Tensor de intensidad de campo de gluones

Tensor de segundo rango en cromodinámica cuántica

En física teórica de partículas , el tensor de intensidad de campo de gluones es un campo tensor de segundo orden que caracteriza la interacción de gluones entre quarks .

La interacción fuerte es una de las interacciones fundamentales de la naturaleza, y la teoría cuántica de campos (QFT) que la describe se denomina cromodinámica cuántica (QCD). Los quarks interactúan entre sí mediante la fuerza fuerte debido a su carga de color , mediada por los gluones. Los propios gluones poseen carga de color y pueden interactuar entre sí.

El tensor de intensidad de campo de gluones es un campo tensor de rango 2 en el espacio-tiempo con valores en el fibrado adjunto del grupo de calibre cromodinámico SU(3) (ver fibrado vectorial para las definiciones necesarias).

Convención

A lo largo de este artículo, los índices latinos (normalmente a , b , c , n ) toman los valores 1, 2, ..., 8 para las ocho cargas de color de los gluones , mientras que los índices griegos (normalmente α , β , μ , ν ) toman los valores 0 para los componentes temporales y 1, 2, 3 para los componentes espaciales de los tensores espaciotemporales de cuatro vectores y cuatro dimensiones. En todas las ecuaciones, se utiliza la convención de suma en todos los índices de color y tensor, a menos que el texto indique explícitamente que no se debe realizar ninguna suma (por ejemplo, "no hay suma").

Definición

A continuación se muestran las definiciones (y la mayor parte de la notación) de K. Yagi, T. Hatsuda, Y. Miake ^[1] y Greiner, Schäfer. ^[2]

Componentes del tensor

El tensor se denota G , (o F , F , o alguna variante), y tiene componentes definidos proporcionales al conmutador de la derivada covariante del quark D _μ : ^{[2] [3]}

${\displaystyle G_{\alpha \beta }=\pm {\frac {1}{ig_{\text{s}}}}[D_{\alpha },D_{\beta }]\,,}$

dónde:

${\displaystyle D_{\mu }=\partial _{\mu }\pm ig_{\text{s}}t_{a}{\mathcal {A}}_{\mu }^{a}\,,}$

En el cual

• i es la unidad imaginaria ;
• g _s es la constante de acoplamiento de la fuerza fuerte;
• t _a = λ _a /2 son las matrices de Gell-Mann λ _a divididas por 2;
• a es un índice de color en la representación adjunta de SU(3) que toma los valores 1, 2, ..., 8 para los ocho generadores del grupo, es decir, las matrices de Gell-Mann ;
• μ es un índice de espacio-tiempo, 0 para componentes temporales y 1, 2, 3 para componentes espaciales;
• ${\displaystyle {\mathcal {A}}_{\mu }=t_{a}{\mathcal {A}}_{\mu }^{a}}$expresa el campo de gluones , un campo de calibre de espín -1 o, en lenguaje geométrico diferencial, una conexión en el fibrado principal SU(3) ;
• ${\displaystyle {\mathcal {A}}_{\mu }}$son sus cuatro componentes (dependientes del sistema de coordenadas), que en un calibre fijo son funciones matriciales hermíticas sin traza de 3 × 3 , mientras que son 32 funciones de valor real , los cuatro componentes para cada uno de los ocho campos de cuatro vectores. ${\displaystyle {\mathcal {A}}_{\mu }^{a}}$

Tenga en cuenta que diferentes autores eligen signos diferentes.

Al expandir el conmutador se obtiene:

${\displaystyle G_{\alpha \beta }=\partial _{\alpha }{\mathcal {A}}_{\beta }-\partial _{\beta }{\mathcal {A}}_{\alpha }\pm ig_{\text{s}}[{\mathcal {A}}_{\alpha },{\mathcal {A}}_{\beta }]}$

