Difusión de remolinos

Mezcla de fluidos debido a corrientes de Foucault

Simulación de difusión de remolinos de una parcela de fluido negro en un fluido blanco. ^[1]

En dinámica de fluidos , la difusión por remolinos , la dispersión por remolinos o la difusión turbulenta es un proceso por el cual las sustancias fluidas se mezclan debido al movimiento de remolinos . Estos remolinos pueden variar ampliamente en tamaño, desde los giros oceánicos subtropicales hasta las pequeñas microescalas de Kolmogorov , y ocurren como resultado de la turbulencia (o flujo turbulento). La teoría de la difusión por remolinos fue desarrollada por primera vez por Sir Geoffrey Ingram Taylor .

En los flujos laminares , las propiedades de los materiales (sal, calor, humedad, aerosoles, etc.) se mezclan mediante el movimiento aleatorio de las moléculas individuales. Mediante un argumento puramente probabilístico, el flujo neto de moléculas desde el área de alta concentración al área de baja concentración es mayor que el flujo en la dirección opuesta. Este flujo en gradiente descendente equilibra el perfil de concentración a lo largo del tiempo. Este fenómeno se denomina difusión molecular y su aspecto matemático se refleja en la ecuación de difusión .

En los flujos turbulentos, además de la mezcla por difusión molecular, los remolinos agitan (Difusión por remolinos § Nota sobre agitación y mezcla) el fluido. Esto hace que las parcelas de fluido de varias posiciones iniciales, y por lo tanto de varias concentraciones asociadas, penetren en regiones de fluido con diferentes concentraciones iniciales. Esto hace que las propiedades del fluido se homogeneicen en una escala mayor que la de los remolinos responsables de la agitación, de una manera muy eficiente en comparación con el movimiento molecular individual. En la mayoría de los flujos macroscópicos de la naturaleza, la difusión por remolinos es varios órdenes de magnitud más fuerte que la difusión molecular. Esto a veces lleva a que esta última se descuide al estudiar los flujos turbulentos.

El problema con la difusión turbulenta en la atmósfera y más allá es que no existe un modelo único extraído de la física fundamental que explique todos sus aspectos significativos. Hay dos enfoques alternativos con áreas de utilidad que no se superponen. Según la teoría del transporte de gradiente, el flujo de difusión en un punto fijo en el fluido es proporcional al gradiente de concentración local. Esta teoría es euleriana en su naturaleza, es decir, describe las propiedades del fluido en un sistema de coordenadas espacialmente fijo (ver especificación lagrangiana y euleriana de un fluido ). Por el contrario, las teorías de difusión estadística siguen el movimiento de las partículas del fluido y, por lo tanto, son lagrangianas. Además, los enfoques computacionales pueden clasificarse como teorías de movimiento continuo o de movimiento discontinuo, dependiendo de si suponen que las partículas se mueven de forma continua o en pasos discretos.

Desarrollos históricos

La teoría de la difusión por remolinos fue desarrollada originalmente, alrededor de finales de la década de 1910, por GI Taylor ^[2] y LF Richardson ^[3] en Inglaterra y por W. Schmidt en Austria como una generalización directa de la teoría clásica de la difusión molecular . Propusieron la idea de que el efecto de masa de los remolinos es completamente similar al de las moléculas, excepto por una diferencia de escala. Esto se describe como el "modelo de gradiente" en una sección posterior, el nombre derivado del hecho de que los flujos de difusión son proporcionales al gradiente local en concentración, al igual que en el caso de la difusión molecular.

Investigaciones posteriores (década de 1930), principalmente de OG Sutton , señalaron algunos problemas del enfoque original ^[4] y propusieron la idea de que la diferencia entre la estructura de remolino de un fluido turbulento y la estructura molecular de un fluido en reposo es más que una cuestión de escala. ^[5]

Durante las décadas siguientes, se llevaron a cabo varios estudios para probar experimentalmente la teoría establecida sobre la difusión por remolinos, tanto para la atmósfera como para los cuerpos oceánicos/lacustres, encontrando en su mayoría concordancia con la teoría original. En particular, los experimentos sobre la difusión de material extraño en una corriente de agua turbulenta, ^[6] la estructura vertical del agua en cuerpos lacustres, ^[7] y la parte más baja de la atmósfera ^[8] encontraron evidencia experimental de que la difusión por remolinos es de hecho más fuerte que la difusión molecular y generalmente obedece a la teoría desarrollada originalmente por GI Taylor . Más adelante en el artículo se dan algunos contraejemplos de la teoría del gradiente original.

Actualmente, la investigación activa se centra en las contribuciones de la difusión por remolinos a los procesos atmosféricos y oceánicos conocidos. Se han construido nuevos modelos y teorías sobre la base de la teoría original para describir completamente estos procesos. En particular, estos estudios incluyen mecanismos de difusión por remolinos para explicar procesos que van desde la deposición de aerosoles ^[9] hasta las ondas de gravedad internas en la atmósfera superior ^[10] , desde la difusión por remolinos en aguas profundas y la flotabilidad ^[11] hasta el suministro de nutrientes a la superficie de la capa mixta en la Corriente Circumpolar Antártica ^[12] .

Formulación matemática de la difusión por remolinos

Fuente: ^{[13] [14]}

En esta sección se desarrolla un marco matemático basado en la ecuación de continuidad para describir la evolución del perfil de concentración a lo largo del tiempo, bajo la acción de la difusión por remolinos. El campo de velocidad y concentración se descompone en componentes medios y fluctuantes (remolinos). Luego se deduce que el flujo de concentración debido a los remolinos está dado por la covarianza de las fluctuaciones en la velocidad y la concentración. Esta covarianza es en principio desconocida, lo que significa que la ecuación de evolución para el perfil de concentración no se puede resolver sin hacer suposiciones adicionales sobre la covarianza. La siguiente sección proporciona una de esas suposiciones (el modelo de gradiente) y, por lo tanto, se vincula con el resultado principal de esta sección. La siguiente describe un enfoque estadístico (y lagrangiano) completamente diferente al problema.

