Teoría de la representación del grupo simétrico

En matemáticas , la teoría de la representación del grupo simétrico es un caso particular de la teoría de la representación de grupos finitos , para la que se puede obtener una teoría concreta y detallada. Esta tiene una amplia área de aplicaciones potenciales, desde la teoría de funciones simétricas hasta los estudios de química cuántica de átomos, moléculas y sólidos. ^{[1] [2]}

El grupo simétrico S _n tiene orden n !. Sus clases de conjugación están etiquetadas por particiones de n . Por lo tanto, de acuerdo con la teoría de representación de un grupo finito, el número de representaciones irreducibles no equivalentes , sobre los números complejos , es igual al número de particiones de n . A diferencia de la situación general para los grupos finitos, de hecho existe una forma natural de parametrizar representaciones irreducibles por el mismo conjunto que parametriza las clases de conjugación, es decir, por particiones de n o, equivalentemente, diagramas de Young de tamaño n .

De hecho, cada una de estas representaciones irreducibles puede realizarse sobre los números enteros (cada permutación actúa mediante una matriz con coeficientes enteros); puede construirse explícitamente calculando los simetrizadores de Young que actúan sobre un espacio generado por las tablas de Young de forma dada por el diagrama de Young. La dimensión de la representación que corresponde al diagrama de Young está dada por la fórmula de longitud de gancho . ${\displaystyle d_{\lambda }}$ ${\displaystyle \lambda }$

A cada representación irreducible ρ podemos asociarle un carácter irreducible, χ ^ρ . Para calcular χ ^ρ (π) donde π es una permutación, se puede utilizar la regla combinatoria de Murnaghan-Nakayama . ^[3] Tenga en cuenta que χ ^ρ es constante en las clases de conjugación, es decir, χ ^ρ (π) = χ ^ρ (σ ⁻¹ πσ) para todas las permutaciones σ.

En otros cuerpos la situación puede volverse mucho más complicada. Si el cuerpo K tiene característica igual a cero o mayor que n entonces, por el teorema de Maschke, el álgebra de grupos K S _n es semisimple. En estos casos, las representaciones irreducibles definidas sobre los enteros dan el conjunto completo de representaciones irreducibles (después de la reducción módulo característica si es necesario).

Sin embargo, las representaciones irreducibles del grupo simétrico no se conocen en una característica arbitraria. En este contexto es más habitual utilizar el lenguaje de módulos en lugar de representaciones. La representación obtenida a partir de una representación irreducible definida sobre los enteros mediante la reducción módulo la característica no será en general irreducible. Los módulos así construidos se denominan módulos de Specht , y todo irreducible surge dentro de algún módulo de este tipo. Ahora hay menos irreducibles, y aunque se pueden clasificar, se entienden muy mal. Por ejemplo, ni siquiera se conocen sus dimensiones en general.

La determinación de los módulos irreducibles para el grupo simétrico sobre un campo arbitrario se considera ampliamente como uno de los problemas abiertos más importantes en la teoría de la representación.

Representaciones de baja dimensión

Grupos simétricos

Las representaciones de dimensión más baja de los grupos simétricos se pueden describir explícitamente, ^{[4] [5]} y sobre campos arbitrarios. ^{[6] [ página necesaria ]} Los dos grados más pequeños en el cero característico se describen aquí:

Todo grupo simétrico tiene una representación unidimensional llamada representación trivial , donde cada elemento actúa como la matriz identidad uno a uno. Para n ≥ 2 , existe otra representación irreducible de grado 1, llamada representación de signo o carácter alternado , que realiza una permutación a la matriz uno a uno con entrada ±1 en función del signo de la permutación . Estas son las únicas representaciones unidimensionales de los grupos simétricos, ya que las representaciones unidimensionales son abelianas, y la abelianización del grupo simétrico es C ₂ , el grupo cíclico de orden 2.

