Teorema de mapeo de Riemann

Teorema matemático

En el análisis complejo , el teorema de aplicación de Riemann establece que si es un subconjunto abierto no vacío simplemente conexo del plano de números complejos que no es todo de , entonces existe una aplicación biholomórfica (es decir, una aplicación holomorfa biyectiva cuya inversa también es holomorfa) de sobre el disco unitario abierto ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle U}$

${\displaystyle D=\{z\in \mathbb {C} :|z|<1\}.}$

Esta aplicación se conoce como aplicación de Riemann . ^[1]

Intuitivamente, la condición de que sea simplemente conexo significa que no contiene ningún “agujero”. El hecho de que sea biholomorfo implica que es una función conforme y, por lo tanto, que preserva los ángulos. Una función de este tipo puede interpretarse como que preserva la forma de cualquier figura lo suficientemente pequeña, aunque posiblemente la rote y la escale (pero no la refleje). ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle f}$

Henri Poincaré demostró que la función es única hasta la rotación y el recentrado: si es un elemento de y es un ángulo arbitrario, entonces existe precisamente una f como la anterior tal que y tal que el argumento de la derivada de en el punto es igual a . Esta es una consecuencia fácil del lema de Schwarz . ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle z_{0}}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle f(z_{0})=0}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle z_{0}}$ ${\displaystyle \phi }$

Como corolario del teorema, dos subconjuntos abiertos simplemente conexos de la esfera de Riemann que carezcan de al menos dos puntos de la esfera pueden mapearse conformemente entre sí.

Historia

El teorema fue enunciado (suponiendo que el límite de es liso por partes) por Bernhard Riemann en 1851 en su tesis doctoral. Lars Ahlfors escribió una vez, en relación con la formulación original del teorema, que “finalmente fue formulado en términos que desafiarían cualquier intento de prueba, incluso con métodos modernos”. ^[2] La prueba defectuosa de Riemann dependía del principio de Dirichlet (nombrado por el propio Riemann), que se consideraba sólido en ese momento. Sin embargo, Karl Weierstrass descubrió que este principio no era universalmente válido. Más tarde, David Hilbert pudo demostrar que, en gran medida, el principio de Dirichlet es válido bajo la hipótesis con la que trabajaba Riemann. Sin embargo, para ser válido, el principio de Dirichlet necesita ciertas hipótesis sobre el límite de (a saber, que es una curva de Jordan) que no son válidas para dominios simplemente conexos en general. ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle U}$

La primera prueba rigurosa del teorema fue dada por William Fogg Osgood en 1900. Demostró la existencia de la función de Green en dominios arbitrarios simplemente conexos distintos de él mismo; esto estableció el teorema de aplicación de Riemann. ^[3] ${\displaystyle \mathbb {C} }$

Constantin Carathéodory dio otra prueba del teorema en 1912, que fue la primera en basarse puramente en los métodos de la teoría de funciones en lugar de la teoría de potenciales . ^[4] Su prueba utilizó el concepto de familias normales de Montel, que se convirtió en el método estándar de prueba en los libros de texto. ^[5] Carathéodory continuó en 1913 resolviendo la cuestión adicional de si la aplicación de Riemann entre los dominios puede extenderse a un homeomorfismo de los límites (ver el teorema de Carathéodory ). ^[6]

La demostración de Carathéodory utilizó superficies de Riemann y fue simplificada por Paul Koebe dos años más tarde de forma que no las requiriera. Otra demostración, debida a Lipót Fejér y a Frigyes Riesz , fue publicada en 1922 y era bastante más corta que las anteriores. En esta demostración, como en la de Riemann, la aplicación deseada se obtuvo como la solución de un problema extremal. La demostración de Fejér-Riesz fue simplificada aún más por Alexander Ostrowski y por Carathéodory. ^[7]

Importancia

Los siguientes puntos detallan la singularidad y el poder del teorema de mapeo de Riemann:

• Incluso las aplicaciones de Riemann relativamente simples (por ejemplo, una aplicación del interior de un círculo al interior de un cuadrado) no tienen una fórmula explícita que utilice solo funciones elementales .
• Los conjuntos abiertos simplemente conexos en el plano pueden ser muy complicados; por ejemplo, el límite puede ser una curva fractal de longitud infinita que no se puede diferenciar en ninguna parte, incluso si el propio conjunto está acotado. Un ejemplo de ello es la curva de Koch . ^[8] El hecho de que un conjunto de este tipo pueda asignarse de manera que preserve los ángulos al disco unitario regular parece contraintuitivo.
• El análogo del teorema de mapeo de Riemann para dominios más complicados no es cierto. El siguiente caso más simple es el de dominios doblemente conectados (dominios con un solo agujero). Cualquier dominio doblemente conectado, excepto el disco perforado y el plano perforado, es conformemente equivalente a algún anillo con , sin embargo, no hay mapas conformes entre anillos excepto la inversión y la multiplicación por constantes, por lo que el anillo no es conformemente equivalente al anillo (como se puede probar usando la longitud extremal ). ${\displaystyle \{z:r<|z|<1\}}$ ${\displaystyle 0<r<1}$ ${\displaystyle \{z:1<|z|<2\}}$ ${\displaystyle \{z:1<|z|<4\}}$
• El análogo del teorema de aplicación de Riemann en tres o más dimensiones reales no es cierto. La familia de aplicaciones conformes en tres dimensiones es muy pobre y esencialmente contiene sólo transformaciones de Möbius (véase el teorema de Liouville ).
• Incluso si se permiten homeomorfismos arbitrarios en dimensiones superiores, se pueden encontrar variedades contráctiles que no sean homeomorfas a la bola (por ejemplo, el continuo de Whitehead ).
• El análogo del teorema de aplicación de Riemann en varias variables complejas tampoco es cierto. En ( ), la bola y el polidisco están simplemente conectados, pero no hay una aplicación biholomórfica entre ellos. ^[9] ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ ${\displaystyle n\geq 2}$

