Teoría de campos conforme

La teoría cuántica de campos disfruta de la simetría conforme

Una teoría de campos conforme ( CFT ) es una teoría cuántica de campos que es invariante ante transformaciones conformes . En dos dimensiones , existe un álgebra de dimensión infinita de transformaciones conformes locales, y las teorías de campos conformes a veces se pueden resolver o clasificar con exactitud.

La teoría de campos conforme tiene importantes aplicaciones ^[1] en la física de la materia condensada , la mecánica estadística , la mecánica estadística cuántica y la teoría de cuerdas . De hecho, los sistemas estadísticos y de materia condensada suelen ser conformemente invariantes en sus puntos críticos termodinámicos o cuánticos .

Invariancia de escala vs invariancia conforme

En la teoría cuántica de campos , la invariancia de escala es una simetría común y natural, porque cualquier punto fijo del grupo de renormalización es, por definición, invariante de escala. La simetría conforme es más fuerte que la invariancia de escala, y se necesitan suposiciones adicionales ^[2] para argumentar que debería aparecer en la naturaleza. La idea básica detrás de su plausibilidad es que las teorías invariantes de escala local tienen sus corrientes dadas por donde es un vector de Killing y es un operador conservado (el tensor de tensión) de dimensión exactamente . Para que las simetrías asociadas incluyan transformaciones de escala pero no conformes, la traza tiene que ser una derivada total distinta de cero, lo que implica que hay un operador no conservado de dimensión exactamente . ${\displaystyle T_{\mu \nu }\xi ^{\nu }}$ ${\displaystyle \xi ^{\nu }}$ ${\displaystyle T_{\mu \nu }}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle T_{\mu }^{\mu }}$ ${\displaystyle d-1}$

Bajo algunos supuestos es posible descartar completamente este tipo de no renormalización y por tanto demostrar que la invariancia de escala implica invariancia conforme en una teoría cuántica de campos, por ejemplo en teorías de campos conformes compactos unitarios en dos dimensiones.

Si bien es posible que una teoría cuántica de campos sea invariante en escala pero no invariante conformemente, los ejemplos son raros. ^[3] Por este motivo, los términos suelen usarse indistintamente en el contexto de la teoría cuántica de campos.

Dos dimensiones vs dimensiones superiores

El número de transformaciones conformes independientes es infinito en dos dimensiones y finito en dimensiones superiores. Esto hace que la simetría conforme sea mucho más restrictiva en dos dimensiones. ^{[ aclaración necesaria ]} Todas las teorías de campos conformes comparten las ideas y técnicas del bootstrap conforme . Pero las ecuaciones resultantes son más poderosas en dos dimensiones, donde a veces son exactamente solucionables (por ejemplo, en el caso de modelos mínimos ), en contraste con las dimensiones superiores, donde dominan los enfoques numéricos.

El desarrollo de la teoría de campos conforme ha sido anterior y más profundo en el caso bidimensional, en particular después del artículo de 1983 de Belavin, Polyakov y Zamolodchikov. ^[4] El término teoría de campos conforme a veces se ha utilizado con el significado de teoría de campos conforme bidimensional , como en el título de un libro de texto de 1997. ^[5] Las teorías de campos conformes de dimensiones superiores se han vuelto más populares con la correspondencia AdS/CFT a fines de la década de 1990 y el desarrollo de técnicas numéricas de bootstrap conforme en la década de 2000.

Simetría conforme global vs local en dos dimensiones

El grupo conforme global de la esfera de Riemann es el grupo de transformaciones de Möbius , que es de dimensión finita. Por otra parte, las transformaciones conformes infinitesimales forman el álgebra de Witt de dimensión infinita : las ecuaciones de Killing conformes en dos dimensiones, se reducen a las ecuaciones de Cauchy-Riemann, la infinitud de modos de transformaciones analíticas arbitrarias de coordenadas dan como resultado la infinitud de campos vectoriales de Killing . ${\displaystyle PSL_{2}(\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle \partial _{\mu }\xi _{\nu }+\partial _{\nu }\xi _{\mu }=\partial \cdot \xi \eta _{\mu \nu },~}$ ${\displaystyle \partial _{\bar {z}}\xi (z)=0=\partial _{z}\xi ({\bar {z}})}$ ${\displaystyle \xi (z)}$ ${\displaystyle z^{n}\partial _{z}}$

Estrictamente hablando, es posible que una teoría de campo conforme bidimensional sea local (en el sentido de poseer un tensor de tensión) y aun así exhiba invariancia solo bajo la invariancia global . Esto resulta ser exclusivo de las teorías no unitarias; un ejemplo es el escalar biarmónico. ^[6] Esta propiedad debe considerarse incluso más especial que la escala sin invariancia conforme, ya que requiere ser una segunda derivada total. ${\displaystyle PSL_{2}(\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle T_{\mu }^{\mu }}$

La simetría conforme global en dos dimensiones es un caso especial de simetría conforme en dimensiones superiores y se estudia con las mismas técnicas. Esto se hace no sólo en teorías que tienen simetría conforme global pero no local, sino también en teorías que sí tienen simetría conforme local, con el fin de probar técnicas o ideas de la teoría de campo de la computación cuántica de dimensiones superiores. En particular, las técnicas de bootstrap numérico se pueden probar aplicándolas a modelos mínimos y comparando los resultados con los resultados analíticos conocidos que se derivan de la simetría conforme local.