Para todo n , existe una representación n -dimensional del grupo simétrico de orden n!, llamadorepresentación de permutación natural , que consiste en permutarncoordenadas. Esto tiene la subrepresentación trivial que consiste en vectores cuyas coordenadas son todas iguales. El complemento ortogonal consiste en aquellos vectores cuyas coordenadas suman cero, y cuando n ≥ 2, la representación en este subespacio es unarepresentación irreducible de( n − 1)representación estándar. Otra( n − 1)dimensiones se encuentra tensando con la representación de signos. Unapotencia exterior de la representación estándares irreducible siempre que(Fulton y Harris 2004). ${\displaystyle \Lambda ^{k}V}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle 0\leq k\leq n-1}$

Para n ≥ 7 , estas son las representaciones irreducibles de dimensión más baja de S _n – todas las demás representaciones irreducibles tienen dimensión al menos n . Sin embargo, para n = 4 , la sobreyección de S ₄ a S ₃ permite que S ₄ herede una representación irreducible bidimensional. Para n = 6 , la excepcional incrustación transitiva de S ₅ en S ₆ produce otro par de representaciones irreducibles de cinco dimensiones.

Grupos alternados

El compuesto de cinco tetraedros , sobre el que actúa A ₅ , dando una representación tridimensional.

La teoría de representación de los grupos alternados es similar, aunque desaparece la representación de signos. Para n ≥ 7 , las representaciones irreducibles de menor dimensión son la representación trivial en dimensión uno y la representación ( n − 1) -dimensional del otro sumando de la representación de permutación, y todas las demás representaciones irreducibles tienen mayor dimensión, pero hay excepciones para n más pequeños .

Los grupos alternados para n ≥ 5 tienen una única representación irreducible unidimensional, la representación trivial. Para n = 3, 4 hay dos representaciones irreducibles unidimensionales adicionales, correspondientes a funciones del grupo cíclico de orden 3: A ₃ ≅ C ₃ y A ₄ → A ₄ / V ≅ C ₃ .

• Para n ≥ 7 , solo hay una representación irreducible de grado n − 1 , y este es el grado más pequeño de una representación irreducible no trivial.
• Para n = 3, el análogo obvio de la representación ( n − 1) -dimensional es reducible: la representación de permutación coincide con la representación regular y, por lo tanto, se descompone en las tres representaciones unidimensionales, ya que A ₃ ≅ C ₃ es abeliano; véase la transformada de Fourier discreta para la teoría de representación de grupos cíclicos.
• Para n = 4 , solo hay una representación irreducible n − 1 , pero existen representaciones irreducibles excepcionales de dimensión 1.
• Para n = 5 , existen dos representaciones irreducibles duales de dimensión 3, correspondientes a su acción como simetría icosaédrica .
• Para n = 6 , hay una representación irreducible extra de dimensión 5 correspondiente a la incrustación transitiva excepcional de A ₅ en  A ₆ .

Productos tensoriales de representaciones

Coeficientes de Kronecker

El producto tensorial de dos representaciones de correspondientes a los diagramas de Young es una combinación de representaciones irreducibles de , ${\displaystyle S_{n}}$ ${\displaystyle \lambda ,\mu }$ ${\displaystyle S_{n}}$

${\displaystyle V_{\lambda }\otimes V_{\mu }\cong \sum _{\nu }C_{\lambda ,\mu ,\nu }V_{\nu }}$

Los coeficientes se denominan coeficientes de Kronecker del grupo simétrico y pueden calcularse a partir de los caracteres de las representaciones (Fulton y Harris 2004): ${\displaystyle C_{\lambda \mu \nu }\in \mathbb {N} }$

${\displaystyle C_{\lambda ,\mu ,\nu }=\sum _{\rho }{\frac {1}{z_{\rho }}}\chi _{\lambda }(C_{\rho })\chi _{\mu }(C_{\rho })\chi _{\nu }(C_{\rho })}$

La suma se obtiene sobre particiones de , con las clases de conjugación correspondientes. Los valores de los caracteres se pueden calcular utilizando la fórmula de Frobenius . Los coeficientes son ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle C_{\rho }}$ ${\displaystyle \chi _{\lambda }(C_{\rho })}$ ${\displaystyle z_{\rho }}$