Consideremos un campo escalar , que es una posición en un sistema de coordenadas cartesianas fijo . El campo mide la concentración de una especie trazadora conservada pasiva (podría ser un tinte coloreado en un experimento, sal en el mar o vapor de agua en el aire). El adjetivo "pasivo" significa que, al menos dentro de cierta aproximación, el trazador no altera las propiedades dinámicas como la densidad o la presión de ninguna manera. Simplemente se mueve con el flujo sin modificarlo. Esto no es estrictamente cierto para muchos "trazadores" en la naturaleza, como el vapor de agua o la sal. "Conservado" significa que no hay fuentes o sumideros absolutos, el trazador solo se mueve por difusión y advección . ${\textstyle \phi ({\vec {x}},t)}$ ${\textstyle {\vec {x}}}$

Considere la ecuación de conservación para . Esta es la ecuación generalizada de continuidad de fluidos con un término fuente en el lado derecho. La fuente corresponde a la difusión molecular (y no a ninguna creación/destrucción neta del trazador). La ecuación está escrita en la vista euleriana (contiene una derivada temporal parcial): ${\textstyle \phi ({\vec {x}},t)}$

$${\displaystyle {\frac {\partial \phi }{\partial t}}+\nabla \cdot ({\vec {u}}\phi )=K_{0}\nabla ^{2}\phi }$$

${\textstyle K_{0}}$es el coeficiente de difusividad molecular ( difusividad de masa ).

El objetivo es averiguar cómo interactúa el flujo medio laminar con los remolinos turbulentos, en particular qué efecto tiene esto sobre el transporte del trazador. De acuerdo con la descomposición de Reynolds estándar , el campo de concentración se puede dividir en sus componentes medio y fluctuante:

$${\displaystyle \phi ({\vec {x}},t)=\langle \phi ({\vec {x}},t)\rangle +\phi '({\vec {x}},t)}$$

Lo mismo para el campo de velocidad:

$${\displaystyle {\vec {u}}({\vec {x}},t)=\langle {\vec {u}}({\vec {x}},t)\rangle +{\vec {u}}'({\vec {x}},t)}$$

El término medio (entre corchetes angulares) representa un componente laminar del flujo. Nótese que el campo medio es en general una función del espacio y el tiempo, y no solo una constante. El promedio en este sentido no sugiere promediar sobre todos los datos disponibles en el espacio y el tiempo, sino simplemente filtrar el movimiento turbulento. Esto significa que el dominio del promedio está restringido a un punto que aún suaviza la turbulencia, pero no borra información sobre el flujo medio en sí. Esto supone que las escalas de los remolinos y el flujo medio se pueden separar, lo que no siempre es el caso. Uno puede acercarse lo más posible a esto eligiendo adecuadamente el rango de promedio, o idealmente haciendo un promedio de conjunto si el experimento se puede repetir. En resumen, el procedimiento de promedio no es trivial en la práctica. En esta sección, el tema se trata teóricamente y se supone que existe un procedimiento de promedio adecuado. El término fluctuante (primado) tiene la propiedad definitoria de que promedia, es decir . Se utiliza para describir la turbulencia (remolinos) que, entre otras cosas, agita el fluido. ${\textstyle \langle \phi '\rangle =0}$

Ahora se puede proceder con la descomposición de Reynolds. Teniendo en cuenta que, por definición, se puede promediar toda la ecuación para eliminar todas las fluctuaciones turbulentas , excepto en términos no lineales (véase descomposición de Reynolds , tensión de Reynolds y ecuaciones de Navier-Stokes promediadas por Reynolds ). El término advectivo no lineal se convierte en: ${\textstyle \langle \phi '\rangle =0}$ ${\textstyle \phi '}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\langle {\vec {u}}\phi \rangle &=\langle \left(\langle {\vec {u}}\rangle +{\vec {u}}'\right)\left(\langle \phi \rangle +\phi '\right)\rangle \\&=\langle {\vec {u}}\rangle \langle \phi \rangle \ +\langle {\vec {u}}'\phi '\rangle \end{aligned}}}$$Al sustituir en la ecuación de conservación: $${\displaystyle {\frac {\partial \langle \phi \rangle }{\partial t}}+\nabla \cdot \left(\langle {\vec {u}}\rangle \langle \phi \rangle \ +\langle {\vec {u}}'\phi '\rangle \right)=K_{0}\nabla ^{2}\langle \phi \rangle }$$

Si uno empuja el tercer término (turbulento) del lado izquierdo al lado derecho (en ), el resultado es: Esta ecuación se parece a la ecuación con la que comenzamos, excepto (i) y se convirtieron en sus componentes laminares, y (ii) la aparición de un nuevo segundo término en el lado derecho. Este segundo término tiene una función análoga al término de tensión de Reynolds en las ecuaciones de Navier-Stokes promediadas por Reynolds . ${\textstyle \nabla ^{2}=\nabla \cdot \nabla }$ $${\displaystyle {\frac {\partial \langle \phi \rangle }{\partial t}}+\nabla \cdot \left(\langle {\vec {u}}\rangle \langle \phi \rangle \right)=\nabla \cdot \left(K_{0}\nabla \langle \phi \rangle -\langle {\vec {u}}'\phi '\rangle \right)}$$ ${\textstyle {\vec {u}}}$ ${\textstyle \phi }$

Éste fue el tratamiento euleriano. También se puede estudiar este problema desde un punto de vista lagrangiano (absorbiendo algunos términos en la derivada material ):

$${\displaystyle {\frac {D\phi }{Dt}}+\phi \nabla \cdot {\vec {u}}=K_{0}\nabla ^{2}\phi }$$

Defina una derivada material media por:

$${\displaystyle {\frac {\overline {D}}{{\overline {D}}t}}={\frac {\partial }{\partial t}}+\langle {\vec {u}}\rangle \cdot \nabla }$$

