Serie telescópica

Series cuyas sumas parciales eventualmente sólo tienen un número fijo de términos después de la cancelación

En matemáticas , una serie telescópica es una serie cuyo término general tiene la forma , es decir, la diferencia de dos términos consecutivos de una sucesión . En consecuencia, las sumas parciales de la serie sólo constan de dos términos de después de la cancelación. ^{[1] [2]} ${\displaystyle t_{n}}$ ${\displaystyle t_{n}=a_{n+1}-a_{n}}$ ${\displaystyle (a_{n})}$ ${\displaystyle (a_{n})}$

La técnica de cancelación, en la que parte de cada término se cancela con parte del término siguiente, se conoce como método de diferencias .

Una formulación temprana de la fórmula para la suma o sumas parciales de una serie telescópica se puede encontrar en una obra de 1644 de Evangelista Torricelli , De dimensione parabolae . ^[3]

Definición

Serie telescópica de potencias. Nótese que en el signo de suma , el índice n va de 1 a m . No existe relación entre n y m más allá del hecho de que ambos son números naturales . ${\textstyle \sum }$

Las sumas telescópicas son sumas finitas en las que pares de términos consecutivos se cancelan parcialmente entre sí, dejando solo partes de los términos inicial y final. ^{[1] [4]} Sean los elementos de una secuencia de números. Entonces, si converge a un límite , la serie telescópica da: ${\displaystyle a_{n}}$ $${\displaystyle \sum _{n=1}^{N}\left(a_{n}-a_{n-1}\right)=a_{N}-a_{0}.}$$ ${\displaystyle a_{n}}$ ${\displaystyle L}$ $${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\left(a_{n}-a_{n-1}\right)=L-a_{0}.}$$

Cada serie es una serie telescópica de sus propias sumas parciales. ^[5]

Ejemplos

• La más importante y la que falta pertenece a la propiedad de los Cuadrados, pues cualquier cuadrado de un entero A es la suma de las primeras A Probabilidades, o:

${\displaystyle A^{2}=\sum _{X=1}^{A}2X-1}$

La prueba usando la antigua notación de lo que es el llamado índice mudo de Worgly es muy fácil ya que desarrollando la Suma Telescópica tenemos: ${\displaystyle i}$

${\displaystyle \sum _{i=1}^{a}{(2i-1)}=a^{2}-{\cancel {(a-1)^{2}}}+{\cancel {(a-1)^{2}}}-{\cancel {(a-2)^{2}}}+{\cancel {(a-2)^{2}}}-...+{\cancel {1}}-{\cancel {1}}=a^{2}}$

Así por ejemplo  ; ${\displaystyle a=5}$ ${\displaystyle a^{2}=1+3+5+7+9=25}$

De donde la fórmula general para cualquier potencia n-ésima de un entero A:

${\displaystyle A^{n}=\sum _{X=1}^{A}(X^{n}-(X-1)^{n})}$

Esto abre una brecha en el hecho matemático olvidado de que cualquier parábola (o polinomio) subtiende un área desde o y una abscisa entera A que se puede elevar al cuadrado mediante una integral o mediante una suma finita, ya que al usar X en lugar de i, y representar lo que estamos haciendo en el plano cartesiano, quedará inmediatamente claro que es posible aplicar un intercambio de variable, de modo que se escriba una suma capaz de realizar movimientos * diferentes de un entero. Abriendo así el camino al cálculo: ${\displaystyle x=X/K}$ ${\displaystyle Step=integer}$ ${\displaystyle index}$ ${\displaystyle scalefactor=1/K}$

La nueva regla de escala (que mantiene la misma área física): de la suma de números enteros a la suma de números racionales, luego al límite