${\displaystyle z_{\rho }=\prod _{j=0}^{n}j^{i_{j}}i_{j}!={\frac {n!}{|C_{\rho }|}}}$

donde es el número de veces que aparece en , de modo que . ${\displaystyle i_{j}}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \sum i_{j}j=n}$

Algunos ejemplos, escritos en términos de diagramas de Young (Hamermesh 1989):

${\displaystyle (n-1,1)\otimes (n-1,1)\cong (n)+(n-1,1)+(n-2,2)+(n-2,1,1)}$

${\displaystyle (n-1,1)\otimes (n-2,2){\underset {n>4}{\cong }}(n-1,1)+(n-2,2)+(n-2,1,1)+(n-3,3)+(n-3,2,1)}$

${\displaystyle (n-1,1)\otimes (n-2,1,1)\cong (n-1,1)+(n-2,2)+(n-2,1,1)+(n-3,2,1)+(n-3,1,1,1)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}(n-2,2)\otimes (n-2,2)\cong &(n)+(n-1,1)+2(n-2,2)+(n-2,1,1)+(n-3,3)\\&+2(n-3,2,1)+(n-3,1,1,1)+(n-4,4)+(n-4,3,1)+(n-4,2,2)\end{aligned}}}$

Hay una regla simple para el cálculo de cualquier diagrama de Young (Hamermesh 1989): el resultado es la suma de todos los diagramas de Young que se obtienen al eliminar una caja y luego agregar otra caja, donde los coeficientes son uno excepto él mismo, cuyo coeficiente es , es decir, el número de longitudes de fila diferentes menos uno. ${\displaystyle (n-1,1)\otimes \lambda }$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \#\{\lambda _{i}\}-1}$

Una restricción sobre los constituyentes irreducibles de es (James y Kerber 1981) ${\displaystyle V_{\lambda }\otimes V_{\mu }}$

${\displaystyle C_{\lambda ,\mu ,\nu }>0\implies |d_{\lambda }-d_{\mu }|\leq d_{\nu }\leq d_{\lambda }+d_{\mu }}$

donde la profundidad de un diagrama de Young es el número de cajas que no pertenecen a la primera fila. ${\displaystyle d_{\lambda }=n-\lambda _{1}}$

Coeficientes de Kronecker reducidos

Para un diagrama de Young y , es un diagrama de Young de tamaño . Entonces es una función acotada y no decreciente de , y ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle n\geq \lambda _{1}}$ ${\displaystyle \lambda [n]=(n-|\lambda |,\lambda )}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle C_{\lambda [n],\mu [n],\nu [n]}}$ ${\displaystyle n}$

${\displaystyle {\bar {C}}_{\lambda ,\mu ,\nu }=\lim _{n\to \infty }C_{\lambda [n],\mu [n],\nu [n]}}$

se llama coeficiente de Kronecker reducido ^[7] o coeficiente de Kronecker estable . ^[8] Existen límites conocidos sobre el valor de donde alcanza su límite. ^[7] Los coeficientes de Kronecker reducidos son constantes de estructura de categorías de Deligne de representaciones de con . ^[9] ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle C_{\lambda [n],\mu [n],\nu [n]}}$ ${\displaystyle S_{n}}$ ${\displaystyle n\in \mathbb {C} -\mathbb {N} }$