Esta es la derivada material asociada con el flujo medio (el término advectivo solo contiene la parte laminar de ). Se puede distribuir el término de divergencia en el lado derecho y utilizar esta definición de derivada material: Esta ecuación se parece nuevamente a la ecuación lagrangiana con la que comenzamos, con las mismas salvedades (i) y (ii) que en el caso euleriano, y la definición de la cantidad de flujo medio también para el operador de derivada. El análisis que sigue volverá al panorama euleriano. ${\textstyle {\vec {u}}}$ $${\displaystyle {\frac {{\overline {D}}\langle \phi \rangle }{{\overline {D}}t}}+\langle \phi \rangle \nabla \cdot \langle {\vec {u}}\rangle =\nabla \cdot \left(K_{0}\nabla \langle \phi \rangle -\langle {\vec {u}}'\phi '\rangle \right)}$$

La interpretación de la difusividad de remolino es la siguiente. es el flujo del trazador pasivo debido a la difusión molecular. Siempre es en sentido descendente. Su divergencia corresponde a la acumulación (si es negativa) o disminución (si es positiva) de la concentración del trazador debido a este efecto. Se puede interpretar el término como un flujo debido a los remolinos turbulentos que agitan el fluido. Asimismo, su divergencia daría lugar a la acumulación/disminución del trazador debido a los remolinos turbulentos. Aún no se especifica si este flujo de remolino debe ser en sentido descendente, véanse las secciones posteriores. ${\textstyle K_{0}\nabla \langle \phi \rangle }$ ${\textstyle -\langle {\vec {u}}'\phi '\rangle }$

También se puede examinar el presupuesto de concentración para una pequeña parcela de fluido de volumen . Partiendo de la formulación euleriana y utilizando el teorema de divergencia : Los tres términos del lado derecho representan la difusión molecular, la difusión por remolinos y la advección con el flujo medio, respectivamente. Surge un problema: no existe una ecuación separada para . No es posible cerrar el sistema de ecuaciones sin idear un modelo para este término. La forma más sencilla de lograrlo es suponer que, al igual que el término de difusión molecular, también es proporcional al gradiente de concentración (consulte la sección sobre teorías basadas en gradientes). Consulte el modelado de turbulencia para obtener más información. ${\textstyle V}$ $${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}\int _{V}\langle \phi \rangle {\text{d}}V=\oint K_{0}\nabla \langle \phi \rangle \cdot {\vec {n}}{\text{d}}A-\oint \langle \phi '{\vec {u}}'\rangle \cdot {\vec {n}}{\text{d}}A-\oint \langle \phi \rangle \langle {\vec {u}}\rangle \cdot {\vec {n}}{\text{d}}A}$$ ${\textstyle \langle \phi '{\vec {u}}'\rangle }$ ${\textstyle \langle \phi \rangle }$

Teoría de la difusión por gradiente

Ejemplo de sistema de referencia euleriano de partículas en una caja. ^[15]

El modelo más simple de difusión turbulenta se puede construir trazando una analogía con el efecto probabilístico que causa el flujo de gradiente descendente como resultado del movimiento de moléculas individuales (difusión molecular). Considere un trazador pasivo e inerte disperso en el fluido con una concentración espacial inicial . Sea que haya una pequeña región de fluido con mayor concentración del trazador que sus alrededores en todas las direcciones. Intercambia fluido (y con él el trazador) con sus alrededores a través de remolinos turbulentos, que son corrientes fluctuantes que van y vienen de una manera aparentemente aleatoria. Los remolinos que fluyen hacia la región desde sus alrededores son estadísticamente los mismos que los que fluyen desde la región a sus alrededores. Esto se debe a que el trazador es "pasivo", por lo que una parcela de fluido con mayor concentración tiene un comportamiento dinámico similar al de una parcela de fluido con menor concentración. La diferencia clave es que los que fluyen hacia afuera llevan mucho más trazador que los que fluyen hacia adentro, ya que la concentración dentro de la región es inicialmente mayor que fuera. Esto se puede cuantificar con un flujo de trazador. El flujo tiene unidades de cantidad de trazador por área por tiempo, que es lo mismo que la concentración de trazador por velocidad. La tasa de acumulación local de trazador dependería entonces de la diferencia entre los flujos salientes y entrantes. En nuestro ejemplo, los flujos salientes son mayores que los flujos entrantes, lo que produce una acumulación local negativa (es decir, agotamiento) del trazador. Este efecto, en general, daría como resultado un equilibrio del perfil inicial a lo largo del tiempo, independientemente de cuál pueda ser el perfil inicial. Para poder calcular esta evolución temporal, es necesario saber cómo calcular el flujo. Esta sección explora la hipótesis más simple: el flujo está relacionado linealmente con la diferencia de concentración (al igual que para la difusión molecular). Esta también es la suposición más intuitiva del análisis que se acaba de realizar. El flujo es, en principio, un vector. Este vector apunta en la dirección del transporte del trazador y, en este caso, sería paralelo a . Por lo tanto, el modelo se suele llamar difusión en gradiente (o, de manera equivalente, difusión en gradiente descendente). ${\textstyle \phi ({\vec {x}},t=0)}$ ${\textstyle {\frac {\partial \phi }{\partial t}}}$ ${\textstyle \phi ({\vec {x}})}$ ${\textstyle -\nabla \phi ({\vec {x}})}$

Un argumento aproximado a favor de la difusión por gradiente

Fuente: ^[3]

Diagrama conceptual para una derivación simple de la difusión por remolinos. Un remolino mezcla el contenido de dos regiones de fluidos al inyectar corrientes y filamentos de un lado a otro de manera casi aleatoria. El proceso real es mucho más caótico de lo que sugiere una espiral simple. y representan las concentraciones de la misma sustancia arbitraria que se está mezclando por el remolino. La escala de longitud de las dos regiones influenciadas por el remolino en esta imagen está determinada por la escala de longitud del remolino, y no al revés. ${\textstyle \Phi _{1}}$ ${\textstyle \Phi _{2}}$

La subsección tiene como objetivo explicar de manera simple, aproximada y heurística cómo surgen las matemáticas de la difusión de gradiente. En la siguiente subsección se ofrece un tratamiento más riguroso y general del modelo de gradiente, que se basa directamente en la sección sobre el tratamiento matemático general (que todavía no suponía el modelo de gradiente en esa etapa temprana y dejó la covarianza de fluctuaciones como estaba). Por ahora, las medias no se indican explícitamente para lograr la máxima simplicidad de notación. Además, por ahora, descuide la difusividad molecular , ya que suele ser significativamente menor que la difusividad de remolino y desviaría la atención del mecanismo de remolino. ${\textstyle K_{0}}$

