Operador tensorial

El operador tensorial generaliza la noción de operadores que son escalares y vectores.

En matemáticas puras y aplicadas , mecánica cuántica y gráficos por computadora , un operador tensorial generaliza la noción de operadores que son escalares y vectores . Una clase especial de estos son los operadores tensoriales esféricos que aplican la noción de base esférica y armónicos esféricos . La base esférica se relaciona estrechamente con la descripción del momento angular en la mecánica cuántica y las funciones armónicas esféricas. La generalización libre de coordenadas de un operador tensorial se conoce como operador de representación . ^[1]

La noción general de operadores escalares, vectoriales y tensoriales.

En mecánica cuántica, los observables físicos que son escalares, vectores y tensores deben representarse mediante operadores escalares, vectoriales y tensoriales, respectivamente. Que algo sea un escalar, un vector o un tensor depende de cómo lo ven dos observadores cuyos marcos de coordenadas están relacionados entre sí mediante una rotación. Alternativamente, uno puede preguntarse cómo, para un solo observador, se transforma una cantidad física si se rota el estado del sistema. Considere, por ejemplo, un sistema formado por una molécula de masa , que viaja con un centro de impulso de masa definido, , en la dirección. Si giramos el sistema alrededor del eje, el impulso cambiará a , que está en la dirección. Sin embargo, la energía cinética del centro de masa de la molécula no cambiará en . La energía cinética es un escalar y el momento es un vector, y estas dos cantidades deben representarse mediante un operador escalar y vectorial, respectivamente. Por este último en particular, nos referimos a un operador cuyos valores esperados en los estados inicial y rotado son y . La energía cinética, por otro lado, debe representarse mediante un operador escalar, cuyo valor esperado debe ser el mismo en el estado inicial y en el estado rotado. ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle p{\mathbf {\hat {z}} }}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle 90^{\circ }}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle p{\mathbf {\hat {x}} }}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle p^{2}/2M}$ ${\displaystyle p{\mathbf {\hat {z}} }}$ ${\displaystyle p{\mathbf {\hat {x}} }}$

De la misma manera, las cantidades tensoriales deben representarse mediante operadores tensoriales. Un ejemplo de cantidad tensorial (de rango dos) es el momento cuadripolar eléctrico de la molécula anterior. Asimismo, los momentos octupolo y hexadecápolo serían tensores de rango tres y cuatro, respectivamente.

Otros ejemplos de operadores escalares son el operador de energía total (más comúnmente llamado hamiltoniano ), la energía potencial y la energía de interacción dipolo-dipolo de dos átomos. Ejemplos de operadores vectoriales son el momento, la posición, el momento angular orbital y el momento angular de espín . (Letra pequeña: el momento angular es un vector en lo que respecta a las rotaciones, pero a diferencia de la posición o el impulso, no cambia de signo bajo la inversión espacial, y cuando uno desea proporcionar esta información, se dice que es un pseudovector). ${\displaystyle {\mathbf {L} }}$ ${\displaystyle {\mathbf {S} }}$

Los operadores escalares, vectoriales y tensoriales también pueden formarse mediante productos de operadores. Por ejemplo, el producto escalar de los dos operadores vectoriales, y , es un operador escalar, que ocupa un lugar destacado en las discusiones sobre la interacción espín-órbita . De manera similar, el tensor de momento cuadripolar de nuestra molécula de ejemplo tiene nueve componentes ${\displaystyle {\mathbf {L} }\cdot {\mathbf {S} }}$ ${\displaystyle {\mathbf {L} }}$ ${\displaystyle {\mathbf {S} }}$

$${\displaystyle Q_{ij}=\sum _{\alpha }q_{\alpha }\left(3r_{\alpha ,i}r_{\alpha ,j}-r_{\alpha }^{2}\delta _{ij}\right).}$$Aquí, los índices y pueden tomar independientemente los valores 1, 2 y 3 (o , , y ) correspondientes a los tres ejes cartesianos, el índice recorre todas las partículas (electrones y núcleos) de la molécula, es la carga de la partícula. , y es el -ésimo componente de la posición de esta partícula. Cada término de la suma es un operador tensorial. En particular, los nueve productos juntos forman un tensor de segundo rango, formado tomando el producto exterior del operador vectorial consigo mismo. ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle q_{\alpha }}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle r_{\alpha ,i}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle r_{\alpha ,i}r_{\alpha ,j}}$ ${\displaystyle {\mathbf {r} }_{\alpha }}$

Rotaciones de estados cuánticos.

Operador de rotación cuántica

El operador de rotación alrededor del vector unitario n (que define el eje de rotación) que pasa por el ángulo θ es

$${\displaystyle U[R(\theta ,{\hat {\mathbf {n} }})]=\exp \left(-{\frac {i\theta }{\hbar }}{\hat {\mathbf {n} }}\cdot \mathbf {J} \right)}$$

donde J = ( J _x , J _y , J _z ) son los generadores de rotación (también las matrices de momento angular):

$${\displaystyle J_{x}={\frac {\hbar }{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}0&1&0\\1&0&1\\0&1&0\end{pmatrix}}\,\quad J_{y}={\frac {\hbar }{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}0&i&0\\-i&0&i\\0&-i&0\end{pmatrix}}\,\quad J_{z}=\hbar {\begin{pmatrix}-1&0&0\\0&0&0\\0&0&1\end{pmatrix}}}$$

y sea una matriz de rotación . Según la fórmula de rotación de Rodrigues , el operador de rotación equivale entonces a ${\displaystyle {\widehat {R}}={\widehat {R}}(\theta ,{\hat {\mathbf {n} }})}$ $${\displaystyle U[R(\theta ,{\hat {\mathbf {n} }})]=1\!\!1-{\frac {i\sin \theta }{\hbar }}{\hat {\mathbf {n} }}\cdot \mathbf {J} -{\frac {1-\cos \theta }{\hbar ^{2}}}({\hat {\mathbf {n} }}\cdot \mathbf {J} )^{2}.}$$

Un operador es invariante bajo una transformación unitaria U si en este caso para la rotación , ${\displaystyle {\widehat {\Omega }}}$ $${\displaystyle {\widehat {\Omega }}={U}^{\dagger }{\widehat {\Omega }}U;}$$ ${\displaystyle {\widehat {U}}(R)}$ $${\displaystyle {\widehat {\Omega }}={U(R)}^{\dagger }{\widehat {\Omega }}U(R)=\exp \left({\frac {i\theta }{\hbar }}{\hat {\mathbf {n} }}\cdot \mathbf {J} \right){\widehat {\Omega }}\exp \left(-{\frac {i\theta }{\hbar }}{\hat {\mathbf {n} }}\cdot \mathbf {J} \right).}$$