Prueba mediante familias normales

Conectividad sencilla

Teorema. Para un dominio abierto las siguientes condiciones son equivalentes: ^[10] ${\displaystyle G\subset \mathbb {C} }$

1. ${\displaystyle G}$está simplemente conectado;
2. la integral de cada función holomorfa alrededor de una curva suave cerrada por partes se desvanece; ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle G}$
3. toda función holomorfa en es la derivada de una función holomorfa; ${\displaystyle G}$
4. toda función holomórfica que no desaparece en ninguna parte tiene un logaritmo holomórfico; ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle G}$
5. toda función holomórfica que no desaparece en ninguna parte tiene una raíz cuadrada holomórfica; ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle G}$
6. para cualquier , el número de bobinados de para cualquier curva cerrada suave por partes en es ; ${\displaystyle w\notin G}$ ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle 0}$
7. El complemento de en el plano complejo extendido es conexo. ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \mathbb {C} \cup \{\infty \}}$

(1) ⇒ (2) porque cualquier curva cerrada continua, con punto base , puede deformarse continuamente hasta la curva constante . Por lo tanto, la integral de línea de sobre la curva es . ${\displaystyle a\in G}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle f\,\mathrm {d} z}$ ${\displaystyle 0}$

(2) ⇒ (3) porque la integral sobre cualquier camino suave por partes desde hasta se puede utilizar para definir una primitiva. ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle z}$

(3) ⇒ (4) integrando a lo largo de a para dar una rama del logaritmo. ${\displaystyle f^{-1}\,\mathrm {d} f/\mathrm {d} z}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle x}$

(4) ⇒ (5) tomando la raíz cuadrada como donde es una elección holomórfica de logaritmo. ${\displaystyle g(z)=\exp(f(x)/2)}$ ${\displaystyle f}$

(5) ⇒ (6) porque si es una curva cerrada por partes y son raíces cuadradas sucesivas de para fuera de , entonces el número de vueltas de aproximadamente es por el número de vueltas de aproximadamente . Por lo tanto, el número de vueltas de aproximadamente debe ser divisible por para todo , por lo que debe ser igual a . ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle f_{n}}$ ${\displaystyle z-w}$ ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle f_{n}\circ \gamma }$ ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle 2^{n}}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle 2^{n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle 0}$

(6) ⇒ (7) de lo contrario el plano extendido puede escribirse como la unión disjunta de dos conjuntos abiertos y cerrados y con y acotados. Sea la distancia euclidiana más corta entre y y construya una cuadrícula cuadrada sobre con longitud con un punto de en el centro de un cuadrado. Sea el conjunto compacto de la unión de todos los cuadrados con distancia desde . Entonces y no se encuentra con o : consiste en un número finito de segmentos horizontales y verticales en la formación de un número finito de caminos rectangulares cerrados . Tomando como todos los cuadrados que cubren , entonces es igual a la suma de los números de sinuosos de sobre , dando así . Por otro lado, la suma de los números de sinuosos de aproximadamente es igual a . Por lo tanto, el número de sinuoso de al menos uno de los aproximadamente no es cero. ${\displaystyle \mathbb {C} \cup \{\infty \}\setminus G}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \infty \in B}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \delta >0}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \delta /4}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle \leq \delta /4}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle C\cap B=\varnothing }$ ${\displaystyle \partial C}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \gamma _{j}\in G}$ ${\displaystyle C_{i}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle {\frac {1}{2\pi }}\int _{\partial C}\mathrm {d} \mathrm {arg} (z-a)}$ ${\displaystyle C_{i}}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle \gamma _{j}}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle \gamma _{j}}$ ${\displaystyle a}$