Teorías de campos conformes con un álgebra de simetría de Virasoro

En una teoría cuántica bidimensional conformemente invariante, el álgebra de Witt de transformaciones conformes infinitesimales tiene que ser extendida centralmente . El álgebra de simetría cuántica es, por lo tanto, el álgebra de Virasoro , que depende de un número llamado carga central . Esta extensión central también puede entenderse en términos de una anomalía conforme .

Alexander Zamolodchikov demostró que existe una función que decrece monótonamente bajo el flujo del grupo de renormalización de una teoría cuántica de campos bidimensional, y es igual a la carga central para una teoría de campos conforme bidimensional. Esto se conoce como el C-teorema de Zamolodchikov y nos dice que el flujo del grupo de renormalización en dos dimensiones es irreversible. ^[7]

Además de ser centralmente extendida, el álgebra de simetría de una teoría cuántica conformemente invariante tiene que ser complejizada, lo que da como resultado dos copias del álgebra de Virasoro. En la teoría cuántica de campo euclídeo, estas copias se denominan holomorfas y antiholomorfas. En la teoría cuántica de campo lorentziana, se denominan de movimiento hacia la izquierda y de movimiento hacia la derecha. Ambas copias tienen la misma carga central.

El espacio de estados de una teoría es una representación del producto de las dos álgebras de Virasoro. Este espacio es un espacio de Hilbert si la teoría es unitaria. Este espacio puede contener un estado de vacío o, en mecánica estadística, un estado térmico. A menos que la carga central se desvanezca, no puede existir un estado que deje intacta toda la simetría conforme de dimensión infinita. Lo mejor que podemos tener es un estado que sea invariante bajo los generadores del álgebra de Virasoro, cuya base es . Este contiene los generadores de las transformaciones conformes globales. El resto del grupo conforme se rompe espontáneamente. ${\displaystyle L_{n\geq -1}}$ ${\displaystyle (L_{n})_{n\in \mathbb {Z} }}$ ${\displaystyle L_{-1},L_{0},L_{1}}$

Simetría conforme

Definición y jacobiano

Para un espacio-tiempo y una métrica dados, una transformación conforme es una transformación que conserva los ángulos. Nos centraremos en las transformaciones conformes del espacio euclidiano de dimensión plana o del espacio de Minkowski . ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{1,d-1}}$

Si es una transformación conforme, el jacobiano es de la forma ${\displaystyle x\to f(x)}$ ${\displaystyle J_{\nu }^{\mu }(x)={\frac {\partial f^{\mu }(x)}{\partial x^{\nu }}}}$

${\displaystyle J_{\nu }^{\mu }(x)=\Omega (x)R_{\nu }^{\mu }(x),}$

donde es el factor de escala, y es una rotación (es decir, una matriz ortogonal) o una transformación de Lorentz. ${\displaystyle \Omega (x)}$ ${\displaystyle R_{\nu }^{\mu }(x)}$

Grupo conforme

El grupo conforme es localmente isomorfo a (euclidiano) o (Minkowski). Esto incluye traslaciones, rotaciones (euclidiana) o transformaciones de Lorentz (Minkowski) y dilataciones, es decir, transformaciones de escala. ${\displaystyle SO(1,d+1)}$ ${\displaystyle SO(2,d)}$

${\displaystyle x^{\mu }\to \lambda x^{\mu }.}$

Esto también incluye transformaciones conformes especiales. Para cualquier traducción , existe una transformación conforme especial . ${\displaystyle T_{a}(x)=x+a}$

${\displaystyle S_{a}=I\circ T_{a}\circ I,}$

¿Dónde está la inversión tal que? ${\displaystyle I}$

${\displaystyle I\left(x^{\mu }\right)={\frac {x^{\mu }}{x^{2}}}.}$

En la esfera , la inversión se intercambia con . Las traslaciones dejan fijo, mientras que las transformaciones conformes especiales dejan fijo. ${\displaystyle S^{d}=\mathbb {R} ^{d}\cup \{\infty \}}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \infty }$ ${\displaystyle \infty }$ ${\displaystyle 0}$

Álgebra conforme

Las relaciones de conmutación del álgebra de Lie correspondiente son

${\displaystyle {\begin{aligned}[][P_{\mu },P_{\nu }]&=0,\\[][D,K_{\mu }]&=-K_{\mu },\\[][D,P_{\mu }]&=P_{\mu },\\[][K_{\mu },K_{\nu }]&=0,\\[][K_{\mu },P_{\nu }]&=\eta _{\mu \nu }D-iM_{\mu \nu },\end{aligned}}}$

donde se generan traslaciones , se generan dilataciones, se generan transformaciones conformes especiales y se generan rotaciones o transformaciones de Lorentz. El tensor es la métrica plana. ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle K_{\mu }}$ ${\displaystyle M_{\mu \nu }}$ ${\displaystyle \eta _{\mu \nu }}$

