Modelo de longitud de mezcla

Modelo matemático en dinámica de fluidos

La longitud de mezcla es la distancia que una porción de fluido mantendrá con sus características originales antes de dispersarlas en el fluido circundante . Aquí, la barra del lado izquierdo de la figura es la longitud de mezcla.

Ley de la pared, velocidad horizontal cerca de la pared con modelo de longitud de mezcla

En dinámica de fluidos , el modelo de longitud de mezcla es un método que intenta describir la transferencia de momento por tensiones de Reynolds de turbulencia dentro de una capa límite de fluido newtoniano por medio de una viscosidad de remolino . El modelo fue desarrollado por Ludwig Prandtl a principios del siglo XX. ^[1] El propio Prandtl tenía reservas sobre el modelo, ^[2] describiéndolo como "solo una aproximación aproximada", ^[3] pero se ha utilizado en numerosos campos desde entonces, incluida la ciencia atmosférica , la oceanografía y la estructura estelar . ^[4]

Intuición física

La longitud de mezcla es conceptualmente análoga al concepto de recorrido libre medio en termodinámica : una parcela de fluido conservará sus propiedades durante una longitud característica, , antes de mezclarse con el fluido circundante. Prandtl describió que la longitud de mezcla, ^[5] ${\displaystyle \ \xi '}$

puede considerarse como el diámetro de las masas de fluido que se mueven como un todo en cada caso individual; o también, como la distancia recorrida por una masa de este tipo antes de mezclarse con masas vecinas...

En la figura anterior, la temperatura , , se conserva durante una cierta distancia a medida que una parcela se mueve a través de un gradiente de temperatura . La fluctuación de temperatura que experimentó la parcela a lo largo del proceso es . Por lo tanto, puede verse como la desviación de temperatura con respecto a su entorno circundante después de haberse movido a lo largo de esta longitud de mezcla . ${\displaystyle \ T}$ ${\displaystyle \ T'}$ ${\displaystyle \ T'}$ ${\displaystyle \ \xi '}$

Formulación matemática

Para comenzar, primero debemos poder expresar cantidades como sumas de sus componentes que varían lentamente y sus componentes fluctuantes.

Descomposición de Reynolds

Este proceso se conoce como descomposición de Reynolds . La temperatura se puede expresar como: ^[6]

$${\displaystyle T={\overline {T}}+T',}$$

donde , es el componente que varía lentamente y es el componente fluctuante. ${\displaystyle {\overline {T}}}$ ${\displaystyle T'}$

En la imagen de arriba, se puede expresar en términos de la longitud de mezcla considerando una parcela de fluido que se mueve en la dirección z: ${\displaystyle T'}$

$${\displaystyle T'=-\xi '{\frac {\partial {\overline {T}}}{\partial z}}.}$$

Los componentes fluctuantes de la velocidad, , , y , también se pueden expresar de manera similar: ${\displaystyle u'}$ ${\displaystyle v'}$ ${\displaystyle w'}$

$${\displaystyle u'=-\xi '{\frac {\partial {\overline {u}}}{\partial z}},\qquad \ v'=-\xi '{\frac {\partial {\overline {v}}}{\partial z}},\qquad \ w'=-\xi '{\frac {\partial {\overline {w}}}{\partial z}}.}$$

Aunque la justificación teórica para hacerlo es más débil, ya que la fuerza del gradiente de presión puede alterar significativamente los componentes fluctuantes. Además, para el caso de la velocidad vertical, debe estar en un fluido estratificado neutral. ${\displaystyle w'}$

Tomando el producto de las fluctuaciones horizontales y verticales obtenemos:

$${\displaystyle {\overline {u'w'}}={\overline {\xi '^{2}}}\left|{\frac {\partial {\overline {w}}}{\partial z}}\right|{\frac {\partial {\overline {u}}}{\partial z}}.}$$

La viscosidad de remolino se define a partir de la ecuación anterior como:

$${\displaystyle K_{m}={\overline {\xi '^{2}}}\left|{\frac {\partial {\overline {w}}}{\partial z}}\right|,}$$

Entonces tenemos la viscosidad de remolino, expresada en términos de la longitud de mezcla, . ${\displaystyle K_{m}}$ ${\displaystyle \xi '}$

Véase también

• Ley del muro
• Modelo de ecuación de tensión de Reynolds

Referencias

1. Holton, James R. (2004). "Capítulo 5 – La capa límite planetaria". Meteorología dinámica . International Geophysics Series. Vol. 88 (4.ª ed.). Burlington, MA: Elsevier Academic Press. págs. 124–127.
2. Prandtl, L. (1925). "7. Bericht über Untersuchungen zur ausgebildeten Turbulenz". Z. Angew. Matemáticas. Mec . 5 (1): 136-139. Código bibliográfico : 1925ZaMM....5..136P. doi :10.1002/zamm.19250050212.
3. Bradshaw, P. (1974). "Posible origen de la teoría de la longitud de mezcla de Prandt". Nature . 249 (6): 135–136. Código Bibliográfico :1974Natur.249..135B. doi :10.1038/249135b0. S2CID  4218601.
4. Chan, Kwing; Sabatino Sofia (1987). "Pruebas de validez de la teoría de la longitud de mezcla de la convección profunda". Science . 235 (4787): 465–467. Bibcode :1987Sci...235..465C. doi :10.1126/science.235.4787.465. PMID  17810341. S2CID  21960234.
5. Prandtl, L. (1926). Proc. Segundo Internacional Congr. Aplica. Mec . Zúrich.{{cite book}}: Mantenimiento de CS1: falta la ubicación del editor ( enlace )
6. "Descomposición de Reynolds". Universidad Estatal de Florida . 6 de diciembre de 2008. Consultado el 6 de diciembre de 2008 .