Teoría de calibre de la gravedad

Enfoque de álgebra geométrica para la gravedad

La teoría de la gravedad de calibre ( GTG ) es una teoría de la gravitación expresada en el lenguaje matemático del álgebra geométrica . Para aquellos familiarizados con la relatividad general , recuerda mucho al formalismo de la tétrada, aunque existen diferencias conceptuales significativas. En particular, el fondo en GTG es plano, el espacio-tiempo de Minkowski . El principio de equivalencia no se asume, sino que se deduce del hecho de que la derivada covariante de calibre está mínimamente acoplada . Como en la relatividad general, las ecuaciones estructuralmente idénticas a las ecuaciones de campo de Einstein son derivables de un principio variacional . Un tensor de espín también puede sustentarse de manera similar a la teoría de Einstein-Cartan-Sciama-Kibble . GTG fue propuesta por primera vez por Lasenby, Doran y Gull en 1998 ^[1] como cumplimiento de los resultados parciales presentados en 1993. ^[2] La teoría no ha sido ampliamente adoptada por el resto de la comunidad de física, que en su mayoría ha optado por enfoques de geometría diferencial como el de la teoría de la gravitación de calibre relacionada .

Fundamento matemático

La base de GTG proviene de dos principios. En primer lugar, la invariancia de posición-calibre exige que los desplazamientos locales arbitrarios de los campos no afecten el contenido físico de las ecuaciones de campo. En segundo lugar, la invariancia de rotación-calibre exige que las rotaciones locales arbitrarias de los campos no afecten el contenido físico de las ecuaciones de campo. Estos principios conducen a la introducción de un nuevo par de funciones lineales, el campo de posición-calibre y el campo de rotación-calibre. Un desplazamiento por alguna función arbitraria f

${\displaystyle x\mapsto x'=f(x)}$

da lugar al campo de calibración de posición definido por el mapeo en su adjunto,

${\displaystyle {\bar {\mathsf {h}}}(a,x)\mapsto {\bar {\mathsf {h}}}'(a,x)={\bar {\mathsf {h}}}(f^{-1}(a),f(x)),}$

que es lineal en su primer argumento y a es un vector constante. De manera similar, una rotación de un rotor arbitrario R da lugar al campo de calibración de rotación

${\displaystyle {\bar {\mathsf {\Omega }}}(a,x)\mapsto {\bar {\mathsf {\Omega }}}'(a,x)=R{\bar {\mathsf {\Omega }}}(a,x)R^{\dagger }-2a\cdot \nabla RR^{\dagger }.}$

Podemos definir dos derivadas direccionales covariantes diferentes

${\displaystyle a\cdot D=a\cdot {\bar {\mathsf {h}}}(\nabla )+{\tfrac {1}{2}}{\mathsf {\Omega }}({\mathsf {h}}(a))}$

${\displaystyle a\cdot {\mathcal {D}}=a\cdot {\bar {\mathsf {h}}}(\nabla )+{\mathsf {\Omega }}({\mathsf {h}}(a))\times }$

o con la especificación de un sistema de coordenadas

${\displaystyle D_{\mu }=\partial _{\mu }+{\tfrac {1}{2}}\Omega _{\mu }}$

${\displaystyle {\mathcal {D}}_{\mu }=\partial _{\mu }+\Omega _{\mu }\times ,}$

donde × denota el producto del conmutador.

La primera de estas derivadas es más adecuada para tratar directamente con espinores , mientras que la segunda es más adecuada para observables . El análogo GTG del tensor de Riemann se construye a partir de las reglas de conmutación de estas derivadas.