Consideremos dos parcelas de fluido vecinas con sus centros separados. Contienen concentraciones de volumen y de un trazador pasivo e inerte. Sin pérdida de generalidad, sea . Imaginemos que un único remolino de escala de longitud y escala de velocidad es responsable de una agitación continua de material entre las dos parcelas. El flujo de trazador intercambiado a través del límite lateral de las dos parcelas se etiqueta como . El límite es perpendicular al eje . El flujo de la parcela 1 a la parcela 2 es entonces, al menos por orden de magnitud: ${\textstyle \Delta x}$ ${\textstyle \phi _{1}}$ ${\textstyle \phi _{2}}$ ${\textstyle \phi _{2}>\phi _{1}}$ ${\textstyle \Delta x}$ ${\textstyle U}$ ${\textstyle J}$ ${\textstyle x}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}J&=\phi _{1}U-\phi _{2}U\\&=-U\Delta \phi \\&=-(U\Delta x){\frac {\Delta \phi }{\Delta x}}\end{aligned}}}$$

Este argumento puede verse como un análisis dimensional motivado físicamente , ya que utiliza únicamente las escalas de longitud y velocidad de un remolino para estimar el flujo trazador que genera. Si todo el dominio estudiado (que se cree que contiene una gran cantidad de tales pares y ) es mucho más grande que la escala de longitud del remolino , se puede aproximar sobre como la derivada de la concentración en un medio que varía continuamente: ${\textstyle \phi _{1}}$ ${\textstyle \phi _{2}}$ ${\textstyle \Delta x}$ ${\textstyle \Delta \phi }$ ${\textstyle \Delta x}$

$${\displaystyle J=-(U\Delta x){\frac {\partial \phi }{\partial x}}}$$

Basándose en la similitud con la ley de difusión de Fick, se puede interpretar el término entre paréntesis como un coeficiente de difusión asociado a este remolino turbulento, dado por un producto de sus escalas de longitud y velocidad. ${\textstyle K}$

$${\displaystyle J=-K{\frac {\partial \phi }{\partial x}}}$$

Usando una forma unidimensional de ecuación de continuidad , podemos escribir: ${\textstyle {\frac {\partial \phi }{\partial t}}+{\frac {\partial J}{\partial x}}=0}$

$${\displaystyle {\frac {\partial \phi }{\partial t}}={\frac {\partial }{\partial x}}\left(K{\frac {\partial \phi }{\partial x}}\right)}$$

Si se supone que es espacialmente homogéneo, se puede extraer de la derivada y se obtiene una ecuación de difusión de la forma: ${\textstyle K}$

$${\displaystyle {\frac {\partial \phi }{\partial t}}=K{\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial x^{2}}}}$$

Este es un ejemplo prototípico de ecuación diferencial parcial parabólica . También se la conoce como ecuación del calor . Su solución fundamental para una fuente puntual en es: ${\textstyle x=0}$

$${\displaystyle \phi (x,t)={\frac {1}{\sqrt {4\pi Kt}}}\exp {\left(-{\frac {x^{2}}{4Kt}}\right)}}$$

En comparación con la distribución gaussiana , se puede identificar la varianza como y la desviación estándar como , una dependencia del tiempo muy típica para la difusión molecular o el paseo aleatorio . ${\textstyle \sigma ^{2}(t)=2Kt}$ ${\textstyle \sigma (t)={\sqrt {2Kt}}\sim t^{1/2}}$

Para concluir esta subsección, se describe cómo un remolino puede agitar dos regiones circundantes de un fluido y cómo este comportamiento da lugar a una matemática descrita como "modelo de gradiente", lo que significa que los flujos difusivos están alineados con un gradiente espacial negativo en la concentración. Se consideró una geometría muy simple, en la que todas las variaciones ocurren a lo largo de un eje. El argumento utilizó solo escalas de orden de magnitud de separación espacial y velocidad de remolino, por lo tanto, fue muy aproximado. La siguiente sección ofrece un tratamiento más riguroso.

Interpretación a partir de ecuaciones generales

Fuente: ^[13]

Esta subsección se basa en la sección sobre tratamiento matemático general y observa lo que sucede cuando se inserta un supuesto de gradiente.

Recordemos la ecuación de concentración promediada por Reynolds: Hacemos una suposición de gradiente similar a la que se motivó en la subsección anterior con escalas de velocidad y longitud del trazador. Sin embargo, el valor del coeficiente no necesita ser el mismo que en la subsección anterior (que solo se especificó por orden de magnitud). La hipótesis del gradiente dice: Esto permite que la ecuación de concentración se reescriba como Esto nuevamente es similar a la ecuación de concentración inicial, con transformaciones y . Representa una generalización de la segunda ley de Fick (ver las leyes de difusión de Fick ), en presencia de difusión turbulenta y advección por el flujo medio. Esa es la razón por la que los modelos de difusión de remolinos de gradiente descendente a menudo se denominan "fickianos", enfatizando esta similitud matemática. Tenga en cuenta que la difusividad de los remolinos puede, en general, ser una función del espacio y el tiempo, ya que su valor está dado por el patrón de remolinos que pueden evolucionar en el tiempo y variar de un lugar a otro. Diferentes suposiciones hechas sobre pueden conducir a diferentes modelos, con varias compensaciones entre las observaciones y la teoría. $${\displaystyle {\frac {\partial \langle \phi \rangle }{\partial t}}+\nabla \cdot \left(\langle {\vec {u}}\rangle \langle \phi \rangle \right)=\nabla \cdot \left(K_{0}\nabla \langle \phi \rangle -\langle {\vec {u}}'\phi '\rangle \right)}$$ $${\displaystyle \langle \phi '{\vec {u}}'\rangle =-K({\vec {x}},t)\nabla \langle \phi \rangle }$$ $${\displaystyle {\frac {\partial \langle \phi \rangle }{\partial t}}+\nabla \cdot \left(\langle {\vec {u}}\rangle \langle \phi \rangle \right)=\nabla \cdot \left((K_{0}+K)\nabla \langle \phi \rangle \right)}$$ ${\textstyle \phi \rightarrow \langle \phi \rangle ,{\vec {u}}\rightarrow \langle {\vec {u}}\rangle }$ ${\textstyle K_{0}\rightarrow K_{0}+K}$ ${\textstyle K}$ ${\textstyle K({\vec {x}},t)}$