(7) ⇒ (1) Este es un argumento puramente topológico. Sea una curva cerrada suave por partes basada en . Por aproximación, γ está en la misma clase de homotopía que un camino rectangular en la cuadrícula cuadrada de longitud basada en ; un camino rectangular de este tipo está determinado por una sucesión de lados verticales y horizontales consecutivos dirigidos. Por inducción en , un camino de este tipo puede deformarse en un camino constante en una esquina de la cuadrícula. Si el camino se interseca en un punto , entonces se divide en dos caminos rectangulares de longitud , y por lo tanto puede deformarse en el camino constante en por la hipótesis de inducción y las propiedades elementales del grupo fundamental . El razonamiento sigue un "argumento del noreste": ^{[11] [12]} en el camino que no se autointerseca habrá una esquina con la parte real más grande (este) y luego entre esas una con la parte imaginaria más grande (norte). Invirtiendo la dirección si es necesario, el camino va desde a y luego a para y luego va hacia la izquierda a . Sea el rectángulo abierto con estos vértices. El número de vuelta del camino es para los puntos a la derecha del segmento vertical desde hasta y para los puntos a la derecha; y por lo tanto dentro de . Como el número de vuelta está fuera de , se encuentra en . Si es un punto del camino, debe estar en ; si está en pero no en el camino, por continuidad el número de vuelta del camino alrededor de es , por lo que también debe estar en . Por lo tanto . Pero en este caso el camino se puede deformar reemplazando los tres lados del rectángulo por el cuarto, lo que da como resultado dos lados menos (con autointersecciones permitidas). ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle z_{0}\in G}$ ${\displaystyle \delta >0}$ ${\displaystyle z_{0}}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle z_{1}}$ ${\displaystyle <N}$ ${\displaystyle z_{1}}$ ${\displaystyle z_{0}}$ ${\displaystyle z_{0}-\delta }$ ${\displaystyle z_{0}}$ ${\displaystyle w_{0}=z_{0}-in\delta }$ ${\displaystyle n\geq 1}$ ${\displaystyle w_{0}-\delta }$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle z_{0}}$ ${\displaystyle w_{0}}$ ${\displaystyle -1}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle \partial R}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle -1}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle R\cup \partial R\subset G}$

Teorema de mapeo de Riemann

• Teorema de convergencia de Weierstrass. El límite uniforme de compacta de una sucesión de funciones holomorfas es holomorfa; lo mismo ocurre con las derivadas.

Esta es una consecuencia inmediata del teorema de Morera para el primer enunciado. La fórmula integral de Cauchy proporciona una fórmula para las derivadas que puede utilizarse para comprobar que las derivadas también convergen uniformemente en compacta. ^[13]

• Teorema de Hurwitz . Si una secuencia de funciones holomorfas que no se anulan en ningún punto en un dominio abierto tiene un límite uniforme en compacta, entonces el límite es idénticamente cero o el límite no se anula en ningún punto. Si una secuencia de funciones holomorfas univalentes en un dominio abierto tiene un límite uniforme en compacta, entonces el límite es constante o el límite es univalente.

Si la función límite no es cero, entonces sus ceros deben aislarse. Los ceros con multiplicidades se pueden contar por el número de vueltas para una función holomorfa . Por lo tanto, los números de vueltas son continuos bajo límites uniformes, de modo que si cada función en la secuencia no tiene ceros, tampoco puede hacerlo el límite. Para la segunda afirmación, supongamos que y establecen . Estos no se desvanecen en ninguna parte en un disco, pero se desvanecen en , por lo que deben desvanecerse de manera idéntica. ^[14] ${\displaystyle {\frac {1}{2\pi i}}\int _{C}g^{-1}(z)g'(z)\mathrm {d} z}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle f(a)=f(b)}$ ${\displaystyle g_{n}(z)=f_{n}(z)-f_{n}(a)}$ ${\displaystyle g(z)=f(z)-f(a)}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle g}$

Definiciones. Se dice que una familia de funciones holomorfas en un dominio abierto es normal si cualquier secuencia de funciones en tiene una subsecuencia que converge a una función holomorfa uniformemente en compacta. Una familia es compacta si siempre que una secuencia se encuentra en y converge uniformemente a en compacta, entonces también se encuentra en . Se dice que una familia está acotada localmente si sus funciones están acotadas uniformemente en cada disco compacto. Derivando la fórmula integral de Cauchy , se deduce que las derivadas de una familia acotada localmente también están acotadas localmente. ^{[15] [16]} ${\displaystyle {\cal {F}}}$ ${\displaystyle {\cal {F}}}$ ${\displaystyle {\cal {F}}}$ ${\displaystyle f_{n}}$ ${\displaystyle {\cal {F}}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle {\cal {F}}}$ ${\displaystyle {\cal {F}}}$

• Teorema de Montel . Toda familia localmente acotada de funciones holomorfas en un dominioes normal. ${\displaystyle G}$

Sea una secuencia totalmente acotada y se eligió un subconjunto denso numerable de . Por acotación local y un "argumento diagonal", se puede elegir una subsecuencia de modo que sea convergente en cada punto . Se debe verificar que esta secuencia de funciones holomorfas converge en uniformemente en cada compactum . Tómese abierta con tal que el cierre de sea compacto y contenga a . Dado que la secuencia está acotada localmente, en . Por compacidad, si se toma suficientemente pequeño, se requiere cubrir un número finito de discos abiertos de radio mientras se permanece en . Dado que ${\displaystyle f_{n}}$ ${\displaystyle w_{m}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle g_{n}}$ ${\displaystyle w_{m}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle K\subset E}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \{g_{n}'\}}$ ${\displaystyle |g_{n}'|\leq M}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \delta >0}$ ${\displaystyle D_{k}}$ ${\displaystyle \delta >0}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle E}$