${\displaystyle [D_{\mu },D_{\nu }]\psi ={\tfrac {1}{2}}{\mathsf {R}}_{\mu \nu }\psi }$

${\displaystyle {\mathcal {R}}(a\wedge b)={\mathsf {R}}({\mathsf {h}}(a\wedge b))}$

Ecuaciones de campo

Las ecuaciones de campo se derivan postulando que la acción de Einstein-Hilbert gobierna la evolución de los campos de calibración, es decir

${\displaystyle S=\int \left[{1 \over 2\kappa }\left({\mathcal {R}}-2\Lambda \right)+{\mathcal {L}}_{\mathrm {M} }\right](\det {\mathsf {h}})^{-1}\,\mathrm {d} ^{4}x.}$

Al minimizar la variación de la acción con respecto a los dos campos de calibración se obtienen las ecuaciones de campo

${\displaystyle {\mathcal {G}}(a)-\Lambda a=\kappa {\mathcal {T}}(a)}$

${\displaystyle {\mathcal {D}}\wedge {\bar {\mathsf {h}}}(a)=\kappa {\mathcal {S}}\cdot {\bar {\mathsf {h}}}(a),}$

donde es el tensor de energía-momento covariante y es el tensor de espín covariante . Es importante destacar que estas ecuaciones no dan una curvatura evolutiva del espacio-tiempo sino que simplemente dan la evolución de los campos de calibración dentro del espacio-tiempo plano. ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$

Relación con la relatividad general

Para aquellos más familiarizados con la relatividad general, es posible definir un tensor métrico a partir del campo de calibración de posición de una manera similar a las tétradas. En el formalismo de la tétrada, se introduce un conjunto de cuatro vectores. El índice griego μ se eleva o se reduce al multiplicarse y contraerse con el tensor métrico del espacio-tiempo. El índice latino parentético (a) es una etiqueta para cada una de las cuatro tétradas, que se eleva y se reduce como si se multiplicara y contrajera con un tensor métrico de Minkowski separado. GTG, aproximadamente, invierte los roles de estos índices. Se supone implícitamente que la métrica es Minkowski en la selección del álgebra del espacio-tiempo . La información contenida en el otro conjunto de índices se subsume en el comportamiento de los campos de calibración. ${\displaystyle \{{e_{(a)}}^{\mu }\}}$

Podemos hacer las asociaciones

${\displaystyle g_{\mu }={\mathsf {h}}^{-1}(e_{\mu })}$

${\displaystyle g^{\mu }={\bar {\mathsf {h}}}(e^{\mu })}$

para un vector covariante y un vector contravariante en un espacio-tiempo curvo, donde ahora los vectores unitarios son la base de coordenadas elegida. Estos pueden definir la métrica utilizando la regla ${\displaystyle \{e_{\mu }\}}$

${\displaystyle g_{\mu \nu }=g_{\mu }\cdot g_{\nu }.}$

Siguiendo este procedimiento, es posible demostrar que en su mayor parte las predicciones observables de GTG concuerdan con la teoría de Einstein-Cartan-Sciama-Kibble para el espín no nulo y se reducen a la relatividad general para el espín nulo. Sin embargo, GTG hace predicciones diferentes sobre las soluciones globales. Por ejemplo, en el estudio de una masa puntual, la elección de un "calibre newtoniano" produce una solución similar a la métrica de Schwarzschild en coordenadas de Gullstrand-Painlevé . La relatividad general permite una extensión conocida como las coordenadas de Kruskal-Szekeres . GTG, por otro lado, prohíbe cualquier extensión de ese tipo. ^{[ ¿Por qué? ]}

Referencias

1. Lasenby, Anthony; Chris Doran; Stephen Gull (1998), "Gravedad, teorías de calibre y álgebra geométrica", Philosophical Transactions of the Royal Society A , 356 (1737): 487–582, arXiv : gr-qc/0405033 , Bibcode :1998RSPTA.356..487L, doi :10.1098/rsta.1998.0178, S2CID  119389813
2. Doran, Chris; Anthony Lasenby; Stephen Gull (1993), "La gravedad como teoría de calibración en el álgebra del espacio-tiempo", en F. Brackx; R. Delanghe; H. Serras (eds.), Álgebras de Clifford y sus aplicaciones en física matemática , págs. 375–385, doi :10.1007/978-94-011-2006-7_42, ISBN 978-0-7923-2347-1

Enlaces externos

• David Hestenes: Cálculo del espacio-tiempo para la teoría de la gravitación: una explicación del formalismo matemático dirigido explícitamente a la teoría de la gravitación global