Teorema de Serre-Swan

Relaciona los fibrados vectoriales geométricos con módulos proyectivos algebraicos

En los campos matemáticos de la topología y la teoría K , el teorema de Serre-Swan , también llamado teorema de Swan , relaciona la noción geométrica de fibrados vectoriales con el concepto algebraico de módulos proyectivos y da lugar a una intuición común en todas las matemáticas : "los módulos proyectivos sobre anillos conmutativos son como fibrados vectoriales en espacios compactos ".

Las dos formulaciones precisas de los teoremas difieren un poco. El teorema original, tal como lo formuló Jean-Pierre Serre en 1955, es de naturaleza más algebraica y se refiere a fibrados vectoriales en una variedad algebraica sobre un cuerpo algebraicamente cerrado (de cualquier característica ). La variante complementaria formulada por Richard Swan en 1962 es más analítica y se refiere a fibrados vectoriales ( reales , complejos o cuaterniónicos ) en una variedad suave o espacio de Hausdorff .

Geometría diferencial

Supóngase que M es una variedad suave (no necesariamente compacta), y E es un fibrado vectorial suave sobre M . Entonces Γ(E) , el espacio de secciones suaves de E , es un módulo sobre C ^∞ ( M ) (el álgebra conmutativa de funciones suaves de valores reales sobre M ). El teorema de Swan establece que este módulo es finitamente generado y proyectivo sobre C ^∞ ( M ). En otras palabras, cada fibrado vectorial es un sumando directo de algún fibrado trivial: para algún k . El teorema puede demostrarse construyendo un epimorfismo de fibrado a partir de un fibrado trivial Esto puede hacerse, por ejemplo, exhibiendo secciones s ₁ ... s _k con la propiedad de que para cada punto p , { s _i ( p )} abarcan la fibra sobre p . ${\displaystyle M\times \mathbb {R} ^{k}}$ ${\displaystyle M\times \mathbb {R} ^{k}\to E.}$

Cuando M es conexo , el recíproco también es cierto: cada módulo proyectivo finitamente generado sobre C ^∞ ( M ) surge de esta manera a partir de algún fibrado vectorial suave sobre M . Tal módulo puede verse como una función suave f sobre M con valores en las matrices idempotentes n × n para algún n . La fibra del fibrado vectorial correspondiente sobre x es entonces el rango de f ( x ). Si M no es conexo, el recíproco no se cumple a menos que se permitan fibrados vectoriales de rango no constante (lo que significa admitir variedades de dimensión no constante). Por ejemplo, si M es una variedad de 2 puntos de dimensión cero, el módulo es finitamente generado y proyectivo sobre pero no es libre , y por lo tanto no puede corresponder a las secciones de ningún fibrado vectorial (de rango constante) sobre M (todos los cuales son triviales). ${\displaystyle \mathbb {R} \oplus 0}$ ${\displaystyle C^{\infty }(M)\cong \mathbb {R} \times \mathbb {R} }$

Otra forma de decir lo anterior es que para cualquier variedad lisa conexa M , el funtor de sección Γ de la categoría de fibrados vectoriales lisos sobre M a la categoría de C ^∞ ( M )-módulos proyectivos finitamente generados es completo , fiel y esencialmente sobreyectivo . Por lo tanto, la categoría de fibrados vectoriales lisos sobre M es equivalente a la categoría de C ^∞ ( M )-módulos proyectivos finitamente generados . Se pueden encontrar detalles en (Nestruev 2003).

Topología

Supóngase que X es un espacio de Hausdorff compacto y que C( X ) es el anillo de funciones continuas de valor real en X . De manera análoga al resultado anterior, la categoría de fibrados vectoriales reales en X es equivalente a la categoría de módulos proyectivos finitamente generados en C( X ). El mismo resultado se cumple si se reemplaza "de valor real" por "de valor complejo" y "fibrado vectorial real" por "fibrado vectorial complejo", pero no se cumple si se reemplaza el cuerpo por un cuerpo totalmente desconectado como los números racionales .

En detalle, sea Vec( X ) la categoría de fibrados vectoriales complejos sobre X , y sea ProjMod(C( X )) la categoría de módulos proyectivos finitamente generados sobre la C*-álgebra C( X ). Hay un funtor Γ : Vec( X ) → ProjMod(C( X )) que envía cada fibrado vectorial complejo E sobre X al C( X )-módulo Γ( X , E ) de secciones . Si es un morfismo de fibrados vectoriales sobre X entonces y se sigue que ${\displaystyle \tau :(E_{1},\pi _{1})\to (E_{2},\pi _{2})}$ ${\displaystyle \pi _{2}\circ \tau =\pi _{1}}$

${\displaystyle \forall s\in \Gamma (X,E_{1})\quad \pi _{2}\circ \tau \circ s=\pi _{1}\circ s={\text{id}}_{X},}$

dando el mapa

${\displaystyle {\begin{cases}\Gamma \tau :\Gamma (X,E_{1})\to \Gamma (X,E_{2})\\s\mapsto \tau \circ s\end{cases}}}$

que respeta la estructura del módulo (Várilly, 97) . El teorema de Swan afirma que el funtor Γ es una equivalencia de categorías .

Geometría algebraica

El resultado análogo en geometría algebraica , debido a Serre (1955, §50) se aplica a los fibrados vectoriales en la categoría de variedades afines . Sea X una variedad afín con estructura haz y un haz coherente de -módulos en X. Entonces es el haz de gérmenes de un fibrado vectorial de dimensión finita si y solo si el espacio de secciones de es un módulo proyectivo sobre el anillo conmutativo. ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X},}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle \Gamma ({\mathcal {F}},X),}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}},}$ ${\displaystyle A=\Gamma ({\mathcal {O}}_{X},X).}$

Referencias

• Karoubi, Max (1978), Teoría K: una introducción , Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-08090-1
• Manoharan, Palanivel (1995), "Teorema de Swan generalizado y su aplicación", Actas de la American Mathematical Society , 123 (10): 3219–3223, doi : 10.1090/S0002-9939-1995-1264823-X , JSTOR  2160685, MR  1264823.
• Serre, Jean-Pierre (1955), "Faisceaux algébriques cohérents", Annals of Mathematics , 61 (2): 197–278, doi :10.2307/1969915, JSTOR  1969915, SEÑOR  0068874.
• Swan, Richard G. (1962), "Paquetes vectoriales y módulos proyectivos", Transactions of the American Mathematical Society , 105 (2): 264–277, doi : 10.2307/1993627 , JSTOR  1993627.
• Nestruev, Jet (2003), Variedades suaves y observables , Textos de posgrado en matemáticas, vol. 220, Springer-Verlag, ISBN 0-387-95543-7
• Giachetta, G.; Mangiarotti, L.; Sardanashvily, Gennadi (2005), Métodos topológicos geométricos y algebraicos en mecánica cuántica , World Scientific, ISBN 981-256-129-3.

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