Cuestiones globales en el espacio Minkowski

En el espacio de Minkowski, el grupo conforme no preserva la causalidad . Observables como las funciones de correlación son invariantes bajo el álgebra conforme, pero no bajo el grupo conforme. Como demostraron Lüscher y Mack, es posible restaurar la invariancia bajo el grupo conforme extendiendo el espacio plano de Minkowski a un cilindro de Lorentz. ^[8] El espacio original de Minkowski es conformemente equivalente a una región del cilindro llamada parche de Poincaré. En el cilindro, las transformaciones conformes globales no violan la causalidad: en cambio, pueden mover puntos fuera del parche de Poincaré.

Funciones de correlación y bootstrap conforme

En el enfoque bootstrap conforme , una teoría de campo conforme es un conjunto de funciones de correlación que obedecen a una serie de axiomas.

La función de correlación de puntos es una función de las posiciones y otros parámetros de los campos . En el enfoque bootstrap, los campos en sí mismos tienen sentido solo en el contexto de las funciones de correlación y pueden verse como notaciones eficientes para escribir axiomas para funciones de correlación. Las funciones de correlación dependen linealmente de los campos, en particular . ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \left\langle O_{1}(x_{1})\cdots O_{n}(x_{n})\right\rangle }$ ${\displaystyle x_{i}}$ ${\displaystyle O_{1},\dots ,O_{n}}$ ${\displaystyle \partial _{x_{1}}\left\langle O_{1}(x_{1})\cdots \right\rangle =\left\langle \partial _{x_{1}}O_{1}(x_{1})\cdots \right\rangle }$

Nos centramos en la CFT en el espacio euclidiano . En este caso, las funciones de correlación son funciones de Schwinger . Se definen para y no dependen del orden de los campos. En el espacio de Minkowski, las funciones de correlación son funciones de Wightman . Pueden depender del orden de los campos, ya que los campos conmutan solo si están separados espacialmente. Una CFT euclidiana se puede relacionar con una CFT minkowskiana mediante la rotación de Wick , por ejemplo, gracias al teorema de Osterwalder-Schrader . En tales casos, las funciones de correlación minkowskianas se obtienen a partir de las funciones de correlación euclidianas mediante una continuación analítica que depende del orden de los campos. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$ ${\displaystyle x_{i}\neq x_{j}}$

Comportamiento bajo transformaciones conformes

Cualquier transformación conforme actúa linealmente sobre los campos , de modo que es una representación del grupo conforme, y las funciones de correlación son invariantes: ${\displaystyle x\to f(x)}$ ${\displaystyle O(x)\to \pi _{f}(O)(x)}$ ${\displaystyle f\to \pi _{f}}$

${\displaystyle \left\langle \pi _{f}(O_{1})(x_{1})\cdots \pi _{f}(O_{n})(x_{n})\right\rangle =\left\langle O_{1}(x_{1})\cdots O_{n}(x_{n})\right\rangle .}$

Los campos primarios son campos que se transforman en sí mismos a través de . El comportamiento de un campo primario se caracteriza por un número llamado dimensión conforme y una representación del grupo de rotación o de Lorentz. Para un campo primario, tenemos entonces ${\displaystyle \pi _{f}}$ ${\displaystyle \Delta }$ ${\displaystyle \rho }$

${\displaystyle \pi _{f}(O)(x)=\Omega (x')^{-\Delta }\rho (R(x'))O(x'),\quad {\text{where}}\ x'=f^{-1}(x).}$

Aquí y son el factor de escala y la rotación que están asociados a la transformación conforme . La representación es trivial en el caso de campos escalares, que se transforman como . Para campos vectoriales, la representación es la representación fundamental, y tendríamos . ${\displaystyle \Omega (x)}$ ${\displaystyle R(x)}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \pi _{f}(O)(x)=\Omega (x')^{-\Delta }O(x')}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \pi _{f}(O_{\mu })(x)=\Omega (x')^{-\Delta }R_{\mu }^{\nu }(x')O_{\nu }(x')}$

Un campo primario que se caracteriza por la dimensión y representación conformes se comporta como un vector de mayor peso en una representación inducida del grupo conforme a partir del subgrupo generado por dilataciones y rotaciones. En particular, la dimensión conforme caracteriza una representación del subgrupo de dilataciones. En dos dimensiones, el hecho de que esta representación inducida sea un módulo de Verma aparece en toda la literatura. Para las CFT de dimensión superior (en las que la subálgebra máximamente compacta es más grande que la subálgebra de Cartan ), se ha apreciado recientemente que esta representación es un módulo de Verma parabólico o generalizado . ^[9] ${\displaystyle \Delta }$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \Delta }$