Mercados propios de momento angular

La base ortonormal establecida para el momento angular total es , donde j es el número cuántico del momento angular total y m es el número cuántico del momento angular magnético, que toma valores − j , − j + 1, ..., j − 1, j . Un estado general dentro del subespacio j. ${\displaystyle |j,m\rangle }$

$${\displaystyle |\psi \rangle =\sum _{m}c_{jm}|j,m\rangle }$$

rota a un nuevo estado por:

$${\displaystyle |{\bar {\psi }}\rangle =U(R)|\psi \rangle =\sum _{m}c_{jm}U(R)|j,m\rangle }$$

Usando la condición de integridad :

$${\displaystyle I=\sum _{m'}|j,m'\rangle \langle j,m'|}$$

tenemos

$${\displaystyle |{\bar {\psi }}\rangle =IU(R)|\psi \rangle =\sum _{mm'}c_{jm}|j,m'\rangle \langle j,m'|U(R)|j,m\rangle }$$

Presentamos los elementos de la matriz Wigner D :

$${\displaystyle {D(R)}_{m'm}^{(j)}=\langle j,m'|U(R)|j,m\rangle }$$

da la multiplicación de matrices:

$${\displaystyle |{\bar {\psi }}\rangle =\sum _{mm'}c_{jm}D_{m'm}^{(j)}|j,m'\rangle \quad \Rightarrow \quad |{\bar {\psi }}\rangle =D^{(j)}|\psi \rangle }$$

Para un mercado base:

$${\displaystyle |{\overline {j,m}}\rangle =\sum _{m'}{D(R)}_{m'm}^{(j)}|j,m'\rangle }$$

Para el caso del momento angular orbital, los estados propios del operador del momento angular orbital L y las soluciones de la ecuación de Laplace en una esfera 3D son armónicos esféricos : ${\displaystyle |\ell ,m\rangle }$

$${\displaystyle Y_{\ell }^{m}(\theta ,\phi )=\langle \theta ,\phi |\ell ,m\rangle ={\sqrt {{(2\ell +1) \over 4\pi }{(\ell -m)! \over (\ell +m)!}}}\,P_{\ell }^{m}(\cos {\theta })\,e^{im\phi }}$$

donde P _ℓ ^m es un polinomio de Legendre asociado , ℓ es el número cuántico del momento angular orbital y m es el número cuántico magnético orbital que toma los valores −ℓ, −ℓ + 1, ... ℓ − 1, ℓ El formalismo de Los armónicos esféricos tienen amplias aplicaciones en matemáticas aplicadas y están estrechamente relacionados con el formalismo de los tensores esféricos, como se muestra a continuación.

Los armónicos esféricos son funciones de los ángulos polares y azimutales, ϕ y θ respectivamente, que se pueden recopilar convenientemente en un vector unitario n ( θ , ϕ ) que apunta en la dirección de esos ángulos, en base cartesiana es:

$${\displaystyle {\hat {\mathbf {n} }}(\theta ,\phi )=\cos \phi \sin \theta \mathbf {e} _{x}+\sin \phi \sin \theta \mathbf {e} _{y}+\cos \theta \mathbf {e} _{z}}$$

Entonces también se puede escribir un armónico esférico . Los estados armónicos esféricos giran según la matriz de rotación inversa , mientras que gira según la matriz de rotación inicial . ${\displaystyle Y_{\ell }^{m}=\langle \mathbf {n} |\ell m\rangle }$ ${\displaystyle |m,\ell \rangle }$ ${\displaystyle U(R^{-1})}$ ${\displaystyle |\ell ,m\rangle }$ ${\displaystyle {\widehat {U}}(R)}$

$${\displaystyle |{\overline {\ell ,m}}\rangle =\sum _{m'}D_{m'm}^{(\ell )}[U(R^{-1})]|\ell ,m'\rangle \,,\quad |{\overline {\hat {\mathbf {n} }}}\rangle =U(R)|{\hat {\mathbf {n} }}\rangle }$$

Rotación de operadores tensoriales.

Definimos la rotación de un operador requiriendo que el valor esperado del operador original con respecto al estado inicial sea igual al valor esperado del operador rotado con respecto al estado rotado. ${\displaystyle {\widehat {\mathbf {A} }}}$

$${\displaystyle \langle \psi '|{\widehat {A'}}|\psi '\rangle =\langle \psi |{\widehat {A}}|\psi \rangle }$$

No fue,

$${\displaystyle |\psi \rangle ~\rightarrow ~|\psi '\rangle =U(R)|\psi \rangle \,,\quad \langle \psi |~\rightarrow ~\langle \psi '|=\langle \psi |U^{\dagger }(R)}$$

tenemos,

$${\displaystyle \langle \psi |U^{\dagger }(R){\widehat {A}}'U(R)|\psi \rangle =\langle \psi |{\widehat {A}}|\psi \rangle }$$

ya que, es arbitrario, ${\displaystyle |\psi \rangle }$

$${\displaystyle U^{\dagger }(R){\widehat {A}}'U(R)={\widehat {A}}}$$

Operadores escalares

Un operador escalar es invariante bajo rotaciones: ^[2]

$${\displaystyle U(R)^{\dagger }{\widehat {S}}U(R)={\widehat {S}}}$$

Esto equivale a decir que un operador escalar conmuta con los generadores de rotación:

$${\displaystyle \left[{\widehat {S}},{\widehat {\mathbf {J} }}\right]=0}$$

Ejemplos de operadores escalares incluyen

• El operador energético : $${\displaystyle {\widehat {E}}\psi =i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\psi }$$
• energía potencial V (solo en el caso de un potencial central) $${\displaystyle {\widehat {V}}(r,t)\psi (\mathbf {r} ,t)=V(r,t)\psi (\mathbf {r} ,t)}$$
• energía cinética T : $${\displaystyle {\widehat {T}}\psi (\mathbf {r} ,t)=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}(\nabla ^{2}\psi )(\mathbf {r} ,t)}$$
• el acoplamiento giro-órbita : $${\displaystyle {\widehat {\mathbf {L} }}\cdot {\widehat {\mathbf {S} }}={\widehat {L}}_{x}{\widehat {S}}_{x}+{\widehat {L}}_{y}{\widehat {S}}_{y}+{\widehat {L}}_{z}{\widehat {S}}_{z}\,.}$$