En términos más generales, recordando la nueva definición del operador Suma que se da en el Resumen, primero podemos usar y llevar las propiedades telescópicas de la Suma hasta el límite (luego hablar en un concepto modular) para mostrar cómo refinar una Suma, de modo que funcione para tener al final no solo el mismo valor numérico, sino la misma Área física (en metros cuadrados, por ejemplo) elevada al cuadrado con un número finito de rectángulos llamados Gnomones, el Área debajo de la 1.ª derivada de una parábola y luego mostrar las 4 identidades siguientes que son verdaderas solo para un Límite superior es . Esta propiedad se llamará invariancia para plinomios. ${\displaystyle Y=X^{n}}$ ${\displaystyle A\in \mathbb {N^{+}} }$ ${\displaystyle K}$

Recordando que:

${\displaystyle A^{2}*K^{2}=\sum _{X=1}^{A\cdot K}(2X-1)}$

Más en general:

${\displaystyle A^{n}*K^{n}=\sum _{X=1}^{A\cdot K}(X^{n}-(X-1)^{n})}$

Gracias a la conocida propiedad distributiva de la Suma podemos dejar inalterado el valor de la Suma si multiplicamos toda la suma por un factor unitario (en este caso cuadrático) , revelándonos una agradable sorpresa una vez descompuesta en la Suma de esta manera: ${\displaystyle 1={\frac {K^{2}}{K^{2}}}}$

${\displaystyle A^{2}=\left(\sum _{X=1}^{A}2X-1\right){\frac {K^{2}}{K^{2}}}=\sum _{X=1}^{A*K}{\frac {2X-1}{K^{2}}}}$

A continuación mostraré como aplicar el intercambio de variable teniendo: ${\displaystyle X=x*K}$

${\displaystyle A^{2}=\sum _{X=1}^{A*K}{\frac {2X-1}{K^{2}}}=\sum _{x=1/K}^{\frac {A*{\cancel {K}}}{\cancel {K}}}{\frac {2x\cdot {\cancel {K}}}{K^{\cancel {2}}}}=\sum _{x=1/K}^{A}\left({\frac {2x}{K}}-{\frac {1}{K^{2}}}\right)}$

Y espero que ahora esté claro por qué se utiliza en lugar de como Nuevo Paso (o índice escalonado parlante) de tales sumas (como se demostrará más adelante). ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle i}$

SI y sólo SI (SIFF) el Límite Superior ahora podemos escribir la siguiente igualdad cuádruple: ${\displaystyle A\in \mathbb {N^{+}} }$

${\displaystyle A^{2}=\sum _{x=1/K}^{A}\left({\frac {2x}{K}}-{\frac {1}{K^{2}}}\right)=\lim _{K\to \infty }\sum _{x=1/K}^{A}\left({\frac {2x}{K}}-{\frac {1}{K^{2}}}\right)=\int _{0}^{A}2xdx=A^{2}}$

Esto muestra lo que llamaré: la Ley de Distribución de Términos de Potencia, que funciona para la n-ésima potencia de esta manera:

${\displaystyle A^{n}=\sum _{X=1}^{A}M_{n}=\sum _{x=1/K}^{A}M_{n,K}}$

donde ya se presentó, y es como sigue (consulte la referencia para la prueba) y muestra la "Ley Distributiva del Factor Externo para Potencias". entonces, cómo la escala, es decir, el intercambio de variable, afectará los Términos de la Suma (recordando que el resultado de la suma permanece igual): ${\displaystyle M_{n}}$ ${\displaystyle M_{n,K}}$

${\displaystyle M_{n,K}={n \choose 1}{\frac {x^{n-1}}{K}}-{n \choose 2}{\frac {x^{n-2}}{K^{2}}}+{n \choose 3}{\frac {x^{n-3}}{K^{3}}}-...+/-{\frac {1}{K^{n}}}}$

El primero se puede escribir fácilmente recordando el triángulo de Tartaglia (por lo que se desarrolla el binomio) por lo que luego hay que eliminar el primer término del desarrollo, o bien cambiar el signo de - a +, para tener : ${\displaystyle M_{n,K}}$ ${\displaystyle (X-1)^{n}}$ ${\displaystyle (X^{n}-(X-1)^{n})}$