Sustituyendo y utilizando la relación de conmutación para las matrices de Gell-Mann (con un reetiquetado de índices), en la que f  ^abc son las constantes de estructura de SU(3), cada uno de los componentes de la intensidad del campo de gluones se puede expresar como una combinación lineal de las matrices de Gell-Mann de la siguiente manera: ${\displaystyle t_{a}{\mathcal {A}}_{\alpha }^{a}={\mathcal {A}}_{\alpha }}$ ${\displaystyle [t_{a},t_{b}]=if_{ab}{}^{c}t_{c}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}G_{\alpha \beta }&=\partial _{\alpha }t_{a}{\mathcal {A}}_{\beta }^{a}-\partial _{\beta }t_{a}{\mathcal {A}}_{\alpha }^{a}\pm ig_{\text{s}}\left[t_{b},t_{c}\right]{\mathcal {A}}_{\alpha }^{b}{\mathcal {A}}_{\beta }^{c}\\&=t_{a}\left(\partial _{\alpha }{\mathcal {A}}_{\beta }^{a}-\partial _{\beta }{\mathcal {A}}_{\alpha }^{a}\pm i^{2}f_{bc}{}^{a}g_{\text{s}}{\mathcal {A}}_{\alpha }^{b}{\mathcal {A}}_{\beta }^{c}\right)\\&=t_{a}G_{\alpha \beta }^{a}\\\end{aligned}}\,,}$

de modo que: ^{[4] [5]}

${\displaystyle G_{\alpha \beta }^{a}=\partial _{\alpha }{\mathcal {A}}_{\beta }^{a}-\partial _{\beta }{\mathcal {A}}_{\alpha }^{a}\mp g_{\text{s}}f^{a}{}_{bc}{\mathcal {A}}_{\alpha }^{b}{\mathcal {A}}_{\beta }^{c}\,,}$

donde nuevamente a, b, c = 1, 2, ..., 8 son índices de color. Al igual que con el campo de gluones, en un sistema de coordenadas específico y un calibre fijo, G _αβ son funciones matriciales hermíticas sin traza de 3 × 3 , mientras que G ^a _αβ son funciones de valor real, los componentes de ocho campos tensoriales de segundo orden de cuatro dimensiones.

Formas diferenciales

El campo de color del gluón se puede describir utilizando el lenguaje de las formas diferenciales , específicamente como una forma de curvatura 2 con valor de fibrado adjunto (nótese que las fibras del fibrado adjunto son el álgebra de Lie su (3) );

${\displaystyle \mathbf {G} =\mathrm {d} {\boldsymbol {\mathcal {A}}}\mp g_{\text{s}}\,{\boldsymbol {\mathcal {A}}}\wedge {\boldsymbol {\mathcal {A}}}\,,}$

donde es el campo de gluones, una forma 1- potencial vectorial correspondiente a G y ∧ es el producto de cuña (antisimétrico) de esta álgebra, que produce las constantes de estructura f  ^abc . La derivada de Cartan de la forma del campo (es decir, esencialmente la divergencia del campo) sería cero en ausencia de los "términos de gluones", es decir, aquellos que representan el carácter no abeliano de la SU(3). ${\displaystyle {\boldsymbol {\mathcal {A}}}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\mathcal {A}}}}$

Una derivación matemáticamente más formal de estas mismas ideas (pero en un contexto ligeramente modificado) se puede encontrar en el artículo sobre conexiones métricas .

Comparación con el tensor electromagnético

Esto es casi paralelo al tensor de campo electromagnético (también denominado F  ) en la electrodinámica cuántica , dado por el potencial electromagnético A que describe un fotón de espín 1 ;

${\displaystyle F_{\alpha \beta }=\partial _{\alpha }A_{\beta }-\partial _{\beta }A_{\alpha }\,,}$

o en el lenguaje de las formas diferenciales:

${\displaystyle \mathbf {F} =\mathrm {d} \mathbf {A} \,.}$

La diferencia clave entre la electrodinámica cuántica y la cromodinámica cuántica es que la intensidad del campo de gluones tiene términos adicionales que conducen a autointeracciones entre los gluones y la libertad asintótica . Esta es una complicación de la fuerza fuerte que la hace inherentemente no lineal , al contrario de la teoría lineal de la fuerza electromagnética. La QCD es una teoría de calibre no abeliana . La palabra no abeliana en el lenguaje de la teoría de grupos significa que la operación de grupo no es conmutativa , lo que hace que el álgebra de Lie correspondiente no sea trivial.