${\displaystyle g_{n}(b)-g_{n}(a)=\int _{a}^{b}g_{n}^{\prime }(z)\,dz}$,

tenemos que . Ahora para cada uno elige alguno en donde converge, toma y tan grande que esté dentro de su límite. Entonces para , ${\displaystyle |g_{n}(a)-g_{n}(b)|\leq M|a-b|\leq 2\delta M}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle w_{i}}$ ${\displaystyle D_{k}}$ ${\displaystyle g_{n}(w_{i})}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle z\in D_{k}}$

${\displaystyle |g_{n}(z)-g_{m}(z)|\leq |g_{n}(z)-g_{n}(w_{i})|+|g_{n}(w_{i})-g_{m}(w_{i})|+|g_{m}(w_{1})-g_{m}(z)|\leq 4M\delta +2\delta .}$

Por lo tanto, la secuencia forma una secuencia de Cauchy en la norma uniforme como se requiere. ^{[17] [18]} ${\displaystyle \{g_{n}\}}$ ${\displaystyle K}$

• Teorema de mapeo de Riemann. Si es un dominio simplemente conexo y , existe un mapeo conforme único de sobre el disco unitario normalizado tal que y . ${\displaystyle G\neq \mathbb {C} }$ ${\displaystyle a\in G}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle f(a)=0}$ ${\displaystyle f'(a)>0}$

La unicidad se deduce porque si y cumplieran las mismas condiciones, sería una función holomorfa univalente del disco unidad con y . Pero por el lema de Schwarz , las funciones holomorfas univalentes del disco unidad sobre sí mismo están dadas por las transformaciones de Möbius ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle h=f\circ g^{-1}}$ ${\displaystyle h(0)=0}$ ${\displaystyle h'(0)>0}$

${\displaystyle k(z)=e^{i\theta }(z-\alpha )/(1-{\overline {\alpha }}z)}$

con . Entonces debe ser el mapa identidad y . ${\displaystyle |\alpha |<1}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle f=g}$

Para probar la existencia, tome como la familia de aplicaciones univalentes holomorfas de en el disco unitario abierto con y . Es una familia normal por el teorema de Montel. Por la caracterización de la conectividad simple, porque hay una rama holomorfa de la raíz cuadrada en . Es univalente y para . Como debe contener un disco cerrado con centro y radio , ningún punto de puede estar en . Sea la única transformación de Möbius que toma sobre con la normalización y . Por construcción está en , por lo que no está vacío . El método de Koebe es usar una función extremal para producir una aplicación conforme que resuelva el problema: en esta situación a menudo se la llama función de Ahlfors de G , en honor a Ahlfors . ^[19] Sea el supremo de para . Elija con que tiende a . Por el teorema de Montel, pasando a una subsucesión si es necesario, tiende a una función holomorfa uniformemente en compacta. Por el teorema de Hurwitz, es univalente o constante. Pero tiene y . Por lo tanto es finito, igual a y . Queda por comprobar que la aplicación conforme toma en . Si no, tome en y sea una raíz cuadrada holomorfa de en . La función es univalente y se aplica en . Sea ${\displaystyle {\cal {F}}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle f(a)=0}$ ${\displaystyle f'(a)>0}$ ${\displaystyle b\in \mathbb {C} \setminus G}$ ${\displaystyle h(z)={\sqrt {z-b}}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle h(z_{1})\neq -h(z_{2})}$ ${\displaystyle z_{1},z_{2}\in G}$ ${\displaystyle h(G)}$ ${\displaystyle \Delta }$ ${\displaystyle h(a)}$ ${\displaystyle r>0}$ ${\displaystyle -\Delta }$ ${\displaystyle h(G)}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle \mathbb {C} \setminus -\Delta }$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle F(h(a))=0}$ ${\displaystyle (F\circ h)'(a)=F'(h(a))\cdot h'(a)>0}$ ${\displaystyle F\circ h}$ ${\displaystyle {\cal {F}}}$ ${\displaystyle {\cal {F}}}$ ${\displaystyle 0<M\leq \infty }$ ${\displaystyle f'(a)}$ ${\displaystyle f\in {\cal {F}}}$ ${\displaystyle f_{n}\in {\cal {F}}}$ ${\displaystyle f_{n}'(a)}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle f_{n}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f(a)=0}$ ${\displaystyle f'(a)>0}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle f'(a)>0}$ ${\displaystyle {f\in {\cal {F}}}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle c\neq 0}$ ${\displaystyle D\setminus f(G)}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle (f(z)-c)/(1-{\overline {c}}f(z))}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle D}$

${\displaystyle F(z)={\frac {e^{i\theta }(H(z)-H(a))}{1-{\overline {H(a)}}H(z)}},}$

donde . Entonces , un cálculo de rutina muestra que ${\displaystyle H'(a)/|H'(a)|=e^{-i\theta }}$ ${\displaystyle F\in {\cal {F}}}$