A veces, el término difusión fickiana se reserva únicamente para el caso en que es una constante verdadera. ^[16] debe ser al menos espacialmente uniforme para que sea posible escribir: En este caso, la suma de la difusividad molecular y de remolino se puede considerar como una nueva viscosidad efectiva, que actúa de manera cualitativamente similar a la difusividad molecular, pero aumentada significativamente en magnitud. ${\textstyle K}$ ${\textstyle K}$ $${\displaystyle {\frac {\partial \langle \phi \rangle }{\partial t}}+\nabla \cdot \left(\langle {\vec {u}}\rangle \langle \phi \rangle \right)=(K_{0}+K)\nabla ^{2}\langle \phi \rangle }$$

En el contexto de este artículo, el adjetivo "fickiano" también puede utilizarse como equivalente de un modelo de gradiente, ^[17] por lo que se permite una forma más general como "fickiano". La terminología en los artículos científicos no siempre es uniforme a este respecto. ${\textstyle K({\vec {x}},t)}$

Deficiencias y contraejemplos del modelo de gradiente

Históricamente, los modelos de gradiente fueron los primeros modelos de difusión por remolinos. ^[13] Son simples y matemáticamente convenientes, pero la suposición subyacente sobre el flujo difusivo puramente descendente por gradiente no es universalmente válida. A continuación se presentan algunos contraejemplos experimentales:

1. Para un caso simple de flujo turbulento homogéneo ^[5], se encontró que el ángulo entre y era de 65 grados. La difusión fickiana predice 0 grados. ${\textstyle -\nabla \langle \phi \rangle }$ ${\textstyle \langle \phi '{\vec {u}}'\rangle }$
2. En el mar, los derivadores de la superficie que inicialmente están más separados tienen una mayor probabilidad de aumentar su distancia física en gran medida que aquellos que inicialmente están más cerca. Por el contrario, la difusión de Fick predice que el cambio en la distancia mutua (es decir, la distancia inicial restada de la distancia final) de los dos derivadores es independiente de sus distancias iniciales o finales. Esto fue observado por Stommel en 1949. ^[17]
3. Cerca de una fuente puntual (por ejemplo, una chimenea), se observa que la evolución temporal de la envoltura de la nube de vapor de agua que se difunde es lineal en el tiempo. La difusión fickiana predeciría una dependencia de raíz cuadrada en el tiempo. ^{[4] [7]}

Estas observaciones indican que existen mecanismos diferentes a la difusión puramente descendente y que la analogía cualitativa entre la difusión molecular y la difusión por remolinos no es perfecta. En la siguiente sección sobre modelos estadísticos se presenta una forma diferente de considerar la difusión por remolinos.

Teoría de la difusión estadística

Ejemplo de sistema de referencia lagrangiano. El observador sigue la trayectoria de la partícula. ^[15]

La teoría estadística de la turbulencia de fluidos comprende una gran cantidad de literatura y sus resultados se aplican en muchas áreas de investigación, desde la meteorología hasta la oceanografía.

La teoría de la difusión estadística se originó con el artículo de GI Taylor (1921) titulado "Difusión por movimientos continuos" ^[18] y más tarde se desarrolló en su artículo "Teoría estadística de la turbulencia". ^[19] El enfoque estadístico de la difusión es diferente de las teorías basadas en gradientes ya que, en lugar de estudiar el transporte espacial en un punto fijo en el espacio, se hace uso del sistema de referencia lagrangiano y se siguen las partículas en su movimiento a través del fluido y se intenta determinar a partir de estas las propiedades estadísticas para representar la difusión.

Taylor, en particular, argumentó que, con un número de Reynolds alto , el transporte espacial debido a la difusión molecular puede despreciarse en comparación con el transporte convectivo por el flujo medio y los movimientos turbulentos. Si se desprecia la difusión molecular, se conserva después de una partícula de fluido y, en consecuencia, la evolución del campo medio puede determinarse a partir de las estadísticas del movimiento de partículas de fluido. ${\textstyle \phi }$ ${\textstyle \left\langle \phi \right\rangle }$

Formulación lagrangiana

Fuente: ^[13]

Considérese un flujo turbulento ilimitado en el que una fuente en el tiempo determina el campo escalar a algún valor: es la posición en el tiempo de la partícula de fluido que se origina desde la posición en el tiempo t. ${\textstyle t_{0}}$ $${\displaystyle \phi ({\vec {x}},t_{0})=\phi _{0}({\vec {x}})}$$ ${\textstyle {\vec {X}}(t,{\vec {Y}})}$ ${\textstyle t_{0}}$ ${\textstyle {\vec {Y}}}$

Si se descuida la difusión molecular, se conserva siguiendo una partícula fluida. Entonces, el valor de en los puntos inicial y final de la trayectoria de la partícula fluida es el mismo: Calculando la esperanza de la última ecuación se obtiene ${\textstyle \phi }$ ${\textstyle \phi }$ $${\displaystyle \phi ({\vec {X}}(t,{\vec {Y}}),t)=\phi ({\vec {Y}},t_{0})=\phi _{0}({\vec {Y}})}$$

$${\displaystyle \left\langle \phi ({\vec {x}},t)\right\rangle =\left\langle \phi _{0}({\vec {Y}}(t,{\vec {x}})\right\rangle =\int f_{X}({\vec {x}};t|{\vec {Y}})\phi _{0}({\vec {Y}})d{\vec {Y}}}$$

donde es la función de densidad de probabilidad hacia adelante de la posición de la partícula. ${\textstyle f_{X}}$