Operadores vectoriales

Los operadores vectoriales (así como los operadores pseudovectoriales ) son un conjunto de 3 operadores que se pueden rotar según: ^[2]

$${\displaystyle {U(R)}^{\dagger }{\widehat {V}}_{i}U(R)=\sum _{j}R_{ij}{\widehat {V}}_{j}}$$Cualquier cantidad vectorial observable de un sistema de mecánica cuántica debe ser invariante de la elección del marco de referencia. La transformación del vector de valor esperado, que se aplica a cualquier función de onda, garantiza la igualdad anterior. En notación de Dirac: donde el RHS se debe a la transformación de rotación que actúa sobre el vector formado por los valores esperados. Desde | Ψ ⟩ es cualquier estado cuántico, se obtiene el mismo resultado: Tenga en cuenta que aquí el término "vector" se utiliza de dos maneras diferentes: kets como | ψ ⟩ son elementos de espacios abstractos de Hilbert, mientras que el operador vectorial se define como una cantidad cuyos componentes se transforman de cierta manera bajo rotaciones. $${\displaystyle \langle {\bar {\psi }}|{\widehat {V}}_{a}|{\bar {\psi }}\rangle =\langle \psi |{U(R)}^{\dagger }{\widehat {V}}_{a}U(R)|\psi \rangle =\sum _{b}R_{ab}\langle \psi |{\widehat {V}}_{b}|\psi \rangle }$$ $${\displaystyle {U(R)}^{\dagger }{\widehat {V}}_{a}U(R)=\sum _{b}R_{ab}{\widehat {V}}_{b}}$$

De la relación anterior para rotaciones infinitesimales y el lema de Baker Hausdorff , equiparando coeficientes de orden , se puede derivar la relación de conmutación con el generador de rotación: ^[2] ${\displaystyle \delta \theta }$

$${\displaystyle {\left[{\widehat {V}}_{a},{\widehat {J}}_{b}\right]=\sum _{c}i\hbar \varepsilon _{abc}{\widehat {V}}_{c}}}$$donde ε _ijk es el símbolo de Levi-Civita , que todos los operadores vectoriales deben satisfacer, por construcción. La regla del conmutador anterior también se puede utilizar como una definición alternativa para operadores vectoriales que se puede mostrar utilizando el lema de Baker Hausdorff . Como el símbolo ε _ijk es un pseudotensor , los operadores de pseudovector son invariantes hasta un signo: +1 para rotaciones propias y −1 para rotaciones impropias .

Dado que se puede demostrar que los operadores forman un operador vectorial mediante su relación de conmutación con los componentes del momento angular (que son generadores de rotación), sus ejemplos incluyen:

• el operador de posición : $${\displaystyle {\widehat {\mathbf {r} }}\psi =\mathbf {r} \psi }$$
• el operador de impulso : $${\displaystyle {\widehat {\mathbf {p} }}\psi =-i\hbar \nabla \psi }$$

y los operadores peusodovector incluyen

• el operador de momento angular orbital : $${\displaystyle {\widehat {\mathbf {L} }}\psi =-i\hbar \mathbf {r} \times \nabla \psi }$$
• así como el operador de giro S y, por tanto, el momento angular total $${\displaystyle {\widehat {\mathbf {J} }}={\widehat {\mathbf {L} }}+{\widehat {\mathbf {S} }}\,.}$$

Operadores escalares a partir de operadores vectoriales

Si y son dos operadores vectoriales, el producto escalar entre los dos operadores vectoriales se puede definir como: ${\displaystyle {\vec {V}}}$ ${\displaystyle {\vec {W}}}$

${\displaystyle {\vec {V}}\cdot {\vec {W}}=\sum _{i=1}^{3}{\hat {V_{i}}}{\hat {W_{i}}}}$

Bajo la rotación de coordenadas, el operador recién definido se transforma como: Reorganizando los términos y usando la transposición de la matriz de rotación como su propiedad inversa: Donde el RHS es el operador definido originalmente. Dado que el producto escalar definido es invariante bajo la transformación de rotación, se dice que es un operador escalar. $${\displaystyle {U(R)}^{\dagger }({\vec {V}}\cdot {\vec {W}})U(R)={U(R)}^{\dagger }\left(\sum _{i=1}^{3}{\hat {V_{i}}}{\hat {W_{i}}}\right)U(R)=\sum _{i=1}^{3}({U(R)}^{\dagger }{\hat {V}}_{i}U(R))({U(R)}^{\dagger }{\hat {W}}_{i}U(R))=\sum _{i=1}^{3}\left(\sum _{j=1}^{3}R_{ij}{\widehat {V}}_{j}\cdot \sum _{k=1}^{3}R_{ik}{\widehat {W}}_{k}\right)}$$ $${\displaystyle {U(R)}^{\dagger }({\vec {V}}\cdot {\vec {W}})U(R)=\sum _{k=1}^{3}\sum _{j=1}^{3}\left(\sum _{i=1}^{3}R_{ji}^{T}R_{ik}\right){\widehat {V}}_{j}{\widehat {W}}_{k}=\sum _{k=1}^{3}\sum _{j=1}^{3}\delta _{j,k}{\widehat {V}}_{j}{\widehat {W}}_{k}=\sum _{i=1}^{3}{\widehat {V}}_{i}{\widehat {W}}_{i}}$$ ${\displaystyle {\vec {V}}\cdot {\vec {W}}}$

Operadores de vectores esféricos

Un operador vectorial en base esférica es V = ( V ₊₁ , V ₀ , V ₋₁ ) donde los componentes son: ^[2] usando los diversos conmutadores con los generadores de rotación y los operadores de escalera son: $${\displaystyle V_{+1}=-{\frac {1}{\sqrt {2}}}(V_{x}+iV_{y})\,\quad V_{-1}={\frac {1}{\sqrt {2}}}(V_{x}-iV_{y})\,,\quad V_{0}=V_{z}\,,}$$
${\textstyle J_{\pm }=J_{x}\pm iJ_{y}\,,}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\left[J_{z},V_{+1}\right]&=+\hbar V_{+1}\\[1ex]\left[J_{z},V_{0}\right]&=0V_{0}\\[1ex]\left[J_{z},V_{-1}\right]&=-\hbar V_{-1}\\[2ex]\left[J_{+},V_{+1}\right]&=0\\[1ex]\left[J_{+},V_{0}\right]&={\sqrt {2}}\hbar V_{+1}\\[1ex]\left[J_{+},V_{-1}\right]&={\sqrt {2}}\hbar V_{0}\\[2ex]\left[J_{-},V_{+1}\right]&={\sqrt {2}}\hbar V_{0}\\[1ex]\left[J_{-},V_{0}\right]&={\sqrt {2}}\hbar V_{-1}\\[1ex]\left[J_{-},V_{-1}\right]&=0\\[1ex]\end{aligned}}}$$

que son de forma similar de $${\displaystyle {\begin{aligned}J_{z}|1,+1\rangle &=+\hbar |1,+1\rangle \\[1ex]J_{z}|1,0\rangle &=0|1,0\rangle \\[1ex]J_{z}|1,-1\rangle &=-\hbar |1,-1\rangle \\[2ex]J_{+}|1,+1\rangle &=0\\[1ex]J_{+}|1,0\rangle &={\sqrt {2}}\hbar |1,+1\rangle \\[1ex]J_{+}|1,-1\rangle &={\sqrt {2}}\hbar |1,0\rangle \\[2ex]J_{-}|1,+1\rangle &={\sqrt {2}}\hbar |1,0\rangle \\[1ex]J_{-}|1,0\rangle &={\sqrt {2}}\hbar |1,-1\rangle \\[1ex]J_{-}|1,-1\rangle &=0\\[1ex]\end{aligned}}}$$