${\displaystyle F'(a)=H'(a)/(1-|H(a)|^{2})=f'(a)\left({\sqrt {|c|}}+{\sqrt {|c|^{-1}}}\right)/2>f'(a)=M.}$

Esto contradice la maximalidad de , por lo que debe tomar todos los valores en . ^{[20] [21] [22]} ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle D}$

Observación. Como consecuencia del teorema de aplicación de Riemann, todo dominio simplemente conexo en el plano es homeomorfo al disco unitario. Si se omiten los puntos, esto se deduce del teorema. Para todo el plano, el homeomorfismo da un homeomorfismo de sobre . ${\displaystyle \phi (x)=z/(1+|z|)}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle D}$

Mapeos de rendijas paralelas

El teorema de uniformización de Koebe para familias normales también se generaliza para producir uniformizadores para dominios conexos múltiples a dominios de rendijas paralelas finitas , donde las rendijas tienen un ángulo con el eje x . Por lo tanto, si es un dominio en que contiene y está limitado por un número finito de contornos de Jordan, existe una función univalente única en con ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \mathbb {C} \cup \{\infty \}}$ ${\displaystyle \infty }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle G}$

${\displaystyle f(z)=z^{-1}+a_{1}z+a_{2}z^{2}+\cdots }$

cerca , maximizando y teniendo imagen un dominio de rendija paralela con ángulo con el eje x . ^{[23] [24] [25]} ${\displaystyle \infty }$ ${\displaystyle \mathrm {Re} (e^{-2i\theta }a_{1})}$ ${\displaystyle f(G)}$ ${\displaystyle \theta }$

La primera prueba de que los dominios de rendijas paralelas eran dominios canónicos para en el caso múltiplemente conexo fue dada por David Hilbert en 1909. Jenkins (1958), en su libro sobre funciones univalentes y aplicaciones conformes, dio un tratamiento basado en el trabajo de Herbert Grötzsch y René de Possel de principios de la década de 1930; fue el precursor de las aplicaciones cuasiconformales y las diferenciales cuadráticas , desarrolladas posteriormente como la técnica de la métrica extremal debido a Oswald Teichmüller . ^[26] Menahem Schiffer dio un tratamiento basado en principios variacionales muy generales , resumidos en discursos que dio en el Congreso Internacional de Matemáticos en 1950 y 1958. En un teorema sobre "variación en el límite" (para distinguirlo de la "variación interior"), derivó una ecuación diferencial y una desigualdad, que se basaban en una caracterización teórica de la medida de los segmentos de línea recta debido a Ughtred Shuttleworth Haslam-Jones de 1936. La prueba de Haslam-Jones se consideró difícil y solo se le dio una prueba satisfactoria a mediados de la década de 1970 por Schober y Campbell-Lamoureux. ^{[27] [28] [29]}

Schiff (1993) dio una prueba de uniformización para dominios de rendijas paralelas que era similar al teorema de aplicación de Riemann. Para simplificar la notación, se tomarán rendijas horizontales. En primer lugar, por la desigualdad de Bieberbach , cualquier función univalente

${\displaystyle g(z)=z+cz^{2}+\cdots }$

con dentro del disco unitario abierto debe satisfacer . Como consecuencia, si ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle |c|\leq 2}$

${\displaystyle f(z)=z+a_{0}+a_{1}z^{-1}+\cdots }$

es univalente en , entonces . Para ver esto, tome y establezca ${\displaystyle |z|>R}$ ${\displaystyle |f(z)-a_{0}|\leq 2|z|}$ ${\displaystyle S>R}$

${\displaystyle g(z)=S(f(S/z)-b)^{-1}}$

para en el disco unitario, eligiendo de modo que el denominador no se anule en ningún punto, y aplicamos el lema de Schwarz . A continuación, la función se caracteriza por una "condición extrema" como la única función univalente en de la forma que maximiza : esta es una consecuencia inmediata del teorema del área de Grönwall , aplicado a la familia de funciones univalentes en . ^{[30] [31]} ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle f_{R}(z)=z+R^{2}/z}$ ${\displaystyle z>R}$ ${\displaystyle z+a_{1}z^{-1}+\cdots }$ ${\displaystyle \mathrm {Re} (a_{1})}$ ${\displaystyle f(zR)/R}$ ${\displaystyle z>1}$

Para demostrar ahora que el dominio conexo múltiple se puede uniformizar mediante una aplicación conforme de rendija paralela horizontal ${\displaystyle G\subset \mathbb {C} \cup \{\infty \}}$

${\displaystyle f(z)=z+a_{1}z^{-1}+\cdots }$,

tome lo suficientemente grande como para que se encuentre en el disco abierto . Para , la univalencia y la estimación implican que, si se encuentra en con , entonces . Dado que la familia de univalentes está localmente acotada en , por el teorema de Montel forman una familia normal. Además, si está en la familia y tiende a uniformemente en compacta, entonces también está en la familia y cada coeficiente de la expansión de Laurent en de la tiende al coeficiente correspondiente de . Esto se aplica en particular al coeficiente: por lo que por compacidad hay un univalente que maximiza . Para comprobar que ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle \partial G}$ ${\displaystyle |z|<R}$ ${\displaystyle S>R}$ ${\displaystyle |f(z)|\leq 2|z|}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle |z|\leq S}$ ${\displaystyle |f(z)|\leq 2S}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle G\setminus \{\infty \}}$ ${\displaystyle f_{n}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \infty }$ ${\displaystyle f_{n}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \mathrm {Re} (a_{1})}$