Densidad lagrangiana de QCD

Como es característico de las teorías de campos, la dinámica de la intensidad del campo se resume mediante una densidad lagrangiana adecuada y la sustitución en la ecuación de Euler-Lagrange (para campos) obtiene la ecuación de movimiento para el campo . La densidad lagrangiana para quarks sin masa, unidos por gluones, es: ^[2]

${\displaystyle {\mathcal {L}}=-{\frac {1}{2}}\mathrm {tr} \left(G_{\alpha \beta }G^{\alpha \beta }\right)+{\bar {\psi }}\left(iD_{\mu }\right)\gamma ^{\mu }\psi }$

donde "tr" denota la traza de la matriz 3 × 3 G _αβ G ^αβ , y γ ^μ son las matrices gamma 4 × 4 . En el término fermiónico , se suprimen tanto los índices de color como de espinor. Con índices explícitos, donde son índices de color y son índices de espinor de Dirac. ${\displaystyle i{\bar {\psi }}\left(iD_{\mu }\right)\gamma ^{\mu }\psi }$ ${\displaystyle \psi _{i,\alpha }}$ ${\displaystyle i=1,\ldots ,3}$ ${\displaystyle \alpha =1,\ldots ,4}$

Transformaciones de calibre

A diferencia de la QED, el tensor de intensidad de campo de gluones no es invariante en cuanto a la norma. Solo el producto de dos índices contraídos en todos los casos es invariante en cuanto a la norma.

Ecuaciones de movimiento

Consideradas como una teoría de campo clásica, las ecuaciones de movimiento para los campos de quarks ^[1] son:

${\displaystyle (i\hbar \gamma ^{\mu }D_{\mu }-mc)\psi =0}$

que es como la ecuación de Dirac , y las ecuaciones de movimiento para los campos de gluones (gauge) son:

${\displaystyle \left[D_{\mu },G^{\mu \nu }\right]=g_{\text{s}}j^{\nu }}$

que son similares a las ecuaciones de Maxwell (cuando se escriben en notación tensorial). Más específicamente, estas son las ecuaciones de Yang-Mills para los campos de quarks y gluones. La corriente de cuatro cargas de color es la fuente del tensor de intensidad del campo de gluones, análoga a la corriente de cuatro electromagnética como fuente del tensor electromagnético. Está dada por

${\displaystyle j^{\nu }=t^{b}j_{b}^{\nu }\,,\quad j_{b}^{\nu }={\bar {\psi }}\gamma ^{\nu }t^{b}\psi ,}$

que es una corriente conservada ya que la carga de color se conserva. En otras palabras, la corriente de cuatro colores debe satisfacer la ecuación de continuidad :

${\displaystyle D_{\nu }j^{\nu }=0\,.}$

Véase también

• Confinamiento de quarks
• Matrices de Gell-Mann
• Campo (física)
• Campo Yang-Mills
• Óctuple Vía (física)
• Tensor de Einstein
• Bucle de Wilson
• Calibre Wess-Zumino
• Energía de enlace de la cromodinámica cuántica
• Cálculo de Ricci
• Grupo unitario especial

Referencias

Notas

1. Yagi, K.; Hatsuda, T.; Miake, Y. (2005). Plasma de quarks y gluones: del Big Bang al Little Bang. Monografías de Cambridge sobre física de partículas, física nuclear y cosmología. Vol. 23. Cambridge University Press. págs. 17-18. ISBN 978-0-521-561-082.
2. Greiner, W.; Schäfer, G. (1994). "4". Cromodinámica cuántica . Springer. ISBN 978-3-540-57103-2.
3. Bilson-Thompson, SO; Leinweber, DB; Williams, AG (2003). "Tensor de intensidad de campo reticular altamente mejorado". Anales de Física . 304 (1): 1–21. arXiv : hep-lat/0203008 . Código Bibliográfico :2003AnPhy.304....1B. doi :10.1016/s0003-4916(03)00009-5. S2CID  119385087.
4. M. Eidemüller; HG Dosch; M. Jamin (2000) [1999]. "El correlador de intensidad de campo a partir de reglas de suma de QCD". Nucl. Phys. B Proc. Suppl . 86 (1–3). Heidelberg, Alemania: 421–425. arXiv : hep-ph/9908318 . Código Bibliográfico :2000NuPhS..86..421E. doi :10.1016/S0920-5632(00)00598-3.
5. M. Shifman (2012). Temas avanzados en teoría cuántica de campos: un curso de conferencias. Cambridge University Press. ISBN 978-0521190848.

