Dimensión cohomológica

En álgebra abstracta , la dimensión cohomológica es un invariante de un grupo que mide la complejidad homológica de sus representaciones. Tiene aplicaciones importantes en la teoría de grupos geométricos , la topología y la teoría algebraica de números .

Dimensión cohomológica de un grupo

Como la mayoría de los invariantes cohomológicos, la dimensión cohomológica implica una elección de un "anillo de coeficientes" R , con un caso especial destacado dado por , el anillo de números enteros . Sea G un grupo discreto , R un anillo distinto de cero con una unidad y el anillo de grupo . El grupo G tiene dimensión cohomológica menor o igual a n , denotada , si el módulo trivial R tiene una resolución proyectiva de longitud n , es decir, hay módulos proyectivos y homomorfismos de módulos y , tales que la imagen de coincide con el núcleo de para y el núcleo de es trivial. ${\displaystyle R=\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle RG}$ ${\displaystyle \operatorname {cd} _{R}(G)\leq n}$ ${\displaystyle RG}$ ${\displaystyle RG}$ ${\displaystyle P_{0},\dots ,P_{n}}$ ${\displaystyle RG}$ ${\displaystyle d_{k}\colon P_{k}\to P_{k-1}(k=1,\dots ,n)}$ ${\displaystyle d_{0}\colon P_{0}\to R}$ ${\displaystyle d_{k}}$ ${\displaystyle d_{k-1}}$ ${\displaystyle k=1,\dots ,n}$ ${\displaystyle d_{n}}$

De manera equivalente, la dimensión cohomológica es menor o igual a n si para un módulo arbitrario M , la cohomología de G con coeficientes en M se anula en grados , es decir, siempre que . La dimensión p -cohomológica para el primo p se define de manera similar en términos de los grupos de p -torsión . ^[1] ${\displaystyle RG}$ ${\displaystyle k>n}$ ${\displaystyle H^{k}(G,M)=0}$ ${\displaystyle k>n}$ ${\displaystyle H^{k}(G,M){p}}$

El n más pequeño tal que la dimensión cohomológica de G es menor o igual a n es la dimensión cohomológica de G (con coeficientes R ), que se denota . ${\displaystyle n=\operatorname {cd} _{R}(G)}$

Se puede obtener una resolución libre de a partir de una acción libre del grupo G sobre un espacio topológico contráctil X . En particular, si X es un complejo CW contráctil de dimensión n con una acción libre de un grupo discreto G que permuta las celdas, entonces . ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \operatorname {cd} _{\mathbb {Z} }(G)\leq n}$

Ejemplos

En el primer grupo de ejemplos, sea el anillo R de coeficientes . ${\displaystyle \mathbb {Z} }$

• Un grupo libre tiene dimensión cohomológica uno. Como lo demostraron John Stallings (para un grupo finitamente generado) y Richard Swan (en su generalidad total), esta propiedad caracteriza a los grupos libres. Este resultado se conoce como el teorema de Stallings-Swan. ^[2] El teorema de Stallings-Swan para un grupo G dice que G es libre si y solo si cada extensión de G con núcleo abeliano está dividida. ^[3]
• El grupo fundamental de una superficie de Riemann compacta , conexa y orientable distinta de la esfera tiene dimensión cohomológica dos.
• De manera más general, el grupo fundamental de una variedad asférica , cerrada, conexa y orientable de dimensión n tiene dimensión cohomológica n . En particular, el grupo fundamental de una variedad n hiperbólica, cerrada y orientable tiene dimensión cohomológica n .
• Los grupos finitos no triviales tienen dimensión cohomológica infinita sobre . En términos más generales, lo mismo es cierto para los grupos con torsión no trivial . ${\displaystyle \mathbb {Z} }$

Consideremos ahora el caso de un anillo general R .