Dispersión desde una fuente puntual

Para el caso de una fuente puntual unitaria fija en la ubicación , es decir, , el valor esperado de es Esto significa que el campo escalar medio conservado resultante de una fuente puntual está dado por la función de densidad de probabilidad de la posición de las partículas de fluido que se originan en la fuente. ${\textstyle {\vec {Y_{0}}}}$ ${\textstyle \phi _{0}({\vec {x}})=\delta ({\vec {x}}-{\vec {Y_{0}}})}$ ${\textstyle \phi ({\vec {x}},t)}$ $${\displaystyle \left\langle \phi ({\vec {x}},t)\right\rangle =f_{X}({\vec {x}};t|Y_{0})}$$ ${\textstyle f_{X}}$

El caso más simple a considerar es la dispersión desde una fuente puntual, ubicada en el origen ( ), en una turbulencia isotrópica estadísticamente estacionaria . En particular, considere un experimento donde el campo de velocidad turbulento isotrópico tiene media cero. ${\textstyle Y_{0}=0}$

En este contexto se pueden obtener los siguientes resultados:

• 

  Ejemplos de trayectorias de partículas de fluidos dadas por la ecuación de Langevin para tiempos mucho más cortos que la escala de tiempo de Lagrange. Nótese que la expectativa evoluciona linealmente. (Ambos ejes se expresan en cantidades adimensionales adecuadas).

  

  Ejemplos de trayectorias de partículas de fluidos dadas por la ecuación de Langevin para tiempos mucho más largos que la escala de tiempo de Lagrange. Nótese que la expectativa evoluciona como una raíz cuadrada del tiempo. (Ambos ejes se expresan en cantidades adimensionales adecuadas).

  Dado que el campo de velocidad turbulento isotrópico tiene media cero, las partículas de fluido se dispersan desde el origen isotrópicamente, lo que significa que la media y la covarianza de la posición de la parcela de fluido son respectivamente, donde es la desviación estándar y el delta de Kronecker . $${\displaystyle \left\langle {\vec {X}}(t,0)\right\rangle =\int _{0}^{t}\left\langle {\vec {U}}(s,0)\right\rangle ds=0}$$ $${\displaystyle \left\langle X_{i}(t,0)X_{j}(t,0)\right\rangle =\sigma _{X}^{2}(t)\delta _{ij}}$$ ${\textstyle \sigma _{x}(t)}$ ${\textstyle \delta _{ij}}$
• La desviación estándar del desplazamiento de la partícula se expresa en términos de la autocorrelación de velocidad lagrangiana seguida de donde es la raíz cuadrada de la velocidad media . Este resultado corresponde al resultado obtenido originalmente por Taylor. ^[18] ${\textstyle \rho (s)}$ $${\displaystyle \sigma _{X}^{2}(t)=2u'^{2}\int _{0}^{t}(t-s)\rho (s)ds}$$ ${\textstyle u'}$
• Para todos los tiempos, la dispersión se puede expresar en términos de una difusividad como ${\textstyle {\hat {\Gamma }}_{T}(t)}$

$${\displaystyle {\hat {\Gamma }}_{T}(t)={\frac {1}{2}}{\frac {d}{dt}}\sigma _{X}^{2}=u'^{2}\int _{0}^{t}\rho (s)ds}$$

• La cantidad define una característica de escala de tiempo de la turbulencia llamada escala de tiempo integral lagrangiana. ${\displaystyle T_{L}=\int _{0}^{\infty }\rho (s)ds}$
• Para tiempos suficientemente pequeños ( ), de modo que se pueda aproximar con , el movimiento de fluido en línea recta conduce a un aumento lineal de la desviación estándar que, en términos, corresponde a una difusividad dependiente del tiempo . Esto arroja luz sobre uno de los contraejemplos experimentales mencionados anteriormente para la difusión por gradiente, a saber, la observación de la tasa de propagación lineal del humo cerca de la chimenea. ${\textstyle t\ll T_{L}}$ ${\textstyle \rho (s)}$ ${\textstyle \rho (0)=1}$ ${\textstyle \sigma _{X}\approx u't}$ ${\textstyle {\hat {\Gamma }}_{T}(t)\approx u'^{2}t}$
• Para tiempos suficientemente grandes ( ), la dispersión corresponde a la difusión con una difusividad constante , de modo que la desviación estándar aumenta como la raíz cuadrada del tiempo siguiente ${\textstyle t\gg T_{L}}$ ${\textstyle \Gamma _{T}=u'^{2}T_{L}}$ $${\displaystyle \sigma _{X}(t)\approx {\sqrt {2u'^{2}T_{L}t}}}$$
• Este es el mismo tipo de dependencia que se derivó para un caso simple de difusión por gradiente. Esta coincidencia entre los dos enfoques sugiere que, para tiempos suficientemente grandes, el modelo de gradiente funciona bien y, en cambio, no logra predecir el comportamiento de las partículas expulsadas recientemente de su fuente.

Ecuación de Langevin

El modelo lagrangiano estocástico más simple es la ecuación de Langevin , que proporciona un modelo para la velocidad que sigue a la partícula de fluido. En particular, la ecuación de Langevin para la velocidad fluido-partícula produce una predicción completa para la dispersión turbulenta. Según la ecuación, la función de autocorrelación de velocidad lagrangiana es la exponencial . Con esta expresión para , la desviación estándar del desplazamiento de la partícula se puede integrar para producir Según la ecuación de Langevin, cada componente de la velocidad de la partícula de fluido es un proceso de Ornstein-Uhlenbeck . De ello se deduce que la posición de la partícula de fluido (es decir, la integral del proceso de Ornstein-Uhlenbeck) también es un proceso gaussiano. Por lo tanto, el campo escalar medio predicho por la ecuación de Langevin es la distribución gaussiana con dada por la ecuación anterior. ${\displaystyle \rho (s)=\exp(-|s|/T_{L})}$ ${\displaystyle \rho (s)}$ $${\displaystyle \sigma _{X}^{2}(t)=2u^{2}T_{L}[t-T_{L}(1-\exp(-t/T_{L}))]}$$ $${\displaystyle \left\langle \phi ({\vec {x}},t)\right\rangle =(\sigma _{X}{\sqrt {2\pi }})^{-3}\exp(-x_{i}x_{i}/2\sigma _{X}^{2})}$$ ${\displaystyle \sigma _{X}(t)}$