A diferencia de los coeficientes de Kronecker, los coeficientes de Kronecker reducidos se definen para cualquier triple de diagramas de Young, no necesariamente del mismo tamaño. Si , entonces coincide con el coeficiente de Littlewood-Richardson . ^[10] Los coeficientes de Kronecker reducidos se pueden escribir como combinaciones lineales de coeficientes de Littlewood-Richardson mediante un cambio de bases en el espacio de funciones simétricas, dando lugar a expresiones que son manifiestamente integrales aunque no manifiestamente positivas. ^[8] Los coeficientes de Kronecker reducidos también se pueden escribir en términos de los coeficientes de Kronecker y Littlewood-Richardson mediante la fórmula de Littlewood ^{[11] [12]} ${\displaystyle |\nu |=|\lambda |+|\mu |}$ ${\displaystyle {\bar {C}}_{\lambda ,\mu ,\nu }}$ ${\displaystyle c_{\lambda ,\mu }^{\nu }}$ ${\displaystyle c_{\alpha \beta \gamma }^{\lambda }}$

${\displaystyle {\bar {C}}_{\lambda ,\mu ,\nu }=\sum _{\lambda ',\mu ',\nu ',\alpha ,\beta ,\gamma }C_{\lambda ',\mu ',\nu '}c_{\lambda '\beta \gamma }^{\lambda }c_{\mu '\alpha \gamma }^{\mu }c_{\nu '\alpha \beta }^{\nu }}$

Por el contrario, es posible recuperar los coeficientes de Kronecker como combinaciones lineales de coeficientes de Kronecker reducidos. ^[7]

Los coeficientes de Kronecker reducidos se implementan en el sistema de álgebra computacional SageMath . ^{[13] [14]}

Valores propios de representaciones complejas

Dado un elemento de tipo cíclico y orden , los valores propios de en una representación compleja de son del tipo con , donde los números enteros se denominan exponentes cíclicos de con respecto a la representación. ^[15] ${\displaystyle w\in S_{n}}$ ${\displaystyle \mu =(\mu _{1},\mu _{2},\dots ,\mu _{k})}$ ${\displaystyle m={\text{lcm}}(\mu _{i})}$ ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle S_{n}}$ ${\displaystyle \omega ^{e_{j}}}$ ${\displaystyle \omega =e^{\frac {2\pi i}{m}}}$ ${\displaystyle e_{j}\in {\frac {\mathbb {Z} }{m\mathbb {Z} }}}$ ${\displaystyle w}$

Existe una descripción combinatoria de los exponentes cíclicos del grupo simétrico (y sus productos en corona). Definiendo , sea el índice de una tabla de Young estándar la suma de los valores de sobre los descensos de la tabla, . Entonces los exponentes cíclicos de la representación de descrita por el diagrama de Young son los índices de las tablas de Young correspondientes. ^[15] ${\displaystyle \left(b_{\mu }(1),\dots ,b_{\mu }(n)\right)=\left({\frac {m}{\mu _{1}}},2{\frac {m}{\mu _{1}}},\dots ,m,{\frac {m}{\mu _{2}}},2{\frac {m}{\mu _{2}}},\dots ,m,\dots \right)}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle b_{\mu }}$ ${\displaystyle {\text{ind}}_{\mu }(T)=\sum _{k\in \{{\text{descents}}(T)\}}b_{\mu }(k){\bmod {m}}}$ ${\displaystyle S_{n}}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \mu }$

En particular, si es de orden , entonces , y coincide con el índice mayor de (la suma de los descensos). Los exponentes cíclicos de una representación irreducible de entonces describen cómo se descompone en representaciones del grupo cíclico , siendo interpretada como la imagen de en la representación (unidimensional) caracterizada por . ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle b_{\mu }(k)=k}$ ${\displaystyle {\text{ind}}_{\mu }(T)}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle S_{n}}$ ${\displaystyle {\frac {\mathbb {Z} }{n\mathbb {Z} }}}$ ${\displaystyle \omega ^{e_{j}}}$ ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle e_{j}}$

Véase también

• Polinomios alternados
• Polinomios simétricos
• Función Schur
• Correspondencia Robinson-Schensted
• Dualidad Schur-Weyl
• Elemento Jucys-Murphy
• Relaciones con Garnir