Las derivadas (de cualquier orden) de los campos primarios se denominan campos descendientes . Su comportamiento bajo transformaciones conformes es más complicado. Por ejemplo, si es un campo primario, entonces es una combinación lineal de y . Las funciones de correlación de los campos descendientes se pueden deducir a partir de las funciones de correlación de los campos primarios. Sin embargo, incluso en el caso común en el que todos los campos son primarios o descendientes de ellos, los campos descendientes desempeñan un papel importante, porque los bloques conformes y las expansiones de productos de operadores implican sumas sobre todos los campos descendientes. ${\displaystyle O}$ ${\displaystyle \pi _{f}(\partial _{\mu }O)(x)=\partial _{\mu }\left(\pi _{f}(O)(x)\right)}$ ${\displaystyle \partial _{\mu }O}$ ${\displaystyle O}$

El conjunto de todos los campos primarios , caracterizados por sus dimensiones de escala y sus representaciones , se denomina espectro de la teoría. ${\displaystyle O_{p}}$ ${\displaystyle \Delta _{p}}$ ${\displaystyle \rho _{p}}$

Dependencia de las posiciones de campo

La invariancia de las funciones de correlación bajo transformaciones conformes limita severamente su dependencia de las posiciones del campo. En el caso de funciones de dos y tres puntos, esa dependencia se determina hasta un número finito de coeficientes constantes. Las funciones de puntos superiores tienen más libertad y solo se determinan hasta funciones de combinaciones conformemente invariantes de las posiciones.

La función de dos puntos de dos campos primarios se desvanece si sus dimensiones conformes difieren.

${\displaystyle \Delta _{1}\neq \Delta _{2}\implies \left\langle O_{1}(x_{1})O_{2}(x_{2})\right\rangle =0.}$

Si el operador de dilatación es diagonalizable (es decir, si la teoría no es logarítmica), existe una base de campos primarios tales que las funciones de dos puntos son diagonales, es decir . En este caso, la función de dos puntos de un campo primario escalar es ^[10] ${\displaystyle i\neq j\implies \left\langle O_{i}O_{j}\right\rangle =0}$

${\displaystyle \left\langle O(x_{1})O(x_{2})\right\rangle ={\frac {1}{|x_{1}-x_{2}|^{2\Delta }}},}$

donde elegimos la normalización del campo de modo que el coeficiente constante, que no está determinado por la simetría conforme, sea uno. De manera similar, las funciones de dos puntos de campos primarios no escalares se determinan hasta un coeficiente, que puede establecerse en uno. En el caso de un tensor simétrico sin traza de rango , la función de dos puntos es ${\displaystyle \ell }$

${\displaystyle \left\langle O_{\mu _{1},\dots ,\mu _{\ell }}(x_{1})O_{\nu _{1},\dots ,\nu _{\ell }}(x_{2})\right\rangle ={\frac {\prod _{i=1}^{\ell }I_{\mu _{i},\nu _{i}}(x_{1}-x_{2})-{\text{traces}}}{|x_{1}-x_{2}|^{2\Delta }}},}$

donde el tensor se define como ${\displaystyle I_{\mu ,\nu }(x)}$

${\displaystyle I_{\mu ,\nu }(x)=\eta _{\mu \nu }-{\frac {2x_{\mu }x_{\nu }}{x^{2}}}.}$

La función de tres puntos de tres campos primarios escalares es

${\displaystyle \left\langle O_{1}(x_{1})O_{2}(x_{2})O_{3}(x_{3})\right\rangle ={\frac {C_{123}}{|x_{12}|^{\Delta _{1}+\Delta _{2}-\Delta _{3}}|x_{13}|^{\Delta _{1}+\Delta _{3}-\Delta _{2}}|x_{23}|^{\Delta _{2}+\Delta _{3}-\Delta _{1}}}},}$

donde , y es una constante de estructura de tres puntos . Con campos primarios que no son necesariamente escalares, la simetría conforme permite un número finito de estructuras tensoriales, y hay una constante de estructura para cada estructura tensorial. En el caso de dos campos escalares y un tensor simétrico sin traza de rango , solo hay una estructura tensorial, y la función de tres puntos es ${\displaystyle x_{ij}=x_{i}-x_{j}}$ ${\displaystyle C_{123}}$ ${\displaystyle \ell }$

${\displaystyle \left\langle O_{1}(x_{1})O_{2}(x_{2})O_{\mu _{1},\dots ,\mu _{\ell }}(x_{3})\right\rangle ={\frac {C_{123}\left(\prod _{i=1}^{\ell }V_{\mu _{i}}-{\text{traces}}\right)}{|x_{12}|^{\Delta _{1}+\Delta _{2}-\Delta _{3}}|x_{13}|^{\Delta _{1}+\Delta _{3}-\Delta _{2}}|x_{23}|^{\Delta _{2}+\Delta _{3}-\Delta _{1}}}},}$

donde introducimos el vector

${\displaystyle V_{\mu }={\frac {x_{13}^{\mu }x_{23}^{2}-x_{23}^{\mu }x_{13}^{2}}{|x_{12}||x_{13}||x_{23}|}}.}$

