentiroso en una sección de uno de los capítulos de su obra magna, el Vākyapadīya. [ cita requerida ] La solución de Bhartrhari encaja en su enfoque general del lenguaje, el pensamiento y la realidad, que algunos han caracterizado como "relativista", "no comprometido" o "perspectivista". [17] Con respecto a la paradoja del mentiroso ( sarvam mithyā bravīmi "todo lo que digo es falso"), Bhartrhari identifica un parámetro oculto que puede convertir situaciones no problemáticas en la comunicación diaria en una paradoja obstinada. La solución de Bhartrhari puede entenderse en términos de la solución propuesta en 1992 por Julian Roberts: "Las paradojas se consumen a sí mismas. Pero podemos mantener separados los lados en conflicto de la contradicción mediante el simple expediente de la contextualización temporal: lo que es 'verdadero' con respecto a un punto en el tiempo no necesita serlo en otro... La fuerza general del argumento 'austiniano' no es meramente que 'las cosas cambian', sino que la racionalidad es esencialmente temporal en el sentido de que necesitamos tiempo para reconciliar y manejar lo que de otra manera serían estados mutuamente destructivos". [18] Según la sugerencia de Robert, es el factor "tiempo" el que nos permite reconciliar las "partes del mundo" separadas que juegan un papel crucial en la solución de Barwise y Etchemendy. [16] : 188 La capacidad del tiempo para prevenir una confrontación directa de las dos "partes del mundo" es aquí externa al "mentiroso". A la luz del análisis de Bhartrhari, sin embargo, la extensión en el tiempo que separa dos perspectivas del mundo o dos "partes del mundo" - la parte antes y la parte después de que la función cumpla su tarea - es inherente a cualquier "función": también la función de significar que subyace a cada enunciado, incluido el "mentiroso". [5] [ aclaración necesaria ] La paradoja irresoluble - una situación en la que tenemos contradicción ( virodha ) o regresión infinita ( anavasthā ) - surge, en el caso del mentiroso y otras paradojas como la paradoja de la insignificabilidad ( paradoja de Bhartrhari ), cuando se hace abstracción de esta función ( vyāpāra ) y su extensión en el tiempo, al aceptar una función simultánea, opuesta ( apara vyāpāra ) que deshace la anterior.
Para entender mejor la paradoja del mentiroso, es útil escribirla de una manera más formal. Si "esta afirmación es falsa" se denota por A y se busca su valor de verdad, es necesario encontrar una condición que restrinja la elección de posibles valores de verdad de A. Como A es autorreferencial, es posible dar la condición mediante una ecuación.
Si se supone que una proposición, B, es falsa, se escribe "B = falso". La proposición (C) de que la proposición B es falsa se escribiría como "C = 'B = falso ' ". Ahora bien, la paradoja del mentiroso se puede expresar como la proposición A de que A es falsa:
Esta es una ecuación de la que se podría obtener el valor de verdad de A = "esta afirmación es falsa". En el dominio booleano, "A = falso" es equivalente a "no A" y, por lo tanto, la ecuación no es solucionable. Esta es la motivación para la reinterpretación de A. El enfoque lógico más simple para hacer que la ecuación sea solucionable es el enfoque dialéctico, en cuyo caso la solución es que A sea tanto "verdadero" como "falso". Otras resoluciones incluyen principalmente algunas modificaciones de la ecuación; Arthur Prior afirma que la ecuación debería ser "A = 'A = falso y A = verdadero ' " y, por lo tanto, A es falso. En la lógica verbal computacional, la paradoja del mentiroso se extiende a afirmaciones como "escucho lo que él dice; él dice lo que yo no escucho", donde se debe utilizar la lógica verbal para resolver la paradoja. [19]
Los teoremas de incompletitud de Gödel son dos teoremas fundamentales de la lógica matemática que establecen limitaciones inherentes a los sistemas axiomáticos suficientemente potentes para las matemáticas. Los teoremas fueron demostrados por Kurt Gödel en 1931 y son importantes en la filosofía de las matemáticas. En términos generales, al demostrar el primer teorema de incompletitud , Gödel utilizó una versión modificada de la paradoja del mentiroso, reemplazando "esta oración es falsa" por "esta oración no es demostrable", llamada la "oración de Gödel G". Su prueba mostró que para cualquier teoría T suficientemente poderosa, G es verdadera, pero no demostrable en T. El análisis de la verdad y demostrabilidad de G es una versión formalizada del análisis de la verdad de la oración del mentiroso. [20]
Para demostrar el primer teorema de incompletitud, Gödel representó los enunciados mediante números . Entonces la teoría en cuestión, que se supone que prueba ciertos hechos sobre los números, también prueba hechos sobre sus propios enunciados. Las preguntas sobre la demostrabilidad de los enunciados se representan como preguntas sobre las propiedades de los números, que serían decidibles por la teoría si fuera completa. En estos términos, la oración de Gödel establece que no existe ningún número natural con una cierta propiedad extraña. Un número con esta propiedad codificaría una prueba de la inconsistencia de la teoría. Si existiera tal número, entonces la teoría sería inconsistente, contrariamente a la hipótesis de consistencia. Por lo tanto, bajo el supuesto de que la teoría es consistente, no existe tal número.
