Teorema del cuarto de Koebe

Afirmación en análisis complejo

En el análisis complejo , una rama de las matemáticas , el teorema de Koebe 1/4 establece lo siguiente:

Teorema del cuarto de Koebe. La imagen de una función analítica inyectiva del disco unitario sobre un subconjunto del plano complejo contiene el disco cuyo centro es y cuyo radio es . ${\displaystyle f:\mathbf {D} \to \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbf {D} }$ ${\displaystyle f(0)}$ ${\displaystyle |f'(0)|/4}$

El teorema recibe su nombre en honor a Paul Koebe , quien conjeturó el resultado en 1907. El teorema fue demostrado por Ludwig Bieberbach en 1916. El ejemplo de la función de Koebe muestra que la constante del teorema no se puede mejorar (aumentar). ${\displaystyle 1/4}$

Un resultado relacionado es el lema de Schwarz , y una noción relacionada con ambos es el radio conforme .

Teorema del área de Grönwall

Supongamos que

${\displaystyle g(z)=z+b_{1}z^{-1}+b_{2}z^{-2}+\cdots }$

es univalente en . Entonces ${\displaystyle |z|>1}$

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }n|b_{n}|^{2}\leq 1.}$

De hecho, si , el complemento de la imagen del disco es un dominio acotado . Su área está dada por ${\displaystyle r>1}$ ${\displaystyle |z|>r}$ ${\displaystyle X(r)}$

${\displaystyle \int _{X(r)}dx\,dy={1 \over 2i}\int _{\partial X(r)}{\overline {z}}\,dz={1 \over 2i}\int _{|z|=r}{\overline {g}}\,dg=\pi r^{2}-\pi \sum _{n=1}^{\infty }n|b_{n}|^{2}r^{-2n}.}$

Como el área es positiva, el resultado se obtiene al hacer que disminuya a . La prueba anterior muestra que la igualdad se cumple si y solo si el complemento de la imagen de tiene área cero, es decir, medida de Lebesgue cero. ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle g}$

Este resultado fue demostrado en 1914 por el matemático sueco Thomas Hakon Grönwall .

Función de Koebe

La función de Koebe se define por

${\displaystyle f(z)={\frac {z}{(1-z)^{2}}}=\sum _{n=1}^{\infty }nz^{n}}$

La aplicación del teorema a esta función muestra que la constante del teorema no se puede mejorar, ya que el dominio de la imagen no contiene el punto y, por lo tanto, no puede contener ningún disco centrado en con un radio mayor que . ${\displaystyle 1/4}$ ${\displaystyle f(\mathbf {D} )}$ ${\displaystyle z=-1/4}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle 1/4}$

La función de Koebe rotada es

${\displaystyle f_{\alpha }(z)={\frac {z}{(1-\alpha z)^{2}}}=\sum _{n=1}^{\infty }n\alpha ^{n-1}z^{n}}$

con un número complejo de valor absoluto . La función de Koebe y sus rotaciones son schlicht : es decir, univalentes (analíticas y biunívocas ) y satisfactorias y . ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle f(0)=0}$ ${\displaystyle f'(0)=1}$

Desigualdad del coeficiente de Bieberbach para funciones univalentes

Dejar

${\displaystyle g(z)=z+a_{2}z^{2}+a_{3}z^{3}+\cdots }$

ser univalente en . Entonces ${\displaystyle |z|<1}$

${\displaystyle |a_{2}|\leq 2.}$

Esto se deduce de la aplicación del teorema del área de Gronwall a la función univalente impar.

${\displaystyle g(z^{-2})^{-1/2}=z-{1 \over 2}a_{2}z^{-1}+\cdots .}$

La igualdad se cumple si y sólo si es una función de Koebe rotada. ${\displaystyle g}$

Este resultado fue demostrado por Ludwig Bieberbach en 1916 y proporcionó la base para su célebre conjetura de que , demostrada en 1985 por Louis de Branges . ${\displaystyle |a_{n}|\leq n}$

Prueba del teorema del cuarto

Aplicando un mapa afín, se puede suponer que

${\displaystyle f(0)=0,\,\,\,f^{\prime }(0)=1,}$

de modo que

${\displaystyle f(z)=z+a_{2}z^{2}+\cdots .}$

En particular, la desigualdad de coeficientes da que . Si no está en , entonces ${\displaystyle |a_{2}|\leq 2}$ ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle f(\mathbf {D} )}$

${\displaystyle h(z)={wf(z) \over w-f(z)}=z+(a_{2}+w^{-1})z^{2}+\cdots }$

es univalente en . ${\displaystyle |z|<1}$

Aplicando la desigualdad de coeficientes a se obtiene ${\displaystyle h}$

${\displaystyle |w|^{-1}=|w^{-1}|=|-a_{2}+a_{2}+w^{-1}|\leq |a_{2}|+|a_{2}+w^{-1}|\leq 4,}$

de modo que

${\displaystyle |w|\geq {1 \over 4}.}$

Teorema de distorsión de Koebe

El teorema de distorsión de Koebe proporciona una serie de límites para una función univalente y su derivada. Es una consecuencia directa de la desigualdad de Bieberbach para el segundo coeficiente y del teorema del cuarto de Koebe. ^[1]

Sea una función univalente en normalizada de modo que y y sea . Entonces ${\displaystyle f(z)}$ ${\displaystyle |z|<1}$ ${\displaystyle f(0)=0}$ ${\displaystyle f'(0)=1}$ ${\displaystyle r=|z|}$

${\displaystyle {r \over (1+r)^{2}}\leq |f(z)|\leq {r \over (1-r)^{2}}}$

${\displaystyle {1-r \over (1+r)^{3}}\leq |f^{\prime }(z)|\leq {1+r \over (1-r)^{3}}}$

${\displaystyle {1-r \over 1+r}\leq \left|z{f^{\prime }(z) \over f(z)}\right|\leq {1+r \over 1-r}}$

con igualdad si y solo si es una función de Koebe ${\displaystyle f}$

${\displaystyle f(z)={z \over (1-e^{i\theta }z)^{2}}.}$

Notas

1. Pommerenke 1975, págs. 21-22

Referencias

• Bieberbach, Ludwig (1916), "Über die Koeffizienten derjenigen Potenzreihen, welche eine schlichte Abbildung des Einheitskreises vermitteln", S.-B. Preuss. Akád. Wiss. : 940–955
• Carleson, L .; Gamelin, TDW (1993), Dinámica compleja, Universitext: Tratados de matemáticas, Springer-Verlag, págs. 1–2, ISBN 0-387-97942-5
• Conway, John B. (1995), Funciones de una variable compleja II , Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-94460-9
• Duren, PL (1983), Funciones univalentes , Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, vol. 259, Springer-Verlag, ISBN 0-387-90795-5
• Gronwall, TH (1914), "Algunas observaciones sobre la representación conforme", Annals of Mathematics , 16 : 72–76, doi :10.2307/1968044
• Nehari, Zeev (1952), Mapeo conforme , Dover, págs. 248–249, ISBN 0-486-61137-X
• Pommerenke, C. (1975), Funciones univalentes, con un capítulo sobre diferenciales cuadráticas de Gerd Jensen , Studia Mathematica/Mathematische Lehrbücher, vol. 15, Vandenhoeck y Ruprecht
• Rudin, Walter (1987). Análisis real y complejo . Serie de matemáticas avanzadas (3.ª edición). McGraw-Hill. ISBN 0-07-054234-1.Sr. 0924157  .

Enlaces externos

• Teorema de Koebe 1/4 en PlanetMath