Se determinan funciones de cuatro puntos de campos primarios escalares hasta funciones arbitrarias de las dos relaciones cruzadas ${\displaystyle g(u,v)}$

${\displaystyle u={\frac {x_{12}^{2}x_{34}^{2}}{x_{13}^{2}x_{24}^{2}}}\ ,\ v={\frac {x_{14}^{2}x_{23}^{2}}{x_{13}^{2}x_{24}^{2}}}.}$

La función de cuatro puntos es entonces ^[11]

${\displaystyle \left\langle \prod _{i=1}^{4}O_{i}(x_{i})\right\rangle ={\frac {\left({\frac {|x_{24}|}{|x_{14}|}}\right)^{\Delta _{1}-\Delta _{2}}\left({\frac {|x_{14}|}{|x_{13}|}}\right)^{\Delta _{3}-\Delta _{4}}}{|x_{12}|^{\Delta _{1}+\Delta _{2}}|x_{34}|^{\Delta _{3}+\Delta _{4}}}}g(u,v).}$

Expansión de productos para operadores

La expansión del producto del operador (OPE) es más poderosa en la teoría de campos conforme que en las teorías de campos cuánticos más generales. Esto se debe a que en la teoría de campos conforme, el radio de convergencia de la expansión del producto del operador es finito (es decir, no es cero). ^[12] Siempre que las posiciones de dos campos estén lo suficientemente cerca, la expansión del producto del operador reescribe el producto de estos dos campos como una combinación lineal de campos en un punto dado, que puede elegirse por conveniencia técnica. ${\displaystyle x_{1},x_{2}}$ ${\displaystyle x_{2}}$

La expansión del producto del operador de dos campos toma la forma

${\displaystyle O_{1}(x_{1})O_{2}(x_{2})=\sum _{k}c_{12k}(x_{1}-x_{2})O_{k}(x_{2}),}$

donde es una función de coeficientes, y la suma en principio cubre todos los campos de la teoría. (De manera equivalente, por la correspondencia estado-campo, la suma cubre todos los estados en el espacio de estados). Algunos campos pueden estar realmente ausentes, en particular debido a restricciones de simetría: simetría conforme o simetrías adicionales. ${\displaystyle c_{12k}(x)}$

Si todos los campos son primarios o descendientes, la suma de los campos se puede reducir a una suma de los primarios, reescribiendo las contribuciones de cualquier descendiente en términos de la contribución del primario correspondiente:

${\displaystyle O_{1}(x_{1})O_{2}(x_{2})=\sum _{p}C_{12p}P_{p}(x_{1}-x_{2},\partial _{x_{2}})O_{p}(x_{2}),}$

donde los campos son todos primarios, y es la constante de estructura de tres puntos (que por esta razón también se llama coeficiente OPE ). El operador diferencial es una serie infinita en derivadas, que está determinada por simetría conforme y por lo tanto en principio conocida. ${\displaystyle O_{p}}$ ${\displaystyle C_{12p}}$ ${\displaystyle P_{p}(x_{1}-x_{2},\partial _{x_{2}})}$

Si consideramos la OPE como una relación entre funciones de correlación, vemos que la OPE debe ser asociativa. Además, si el espacio es euclidiano, la OPE debe ser conmutativa, porque las funciones de correlación no dependen del orden de los campos, es decir , . ${\displaystyle O_{1}(x_{1})O_{2}(x_{2})=O_{2}(x_{2})O_{1}(x_{1})}$

La existencia de la expansión del producto de operadores es un axioma fundamental del bootstrap conforme. Sin embargo, por lo general no es necesario calcular las expansiones del producto de operadores y, en particular, los operadores diferenciales . Más bien, lo que se necesita es la descomposición de las funciones de correlación en constantes de estructura y bloques conformes. El OPE se puede utilizar en principio para calcular bloques conformes, pero en la práctica hay métodos más eficientes. ${\displaystyle P_{p}(x_{1}-x_{2},\partial _{x_{2}})}$

Bloques conformes y simetría cruzada

Utilizando el OPE , una función de cuatro puntos se puede escribir como una combinación de constantes de estructura de tres puntos y bloques conformes de canal s . ${\displaystyle O_{1}(x_{1})O_{2}(x_{2})}$

${\displaystyle \left\langle \prod _{i=1}^{4}O_{i}(x_{i})\right\rangle =\sum _{p}C_{12p}C_{p34}G_{p}^{(s)}(x_{i}).}$

El bloque conforme es la suma de las contribuciones del campo primario y sus descendientes. Depende de los campos y sus posiciones. Si las funciones de tres puntos implican varias estructuras tensoriales independientes, las constantes de estructura y los bloques conformes dependen de estas estructuras tensoriales, y el campo primario contribuye con varios bloques independientes. Los bloques conformes están determinados por la simetría conforme y son conocidos en principio. Para calcularlos, existen relaciones de recursión ^[9] y técnicas integrables. ^[13] ${\displaystyle G_{p}^{(s)}(x_{i})}$ ${\displaystyle O_{p}}$ ${\displaystyle O_{i}}$ ${\displaystyle \left\langle O_{1}O_{2}O_{p}\right\rangle }$ ${\displaystyle \left\langle O_{3}O_{4}O_{p}\right\rangle }$ ${\displaystyle O_{p}}$