Difusión de remolinos en las ciencias naturales

Difusión de remolinos en el océano

La difusión molecular es insignificante para los fines del transporte de material a través de las cuencas oceánicas. Sin embargo, las observaciones indican que los océanos están bajo constante mezcla. Esto es posible gracias a los remolinos oceánicos que van desde las microescalas de Kolmogorov hasta los giros que abarcan cuencas enteras. La actividad de los remolinos que permite esta mezcla disipa continuamente energía, que se pierde en las escalas más pequeñas de movimiento. Esto se equilibra principalmente con las mareas y la tensión del viento, que actúan como fuentes de energía que compensan continuamente la energía disipada. ^{[20] [21]}

Transporte vertical: circulación de vuelco y afloramiento de remolinos

Aparte de las capas en las inmediaciones de la superficie, la mayor parte del volumen del océano está estratificado de forma estable. En unas pocas regiones estrechas y esporádicas en latitudes altas, el agua superficial se vuelve lo suficientemente inestable como para hundirse profundamente y constituir la rama profunda, hacia el sur, de la circulación de retorno ^[20] (véase, por ejemplo, AMOC ). La difusión de remolinos, principalmente en la Corriente Circumpolar Antártica , permite entonces el flujo ascendente de retorno de estas masas de agua. El afloramiento también tiene un componente costero debido al transporte de Ekman , pero se considera que la Corriente Circumpolar Antártica es la fuente dominante de afloramiento, responsable de aproximadamente el 80% de su intensidad total. ^[22] Por lo tanto, la eficiencia de la mezcla turbulenta en las regiones subantárticas es el elemento clave que establece la velocidad de la circulación de retorno y, por tanto, el transporte de calor y sal a través del océano global.

La difusión de remolinos también controla el afloramiento de carbono atmosférico disuelto en la capa superior del océano miles de años antes, y por lo tanto juega un papel importante en el sistema climático de la Tierra. ^[9] En el contexto del calentamiento global causado por el aumento del dióxido de carbono atmosférico , el afloramiento de estas antiguas masas de agua (por lo tanto, menos ricas en carbono) mientras se disuelve y desciende simultáneamente el aire rico en carbono actual, causa una acumulación neta de emisiones de carbono en el océano. Esto a su vez modera el cambio climático, pero causa problemas como la acidificación de los océanos . ^[10]

Transporte horizontal: plásticos

Un ejemplo de transporte horizontal que ha recibido un gran interés en la investigación en el siglo XXI es el transporte de plásticos flotantes . En grandes distancias, el mecanismo de transporte más eficiente es la circulación impulsada por el viento . El transporte de Ekman convergente en los giros subtropicales convierte a estos en regiones de mayor concentración de plástico flotante (por ejemplo, la Gran Isla de Basura del Pacífico ). ^[23]

Además de las circulaciones a gran escala ( deterministas ), muchos procesos a menor escala desdibujan el panorama general del transporte plástico. La difusión turbulenta subcuadrícula añade una naturaleza estocástica al movimiento. A menudo se realizan estudios numéricos que involucran grandes conjuntos de partículas flotantes para superar esta estocasticidad inherente .

Además, también hay remolinos más macroscópicos que se resuelven en simulaciones y se entienden mejor. Por ejemplo, los remolinos de mesoescala juegan un papel importante. Los remolinos de mesoescala son vórtices que giran lentamente con diámetros de cientos de kilómetros, caracterizados por números de Rossby mucho más pequeños que la unidad. Los remolinos anticiclónicos (en sentido contrario a las agujas del reloj en el hemisferio norte) tienen un componente de flujo radial hacia adentro de la superficie, que causa una acumulación neta de partículas flotantes en su centro. Los remolinos de mesoescala no solo pueden retener desechos, sino también transportarlos a grandes distancias debido a su deriva hacia el oeste. Esto se ha demostrado para los derivadores de superficie, los marcadores de isótopos radiactivos, ^[24] el plancton, las medusas, ^{[25] [12]} el calor y la sal. ^[11] Los vórtices de submesoescala y los frentes oceánicos también son importantes, pero generalmente no se resuelven en los modelos numéricos y contribuyen al componente estocástico mencionado anteriormente del transporte. ^[23]

Atmósfera

Fuente: ^[16]

El problema de la difusión en la atmósfera suele reducirse a la solución de la ecuación de difusión basada en gradientes original en las condiciones de contorno adecuadas. Esta teoría suele denominarse teoría K, cuyo nombre proviene del coeficiente de difusividad K introducido en la teoría basada en gradientes.

Si se considera que K es constante, por ejemplo, se puede pensar que mide el flujo de una cantidad escalar pasiva , como el humo a través de la atmósfera. ${\textstyle \phi }$

Para un medio estacionario , en el que los coeficientes de difusión, que no son necesariamente iguales, pueden variar con las tres coordenadas espaciales, la ecuación de difusión basada en gradiente más general establece: Considerando una fuente puntual, las condiciones de contorno son donde tales que , donde es la intensidad de la fuente (cantidad total liberada). ${\textstyle \phi }$ $${\displaystyle {\frac {\partial \phi }{\partial t}}={\frac {\partial }{\partial x}}\left(K_{x}{\frac {\partial \phi }{\partial x}}\right)+{\frac {\partial }{\partial y}}\left(K_{y}{\frac {\partial \phi }{\partial y}}\right)+{\frac {\partial }{\partial z}}\left(K_{z}{\frac {\partial \phi }{\partial z}}\right)}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}(1)\quad &\phi \rightarrow 0\quad {\text{as}}\quad t\rightarrow \infty \quad {\text{for}}\quad -\infty <x<\infty \\(2)\quad &\phi \rightarrow 0\quad {\text{as}}\quad t\rightarrow 0\quad {\text{for}}\quad x\neq 0\end{aligned}}}$$ ${\textstyle \phi \rightarrow \infty }$ ${\textstyle \int _{-\infty }^{\infty }\phi dx=\Phi }$ ${\textstyle \Phi }$ ${\displaystyle \phi }$