${\displaystyle f(z)=z+a_{1}+\cdots }$

es la transformación de rendija paralela requerida, supongamos que se realiza una reducción al absurdo que tiene un componente compacto y conexo de su borde que no es una rendija horizontal. Entonces, el complemento de en está simplemente conectado con . Por el teorema de aplicación de Riemann, existe una aplicación conforme ${\displaystyle f(G)=G_{1}}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle G_{2}}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle \mathbb {C} \cup \{\infty \}}$ ${\displaystyle G_{2}\supset G_{1}}$

${\displaystyle h(w)=w+b_{1}w^{-1}+\cdots ,}$

de tal manera que se le quita una rendija horizontal. Entonces tenemos que ${\displaystyle h(G_{2})}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$

${\displaystyle h(f(z))=z+(a_{1}+b_{1})z^{-1}+\cdots ,}$

y por lo tanto por la extremalidad de . Por lo tanto, . Por otra parte por el teorema de aplicación de Riemann hay una aplicación conforme ${\displaystyle \mathrm {Re} (a_{1}+b_{1})\leq \mathrm {Re} (a_{1})}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \mathrm {Re} (b_{1})\leq 0}$

${\displaystyle k(w)=w+c_{0}+c_{1}w^{-1}+\cdots ,}$

mapeo de sobre . Entonces ${\displaystyle |w|>S}$ ${\displaystyle G_{2}}$

${\displaystyle f(k(w))-c_{0}=w+(a_{1}+c_{1})w^{-1}+\cdots .}$

Por la maximalidad estricta para la función de rendija en el párrafo anterior, podemos ver que , de modo que . Las dos desigualdades para son contradictorias. ^{[32] [33] [34]} ${\displaystyle \mathrm {Re} (c_{1})<\mathrm {Re} (b_{1}+c_{1})}$ ${\displaystyle \mathrm {Re} (b_{1})>0}$ ${\displaystyle \mathrm {Re} (b_{1})}$

La prueba de la unicidad de la transformación de rendijas paralelas conformes se da en Goluzin (1969) y Grunsky (1978). Aplicando la inversa de la transformada de Joukowsky al dominio de la rendija horizontal, se puede suponer que es un dominio limitado por el círculo unitario y contiene arcos analíticos y puntos aislados (las imágenes de otras rendijas horizontales paralelas). Por lo tanto, tomando un fijo , hay una aplicación univalente ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle C_{0}}$ ${\displaystyle C_{i}}$ ${\displaystyle a\in G}$

${\displaystyle F_{0}(w)=h\circ f(w)=(w-a)^{-1}+a_{1}(w-a)+a_{2}(w-a)^{2}+\cdots ,}$

con su imagen un dominio de rendija horizontal. Supongamos que es otro uniformizador con ${\displaystyle F_{1}(w)}$

${\displaystyle F_{1}(w)=(w-a)^{-1}+b_{1}(w-a)+b_{2}(w-a)^{2}+\cdots .}$

Las imágenes bajo o de cada una tienen una coordenada y fija , por lo que son segmentos horizontales. Por otra parte, es holomorfa en . Si es constante, entonces debe ser idénticamente cero ya que . Supongamos que no es constante, entonces por suposición son todas las líneas horizontales. Si no está en una de estas líneas, el principio de argumento de Cauchy muestra que el número de soluciones de en es cero (cualquiera eventualmente será rodeada por contornos en cercanos a los de ). Esto contradice el hecho de que la función holomorfa no constante es una aplicación abierta . ^[35] ${\displaystyle F_{0}}$ ${\displaystyle F_{1}}$ ${\displaystyle C_{i}}$ ${\displaystyle F_{2}(w)=F_{0}(w)-F_{1}(w)}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle F_{2}(a)=0}$ ${\displaystyle F_{2}}$ ${\displaystyle F_{2}(C_{i})}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle F_{2}(w)=t}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle C_{i}}$ ${\displaystyle F_{2}}$

Demostración esquemática mediante el problema de Dirichlet

Dados y un punto , queremos construir una función que se asigne al disco unitario y a . Para este esquema, supondremos que U está acotado y su borde es suave, de forma muy similar a lo que hizo Riemann. Escriba ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle z_{0}\in U}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle z_{0}}$ ${\displaystyle 0}$

${\displaystyle f(z)=(z-z_{0})e^{g(z)},}$

donde es una función holomorfa (por determinar) con parte real y parte imaginaria . Entonces está claro que es el único cero de . Requerimos para , por lo que necesitamos ${\displaystyle g=u+iv}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle z_{0}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle |f(z)|=1}$ ${\displaystyle z\in \partial U}$

${\displaystyle u(z)=-\log |z-z_{0}|}$

en el límite. Como es la parte real de una función holomorfa, sabemos que es necesariamente una función armónica ; es decir, satisface la ecuación de Laplace . ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle u}$