Utilizando OPE o , la misma función de cuatro puntos se escribe en términos de bloques conformes de canal t o bloques conformes de canal u , ${\displaystyle O_{1}(x_{1})O_{4}(x_{4})}$ ${\displaystyle O_{1}(x_{1})O_{3}(x_{3})}$

${\displaystyle \left\langle \prod _{i=1}^{4}O_{i}(x_{i})\right\rangle =\sum _{p}C_{14p}C_{p23}G_{p}^{(t)}(x_{i})=\sum _{p}C_{13p}C_{p24}G_{p}^{(u)}(x_{i}).}$

La igualdad de las descomposiciones de los canales s, t y u se denomina simetría de cruce : una restricción en el espectro de los campos primarios y en las constantes de estructura de tres puntos.

Los bloques conformes obedecen a las mismas restricciones de simetría conforme que las funciones de cuatro puntos. En particular, los bloques conformes de canal s se pueden escribir en términos de funciones de las razones cruzadas. Mientras que el OPE solo converge si , los bloques conformes se pueden continuar analíticamente para todos los valores (no coincidentes por pares) de las posiciones. En el espacio euclidiano, los bloques conformes son funciones analíticas reales de un solo valor de las posiciones excepto cuando los cuatro puntos se encuentran en un círculo pero en un orden cíclico transpuesto simplemente [1324], y solo en estos casos excepcionales la descomposición en bloques conformes no converge. ${\displaystyle g_{p}^{(s)}(u,v)}$ ${\displaystyle O_{1}(x_{1})O_{2}(x_{2})}$ ${\displaystyle |x_{12}|<\min(|x_{23}|,|x_{24}|)}$ ${\displaystyle x_{i}}$

Una teoría de campos conforme en un espacio euclidiano plano se define por su espectro y coeficientes OPE (o constantes de estructura de tres puntos) , que satisfacen la restricción de que todas las funciones de cuatro puntos son simétricas cruzadas. A partir del espectro y los coeficientes OPE (denominados colectivamente datos CFT ), se pueden calcular funciones de correlación de orden arbitrario. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$ ${\displaystyle \{(\Delta _{p},\rho _{p})\}}$ ${\displaystyle \{C_{pp'p''}\}}$

Características

Unitaridad

Una teoría de campos conforme es unitaria si su espacio de estados tiene un producto escalar definido positivo tal que el operador de dilatación es autoadjunto. Entonces el producto escalar dota al espacio de estados de la estructura de un espacio de Hilbert .

En las teorías de campos conformes euclidianos, la unitaridad es equivalente a la positividad de reflexión de las funciones de correlación: uno de los axiomas de Osterwalder-Schrader . ^[11]

La unitaridad implica que las dimensiones conformes de los campos primarios son reales y están acotadas desde abajo. El límite inferior depende de la dimensión del espacio-tiempo y de la representación de la rotación o grupo de Lorentz en el que se transforma el campo primario. Para los campos escalares, el límite de unitaridad es ^[11] ${\displaystyle d}$

${\displaystyle \Delta \geq {\frac {1}{2}}(d-2).}$

En una teoría unitaria, las constantes de estructura de tres puntos deben ser reales, lo que a su vez implica que las funciones de cuatro puntos obedecen a ciertas desigualdades. Los métodos de bootstrap numéricos potentes se basan en la explotación de estas desigualdades.

Compacidad

Una teoría de campos conforme es compacta si obedece tres condiciones: ^[14]

• Todas las dimensiones conformes son reales.
• Para cualquier hay un número finito de estados cuyas dimensiones son menores que . ${\displaystyle \Delta \in \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \Delta }$
• Existe un estado único con la dimensión , y es el estado de vacío , es decir, el campo correspondiente es el campo identidad . ${\displaystyle \Delta =0}$

(El campo identidad es el campo cuya inserción en funciones de correlación no las modifica, es decir, ). El nombre proviene del hecho de que si una teoría de campo conforme 2D es también un modelo sigma , satisfará estas condiciones si y solo si su espacio objetivo es compacto. ${\displaystyle \left\langle I(x)\cdots \right\rangle =\left\langle \cdots \right\rangle }$

Se cree que todas las teorías de campos conformes unitarios son compactas en dimensión . Sin unitaridad, por otro lado, es posible encontrar CFT en dimensión cuatro ^[15] y en dimensión ^[16] que tienen un espectro continuo. Y en dimensión dos, la teoría de Liouville es unitaria pero no compacta. ${\displaystyle d>2}$ ${\displaystyle 4-\epsilon }$

Simetrías extra

Una teoría de campos conforme puede tener simetrías adicionales además de la simetría conforme. Por ejemplo, el modelo de Ising tiene una simetría y las teorías de campos superconformes tienen supersimetría. ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$

