Teoría de la similitud de Monin-Obukhov

La teoría de similitud de Monin-Obukhov (M-O) describe el flujo medio adimensional y la temperatura media en la capa superficial en condiciones no neutrales como una función del parámetro de altura adimensional, ^[1] que lleva el nombre de los científicos rusos AS Monin y AM Obukhov. . La teoría de la similitud es un método empírico que describe relaciones universales entre variables no dimensionalizadas de fluidos basándose en el teorema π de Buckingham . La teoría de la similitud se utiliza ampliamente en la meteorología de la capa límite, ya que las relaciones en procesos turbulentos no siempre se pueden resolver desde los primeros principios. ^[2]

Un perfil vertical idealizado del flujo medio para una capa límite neutra es el perfil de viento logarítmico derivado de la teoría de la longitud de mezcla de Prandtl , ^[3] que establece que la componente horizontal del flujo medio es proporcional al logaritmo de la altura. La teoría de similitud M – O generaliza aún más la teoría de la longitud de mezcla en condiciones no neutrales mediante el uso de las llamadas "funciones universales" de altura adimensional para caracterizar las distribuciones verticales del flujo medio y la temperatura. La longitud de Obukhov ( ), una escala de longitud característica de la turbulencia de la capa superficial obtenida por Obukhov en 1946, ^[4] se utiliza para el escalado adimensional de la altura real. La teoría de la similitud M-O marcó un hito importante en la micrometeorología moderna , proporcionando una base teórica para experimentos micrometeorológicos y técnicas de medición. ^[5] ${\displaystyle L}$

La longitud de Obujov

La longitud de Obukhov es un parámetro de longitud para la capa superficial en la capa límite , que caracteriza las contribuciones relativas a la energía cinética turbulenta de la producción boyante y la producción de corte. La longitud de Obukhov se formuló utilizando el criterio de estabilidad dinámica de Richardson. ^[4] Se derivó como, ${\displaystyle L}$

${\displaystyle L=-{\dfrac {u_{*}^{3}}{\kappa {\dfrac {g}{T}}{\dfrac {Q}{\rho c_{p}}}}}}$

donde está la constante de von Kármán , la velocidad de fricción , el flujo de calor turbulento y la capacidad calorífica. ^[4] La temperatura potencial virtual se utiliza a menudo en lugar de la temperatura para corregir los efectos de la presión y el vapor de agua. se puede escribir como flujo de remolino vertical, ${\displaystyle \kappa \approx 0.40}$ ${\displaystyle u_{*}}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle c_{p}}$ ${\displaystyle \theta _{v}}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle Q}$

${\displaystyle Q=\rho c_{p}{\overline {w'\theta _{v}'}}}$

con y perturbaciones de la velocidad vertical y la temperatura potencial virtual, respectivamente. Por lo tanto, la longitud de Obukhov también se puede definir como, ^[6] ${\displaystyle w'}$ ${\displaystyle \theta _{v}'}$

${\displaystyle L=-{\dfrac {u_{*}^{3}}{\kappa {\dfrac {g}{\overline {\theta _{v}}}}{\overline {w'\theta _{v}'}}}}}$

La longitud de Obukhov también actúa como criterio para la estabilidad estática de la capa superficial. Cuando , la capa superficial es estáticamente inestable y cuando la capa superficial es estáticamente estable. La magnitud absoluta de indica la desviación del estado estáticamente neutral, correspondiendo valores más pequeños a desviaciones mayores de las condiciones neutrales. Cuando es pequeño y , los procesos flotantes dominan la producción de energía cinética turbulenta en comparación con la producción de cizallamiento. Por definición, en condiciones neutrales . La longitud de Obukhov se utiliza para la adimensionalización de la altura en la teoría de la similitud. ${\displaystyle L<0}$ ${\displaystyle L>0}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle |L|}$ ${\displaystyle |L|}$ ${\displaystyle L<0}$ ${\displaystyle L\rightarrow \infty }$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle z}$

Fórmulas que rigen las relaciones de similitud

La teoría de similitud M – O parametriza los flujos en la capa superficial en función del parámetro de longitud adimensional . A partir del teorema de análisis dimensional de Buckingham Pi, se pueden formar dos grupos adimensionales a partir del conjunto de parámetros básicos , ${\displaystyle \zeta =z/L}$ ${\displaystyle \{u_{*},g/{\overline {\theta _{v}}},\partial {\overline {u}}/\partial z,z,{\overline {w'\theta _{v}'}}\}}$

${\displaystyle {\dfrac {\kappa z}{u_{*}}}{\dfrac {\partial {\overline {u}}}{\partial z}}}$, y

${\displaystyle \zeta ={\dfrac {z}{L}}}$

A partir de ahí, se puede determinar una función para describir empíricamente la relación entre las dos cantidades adimensionales, llamada función universal. De manera similar, se puede definir para el grupo adimensional del perfil de temperatura media. Por lo tanto, los perfiles medios de viento y temperatura satisfacen las siguientes relaciones, ^{[1] [5]} ${\displaystyle \varphi _{M}(\zeta )}$ ${\displaystyle \varphi _{H}(\zeta )}$