En base esférica, los generadores de rotación son: $${\displaystyle J_{\pm 1}=\mp {\frac {1}{\sqrt {2}}}J_{\pm }\,,\quad J_{0}=J_{z}}$$

De la transformación de operadores y el lema de Baker Hausdorff :

${\displaystyle {U(R)}^{\dagger }{\widehat {V}}_{q}U(R)={\widehat {V}}_{q}+i{\frac {\theta }{\hbar }}\left[{\hat {n}}\cdot {\vec {J}},{\widehat {V}}_{q}\right]+\sum _{k=2}^{\infty }{\frac {\left(i{\frac {\theta }{\hbar }}[{\hat {n}}\cdot {\vec {J}},.]\right)^{k}}{k!}}{\widehat {V}}_{q}=exp\left({i{\frac {\theta }{\hbar }}{\hat {n}}\cdot Ad_{\vec {J}}}\right){\widehat {V}}_{q}}$

en comparación con

${\displaystyle U(R)|j,k\rangle =|j,k\rangle -i{\frac {\theta }{\hbar }}{\hat {n}}\cdot {\vec {J}}|j,k\rangle +\sum _{k=2}^{\infty }{\frac {\left(-i{\frac {\theta }{\hbar }}{\hat {n}}\cdot {\vec {J}}\right)^{k}}{k!}}|j,k\rangle =exp\left({-i{\frac {\theta }{\hbar }}{\hat {n}}\cdot {\vec {J}}}\right)|j,k\rangle }$

Se puede argumentar que el conmutador con operador reemplaza la acción del operador sobre el estado para transformaciones de operadores en comparación con la de estados:

${\displaystyle U(R)|j,k\rangle =\exp \left({-i{\frac {\theta }{\hbar }}{\hat {n}}\cdot {\vec {J}}}\right)|j,k\rangle =\sum _{j',k'}|j',k'\rangle \langle j',k'|\exp \left({-i{\frac {\theta }{\hbar }}{\hat {n}}\cdot {\vec {J}}}\right)|j,k\rangle =\sum _{k'}D_{k'k}^{(j)}(R)|j,k'\rangle }$

La transformación de rotación en base esférica (escrita originalmente en base cartesiana) es entonces, debido a la similitud de conmutación y operador que se muestra arriba: $${\displaystyle {U(R)}^{\dagger }{\widehat {V}}_{q}U(R)=\sum _{q'}{{D_{q'q}^{(1)}}(R^{-1})}{\widehat {V}}_{q'}}$$

Se puede generalizar fácilmente el concepto de operador vectorial a operadores tensoriales , como se muestra a continuación.

Operadores tensoriales

En general, un operador tensorial es aquel que se transforma según un tensor: donde la base se transforma por o los componentes del vector se transforman por . $${\displaystyle U(R)^{\dagger }{\widehat {T}}_{pqr\cdots }^{abc\cdots }U(R)=R_{p,\alpha }R_{q,\beta }R_{r,\gamma }\cdots {\widehat {T}}_{ijk\cdots }^{\alpha \beta \gamma \cdots }R_{i,a}^{-1}R_{j,b}^{-1}R_{k,c}^{-1}\cdots }$$ ${\displaystyle R^{-1}}$ ${\displaystyle R}$

En la discusión posterior sobre los operadores tensoriales, la notación de índice relativa al comportamiento covariante/contravariante se ignora por completo. En cambio, los componentes contravariantes están implícitos en el contexto. Por lo tanto, para un tensor contravariante n veces: ^[2]

$${\displaystyle U(R)^{\dagger }{\widehat {T}}_{pqr\cdots }U(R)=R_{pi}R_{qj}R_{rk}\cdots {\widehat {T}}_{ijk\cdots }}$$

Ejemplos de operadores tensoriales

• El operador del momento cuadrupolo , $${\displaystyle Q_{ij}=\sum _{\alpha }q_{\alpha }(3r_{\alpha i}r_{\alpha j}-r_{\alpha }^{2}\delta _{ij})}$$
• Los componentes de dos operadores vectoriales tensoriales se pueden multiplicar para obtener otro operador tensorial. En general, un número n de operadores tensoriales también dará otro operador tensorial o, $${\displaystyle T_{ij}=V_{i}W_{j}}$$ $${\displaystyle T_{pqr\cdots k}=V_{p}^{(1)}V_{q}^{(2)}V_{r}^{3)}\cdots V_{k}^{(n)}}$$ $${\displaystyle T_{i_{1}i_{2}\cdots j_{1}j_{2}\cdots }=V_{i_{1}i_{2}\cdots }W_{j_{1}j_{2}\cdots }}$$

Nota: En general, un operador tensorial no se puede escribir como el producto tensorial de otros operadores tensoriales como se muestra en el ejemplo anterior.

Operador tensor de operadores vectoriales

Si y son dos operadores vectoriales tridimensionales, entonces se pueden formar tensores diádicos cartesianos de rango 2 a partir de nueve operadores de forma . Reorganizando los términos, obtenemos: El RHS de la ecuación es una ecuación de cambio de base para tensores dos veces contravariantes donde las bases se transforman. por o los componentes del vector se transforman por lo que coincide con la transformación de los componentes del operador del vector. Por lo tanto, el operador tensor descrito forma un tensor de rango 2, en representación tensorial. De manera similar, un operador tensorial contravariante n veces se puede formar de manera similar mediante n operadores vectoriales. ${\displaystyle {\vec {V}}}$ ${\displaystyle {\vec {W}}}$ ${\displaystyle {\hat {T}}_{ij}={\hat {V_{i}}}{\hat {W_{j}}}}$ $${\displaystyle {U(R)}^{\dagger }{\hat {T}}_{ij}U(R)={U(R)}^{\dagger }({\hat {V_{i}}}{\hat {W_{j}}})U(R)=({U(R)}^{\dagger }{\hat {V}}_{i}U(R))({U(R)}^{\dagger }{\hat {W}}_{j}U(R))=\left(\sum _{l=1}^{3}R_{il}{\hat {V}}_{l}\cdot \sum _{k=1}^{3}R_{jk}{\hat {W}}_{k}\right)}$$ $${\displaystyle {U(R)}^{\dagger }{\hat {T}}_{ij}U(R)=\sum _{k=1}^{3}\sum _{l=1}^{3}\left(R_{il}R_{jk}{\hat {T}}_{lk}\right)}$$ ${\displaystyle R^{-1}}$ ${\displaystyle R}$ $${\displaystyle {\hat {\mathbf {T} }}={\vec {V}}\otimes {\vec {W}}=({\hat {V}}_{i}{\hat {W}}_{j})(\mathbf {e} _{i}\otimes \mathbf {e} _{j})}$$