La pregunta entonces es: ¿existe una función armónica de valor real que esté definida en todos los de y tenga la condición de contorno dada? La respuesta positiva la proporciona el principio de Dirichlet . Una vez que se ha establecido la existencia de , las ecuaciones de Cauchy-Riemann para la función holomorfa nos permiten encontrar (este argumento depende del supuesto de que sean simplemente conexos). Una vez que se han construido y , hay que comprobar que la función resultante tiene efectivamente todas las propiedades requeridas. ^[36] ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle f}$

Teorema de uniformización

El teorema de aplicación de Riemann se puede generalizar al contexto de las superficies de Riemann : si es un subconjunto abierto simplemente conexo no vacío de una superficie de Riemann , entonces es biholomorfo con respecto a uno de los siguientes: la esfera de Riemann , el plano complejo o el disco unitario . Esto se conoce como el teorema de uniformización . ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle D}$

Teorema de aplicación de Riemann suave

En el caso de un dominio acotado simplemente conexo con borde liso, la función de mapeo de Riemann y todas sus derivadas se extienden por continuidad hasta el cierre del dominio. Esto se puede demostrar utilizando propiedades de regularidad de soluciones del problema de valor de borde de Dirichlet, que se desprenden de la teoría de espacios de Sobolev para dominios planares o de la teoría de potenciales clásica . Otros métodos para demostrar el teorema de mapeo de Riemann liso incluyen la teoría de funciones kernel ^[37] o la ecuación de Beltrami .

Algoritmos

El mapeo conforme computacional ocupa un lugar destacado en problemas de análisis aplicado y física matemática, así como en disciplinas de ingeniería, como el procesamiento de imágenes.

A principios de los años 1980 se descubrió un algoritmo elemental para calcular mapas conformes. Dados puntos en el plano, el algoritmo calcula un mapa conforme explícito del disco unitario sobre una región delimitada por una curva de Jordan con Este algoritmo converge para regiones de Jordan ^[38] en el sentido de límites uniformemente cercanos. Existen estimaciones uniformes correspondientes en la región cerrada y el disco cerrado para las funciones de mapeo y sus inversas. Se obtienen estimaciones mejoradas si los puntos de datos se encuentran en una curva o un K - quasicircle . El algoritmo fue descubierto como un método aproximado para la soldadura conforme; sin embargo, también puede verse como una discretización de la ecuación diferencial de Loewner . ^[39] ${\displaystyle z_{0},\ldots ,z_{n}}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle z_{0},\ldots ,z_{n}\in \gamma .}$ ${\displaystyle C^{1}}$

Se sabe lo siguiente sobre la aproximación numérica del mapeo conforme entre dos dominios planares. ^[40]

Resultados positivos:

• Hay un algoritmo A que calcula el mapa uniformizador en el siguiente sentido. Sea un dominio simplemente conexo acotado, y . se proporciona a A por un oráculo que lo representa en un sentido pixelado (es decir, si la pantalla está dividida en píxeles, el oráculo puede decir si cada píxel pertenece al límite o no). Entonces A calcula los valores absolutos del mapa uniformizador con precisión en el espacio acotado por y tiempo , donde depende solo del diámetro de y Además, el algoritmo calcula el valor de con precisión siempre que Además, A consulta con precisión de como máximo En particular, si es un espacio polinomial computable en el espacio para alguna constante y tiempo , entonces A se puede utilizar para calcular el mapa uniformizador en el espacio y el tiempo ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle w_{0}\in \Omega }$ ${\displaystyle \partial \Omega }$ ${\displaystyle 2^{n}\times 2^{n}}$ ${\displaystyle \phi :(\Omega ,w_{0})\to (D,0)}$ ${\displaystyle 2^{-n}}$ ${\displaystyle Cn^{2}}$ ${\displaystyle 2^{O(n)}}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle d(w_{0},\partial \Omega ).}$ ${\displaystyle \phi (w)}$ ${\displaystyle 2^{-n}}$ ${\displaystyle |\phi (w)|<1-2^{-n}.}$ ${\displaystyle \partial \Omega }$ ${\displaystyle 2^{-O(n)}.}$ ${\displaystyle \partial \Omega }$ ${\displaystyle n^{a}}$ ${\displaystyle a\geq 1}$ ${\displaystyle T(n)<2^{O(n^{a})},}$ ${\displaystyle C\cdot n^{\max(a,2)}}$ ${\displaystyle 2^{O(n^{a})}.}$

• Existe un algoritmo A′ que calcula el mapa uniformizador en el siguiente sentido. Sea un dominio acotado simplemente conexo, y Supongamos que para algunos se da a A′ con precisión de píxeles. Entonces A′ calcula los valores absolutos del mapa uniformizador dentro de un error de en un espacio aleatorio acotado por un polinomio de tiempo en (es decir, por una máquina BPL( n )). Además, el algoritmo calcula el valor de con precisión siempre que ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle w_{0}\in \Omega .}$ ${\displaystyle n=2^{k},}$ ${\displaystyle \partial \Omega }$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{n}}}$ ${\displaystyle O(n^{2})}$ ${\displaystyle \phi :(\Omega ,w_{0})\to (D,0)}$ ${\displaystyle O(1/n)}$ ${\displaystyle O(k)}$ ${\displaystyle n=2^{k}}$ ${\displaystyle \phi (w)}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{n}}}$ ${\displaystyle |\phi (w)|<1-{\tfrac {1}{n}}.}$