Referencias

1. Philip R. Bunker y Per Jensen (1998) Molecular Symmetry and Spectroscopy (Simetría molecular y espectroscopia) , 2.ª edición, NRC Research Press, Ottawa [1], págs. 198-202. ISBN  9780660196282
2. R. Pauncz (1995) El grupo simétrico en la química cuántica , CRC Press, Boca Raton, Florida
3. Richard Stanley, Combinatoria enumerativa, vol. 2
4. Burnside, William (1955), Teoría de grupos de orden finito , Nueva York: Dover Publications , MR  0069818
5. Rasala, Richard (1977), "Sobre los grados mínimos de los caracteres de Sn", Journal of Algebra , 45 (1): 132–181, doi : 10.1016/0021-8693(77)90366-0 , ISSN  0021-8693, MR  0427445
6. James y Kerber 1981.
7. Briand, Emmanuel; Orellana, Rosa; Rosas, Mercedes (27 de julio de 2009). "La estabilidad de los productos Kronecker de las funciones Schur". Revista de Álgebra . 331 : 11–27. arXiv : 0907.4652 . doi :10.1016/j.jalgebra.2010.12.026. S2CID  16714030.
8. Assaf, Sami H.; Speyer, David E. (26 de septiembre de 2018). "Los módulos de Specht se descomponen como sumas alternas de restricciones de módulos de Schur". Actas de la American Mathematical Society . 148 (3): 1015–1029. arXiv : 1809.10125 . doi :10.1090/proc/14815. S2CID  119692633.
9. Entova-Aizenbud, Inna (6 de julio de 2014). "Categorías de Deligne y coeficientes de Kronecker reducidos". arXiv : 1407.1506v1 [math.RT].
10. Dvir, Yoav (15 de febrero de 1996). "Sobre el producto de Kronecker de caracteres Sn". Journal of Algebra . 154 : 125–140. doi : 10.1006/jabr.1993.1008 .
11. Littlewood, DE (1958). "Productos y pletismos de caracteres con grupos ortogonales, simplécticos y simétricos". Revista canadiense de matemáticas . 10 . Sociedad matemática canadiense: 17–32. doi : 10.4153/cjm-1958-002-7 . ISSN  0008-414X.
12. Orellana, Rosa; Zabrocki, Mike (23 de septiembre de 2017). "Productos de caracteres del grupo simétrico". arXiv : 1709.08098v1 [math.CO].
13. Orellana, Rosa; Zabrocki, Mike (1 de octubre de 2015). "Caracteres de grupos simétricos como funciones simétricas (resumen extendido)". arXiv : 1510.00438v2 [math.CO].
14. "Caracteres del grupo simétrico como bases de las funciones simétricas". Manual de referencia de Sage 9.3: Combinatoria . Consultado el 5 de julio de 2021 .
15. Stembridge, John (1989-12-01). "Sobre los valores propios de las representaciones de grupos de reflexión y productos de corona". Pacific Journal of Mathematics . 140 (2). Mathematical Sciences Publishers: 353–396. doi : 10.2140/pjm.1989.140.353 . ISSN  0030-8730.

Publicaciones citadas

• Fulton, William; Harris, Joe (2004). "Teoría de la representación". Textos de posgrado en matemáticas . Nueva York, NY: Springer New York. doi :10.1007/978-1-4612-0979-9. ISBN 978-3-540-00539-1. ISSN  0072-5285.
• Hamermesh, M (1989). Teoría de grupos y su aplicación a problemas físicos . Nueva York: Dover Publications. ISBN 0-486-66181-4.OCLC 20218471  .
• James, Gordon; Kerber, Adalbert (1981), La teoría de la representación del grupo simétrico , Enciclopedia de matemáticas y sus aplicaciones, vol. 16, Addison-Wesley Publishing Co., Reading, Mass., ISBN 978-0-201-13515-2, Sr.  0644144
• James, GD (1983), "Sobre las dimensiones mínimas de las representaciones irreducibles de grupos simétricos", Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society , 94 (3): 417–424, Bibcode :1983MPCPS..94..417J, doi :10.1017/S0305004100000803, ISSN  0305-0041, MR  0720791, S2CID  123113210