Observamos que el subespacio abarcado por combinaciones lineales de los componentes tensoriales de rango dos forma un subespacio invariante, es decir. el subespacio no cambia bajo la rotación ya que los componentes transformados en sí son una combinación lineal de los componentes tensoriales. Sin embargo, este subespacio no es irreducible, es decir. se puede dividir aún más en subespacios invariantes bajo rotación. De lo contrario, el subespacio se llama reducible. En otras palabras, existen conjuntos específicos de diferentes combinaciones lineales de los componentes de modo que se transforman en una combinación lineal del mismo conjunto bajo rotación. ^[3] En el ejemplo anterior, mostraremos que los 9 componentes tensoriales independientes se pueden dividir en un conjunto de 1, 3 y 5 combinaciones de operadores, cada uno de los cuales forma subespacios invariantes irreducibles.

Operadores tensoriales irreducibles

El subespacio abarcado por se puede dividir en dos subespacios; tres componentes antisimétricos independientes y seis componentes simétricos independientes , definidos como y . Usando la fórmula de transformación bajo rotación, se puede demostrar que ambos y se transforman en una combinación lineal de miembros de sus propios conjuntos. Aunque es irreductible, no se puede decir lo mismo de . ${\displaystyle \{{\hat {T}}_{ij}\}}$ ${\displaystyle \{{\hat {A}}_{ij}\}}$ ${\displaystyle \{{\hat {S}}_{ij}\}}$ ${\displaystyle {\hat {A}}_{ij}={\frac {1}{2}}({\hat {T}}_{ij}-{\hat {T}}_{ji})}$ ${\displaystyle {\hat {S}}_{ij}={\frac {1}{2}}({\hat {T}}_{ij}+{\hat {T}}_{ji})}$ ${\displaystyle \{{\hat {T}}_{ij}\}}$ ${\displaystyle \{{\hat {A}}_{ij}\}}$ ${\displaystyle \{{\hat {S}}_{ij}\}}$ ${\displaystyle \{{\hat {A}}_{ij}\}}$ ${\displaystyle \{{\hat {S}}_{ij}\}}$

El conjunto de seis componentes simétricos independientes se puede dividir en cinco componentes simétricos independientes sin traza y la traza invariante puede ser su propio subespacio.

Por tanto, los subespacios invariantes de están formados respectivamente por: ${\displaystyle \{{\hat {T}}_{ij}\}}$

1. Una traza invariante del tensor, ${\displaystyle {\hat {t}}=\sum _{k=1}^{3}{\hat {T}}_{kk}}$
2. Tres componentes antisimétricos linealmente independientes de: ${\displaystyle {\hat {A}}_{ij}={\frac {1}{2}}({\hat {T}}_{ij}-{\hat {T}}_{ji})}$
3. Cinco componentes simétricos sin traza linealmente independientes de ${\displaystyle {\hat {S}}_{ij}={\frac {1}{2}}({\hat {T}}_{ij}+{\hat {T}}_{ji})-{\frac {1}{3}}{\hat {t}}\delta _{ij}}$

Si , los subespacios invariantes de formado están representados por: ^[4] ${\displaystyle {\hat {T}}_{ij}={\hat {V_{i}}}{\hat {W_{j}}}}$ ${\displaystyle \{{\hat {T}}_{ij}\}}$

1. Un operador escalar invariante ${\displaystyle {\vec {V}}\cdot {\vec {W}}}$
2. Tres componentes linealmente independientes de ${\displaystyle {\frac {1}{2}}({\hat {V}}_{i}{\hat {W}}_{j}-{\hat {V}}_{j}{\hat {W}}_{i})}$
3. Cinco componentes linealmente independientes de ${\displaystyle {\frac {1}{2}}({\hat {V}}_{i}{\hat {W}}_{j}+{\hat {V}}_{j}{\hat {W}}_{i})-{\frac {1}{3}}({\vec {V}}\cdot {\vec {W}})\delta _{ij}}$

De los ejemplos anteriores, los nueve componentes se dividen en subespacios formados por uno, tres y cinco componentes. Estos números suman el número de componentes del tensor original de una manera similar a la dimensión de los subespacios vectoriales sumados a la dimensión del espacio que es una suma directa de estos subespacios. De manera similar, cada elemento de puede expresarse en términos de una combinación lineal de componentes de sus subespacios invariantes: ${\displaystyle \{{\hat {T}}_{ij}\}}$ ${\displaystyle \{{\hat {T}}_{ij}\}}$

${\displaystyle {\hat {T}}_{ij}={\frac {1}{3}}{\hat {t}}\delta _{ij}+{\hat {A}}_{ij}+{\hat {S}}_{ij}}$

o

${\displaystyle {\hat {T}}_{ij}={\frac {1}{3}}({\vec {V}}\cdot {\vec {W}})\delta _{ij}+\left({\frac {1}{2}}({\hat {V}}_{i}{\hat {W}}_{j}-{\hat {V}}_{j}{\hat {W}}_{i})\right)+\left({\frac {1}{2}}({\hat {V}}_{i}{\hat {W}}_{j}+{\hat {V}}_{j}{\hat {W}}_{i})-{\frac {1}{3}}({\vec {V}}\cdot {\vec {W}})\delta _{ij}\right)=\mathbf {T} ^{(0)}+\mathbf {T} ^{(1)}+\mathbf {T} ^{(2)}}$

dónde: $${\displaystyle {\widehat {T}}_{ij}^{(0)}={\frac {{\widehat {V}}_{k}{\widehat {W}}_{k}}{3}}\delta _{ij}}$$ $${\displaystyle {\widehat {T}}_{ij}^{(1)}={\frac {1}{2}}\left[{\widehat {V}}_{i}{\widehat {W}}_{j}-{\widehat {V}}_{j}{\widehat {W}}_{i}\right]={\widehat {V}}_{[i}{\widehat {W}}_{j]}}$$ $${\displaystyle {\widehat {T}}_{ij}^{(2)}={\tfrac {1}{2}}\left({\widehat {V}}_{i}{\widehat {W}}_{j}+{\widehat {V}}_{j}{\widehat {W}}_{i}\right)-{\tfrac {1}{3}}{\widehat {V}}_{k}{\widehat {W}}_{k}\delta _{ij}={\widehat {V}}_{(i}{\widehat {W}}_{j)}-T_{ij}^{(0)}}$$