La solución de este problema es una función gaussiana. En particular, la solución para una fuente puntual instantánea de , con una fuerza , de una atmósfera en la que es constante, y para la que consideramos un sistema de referencia lagrangiano que se mueve con el viento medio : La integración de esta solución de fuente puntual instantánea con respecto al espacio produce ecuaciones para fuentes de volumen instantáneas (explosiones de bombas, por ejemplo). La integración de la ecuación de fuente puntual instantánea con respecto al tiempo proporciona las soluciones de fuente puntual continua. ${\textstyle \phi }$ ${\textstyle \Phi }$ ${\textstyle {\overline {u}}}$ ${\textstyle v=w=0}$ ${\textstyle {\overline {u}}}$ $${\displaystyle {\frac {\phi }{\Phi }}={\frac {1}{(4\pi Kt)^{1/2}}}\exp \left(-{\frac {x^{2}}{4Kt}}\right)}$$

Capa límite atmosférica

La teoría K se ha aplicado al estudiar la dinámica de una cantidad escalar a través de la capa límite atmosférica . El supuesto de difusividad de remolino constante rara vez se puede aplicar aquí y, por este motivo, no es posible aplicar simplemente la teoría K como se presentó anteriormente. ${\displaystyle \phi }$

Sin perder generalidad, considere un estado estable, es decir , y una fuente lineal de viento cruzado infinita, para la cual, en Suponiendo que , es decir, el transporte x por flujo medio supera en gran medida el flujo de remolino en esa dirección, la ecuación de difusión basada en gradiente para el flujo de un medio estacionario se convierte en Esta ecuación, junto con las siguientes condiciones de contorno donde, en particular, la última condición implica flujo cero en el suelo. Esta ecuación ha sido la base de muchas investigaciones. Diferentes suposiciones sobre la forma de producen diferentes soluciones. ${\textstyle \partial \phi /\partial t=0}$ ${\textstyle z=0}$ $${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial y}}\left(K_{y}{\frac {\partial \phi }{\partial y}}\right)=0}$$ ${\textstyle \partial (K_{x}\partial \phi /\partial x)/\partial x\ll {\overline {u}}\partial \phi /\partial x}$ ${\textstyle q}$ $${\displaystyle {\overline {u}}{\frac {\partial \phi }{\partial x}}={\frac {\partial }{\partial z}}\left(K_{z}{\frac {\partial \phi }{\partial z}}\right)}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}(1)\quad &\phi \rightarrow 0\quad {\text{as}}\quad z\rightarrow \infty \\(2)\quad &\phi \rightarrow 0\quad {\text{as}}\quad x\rightarrow 0\quad {\text{for all}}\quad z>0\quad {\text{but}}\quad \phi \rightarrow \infty \quad {\text{as}}\quad x\rightarrow 0,\quad z\rightarrow 0\quad {\text{such that}}\quad \lim _{x\rightarrow 0}\int _{0}^{\infty }{\overline {u}}\phi dz=\Phi \\(3)\quad &K_{z}{\frac {\partial \phi }{\partial z}}\quad {\text{as}}\quad z\rightarrow 0\quad {\text{for all}}\quad x>0\end{aligned}}}$$ ${\textstyle K_{z}}$

Ejemplo de una columna curvada descrita utilizando la teoría K en "Difusión de gases de chimenea en una atmósfera muy estable" de Morton L. Barad. ^[26]

Como ejemplo, la teoría K se utiliza ampliamente en la difusión turbulenta atmosférica (conducción de calor desde la superficie de la Tierra, distribución del momento) porque la ecuación diferencial fundamental involucrada se puede simplificar considerablemente eliminando una o más de las coordenadas espaciales. ^[27] Dicho esto, en la conducción de calor de la capa límite planetaria, la fuente es una función de tiempo sinusoidal y, por lo tanto, la complejidad matemática de algunas de estas soluciones es considerable.

Desventajas y ventajas

En general, la teoría K tiene algunas deficiencias. Calder ^[28] estudió la aplicabilidad de la ecuación de difusión al caso atmosférico y concluyó que la forma estándar de la teoría K no puede ser válida en general. Monin ^[29] se refiere a la teoría K como una teoría semiempírica de la difusión y señala que la naturaleza básica de la teoría K debe tenerse en cuenta a medida que la cadena de deducciones a partir de la ecuación original se hace más larga y más compleja.

Dicho esto, la teoría K proporciona muchos resultados prácticos y útiles. Uno de ellos es el estudio de Barad ^{[26] , donde propone una teoría K del complicado problema de la difusión de una columna de} humo inclinada en atmósferas muy estables.

Nota sobre agitación y mezcla

El verbo "revolver" tiene un significado distinto al de "mezclar". El primero se refiere a un fenómeno de mayor escala, como la difusión por remolinos, mientras que el segundo se utiliza a veces para procesos más microscópicos, como la difusión molecular. A menudo se utilizan indistintamente, incluso en cierta literatura científica. "Mezclar" se utiliza a menudo para el resultado de ambos, especialmente en la narración menos formal. Se puede ver en la animación de la sección introductoria que la agitación inducida por remolinos descompone el área negra en patrones espaciales más pequeños y caóticos, pero en ninguna parte aparece ningún tono de gris. Dos fluidos se entrelazan cada vez más, pero no se mezclan debido a la difusión por remolinos. En realidad, a medida que su interfaz se hace más grande, la difusión molecular se vuelve cada vez más eficiente y termina la homogeneización mezclando realmente las moléculas a través de los límites. Este es un proceso verdaderamente microscópicamente irreversible. Pero incluso sin que la difusión molecular se encargue del último paso, se puede afirmar razonablemente que la concentración espacial se altera debido a la difusión por remolinos. En la práctica, la concentración se define utilizando un volumen de control muy pequeño pero finito en el que se cuentan las partículas de las especies relevantes. El promedio sobre un volumen de control tan pequeño proporciona una medida útil de la concentración. Este procedimiento captura bien la acción de todos los remolinos más pequeños que el tamaño del volumen de control. Esto permite formular ecuaciones que describen la difusión por remolinos y su efecto sobre la concentración sin la necesidad de considerar explícitamente la difusión molecular.

Referencias

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