Ejemplos

Teoría del campo medio

Un campo libre generalizado es un campo cuyas funciones de correlación se deducen de su función de dos puntos mediante el teorema de Wick . Por ejemplo, si es un campo primario escalar de dimensión , su función de cuatro puntos se lee ^[17] ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \Delta }$

${\displaystyle \left\langle \prod _{i=1}^{4}\phi (x_{i})\right\rangle ={\frac {1}{|x_{12}|^{2\Delta }|x_{34}|^{2\Delta }}}+{\frac {1}{|x_{13}|^{2\Delta }|x_{24}|^{2\Delta }}}+{\frac {1}{|x_{14}|^{2\Delta }|x_{23}|^{2\Delta }}}.}$

Por ejemplo, si son dos campos primarios escalares tales que (que es el caso en particular si ), tenemos la función de cuatro puntos ${\displaystyle \phi _{1},\phi _{2}}$ ${\displaystyle \langle \phi _{1}\phi _{2}\rangle =0}$ ${\displaystyle \Delta _{1}\neq \Delta _{2}}$

${\displaystyle {\Big \langle }\phi _{1}(x_{1})\phi _{1}(x_{2})\phi _{2}(x_{3})\phi _{2}(x_{4}){\Big \rangle }={\frac {1}{|x_{12}|^{2\Delta _{1}}|x_{34}|^{2\Delta _{2}}}}.}$

La teoría del campo medio es un nombre genérico para las teorías de campos conformes que se construyen a partir de campos libres generalizados. Por ejemplo, una teoría de campo medio se puede construir a partir de un campo primario escalar . Entonces esta teoría contiene , sus campos descendientes y los campos que aparecen en el OPE . Los campos primarios que aparecen en se pueden determinar descomponiendo la función de cuatro puntos en bloques conformes: ^[17] sus dimensiones conformes pertenecen a : en la teoría del campo medio, la dimensión conforme se conserva módulo enteros. ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \phi \phi }$ ${\displaystyle \phi \phi }$ ${\displaystyle \langle \phi \phi \phi \phi \rangle }$ ${\displaystyle 2\Delta +2\mathbb {N} }$

De manera similar, es posible construir teorías de campo medio a partir de un campo con espín de Lorentz no trivial. Por ejemplo, la teoría de Maxwell 4d (en ausencia de campos de materia cargada) es una teoría de campo medio construida a partir de un campo tensorial antisimétrico con dimensión de escala . ${\displaystyle F_{\mu \nu }}$ ${\displaystyle \Delta =2}$

Las teorías de campo medio tienen una descripción lagrangiana en términos de una acción cuadrática que involucra al laplaciano elevado a una potencia real arbitraria (que determina la dimensión de escala del campo). Para una dimensión de escala genérica, la potencia del laplaciano no es entera. La teoría de campo medio correspondiente es entonces no local (por ejemplo, no tiene un operador tensorial de tensión conservado). ^{[ cita requerida ]}

Modelo crítico de Ising

El modelo crítico de Ising es el punto crítico del modelo de Ising en una red hipercúbica en dos o tres dimensiones. Tiene una simetría global, que corresponde a la inversión de todos los espines. El modelo crítico de Ising bidimensional incluye el modelo mínimo de Virasoro , que se puede resolver de forma exacta. No existe una CFT de Ising en dimensiones. ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}(4,3)}$ ${\displaystyle d\geq 4}$

Modelo crítico de Potts

El modelo crítico de Potts con colores es una CFT unitaria que es invariante bajo el grupo de permutación . Es una generalización del modelo crítico de Ising, que corresponde a . El modelo crítico de Potts existe en un rango de dimensiones que dependen de . ${\displaystyle q=2,3,4,\cdots }$ ${\displaystyle S_{q}}$ ${\displaystyle q=2}$ ${\displaystyle q}$

El modelo crítico de Potts puede construirse como el límite continuo del modelo de Potts en una red hipercúbica de dimensión d . En la reformulación de Fortuin-Kasteleyn en términos de clústeres, el modelo de Potts puede definirse para , pero no es unitario si no es entero. ${\displaystyle q\in \mathbb {C} }$ ${\displaystyle q}$

Modelo crítico O(N)

El modelo crítico O(N) es una CFT invariante bajo el grupo ortogonal . Para cualquier entero , existe como una CFT interactuante, unitaria y compacta en dimensiones (y para también en dos dimensiones). Es una generalización del modelo crítico de Ising, que corresponde a la CFT O(N) en . ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle d=3}$ ${\displaystyle N=1}$ ${\displaystyle N=1}$

La CFT O(N) se puede construir como el límite continuo de un modelo reticular con espines que son N -vectores, como se analiza aquí .