En general, los tensores cartesianos de rango mayor que 1 son reducibles. En mecánica cuántica, este ejemplo particular se parece a la adición de dos partículas de espín uno donde ambas son tridimensionales, por lo tanto, el espacio total es de nueve dimensiones y puede formarse mediante sistemas de espín 0, espín 1 y espín 2, cada uno de los cuales tiene 1 dimensión, 3. espacio dimensional y de 5 dimensiones respectivamente. ^[4] Estos tres términos son irreducibles, lo que significa que no pueden descomponerse más y seguir siendo tensores que satisfagan las leyes de transformación que los definen bajo las cuales deben ser invariantes. Cada una de las representaciones irreducibles T ⁽⁰⁾ , T ⁽¹⁾ , T ⁽²⁾ ... se transforman como estados propios de momento angular según el número de componentes independientes.

Es posible que en un tensor dado uno o más de estos componentes desaparezcan. Por ejemplo, el tensor de momento cuadrupolar ya es simétrico y no tiene trazas y, por lo tanto, para empezar, solo tiene 5 componentes independientes. ^[3]

Operadores tensores esféricos

Los operadores tensoriales esféricos se definen generalmente como operadores con la siguiente regla de transformación, bajo rotación del sistema de coordenadas:

${\displaystyle {\widehat {T}}_{m}^{(j)}\rightarrow U(R)^{\dagger }{\widehat {T}}_{m}^{(j)}U(R)=\sum _{m'}D_{m'm}^{(j)}(R^{-1}){\widehat {T}}_{m'}^{(j)}}$

Las relaciones de conmutación se pueden encontrar expandiendo LHS y RHS como: ^[4]

${\displaystyle U(R)^{\dagger }{\widehat {T}}_{m}^{(j)}U(R)=\left(1+{\frac {i\epsilon {\hat {n}}\cdot {\vec {J}}}{\hbar }}+{\mathcal {O}}(\epsilon ^{2})\right){\widehat {T}}_{m}^{(j)}\left(1-{\frac {i\epsilon {\hat {n}}\cdot {\vec {J}}}{\hbar }}+{\mathcal {O}}(\epsilon ^{2})\right)=\sum _{m'}\langle j,m'|\left(1+{\frac {i\epsilon {\hat {n}}\cdot {\vec {J}}}{\hbar }}+{\mathcal {O}}(\epsilon ^{2})\right)|j,m\rangle {\widehat {T}}_{m'}^{(j)}}$

Simplificando y aplicando límites para seleccionar sólo términos de primer orden, obtenemos:

${\displaystyle {[{\hat {n}}\cdot {\vec {J}}},{\widehat {T}}_{m}^{(j)}]=\sum _{m'}{\widehat {T}}_{m'}^{(j)}\langle j,m'|{\vec {J}}\cdot {\hat {n}}|j,m\rangle }$

Para las elecciones de o , obtenemos: Tenga en cuenta la similitud de lo anterior con: Dado que y son combinaciones lineales de , comparten la misma similitud debido a la linealidad. ${\displaystyle {\hat {n}}={\hat {x}}\pm i{\hat {y}}}$ ${\displaystyle {\hat {n}}={\hat {z}}}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\left[J_{\pm },{\widehat {T}}_{m}^{(j)}\right]&=\hbar {\sqrt {(j\mp m)(j\pm m+1)}}{\widehat {T}}_{m\pm 1}^{(j)}\\[1ex]\left[J_{z},{\widehat {T}}_{m}^{(j)}\right]&=\hbar m{\widehat {T}}_{m}^{(j)}\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}J_{\pm }|j,m\rangle &=\hbar {\sqrt {(j\mp m)(j\pm m+1)}}|j,m\pm 1\rangle \\[1ex]J_{z}|j,m\rangle &=\hbar m|j,m\rangle \end{aligned}}}$$ ${\displaystyle J_{x}}$ ${\displaystyle J_{y}}$ ${\displaystyle J_{\pm }}$

Si sólo se cumplen las relaciones de conmutación, utilizando la siguiente relación, ${\displaystyle |j,m\rangle \rightarrow U(R)|j,m\rangle =exp\left(-{i{\frac {\theta }{\hbar }}{\hat {n}}\cdot {\vec {J}}}\right)|j,m\rangle =\sum _{m'}D_{m'm}^{(j)}(R)|j,m'\rangle }$

encontramos, debido a la similitud de las acciones de la función de onda on y las relaciones de conmutación en , que: ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle |j,m\rangle }$ ${\displaystyle {\widehat {T}}_{m}^{(j)}}$

${\displaystyle {\widehat {T}}_{m}^{(j)}\rightarrow U(R)^{\dagger }{\widehat {T}}_{m}^{(j)}U(R)=exp\left({i{\frac {\theta }{\hbar }}{\hat {n}}\cdot ad_{\vec {J}}}\right){\widehat {T}}_{m}^{(j)}=\sum _{m'}D_{m'm}^{(j)}(R^{-1}){\widehat {T}}_{m'}^{(j)}}$

donde la forma exponencial viene dada por el lema de Baker-Hausdorff . Por tanto, las relaciones de conmutación anteriores y la propiedad de transformación son definiciones equivalentes de operadores tensoriales esféricos. También se puede demostrar que se transforman como un vector debido a su relación de conmutación. ${\displaystyle \{ad_{{\hat {J}}_{i}}\}}$

En la siguiente sección, se discutirá la construcción de tensores esféricos. Por ejemplo, dado que se muestran ejemplos de operadores vectoriales esféricos, se pueden utilizar para construir operadores tensoriales esféricos de orden superior. En general, los operadores tensoriales esféricos se pueden construir desde dos perspectivas. ^[5] Una forma es especificar cómo se transforman los tensores esféricos bajo una rotación física: una definición teórica de grupo . Un estado propio de momento angular rotado se puede descomponer en una combinación lineal de los estados propios iniciales: los coeficientes de la combinación lineal consisten en entradas de la matriz de rotación de Wigner. O continuando con el ejemplo anterior del tensor diádico de segundo orden T = a ⊗ b , colocando cada uno de a y b en la base esférica y sustituyéndolo en T se obtienen los operadores tensoriales esféricos de segundo orden. ^{[ cita necesaria ]}