Lectura adicional

Libros

• H.Fritzsch (1982). Quarks: la materia de la materia . Carril allen. ISBN 978-0-7139-15334.
• BR Martin; G. Shaw (2009). Física de partículas . Serie de Física de Manchester (3.ª ed.). John Wiley & Sons. ISBN 978-0-470-03294-7.
• S. Sarkar; H. Satz; B. Sinha (2009). La física del plasma de quarks y gluones: lecciones introductorias. Springer. ISBN 978-3642022852.
• J. Thanh Van Tran, ed. (1987). Hadrones, quarks y gluones: actas de la sesión hadrónica del vigésimo segundo Rencontre de Moriond, Les Arcs-Savoie-Francia. Atlántica Séguier Fronteras. ISBN 978-2863320488.
• R. Alkofer; H. Reinhart (1995). Dinámica de quarks quirales. Springer. ISBN 978-3540601371.
• K. Chung (2008). Producción hadrónica de la sección transversal y polarización de ψ(2S). ISBN 978-0549597742.
• J. Collins (2011). Fundamentos de la QCD perturbativa. Cambridge University Press. ISBN 978-0521855334.
• WNA Cottingham; DAA Greenwood (1998). Modelo estándar de física de partículas. Cambridge University Press. ISBN 978-0521588324.

Artículos seleccionados

• JP Maa; Q. Wang; GP Zhang (2012). "Evoluciones QCD de operadores impares de quiralidad twist-3". Physics Letters B . 718 (4–5): 1358–1363. arXiv : 1210.1006 . Código Bibliográfico :2013PhLB..718.1358M. doi :10.1016/j.physletb.2012.12.007. S2CID  118575585.
• M. D'Elia, A. Di Giacomo, E. Meggiolaro (1997). "Correladores de intensidad de campo en QCD completo". Physics Letters B . 408 (1–4): 315–319. arXiv : hep-lat/9705032 . Código Bibliográfico :1997PhLB..408..315D. doi :10.1016/S0370-2693(97)00814-9. S2CID  119533874.{{cite journal}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
• A. Di Giacomo; M. D'elia; H. Panagopoulos; E. Meggiolaro (1998). "Medir correlacionadores de intensidad de campo invariantes en QCD". arXiv : hep-lat/9808056 .
• M. Neubert (1993). "Un teorema virial para la energía cinética de un quark pesado dentro de hadrones". Physics Letters B . 322 (4): 419–424. arXiv : hep-ph/9311232 . Código Bibliográfico :1994PhLB..322..419N. doi :10.1016/0370-2693(94)91174-6. S2CID  14214029.
• M. Neubert; N. Brambilla ; HG Dosch; A. Vairo (1998). "Correladores de intensidad de campo y dinámica dual efectiva en QCD". Physical Review D . 58 (3): 034010. arXiv : hep-ph/9802273 . Código Bibliográfico :1998PhRvD..58c4010B. doi :10.1103/PhysRevD.58.034010. S2CID  1824834.
• M. Neubert (1996). "Cálculo de la energía cinética y la interacción cromogénica de quarks pesados ​​dentro de mesones mediante la regla de suma de QCD" (PDF) . Physics Letters B.

Enlaces externos

• K. Ellis (2005). "QCD" (PDF) . Fermilab . Archivado desde el original el 26 de septiembre de 2006.{{cite news}}: CS1 maint: unfit URL (link)
• "Capítulo 2: El lagrangiano QCD" (PDF) . Universidad Técnica de Múnich . Consultado el 17 de octubre de 2013 .