• Un grupo G tiene dimensión cohomológica 0 si y solo si su anillo de grupo es semisimple . Por lo tanto, un grupo finito tiene dimensión cohomológica 0 si y solo si su orden (o, equivalentemente, los órdenes de sus elementos) es invertible en R. ${\displaystyle RG}$
• Generalizando el teorema de Stallings-Swan para , Martin Dunwoody demostró que un grupo tiene dimensión cohomológica como máximo uno sobre un anillo arbitrario R si y sólo si es el grupo fundamental de un grafo conexo de grupos finitos cuyos órdenes son invertibles en R . ${\displaystyle R=\mathbb {Z} }$

Dimensión cohomológica de un campo

La dimensión p -cohomológica de un cuerpo K es la dimensión p -cohomológica del grupo de Galois de un cierre separable de K . ^[4] La dimensión cohomológica de K es el supremo de la dimensión p -cohomológica sobre todos los primos p . ^[5]

Ejemplos

• Todo campo de característica p distinta de cero tiene una dimensión p -cohomológica como máximo 1. ^[6]
• Todo cuerpo finito tiene un grupo de Galois absoluto isomorfo a y por lo tanto tiene dimensión cohomológica 1. ^[7] ${\displaystyle {\hat {\mathbb {Z} }}}$
• El cuerpo de la serie formal de Laurent sobre un cuerpo algebraicamente cerrado k de característica cero también tiene un grupo de Galois absoluto isomorfo a y, por lo tanto, de dimensión cohomológica 1. ^[7] ${\displaystyle k((t))}$ ${\displaystyle {\hat {\mathbb {Z} }}}$

Véase también

• Conjetura de Eilenberg-Ganea
• Cohomología de grupos
• Dimensión global

Referencias

1. Gille y Szamuely (2006) p.136
2. Baumslag, Gilbert (2012). Temas de teoría de grupos combinatorios. Springer Basel AG. pág. 16.
3. Gruenberg, Karl W. (1975). "Revisión de Homología en teoría de grupos por Urs Stammbach". Boletín de la Sociedad Matemática Americana . 81 : 851–854. doi : 10.1090/S0002-9904-1975-13858-4 .
4. Shatz (1972) pág. 94
5. Gille y Szamuely (2006) p.138
6. Gille y Szamuely (2006) p.139
7. Gille y Szamuely (2006) p.140

• Brown, Kenneth S. (1994). Cohomología de grupos . Textos de posgrado en matemáticas . Vol. 87 (reimpresión corregida de la edición original de 1982). Nueva York: Springer-Verlag . ISBN. 0-387-90688-6.MR  1324339.Zbl 0584.20036  .​
• Dicks, Warren (1980). Grupos, árboles y módulos proyectivos . Apuntes de clase de matemáticas. Vol. 790. Berlín: Springer-Verlag . doi :10.1007/BFb0088140. ISBN. 3-540-09974-3.MR  0584790.Zbl 0427.20016  .​
• Dydak, Jerzy (2002). "Teoría de la dimensión cohomológica". En Daverman, RJ (ed.). Manual de topología geométrica . Ámsterdam: Holanda Septentrional . pp. 423–470. ISBN 0-444-82432-4. Sr.  1886675. Zbl  0992.55001.
• Gille, Philippe; Szamuely, Tamás (2006). Álgebras centrales simples y cohomología de Galois . Cambridge Studies in Advanced Mathematics. Vol. 101. Cambridge: Cambridge University Press . ISBN. 0-521-86103-9.Zbl 1137.12001  .
• Serre, Jean-Pierre (1997). Cohomología de Galois . Springer-Verlag . ISBN 3-540-61990-9.Zbl 0902.12004  .
• Shatz, Stephen S. (1972). Grupos profinitos, aritmética y geometría . Anales de estudios matemáticos. Vol. 67. Princeton, NJ: Princeton University Press . ISBN 0-691-08017-8. Sr.  0347778. Zbl  0236.12002.
• Stallings, John R. (1968). "Sobre grupos libres de torsión con infinitos extremos". Anales de Matemáticas . Segunda serie. 88 : 312–334. doi :10.2307/1970577. ISSN  0003-486X. MR  0228573. Zbl  0238.20036.
• Swan, Richard G. (1969). "Grupos de dimensión cohomológica uno". Journal of Algebra . 12 : 585–610. doi : 10.1016/0021-8693(69)90030-1 . ISSN  0021-8693. MR  0240177. Zbl  0188.07001.