${\displaystyle M_{2,K}={\frac {2x}{K}}-{\frac {1}{K^{2}}}}$

${\displaystyle M_{3,K}={\frac {3x^{2}}{K}}-{\frac {3x}{K^{2}}}+{\frac {1}{K^{3}}}}$

${\displaystyle M_{4,K}={\frac {4x^{3}}{K}}-{\frac {6x^{2}}{K^{2}}}+{\frac {4x}{K^{3}}}-{\frac {1}{K^{4}}}}$

${\displaystyle M_{5,K}={\frac {5x^{4}}{K}}-{\frac {10x^{3}}{K^{2}}}-{\frac {10x^{2}}{K^{3}}}+{\frac {5x}{K^{4}}}-{\frac {1}{K^{5}}}}$

etc...

Luego, una lista de nuevas manipulaciones revelará una nueva forma de resolver problemas de potencia, y las condiciones permiten que alguna igualdad sea posible o no, es decir, Verdadero o Falso (como Fermat El Último para y para todos ). ${\displaystyle n=2}$ ${\displaystyle n>2}$

${\displaystyle A^{n}=\sum _{X=1}^{A}(X^{n}-(X-1)^{n})=\sum _{x=1/K}^{A}({n \choose 1}{\frac {x^{n-1}}{K}}-{n \choose 2}{\frac {x^{n-2}}{K^{2}}}+{n \choose 3}{\frac {x^{n-3}}{K^{3}}}-...+/-{\frac {1}{K^{n}}})}$

Esto también conduce a 2 nuevas propiedades de suma, ya que la suma de polinomios se puede mostrar, por ejemplo, en estas igualdades... parece que ningún matemático quiere admitirlo...

${\displaystyle A^{3}=\sum _{1}^{A}3X^{2}-3X+1=\sum _{x=1/K}^{A}{\frac {3x^{2}}{K}}-{\frac {3x}{K^{2}}}+{\frac {1}{K^{3}}}=\sum _{x=A/B}^{B}{\frac {3Ax^{2}}{B}}-{\frac {3xA^{2}}{B^{2}}}+{\frac {A^{3}}{B^{3}}}}$

o

${\displaystyle A^{3}=\sum _{x=A/B}^{B}{\frac {3Ax^{2}}{B}}-{\frac {3xA^{2}}{B^{2}}}+{\frac {A^{3}}{B^{3}}}=\sum _{X=1}^{B}{\frac {3A}{B}}\left({\frac {A}{B}}X\right)^{2}-{\frac {3A^{2}}{B^{2}}}\left({\frac {A}{B}}X\right)+{\frac {A^{3}}{B^{3}}}}$

Que en la mano derecha de Fermat el Último se escriba:

${\displaystyle C^{3}-B^{3}=\sum _{x=1/K}^{C-B}{\frac {3(x+B)^{2}}{K}}-{\frac {3(x+B)}{K^{2}}}+{\frac {1}{K^{3}}}}$

${\displaystyle =\sum _{x={\frac {C-B}{A}}}^{C-B}\left({\frac {3(C-B)(x+B)^{2}}{A}}-{\frac {3(C-B)^{2}(x+B)}{A^{2}}}+{\frac {(C-B)^{3}}{A^{3}}}\right)}$

${\displaystyle =\sum _{X={\frac {(C-B)A}{C-B}}=1}^{{\frac {(C-B)A}{C-B}}=A}{\frac {3(C-B)(X{\frac {C-B}{A}}+B)^{2}}{A}}-{\frac {3(C-B)^{2}(X{\frac {C-B}{A}}+B)}{A^{2}}}+{\frac {(C-B)^{3}}{A^{3}}}}$

entonces:

${\displaystyle C^{3}-B^{3}=\sum _{X=1}^{A}{\frac {3(C-B)(X{\frac {C-B}{A}}+B)^{2}}{A}}-{\frac {3(C-B)^{2}(X{\frac {C-B}{A}}+B)}{A^{2}}}+{\frac {(C-B)^{3}}{A^{3}}}}$Y además: ${\displaystyle C^{3}-B^{3}=\sum _{x={\frac {1}{K}}}^{A}{\frac {3(C-B)({\frac {C-B}{A}}x+B)^{2}}{AK}}-{\frac {3(C-B)^{2}\cdot ({\frac {C-B}{A}}x+B)}{(AK)^{2}}}+{\frac {(C-B)^{3}}{(AK)^{3}}}=}$

${\displaystyle C^{3}-B^{3}=\sum _{x={\frac {1}{A}}}^{A}{\frac {3(C-B)({\frac {C-B}{A}}x+B)^{2}}{A^{2}}}-{\frac {3(C-B)^{2}\cdot ({\frac {C-B}{A}}x+B)}{(A^{2})^{2}}}+{\frac {(C-B)^{3}}{(A^{2})^{3}}}=}$

${\displaystyle C^{3}-B^{3}=\sum _{X=1}^{A^{2}}{\frac {3(C-B)({\frac {C-B}{A^{2}}}X+B)^{2}}{A^{2}}}-{\frac {3(C-B)^{2}\cdot ({\frac {C-B}{A^{2}}}X+B)}{(A^{2})^{2}}}+{\frac {(C-B)^{3}}{(A^{2})^{3}}}=}$

Estoy sentado en la orilla del río esperando que los matemáticos definan el índice de silencio, y todos ustedes los siguen...

• El producto de una serie geométrica con término inicial y razón común por el factor da una suma telescópica, que permite un cálculo directo de su límite: ^[6] ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle (1-r)}$

$${\displaystyle (1-r)\sum _{n=0}^{\infty }ar^{n}=\sum _{n=0}^{\infty }ar^{n}-ar^{n+1}=a}$$ cuando así que cuando ${\displaystyle |r|<1,}$ ${\displaystyle |r|<1,}$ $${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }ar^{n}={\frac {a}{1-r}}.}$$

• La serie

$${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n(n+1)}}}$$ es la serie de recíprocos de números prónicos , y es reconocible como una serie telescópica una vez reescrita en forma de fracción parcial ^[1] ${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n(n+1)}}&{}=\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {1}{n}}-{\frac {1}{n+1}}\right)\\{}&{}=\lim _{N\to \infty }\sum _{n=1}^{N}\left({\frac {1}{n}}-{\frac {1}{n+1}}\right)\\{}&{}=\lim _{N\to \infty }\left\lbrack {\left(1-{\frac {1}{2}}\right)+\left({\frac {1}{2}}-{\frac {1}{3}}\right)+\cdots +\left({\frac {1}{N}}-{\frac {1}{N+1}}\right)}\right\rbrack \\{}&{}=\lim _{N\to \infty }\left\lbrack {1+\left(-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}\right)+\left(-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{3}}\right)+\cdots +\left(-{\frac {1}{N}}+{\frac {1}{N}}\right)-{\frac {1}{N+1}}}\right\rbrack \\{}&{}=\lim _{N\to \infty }\left\lbrack {1-{\frac {1}{N+1}}}\right\rbrack =1.\end{aligned}}}$

• Sea k un entero positivo. Entonces

$${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n(n+k)}}={\frac {H_{k}}{k}}}$$donde H _k es el k -ésimo número armónico .