${\displaystyle {\dfrac {\partial {\overline {u}}}{\partial z}}={\dfrac {u_{*}}{\kappa z}}\varphi _{M}(\zeta )}$

${\displaystyle {\dfrac {\partial {\overline {\theta _{v}}}}{\partial z}}={\dfrac {\theta _{*}}{\kappa z}}\varphi _{H}(\zeta )}$

donde es la temperatura dinámica característica y son las funciones universales del impulso y el calor. Los coeficientes de difusividad de remolinos para el momento y los flujos de calor se definen de la siguiente manera: ${\displaystyle \theta _{*}=-{\dfrac {\overline {w'\theta _{v}'}}{u_{*}}}}$ ${\displaystyle \varphi _{M}}$ ${\displaystyle \varphi _{H}}$

${\displaystyle K_{M}=\kappa z{\dfrac {u_{*}}{\varphi _{M}(\zeta )}},\ K_{H}=\kappa z{\dfrac {u_{*}}{\varphi _{H}(\zeta )}}}$

${\displaystyle K_{M}}$y puede estar relacionado con el turbulento número de Prandtl , ${\displaystyle K_{H}}$ ${\displaystyle Pr_{t}}$

${\displaystyle {\dfrac {K_{H}}{K_{M}}}={\dfrac {1}{Pr_{t}}}>1}$

En realidad, las funciones universales deben determinarse utilizando datos experimentales al aplicar la teoría de similitud M – O. Aunque la elección de funciones universales no es única, se han propuesto ciertas formas funcionales que son ampliamente aceptadas para ajustar datos experimentales.

Funciones universales de la teoría de la similitud de Monin-Obukhov

Funciones universales para la teoría de similitud de Monin-Obukhov

Se han propuesto varias formas funcionales para representar las funciones universales de la teoría de la similitud. Debido a que la longitud de Obukhov se determina cuando , donde es el número de Richardson , la función universal elegida debe cumplir la siguiente condición, ^[1] ${\displaystyle L{\Big (}{\dfrac {\partial Ri}{\partial z}}{\Big )}_{z=0}=1}$ ${\displaystyle Ri}$

${\displaystyle \varphi (0)=1}$

Una aproximación de primer orden de la función universal para el flujo de momento es,

${\displaystyle \varphi _{M}(\zeta )=1+\beta \zeta }$

dónde . ^[5] Sin embargo, esto sólo es aplicable cuando . Para condiciones donde , la relación es, ${\displaystyle \beta \approx 6}$ ${\displaystyle 0<\zeta <1}$ ${\displaystyle \zeta <0}$

${\displaystyle \varphi _{M}^{4}-\gamma \zeta \varphi _{M}^{3}=1}$

donde es un coeficiente que se determinará a partir de datos experimentales. Esta ecuación se puede aproximar aún más mediante cuando . ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \varphi _{M}=(1+\gamma \zeta )^{-1/4}}$ ${\displaystyle -2<\zeta <0}$

Con base en los resultados del experimento de Kansas de 1968, se determinan las siguientes funciones universales para el flujo medio horizontal y la temperatura potencial virtual media, ^[7]

${\displaystyle \varphi _{M}(\zeta )=(1-15\zeta )^{-1/4}\quad -2<\zeta <0}$

${\displaystyle \varphi _{M}(\zeta )=1+4.7\zeta \quad 0<\zeta <1}$

${\displaystyle \varphi _{H}(\zeta )=0.74(1-9\zeta )^{-1/2}\quad -2<\zeta <0}$

${\displaystyle \varphi _{H}(\zeta )=0.74+4.7\zeta \quad 0<\zeta <1}$

También se utilizan otros métodos que determinan las funciones universales utilizando la relación entre y . ^{[8] [9]} ${\displaystyle \zeta }$ ${\displaystyle Ri}$

Para subcapas con rugosidad significativa, por ejemplo, superficies con vegetación o áreas urbanas, las funciones universales deben modificarse para incluir los efectos de la rugosidad de la superficie. ^[6]

Validaciones

Se dedicaron innumerables esfuerzos experimentales a la validación de la teoría de similitud M-O. Las observaciones de campo y las simulaciones por computadora han demostrado en general que la teoría de similitud M – O está bien satisfecha.

En mediciones de campo

Un campo de trigo de Kansas, el terreno plano es necesario para el experimento.