Construcción utilizando coeficientes de Clebsch-Gordan

Se puede demostrar que la combinación de dos tensores esféricos y de la siguiente manera involucrando los coeficientes de Clebsch-Gordan da otro tensor esférico de la forma: ^[4] ${\displaystyle A_{q_{1}}^{(k_{1})}}$ ${\displaystyle B_{q_{2}}^{(k_{2})}}$ $${\displaystyle T_{q}^{(k)}=\sum _{q_{1},q_{2}}\langle k_{1},k_{2};q_{1},q_{2}|k_{1},k_{2};k,q\rangle A_{q_{1}}^{(k_{1})}B_{q_{2}}^{(k_{2})}}$$

Esta ecuación se puede utilizar para construir operadores tensoriales esféricos de orden superior, por ejemplo, operadores tensoriales esféricos de segundo orden utilizando dos operadores tensoriales esféricos de primer orden, digamos A y B, discutidos anteriormente:

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\widehat {T}}_{\pm 2}^{(2)}&={\widehat {a}}_{\pm 1}{\widehat {b}}_{\pm 1}\\[1ex]{\widehat {T}}_{\pm 1}^{(2)}&={\tfrac {1}{\sqrt {2}}}\left({\widehat {a}}_{\pm 1}{\widehat {b}}_{0}+{\widehat {a}}_{0}{\widehat {b}}_{\pm 1}\right)\\[1ex]{\widehat {T}}_{0}^{(2)}&={\tfrac {1}{\sqrt {6}}}\left({\widehat {a}}_{+1}{\widehat {b}}_{-1}+{\widehat {a}}_{-1}{\widehat {b}}_{+1}+2{\widehat {a}}_{0}{\widehat {b}}_{0}\right)\end{aligned}}}$$

Usando el operador de rotación infinitesimal y su conjugado hermitiano, se puede derivar la relación de conmutación en base esférica: y se puede verificar la transformación de rotación finita en base esférica: $${\displaystyle \left[J_{a},{\widehat {T}}_{q}^{(2)}\right]=\sum _{q'}{D(J_{a})}_{qq'}^{(2)}{\widehat {T}}_{q'}^{(2)}=\sum _{q'}\langle j{=}2,m{=}q|J_{a}|j{=}2,m{=}q'\rangle {\widehat {T}}_{q'}^{(2)}}$$ $${\displaystyle {U(R)}^{\dagger }{\widehat {T}}_{q}^{(2)}U(R)=\sum _{q'}{{D(R)}_{qq'}^{(2)}}^{*}{\widehat {T}}_{q'}^{(2)}}$$

Usando armónicos esféricos

Defina un operador por su espectro: Ya que para armónicos esféricos bajo rotación: También se puede demostrar que: Entonces , donde es un operador vectorial, también se transforma de la misma manera, es decir, es un operador tensor esférico. El proceso implica expresar en términos de x, y y z y reemplazar x, y y z con los operadores V _x V _y y V _z que provienen del operador vectorial. El operador resultante es, por tanto, un operador tensor esférico . ^ Esto puede incluir constantes debido a la normalización de armónicos esféricos, lo cual no tiene sentido en el contexto de los operadores. $${\displaystyle \Upsilon _{l}^{m}|r\rangle =r^{l}Y_{l}^{m}(\theta ,\phi )|r\rangle =\Upsilon _{l}^{m}({\vec {r}})|r\rangle }$$ $${\displaystyle Y_{\ell =k}^{m=q}(\mathbf {n} )=\langle \mathbf {n} |k,q\rangle \rightarrow U(R)^{\dagger }Y_{\ell =k}^{m=q}(\mathbf {n} )U(R)=Y_{\ell =k}^{m=q}(R\mathbf {n} )=\langle \mathbf {n} |D(R)^{\dagger }|k,q\rangle =\sum _{q'}D_{q',q}^{(k)}(R^{-1})Y_{\ell =k}^{m=q'}(\mathbf {n} )}$$ $${\displaystyle \Upsilon _{l}^{m}({\vec {r}})\rightarrow U(R)^{\dagger }\Upsilon _{l}^{m}({\vec {r}})U(R)=\sum _{m'}D_{m',m}^{(l)}(R^{-1})\Upsilon _{l}^{m'}({\vec {r}})}$$ ${\displaystyle \Upsilon _{l}^{m}({\vec {V}})}$ ${\displaystyle {\vec {V}}}$ ${\displaystyle \Upsilon _{l}^{m}({\vec {r}})=r^{l}Y_{l}^{m}(\theta ,\phi )=\Upsilon _{l}^{m}(x,y,z)}$ ${\displaystyle {\hat {T}}_{m}^{(l)}}$

El adjunto hermitiano de un tensor esférico se puede definir como Hay cierta arbitrariedad en la elección del factor de fase: cualquier factor que contenga (−1) ^{± q} satisfará las relaciones de conmutación. ^[6] La elección de fase anterior tiene la ventaja de ser real y de que el producto tensorial de dos operadores hermitianos conmutantes sigue siendo hermitiano. ^[7] Algunos autores lo definen con un signo diferente en q , sin la k , o usan sólo el piso de k . ^[8] $${\displaystyle (T^{\dagger })_{q}^{(k)}=(-1)^{k-q}(T_{-q}^{(k)})^{\dagger }.}$$

Momento angular y armónicos esféricos.

Momento angular orbital y armónicos esféricos.

Los operadores de momento angular orbital tienen los operadores de escalera :

$${\displaystyle L_{\pm }=L_{x}\pm iL_{y}}$$

que aumentan o disminuyen el número cuántico magnético orbital m _ℓ en una unidad. Tiene casi exactamente la misma forma que la base esférica, aparte de los factores multiplicativos constantes.

Operadores tensoriales esféricos y espín cuántico

Los tensores esféricos también se pueden formar a partir de combinaciones algebraicas de los operadores de espín S _x , S _y , S _z , como matrices, para un sistema de espín con número cuántico total j = ℓ + s (y ℓ = 0). Los operadores de giro tienen los operadores de escalera:

$${\displaystyle S_{\pm }=S_{x}\pm iS_{y}}$$

que aumentan o disminuyen el número cuántico magnético de espín m _s en una unidad.

Aplicaciones

Las bases esféricas tienen amplias aplicaciones en matemáticas puras y aplicadas y en ciencias físicas donde se producen geometrías esféricas.

