En análisis complejo , el teorema de Runge (también conocido como teorema de aproximación de Runge ) recibe su nombre del matemático alemán Carl Runge , quien lo demostró por primera vez en el año 1885. Establece lo siguiente:
Denotando por C el conjunto de números complejos , sea K un subconjunto compacto de C y sea f una función holomorfa en un conjunto abierto que contiene a K. Si A es un conjunto que contiene al menos un número complejo de cada componente conexo y acotado de C \ K entonces existe una sucesión de funciones racionales que converge uniformemente a f en K y tal que todos los polos de las funciones están en A.
Nótese que no todo número complejo en A necesita ser un polo de cada función racional de la secuencia . Solo sabemos que para todos los miembros de que tienen polos, esos polos se encuentran en A .
Un aspecto que hace que este teorema sea tan poderoso es que se puede elegir el conjunto A de forma arbitraria. En otras palabras, se puede elegir cualquier número complejo de los componentes acotados y conexos de C \ K y el teorema garantiza la existencia de una secuencia de funciones racionales con polos solo entre esos números elegidos.
Para el caso especial en el que C \ K es un conjunto conexo (en particular cuando K es simplemente conexo), el conjunto A en el teorema estará claramente vacío. Como las funciones racionales sin polos son simplemente polinomios , obtenemos el siguiente corolario : Si K es un subconjunto compacto de C tal que C \ K es un conjunto conexo, y f es una función holomorfa en un conjunto abierto que contiene a K , entonces existe una secuencia de polinomios que tiende a f uniformemente en K (las suposiciones se pueden relajar, véase el teorema de Mergelyan ).
El teorema de Runge se generaliza de la siguiente manera: se puede tomar A como un subconjunto de la esfera de Riemann C ∪{∞} y exigir que A intersecte también el componente conexo ilimitado de K (que ahora contiene ∞). Es decir, en la formulación dada anteriormente, las funciones racionales pueden resultar tener un polo en el infinito, mientras que en la formulación más general el polo puede elegirse en cualquier lugar del componente conexo ilimitado de C \ K .
Una demostración elemental, inspirada por Sarason (1998), procede de la siguiente manera. Existe un contorno cerrado, lineal por partes, Γ en el conjunto abierto, que contiene a K en su interior, tal que todos los puntos distinguidos elegidos están en su exterior. Por la fórmula integral de Cauchy
para w en K . Las sumas de aproximación de Riemann se pueden utilizar para aproximar la integral de contorno de manera uniforme sobre K (existe una fórmula similar para la derivada). Cada término en la suma es un múltiplo escalar de ( z − w ) −1 para algún punto z en el contorno. Esto da una aproximación uniforme mediante una función racional con polos en Γ.
Para modificar esto a una aproximación con polos en puntos específicos en cada componente del complemento de K , es suficiente comprobar esto para términos de la forma ( z − w ) −1 . Si z 0 es el punto en el mismo componente que z , tome un camino desde z a z 0 .
Si dos puntos están suficientemente cerca en el camino, podemos usar la fórmula
válido en el complemento del círculo ; nótese que el camino elegido tiene una distancia positiva a K por compacidad. Esa serie se puede truncar para dar una función racional con polos solo en el segundo punto uniformemente cercano a la función original en K. Procediendo por pasos a lo largo del camino desde z hasta z 0, la función original ( z − w ) −1 se puede modificar sucesivamente para dar una función racional con polos solo en z 0 .
Si z 0 es el punto en el infinito, entonces mediante el procedimiento anterior la función racional ( z − w ) −1 puede primero aproximarse mediante una función racional g con polos en R > 0 donde R es tan grande que K se encuentra en w < R . La expansión de la serie de Taylor de g alrededor de 0 puede entonces truncarse para dar una aproximación polinomial en K .