Resultados negativos:

• Supongamos que existe un algoritmo A que, dado un dominio simplemente conexo con un límite computable en tiempo lineal y un radio interior y un número, calcula los primeros dígitos del radio conforme. Entonces, podemos usar una llamada a A para resolver cualquier instancia de un #SAT ( n ) con una sobrecarga de tiempo lineal. En otras palabras, #P es poli-tiempo reducible al cálculo del radio conforme de un conjunto. ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle >1/2}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle 20n}$ ${\displaystyle r(\Omega ,0),}$

• Considere el problema de calcular el radio conforme de un dominio simplemente conexo donde el límite de está dado con precisión por una colección explícita de píxeles. Denote el problema de calcular el radio conforme con precisión por Entonces, ¿ AC0 es reducible a para cualquier ${\displaystyle \Omega ,}$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle 1/n}$ ${\displaystyle O(n^{2})}$ ${\displaystyle 1/n^{c}}$ ${\displaystyle {\texttt {CONF}}(n,n^{c}).}$ ${\displaystyle {\texttt {MAJ}}_{n}}$ ${\displaystyle {\texttt {CONF}}(n,n^{c})}$ ${\displaystyle 0<c<{\tfrac {1}{2}}.}$

Véase también

• Teorema de mapeo de Riemann medible
• Mapeo de Schwarz-Christoffel : una transformación conforme del semiplano superior al interior de un polígono simple.
• Radio conforme

Notas

1. La existencia de f es equivalente a la existencia de una función de Green .
2. Ahlfors, Lars (1953), L. Ahlfors; E. Calabi; M. Morse; L. Sario; D. Spencer (eds.), "Desarrollos de la teoría de mapeo conforme y superficies de Riemann a través de un siglo", Contribuciones a la teoría de superficies de Riemann : 3–4
3. Para el artículo original, véase Osgood 1900. Para relatos de la historia, véase Walsh 1973, pp. 270-271; Gray 1994, pp. 64-65; Greene & Kim 2017, p. 4. Véase también Carathéodory 1912, p. 108, nota al pie ** (reconociendo que Osgood 1900 ya había demostrado el teorema de mapeo de Riemann).
4. Gray 1994, págs. 78-80, citando a Carathéodory 1912
5. Greene y Kim 2017, pág. 1
6. Gray 1994, págs. 80-83
7. "¿Qué aportó Riemann a las matemáticas? Geometría, teoría de números y otras" (PDF) .
8. Lakhtakia, Akhlesh; Varadan, Vijay K.; Messier, Russell (agosto de 1987). "Generalizaciones y aleatorización de la curva de Koch plana". Journal of Physics A: Mathematical and General . 20 (11): 3537–3541. doi :10.1088/0305-4470/20/11/052.
9. Remmert 1998, sección 8.3, p. 187
10. Ver
    • Ahlfors 1978
    • Barbadón 1979
    • Conway 1978
    • Gamelina 2001
11. Gamelin 2001, págs. 256-257, prueba elemental
12. Berenstein y Gay 1991, págs. 86-87
13. Gamelín 2001
14. Gamelín 2001
15. Duren 1983
16. Jänich 1993
17. Duren 1983
18. Jänich 1993
19. Gamelin 2001, pág. 309
20. Duren 1983
21. Jänich 1993
22. Ahlfors 1978
23. Jenkins 1958, págs. 77-78
24. Duren 1980
25. Schiff 1993, págs. 162-166
26. Jenkins 1958, págs. 77-78
27. Schober 1975
28. Duren 1980
29. Duren 1983
30. Schiff 1993
31. Goluzin 1969, págs. 210-216
32. Schiff 1993
33. Goluzin 1969, págs. 210-216
34. Nehari 1952, págs. 351–358
35. Goluzin 1969, págs. 214-215
36. Gamelin 2001, págs. 390–407
37. Campana 1992
38. Una región de Jordan es el interior de una curva de Jordan .
39. Marshall, Donald E.; Rohde, Steffen (2007). "Convergencia de una variante del algoritmo Zipper para mapeo conforme". Revista SIAM sobre análisis numérico . 45 (6): 2577. CiteSeerX 10.1.1.100.2423 . doi :10.1137/060659119. 
40. Binder, Ilia; Braverman, Mark; Yampolsky, Michael (2007). "Sobre la complejidad computacional de la función de Riemann". Arkiv för Matematik . 45 (2): 221. arXiv : math/0505617 . Bibcode :2007ArM....45..221B. doi :10.1007/s11512-007-0045-x. S2CID  14545404.

Referencias

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Enlaces externos

• Dolzhenko, EP (2001) [1994], "Teorema de Riemann", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press