• Sean k y m con k m enteros positivos. Entonces ${\displaystyle \neq }$

$${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{(n+k)(n+k+1)\dots (n+m-1)(n+m)}}={\frac {1}{m-k}}\cdot {\frac {k!}{m!}}}$$donde denota la operación factorial . ${\displaystyle !}$

• Muchas funciones trigonométricas también admiten representación como diferencias, lo que puede revelar una cancelación telescópica entre los términos consecutivos. Utilizando la identidad de adición de ángulos para un producto de senos,

$${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{n=1}^{N}\sin \left(n\right)&{}=\sum _{n=1}^{N}{\frac {1}{2}}\csc \left({\frac {1}{2}}\right)\left(2\sin \left({\frac {1}{2}}\right)\sin \left(n\right)\right)\\&{}={\frac {1}{2}}\csc \left({\frac {1}{2}}\right)\sum _{n=1}^{N}\left(\cos \left({\frac {2n-1}{2}}\right)-\cos \left({\frac {2n+1}{2}}\right)\right)\\&{}={\frac {1}{2}}\csc \left({\frac {1}{2}}\right)\left(\cos \left({\frac {1}{2}}\right)-\cos \left({\frac {2N+1}{2}}\right)\right),\end{aligned}}}$$que no converge como ${\textstyle N\rightarrow \infty .}$

Aplicaciones

En teoría de la probabilidad , un proceso de Poisson es un proceso estocástico cuyo caso más simple implica "ocurrencias" en momentos aleatorios, el tiempo de espera hasta la siguiente ocurrencia tiene una distribución exponencial sin memoria y el número de "ocurrencias" en cualquier intervalo de tiempo tiene una distribución de Poisson cuyo valor esperado es proporcional a la longitud del intervalo de tiempo. Sea X _t el número de "ocurrencias" antes del tiempo t y sea T _x el tiempo de espera hasta la x ésima "ocurrencia". Buscamos la función de densidad de probabilidad de la variable aleatoria T _x . Usamos la función de masa de probabilidad para la distribución de Poisson, que nos dice que

${\displaystyle \Pr(X_{t}=x)={\frac {(\lambda t)^{x}e^{-\lambda t}}{x!}},}$

donde λ es el número promedio de ocurrencias en cualquier intervalo de tiempo de longitud 1. Observe que el evento { X _t ≥ x} es el mismo que el evento { T _x ≤ t }, y por lo tanto tienen la misma probabilidad. Intuitivamente, si algo ocurre al menos veces antes del tiempo , tenemos que esperar como máximo a que ocurra. La función de densidad que buscamos es, por lo tanto ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle xth}$

${\displaystyle {\begin{aligned}f(t)&{}={\frac {d}{dt}}\Pr(T_{x}\leq t)={\frac {d}{dt}}\Pr(X_{t}\geq x)={\frac {d}{dt}}(1-\Pr(X_{t}\leq x-1))\\\\&{}={\frac {d}{dt}}\left(1-\sum _{u=0}^{x-1}\Pr(X_{t}=u)\right)={\frac {d}{dt}}\left(1-\sum _{u=0}^{x-1}{\frac {(\lambda t)^{u}e^{-\lambda t}}{u!}}\right)\\\\&{}=\lambda e^{-\lambda t}-e^{-\lambda t}\sum _{u=1}^{x-1}\left({\frac {\lambda ^{u}t^{u-1}}{(u-1)!}}-{\frac {\lambda ^{u+1}t^{u}}{u!}}\right)\end{aligned}}}$

La suma de los telescopios, dejando

${\displaystyle f(t)={\frac {\lambda ^{x}t^{x-1}e^{-\lambda t}}{(x-1)!}}.}$

Para otras aplicaciones, consulte:

• Prueba de que la suma de los recíprocos de los primos diverge , donde una de las pruebas utiliza una suma telescópica;
• Teorema fundamental del cálculo , análogo continuo de la serie telescópica;
• Estadística de orden , donde se produce una suma telescópica en la derivación de una función de densidad de probabilidad;
• Teorema de punto fijo de Lefschetz , donde surge una suma telescópica en topología algebraica ;
• Teoría de homología , nuevamente en topología algebraica;
• Estafa de Eilenberg-Mazur , en la que se produce una suma telescópica de nudos;
• Algoritmo de Faddeev-LeVerrier .