Alternativamente, el modelo crítico puede construirse como el límite del punto fijo de Wilson-Fisher en dimensiones. En , el punto fijo de Wilson-Fisher se convierte en el producto tensorial de escalares libres con dimensión . Porque el modelo en cuestión no es unitario. ^[18] ${\displaystyle O(N)}$ ${\displaystyle \varepsilon \to 1}$ ${\displaystyle d=4-\varepsilon }$ ${\displaystyle \varepsilon =0}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle \Delta =1}$ ${\displaystyle 0<\varepsilon <1}$

Cuando N es grande, el modelo O(N) se puede resolver de manera perturbativa en una expansión 1/N mediante la transformación de Hubbard–Stratonovich . En particular, el límite del modelo crítico O(N) se entiende bien. ${\displaystyle N\to \infty }$

Teorías de calibración conforme

Algunas teorías de campos conformes en tres y cuatro dimensiones admiten una descripción lagrangiana en forma de una teoría de calibre , ya sea abeliana o no abeliana. Ejemplos de tales teorías de campos conformes son la QED conforme con suficientes campos cargados en o el punto fijo de Banks-Zaks en . ${\displaystyle d=3}$ ${\displaystyle d=4}$

Aplicaciones

Transiciones de fase continuas

Las transiciones de fase continuas (puntos críticos) de los sistemas de física estadística clásica con dimensiones espaciales D suelen describirse mediante teorías de campos conformes euclidianas. Una condición necesaria para que esto suceda es que el punto crítico sea invariante ante rotaciones y traslaciones espaciales. Sin embargo, esta condición no es suficiente: algunos puntos críticos excepcionales se describen mediante teorías invariantes de escala, pero no invariantes conformes. Si el sistema de física estadística clásica es positivo en cuanto a reflexión, la correspondiente CFT euclidiana que describe su punto crítico será unitaria.

Las transiciones de fase cuánticas continuas en sistemas de materia condensada con dimensiones espaciales D pueden describirse mediante teorías de campos conformes de dimensión D+1 de Lorentz (relacionadas por la rotación de Wick con las CFT euclidianas en dimensiones D+1 ). Además de la invariancia de la traslación y la rotación, una condición necesaria adicional para que esto suceda es que el exponente crítico dinámico z debe ser igual a 1. Las CFT que describen dichas transiciones de fase cuánticas (en ausencia de desorden extinguido) son siempre unitarias.

Teoría de cuerdas

La descripción de la teoría de cuerdas a partir de una hoja de mundos implica una CFT bidimensional acoplada a una gravedad cuántica bidimensional dinámica (o supergravedad, en el caso de la teoría de supercuerdas). La consistencia de los modelos de teoría de cuerdas impone restricciones a la carga central de esta CFT, que debería ser c=26 en la teoría de cuerdas bosónicas y c=10 en la teoría de supercuerdas. Las coordenadas del espacio-tiempo en el que vive la teoría de cuerdas corresponden a los campos bosónicos de esta CFT.

Correspondencia AdS/CFT

Las teorías de campos conformes desempeñan un papel destacado en la correspondencia AdS/CFT , en la que una teoría gravitacional en el espacio anti-de Sitter (AdS) es equivalente a una teoría de campos conforme en el límite AdS. Ejemplos notables son la teoría de Yang-Mills supersimétrica d  = 4, N = 4 , que es dual a la teoría de cuerdas de tipo IIB en AdS ₅  × S ⁵ , y la teoría de Chern-Simons supersimétrica d  = 3, N  = 6 , que es dual a la teoría M en AdS ₄  × S ^7. (El prefijo "super" denota supersimetría , N denota el grado de supersimetría extendida que posee la teoría y d el número de dimensiones espacio-temporales en el límite).

Véase también

• Teoría de campos conformes logarítmicos
• Correspondencia AdS/CFT
• Expansión de productos para operadores
• Punto crítico
• Teoría de campos conformes en el límite
• Campo primario
• Álgebra superconforme
• Álgebra conforme
• Arranque conforme
• Historia de la teoría de campos conforme

Referencias

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3. Un ejemplo físico es la teoría de la elasticidad en dos y tres dimensiones (también conocida como la teoría de un campo vectorial sin invariancia de calibración). Véase Riva V, Cardy J (2005). "Invariancia de escala y conforme en la teoría de campos: un contraejemplo físico". Phys. Lett. B . 622 (3–4): 339–342. arXiv : hep-th/0504197 . Bibcode :2005PhLB..622..339R. doi :10.1016/j.physletb.2005.07.010. S2CID  119175109.
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Lectura adicional

• Rychkov, Slava (2016). "Conferencias de la EPFL sobre teoría de campos conformes en dimensiones D ≥ 3". SpringerBriefs in Physics . arXiv : 1601.05000 . doi :10.1007/978-3-319-43626-5. ISBN 978-3-319-43625-8.S2CID119192484  .​
• Martin Schottenloher, Una introducción matemática a la teoría de campos conforme , Springer-Verlag, Berlín, Heidelberg, 1997. ISBN 3-540-61753-1 , 2.ª edición 2008, ISBN 978-3-540-68625-5 .  

Enlaces externos

• Medios relacionados con Teoría de campos conforme en Wikimedia Commons