Número turbulento de Prandtl

El número de Prandtl turbulento ( Pr _t ) es un término adimensional definido como la relación entre la difusividad de remolino de momento y la difusividad de remolino de transferencia de calor. Es útil para resolver el problema de transferencia de calor de flujos turbulentos de capa límite. El modelo más simple para Pr _t es la analogía de Reynolds , que produce un número de Prandtl turbulento de 1. A partir de datos experimentales, Pr _t tiene un valor promedio de 0,85, pero varía de 0,7 a 0,9 dependiendo del número de Prandtl del fluido en cuestión.

Definición

La introducción de la difusividad de remolino y, posteriormente, el número de Prandtl turbulento funciona como una forma de definir una relación simple entre el esfuerzo cortante adicional y el flujo de calor que está presente en el flujo turbulento. Si las difusividades de remolino térmicas y de momento son cero (no hay esfuerzo cortante turbulento aparente ni flujo de calor), entonces las ecuaciones de flujo turbulento se reducen a las ecuaciones laminares. Podemos definir las difusividades de remolino para la transferencia de momento y la transferencia de calor como y donde es el esfuerzo cortante turbulento aparente y es el flujo de calor turbulento aparente. El número de Prandtl turbulento se define entonces como ${\displaystyle \varepsilon _{M}}$ ${\displaystyle \varepsilon _{H}}$
${\displaystyle -{\overline {u'v'}}=\varepsilon _{M}{\frac {\partial {\bar {u}}}{\partial y}}}$ ${\displaystyle -{\overline {v'T'}}=\varepsilon _{H}{\frac {\partial {\bar {T}}}{\partial y}}}$
${\displaystyle -{\overline {u'v'}}}$ ${\displaystyle -{\overline {v'T'}}}$

${\displaystyle \mathrm {Pr} _{\mathrm {t} }={\frac {\varepsilon _{M}}{\varepsilon _{H}}}.}$

Se ha demostrado que el número de Prandtl turbulento no es generalmente igual a la unidad (por ejemplo, Malhotra y Kang, 1984; Kays, 1994; McEligot y Taylor, 1996; y Churchill, 2002). Es una función importante del número de Prandtl molecular, entre otros parámetros, y la analogía de Reynolds no es aplicable cuando el número de Prandtl molecular difiere significativamente de la unidad, como lo determinaron Malhotra y Kang; ^[1] y lo elaboraron McEligot y Taylor ^[2] y Churchill ^[3].

Solicitud

Ecuación de la capa límite de momento turbulento: Ecuación de la capa límite térmica turbulenta, Sustituyendo las difusividades de los remolinos en las ecuaciones de momento y térmicas se obtiene y Sustituya en la ecuación térmica usando la definición del número de Prandtl turbulento para obtener
${\displaystyle {\bar {u}}{\frac {\partial {\bar {u}}}{\partial x}}+{\bar {v}}{\frac {\partial {\bar {u}}}{\partial y}}=-{\frac {1}{\rho }}{\frac {d{\bar {P}}}{dx}}+{\frac {\partial }{\partial y}}\left[(\nu {\frac {\partial {\bar {u}}}{\partial y}}-{\overline {u'v'}})\right].}$

${\displaystyle {\bar {u}}{\frac {\partial {\bar {T}}}{\partial x}}+{\bar {v}}{\frac {\partial {\bar {T}}}{\partial y}}={\frac {\partial }{\partial y}}\left(\alpha {\frac {\partial {\bar {T}}}{\partial y}}-{\overline {v'T'}}\right).}$
${\displaystyle {\bar {u}}{\frac {\partial {\bar {u}}}{\partial x}}+{\bar {v}}{\frac {\partial {\bar {u}}}{\partial y}}=-{\frac {1}{\rho }}{\frac {d{\bar {P}}}{dx}}+{\frac {\partial }{\partial y}}\left[(\nu +\varepsilon _{M}){\frac {\partial {\bar {u}}}{\partial y}}\right]}$

${\displaystyle {\bar {u}}{\frac {\partial {\bar {T}}}{\partial x}}+{\bar {v}}{\frac {\partial {\bar {T}}}{\partial y}}={\frac {\partial }{\partial y}}\left[(\alpha +\varepsilon _{H}){\frac {\partial {\bar {T}}}{\partial y}}\right].}$

${\displaystyle {\bar {u}}{\frac {\partial {\bar {T}}}{\partial x}}+{\bar {v}}{\frac {\partial {\bar {T}}}{\partial y}}={\frac {\partial }{\partial y}}\left[(\alpha +{\frac {\varepsilon _{M}}{\mathrm {Pr} _{\mathrm {t} }}}){\frac {\partial {\bar {T}}}{\partial y}}\right].}$

Consecuencias

En el caso especial en el que el número de Prandtl y el número de Prandtl turbulento son ambos iguales a la unidad (como en la analogía de Reynolds ), el perfil de velocidad y el perfil de temperatura son idénticos. Esto simplifica enormemente la solución del problema de transferencia de calor. Si el número de Prandtl y el número de Prandtl turbulento son diferentes de la unidad, entonces es posible encontrar una solución conociendo el número de Prandtl turbulento, de modo que aún se puedan resolver las ecuaciones de momento y térmicas.

En un caso general de turbulencia tridimensional, el concepto de viscosidad y difusividad de remolino no son válidos. En consecuencia, el número de Prandtl turbulento no tiene significado. ^[4]

Referencias

1. Malhotra, Ashok y KANG, SS 1984. Número de Prandtl turbulento en tuberías circulares. Int. J. Heat and Mass Transfer, 27, 2158-2161
2. McEligot, DM y Taylor, MF 1996, El número de Prandtl turbulento en la región cercana a la pared para mezclas de gases con bajo número de Prandtl. Int. J. Heat Mass Transfer., 39, págs. 1287-1295
3. Churchill, SW 2002; Una reinterpretación del número turbulento de Prandtl. Ind. Eng. Chem. Res., 41, 6393-6401. CLAPP, RM 1961.
4. Kays, WM (1994). "Número de Prandtl turbulento: ¿dónde estamos?". Journal of Heat Transfer . 116 (2): 284–295. doi :10.1115/1.2911398.

Libros

• Kays, William; Crawford, M.; Weigand, B. (2005). Transferencia de calor y masa por convección, cuarta edición . McGraw-Hill. ISBN 978-0-07-246876-2.