El experimento de Kansas de 1968 encontró una gran coherencia entre las mediciones y predicciones a partir de relaciones de similitud para todo el rango de valores de estabilidad. ^[7] Un campo de trigo llano en Kansas sirvió como lugar del experimento, con vientos medidos por anemómetros montados a diferentes alturas en una torre de 32 m. El perfil de temperatura también se midió de manera similar. Los resultados del estudio de campo de Kansas indicaron que la relación entre las difusividades de calor y de impulso de los remolinos era de aproximadamente 1,35 en condiciones neutras. En 1973 se llevó a cabo un experimento similar en un campo llano en el noroeste de Minnesota. Este experimento utilizó observaciones de la capa superficial tanto desde tierra como desde globos y validó aún más las predicciones teóricas a partir de la similitud. ^[10]

En simulaciones de grandes remolinos

Además de los experimentos de campo, el análisis de la teoría de similitud M – O se puede realizar mediante simulaciones de grandes remolinos de alta resolución . La simulación indica que el campo de temperatura concuerda bien con la similitud M – O. Sin embargo, el campo de velocidad muestra anomalías significativas debido a la similitud M – O. ^[11]

Limitaciones

La teoría de similitud M – O, aunque exitosa para capas superficiales a partir de validaciones experimentales, es esencialmente una teoría empírica de diagnóstico basada en el cierre de turbulencias locales de primer orden. Normalmente, entre el 10% y el 20% de los errores están asociados con funciones universales. Cuando se aplica a áreas con vegetación o terrenos complejos, puede dar lugar a grandes discrepancias. Debido a que las funciones universales a menudo se determinan en condiciones secas, no se estudió bien la aplicabilidad de la teoría de similitud M-O en condiciones húmedas.

El conjunto de parámetros básicos de la teoría de similitud M – O incluye la producción de flotabilidad . Se argumenta que con tal conjunto de parámetros, la escala se aplica a las características integrales del flujo, mientras que una relación de similitud específica de remolino prefiere el uso de la tasa de disipación de energía . ^[12] Este esquema es capaz de explicar anomalías de la teoría de similitud M – O, pero implica no localidad para el modelado y los experimentos. ${\displaystyle {\dfrac {gQ}{T}}}$ ${\displaystyle \epsilon _{0}}$

Ver también

• Longitud de Obukhov
• Capa superficial
• Perfil de viento logarítmico
• Modelo de longitud de mezcla

Referencias

1. , AS; Obujov, AM (1954). "Leyes básicas de mezcla turbulenta en la capa superficial de la atmósfera". tr. Akád. Nauk. SSSR Geophiz. Inst . 24 (151): 163–187.
2. Stull, Roland (1988). Una introducción a la meteorología de la capa límite . Países Bajos: Springer. ISBN 978-94-009-3027-8.
3. Prandtl, Ludwig (1925). "Bericht über Untersuchungen zur ausgebildeten Turbulenz". Zeitschrift für Angewandte Mathematik und Mechanik . 5 (2): 136-139. Código bibliográfico : 1925ZaMM....5..136P. doi :10.1002/zamm.19250050212.
4. Obukhov, AM (1971). "Turbulencia en una atmósfera con temperatura no uniforme". Meteorología de capa límite . 2 (1): 7–29. Código bibliográfico : 1971BoLMe...2....7O. doi :10.1007/BF00718085. S2CID  121123105.
5. Foken, T. (2006). "50 años de la teoría de la similitud de Monin-Obukhov". Meteorología de capa límite . 2 (3): 7–29. Código Bib : 2006BoLMe.119..431F. doi :10.1007/s10546-006-9048-6. S2CID  122060208.
6. Foken, Thomas (2008). Micrometeorología . Springer-Verlag. págs. 42–49. ISBN 978-3-540-74665-2.
7. Businger, JA ; JC Wyngaard; Y.Izumi; EF Bradley (1971). "Relaciones flujo-perfil en la capa superficial atmosférica". Revista de Ciencias Atmosféricas . 28 (2): 181–189. Código bibliográfico : 1971JAtS...28..181B. doi : 10.1175/1520-0469(1971)028<0181:FPRITA>2.0.CO;2 .
8. Arya, SP (2001). Introducción a la Micrometeorología . San Diego: Prensa académica.
9. Högström, U. (1988). "Perfiles adimensionales de viento y temperatura en la capa superficial atmosférica: una reevaluación". Meteorología de capa límite . 42 (1–2): 55–78. Código Bib : 1988BoLMe..42...55H. doi :10.1007/BF00119875. S2CID  117742460.
10. Kaimal, JC; JC Wyngaard; DA Haugen; O Coté; Y.Izumi; SJ Caughey; Lecturas de CJ (1976). "Estructura de turbulencia en la capa límite convectiva". Revista de Ciencias Atmosféricas . 33 (11): 2152–2169. Código bibliográfico : 1976JAtS...33.2152K. doi : 10.1175/1520-0469(1976)033<2152:TSITCB>2.0.CO;2 .
11. Khanna, Samir; Brasseur, James G. (1997). "Análisis de la similitud Monin-Obukhov a partir de una simulación de grandes remolinos". J. Mec. de fluidos . 345 (1): 251–286. Código Bib : 1997JFM...345..251K. doi :10.1017/S0022112097006277. S2CID  122546650.
12. McNaughton, Keith (2009). "El ascenso y la caída de la teoría de Monin-Obukhov" (PDF) . Boletín AsiaFlux (30): 1–4.