Transiciones radiativas dipolares en un átomo de un solo electrón (álcali)

La amplitud de transición es proporcional a los elementos de la matriz del operador dipolo entre los estados inicial y final. Usamos un modelo electrostático sin espín para el átomo y consideramos la transición desde el nivel de energía inicial E _nℓ al nivel final E _n′ℓ′ . Estos niveles son degenerados, ya que la energía no depende del número cuántico magnético mo m′. Las funciones de onda tienen la forma,

$${\displaystyle \psi _{n\ell m}(r,\theta ,\phi )=R_{n\ell }(r)Y_{\ell m}(\theta ,\phi )}$$

El operador dipolo es proporcional al operador de posición del electrón, por lo que debemos evaluar elementos matriciales de la forma,

$${\displaystyle \langle n'\ell 'm'|\mathbf {r} |n\ell m\rangle }$$

donde, el estado inicial está a la derecha y el final a la izquierda. El operador de posición r tiene tres componentes, y los niveles inicial y final constan de 2ℓ + 1 y 2ℓ′ + 1 estados degenerados, respectivamente. Por lo tanto, si deseamos evaluar la intensidad de una línea espectral tal como se observaría, realmente tenemos que evaluar 3(2ℓ′+ 1)(2ℓ+ 1) elementos de la matriz, por ejemplo, 3×3×5 = 45 en una Transición 3d → 2p. En realidad, esto es una exageración, como veremos, porque muchos de los elementos de la matriz desaparecen, pero todavía quedan muchos elementos de la matriz que no desaparecen por calcular.

Se puede lograr una gran simplificación expresando las componentes de r, no con respecto a la base cartesiana, sino con respecto a la base esférica. Primero definimos,

$${\displaystyle r_{q}={\hat {\mathbf {e} }}_{q}\cdot \mathbf {r} }$$

A continuación, al inspeccionar una tabla de Y _ℓm ′s, encontramos que para ℓ = 1 tenemos,

$${\displaystyle {\begin{aligned}rY_{11}(\theta ,\phi )&=&&-r{\sqrt {\frac {3}{8\pi }}}\sin(\theta )e^{i\phi }&=&{\sqrt {\frac {3}{4\pi }}}\left(-{\frac {x+iy}{\sqrt {2}}}\right)\\rY_{10}(\theta ,\phi )&=&&r{\sqrt {\frac {3}{4\pi }}}\cos(\theta )&=&{\sqrt {\frac {3}{4\pi }}}z\\rY_{1-1}(\theta ,\phi )&=&&r{\sqrt {\frac {3}{8\pi }}}\sin(\theta )e^{-i\phi }&=&{\sqrt {\frac {3}{4\pi }}}\left({\frac {x-iy}{\sqrt {2}}}\right)\end{aligned}}}$$

donde hemos multiplicado cada Y _{1 m} por el radio r . En el lado derecho vemos las componentes esféricas r _q del vector de posición r . Los resultados se pueden resumir por,

$${\displaystyle rY_{1q}(\theta ,\phi )={\sqrt {\frac {3}{4\pi }}}r_{q}}$$

para q = 1, 0, −1, donde q aparece explícitamente como un número cuántico magnético. Esta ecuación revela una relación entre los operadores vectoriales y el valor del momento angular ℓ = 1, algo sobre lo que tendremos más que decir a continuación. Ahora los elementos de la matriz se convierten en un producto de una integral radial por una integral angular, $${\displaystyle \langle n'\ell 'm'|r_{q}|n\ell m\rangle =\left(\int _{0}^{\infty }r^{2}drR_{n'\ell '}^{*}(r)rR_{n\ell }(r)\right)\left({\sqrt {\frac {4\pi }{3}}}\int \sin {(\theta )}d\Omega Y_{\ell 'm'}^{*}(\theta ,\phi )Y_{1q}(\theta ,\phi )Y_{\ell m}(\theta ,\phi )\right)}$$

Vemos que toda la dependencia de los tres números cuánticos magnéticos (m′,q,m) está contenida en la parte angular de la integral. Además, la integral angular se puede evaluar mediante la fórmula de tres Y _ℓm , tras lo cual se vuelve proporcional al coeficiente de Clebsch-Gordan,

$${\displaystyle \langle \ell 'm'|\ell 1mq\rangle }$$

La integral radial es independiente de los tres números cuánticos magnéticos ( m ′, q , m ), y el truco que acabamos de utilizar no nos ayuda a evaluarla. Pero es sólo una integral y, una vez realizada, todas las demás integrales se pueden evaluar simplemente calculando o buscando los coeficientes de Clebsch-Gordan.

La regla de selección m ′ = q + m en el coeficiente de Clebsch-Gordan significa que muchas de las integrales desaparecen, por lo que hemos exagerado el número total de integrales que deben realizarse. Pero si hubiéramos trabajado con los componentes cartesianos r _i de r , esta regla de selección podría no haber sido obvia. En cualquier caso, incluso con la regla de selección, aún pueden quedar muchas integrales distintas de cero por hacer (nueve, en el caso 3d → 2p). El ejemplo que acabamos de dar sobre la simplificación del cálculo de elementos matriciales para una transición dipolar es en realidad una aplicación del teorema de Wigner-Eckart, que abordaremos más adelante en estas notas.

Resonancia magnetica

El formalismo tensorial esférico proporciona una plataforma común para tratar la coherencia y la relajación en la resonancia magnética nuclear . En RMN y EPR , los operadores tensoriales esféricos se emplean para expresar la dinámica cuántica del espín de las partículas , mediante una ecuación de movimiento para las entradas de la matriz de densidad , o para formular la dinámica en términos de una ecuación de movimiento en el espacio de Liouville . La ecuación de movimiento del espacio de Liouville gobierna los promedios observables de las variables de espín. Cuando la relajación se formula utilizando una base tensor esférica en el espacio de Liouville, se obtiene información porque la matriz de relajación exhibe la relajación cruzada de los espines observables directamente. ^[5]

Procesamiento de imágenes y gráficos por computadora.

Ver también

• Teorema de Wigner-Eckart
• tensor de estructura
• Coeficientes de Clebsch-Gordan para SU(3)

Referencias

Notas

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4. Sakurai, junio J.; Napolitano, Jim J. (2014). Mecánica cuántica moderna (2ª ed.). Nueva Delhi: Pearson Education India. ISBN 978-93-325-1900-8.
5. RD Nielsen; BH Robinson (2006). "El formalismo tensorial esférico aplicado a la relajación en resonancia magnética". Conceptos en Resonancia Magnética Parte A. 28A (4): 270–271. doi : 10.1002/cmr.a.20055 . Consultado el 6 de abril de 2023 .

Fuentes

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Otras lecturas

Armónicos esféricos

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enlaces externos

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• Operadores tensoriales
• Evaluación de los elementos de la matriz para transiciones radiativas.
• DK Ghosh, (2013) Momento angular - III: Teorema de Wigner-Eckart
• B. Baragiola (2002) Operadores tensoriales
• Tensores esféricos