Conceptos relacionados

Un producto telescópico es un producto finito (o el producto parcial de un producto infinito) que puede cancelarse por el método de cocientes para quedar finalmente solo un número finito de factores. ^{[7] [8]} Son los productos finitos en los que términos consecutivos cancelan denominador con numerador, quedando solo los términos inicial y final. Sea una secuencia de números. Entonces, si converge a 1, el producto resultante da: ${\displaystyle a_{n}}$ $${\displaystyle \prod _{n=1}^{N}{\frac {a_{n-1}}{a_{n}}}={\frac {a_{0}}{a_{N}}}.}$$ ${\displaystyle a_{n}}$ $${\displaystyle \prod _{n=1}^{\infty }{\frac {a_{n-1}}{a_{n}}}=a_{0}}$$

Por ejemplo, el producto infinito ^[7] se simplifica como $${\displaystyle \prod _{n=2}^{\infty }\left(1-{\frac {1}{n^{2}}}\right)}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\prod _{n=2}^{\infty }\left(1-{\frac {1}{n^{2}}}\right)&=\prod _{n=2}^{\infty }{\frac {(n-1)(n+1)}{n^{2}}}\\&=\lim _{N\to \infty }\prod _{n=2}^{N}{\frac {n-1}{n}}\times \prod _{n=2}^{N}{\frac {n+1}{n}}\\&=\lim _{N\to \infty }\left\lbrack {{\frac {1}{2}}\times {\frac {2}{3}}\times {\frac {3}{4}}\times \cdots \times {\frac {N-1}{N}}}\right\rbrack \times \left\lbrack {{\frac {3}{2}}\times {\frac {4}{3}}\times {\frac {5}{4}}\times \cdots \times {\frac {N}{N-1}}\times {\frac {N+1}{N}}}\right\rbrack \\&=\lim _{N\to \infty }\left\lbrack {\frac {1}{2}}\right\rbrack \times \left\lbrack {\frac {N+1}{N}}\right\rbrack \\&={\frac {1}{2}}\times \lim _{N\to \infty }\left\lbrack {\frac {N+1}{N}}\right\rbrack \\&={\frac {1}{2}}.\end{aligned}}}$$

Referencias

1. Apostol, Tom (1967) [1961]. Cálculo, volumen 1 (segunda edición). John Wiley & Sons. págs. 386–387.
2. Brian S. Thomson y Andrew M. Bruckner, Análisis real elemental, segunda edición , CreateSpace, 2008, página 85
3. Weil, André (1989). "Prehistoria de la función zeta". En Aubert, Karl Egil ; Bombieri, Enrico ; Goldfeld, Dorian (eds.). Teoría de números, fórmulas de trazas y grupos discretos: Simposio en honor de Atle Selberg, Oslo, Noruega, 14-21 de julio de 1987 . Boston, Massachusetts: Academic Press. pp. 1-9. doi :10.1016/B978-0-12-067570-8.50009-3. MR  0993308.
4. Weisstein, Eric W. "Suma telescópica". MathWorld . Wolfram.
5. Ablowitz, Mark J.; Fokas, Athanassios S. (2003). Variables complejas: Introducción y aplicaciones (2.ª ed.). Cambridge University Press. pág. 110. ISBN 978-0-521-53429-1.
6. Apostol, Tom (1967) [1961]. Cálculo, Volumen 1 (Segunda ed.). John Wiley & Sons. pág. 388.
7. "Serie telescópica - Producto". Wiki de matemáticas y ciencias brillantes . Brilliant.org . Consultado el 9 de febrero de 2020 .
8. Bogomolny, Alexander. "Telescoping Sums, Series and Products". Cut the Knot . Consultado el 9 de febrero de 2020 .