No es posible reemplazar "no demostrable" por "falso" en una oración de Gödel porque el predicado "Q es el número de Gödel de una fórmula falsa" no puede representarse como una fórmula aritmética. Este resultado, conocido como el teorema de indefinibilidad de Tarski , fue descubierto independientemente por Gödel (cuando estaba trabajando en la prueba del teorema de incompletitud) y por Alfred Tarski .
Desde entonces, George Boolos ha esbozado una prueba alternativa del primer teorema de incompletitud que utiliza la paradoja de Berry en lugar de la paradoja del mentiroso para construir una fórmula verdadera pero indemostrable.
La paradoja del mentiroso se utiliza ocasionalmente en la ficción para apagar las inteligencias artificiales, que se presentan como incapaces de procesar la oración. En el episodio " Yo, Mudd " de Star Trek: La serie original , el Capitán Kirk y Harry Mudd utilizan la paradoja del mentiroso para confundir y, en última instancia, inhabilitar a un androide que los mantiene cautivos. En la serie de Doctor Who de 1973, The Green Death , el Doctor deja perplejo temporalmente al loco ordenador BOSS al preguntarle: "Si te dijera que lo siguiente que diría sería verdad, pero que lo último que diría sería una mentira, ¿me creerías?". BOSS intenta descifrarlo pero no puede y finalmente decide que la pregunta es irrelevante y llama a seguridad.
En el videojuego Portal 2 de 2011 , la inteligencia artificial GLaDOS intenta usar la paradoja "esta oración es falsa" para matar a otra inteligencia artificial, Wheatley . Sin embargo, al carecer de la inteligencia para darse cuenta de que la declaración es una paradoja, simplemente responde: "Um, cierto. Diré cierto. Listo, eso fue fácil". y no se ve afectado. Humorísticamente, todas las demás IA presentes, excepto GLaDOS, todas las cuales son significativamente menos sensibles y lúcidas que ella y Wheatley, aún mueren al escuchar la paradoja. Sin embargo, GLaDOS luego señala que casi se suicida por su propio intento de matar a Wheatley.
La canción de Devo , Enough Said , incluye la letra Lo siguiente que te diga será verdad / Lo último que dije fue falso.
En el séptimo episodio de Minecraft: Story Mode , titulado "Acceso denegado", el personaje principal Jesse y sus amigos son capturados por una supercomputadora llamada PAMA. Después de que PAMA controla a dos de los amigos de Jesse, Jesse se entera de que PAMA se bloquea al procesar y usa una paradoja para confundirlo y escapar con su último amigo. Una de las paradojas que el jugador puede hacer que Jesse diga es la paradoja del mentiroso.
La canción " Liar " de Rollins Band de 1994 aludió a la paradoja cuando el narrador termina la canción diciendo "Mentiré una y otra vez y seguiré mintiendo, lo prometo".
La canción de Robert Earl Keen "The Road Goes On and On" alude a esta paradoja. Se cree que la canción fue escrita como parte de la disputa de Keen con Toby Keith, quien presumiblemente es el "mentiroso" al que se refiere Keen. [21]
