Serie telescópica

Series cuyas sumas parciales eventualmente sólo tienen un número fijo de términos después de la cancelación

En matemáticas , una serie telescópica es una serie cuyo término general tiene la forma , es decir, la diferencia de dos términos consecutivos de una secuencia . ^[1] ${\displaystyle t_{n}}$ ${\displaystyle t_{n}=a_{n+1}-a_{n}}$ ${\displaystyle (a_{n})}$

Como consecuencia, las sumas parciales sólo constan de dos términos después de la cancelación. ^{[2] [3]} La técnica de cancelación, en la que parte de cada término se cancela con parte del término siguiente, se conoce como el método de diferencias . ${\displaystyle (a_{n})}$

Por ejemplo, la serie

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n(n+1)}}}$

(la serie de recíprocos de números prónicos ) se simplifica como

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n(n+1)}}&{}=\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {1}{n}}-{\frac {1}{n+1}}\right)\\{}&{}=\lim _{N\to \infty }\sum _{n=1}^{N}\left({\frac {1}{n}}-{\frac {1}{n+1}}\right)\\{}&{}=\lim _{N\to \infty }\left\lbrack {\left(1-{\frac {1}{2}}\right)+\left({\frac {1}{2}}-{\frac {1}{3}}\right)+\cdots +\left({\frac {1}{N}}-{\frac {1}{N+1}}\right)}\right\rbrack \\{}&{}=\lim _{N\to \infty }\left\lbrack {1+\left(-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}\right)+\left(-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{3}}\right)+\cdots +\left(-{\frac {1}{N}}+{\frac {1}{N}}\right)-{\frac {1}{N+1}}}\right\rbrack \\{}&{}=\lim _{N\to \infty }\left\lbrack {1-{\frac {1}{N+1}}}\right\rbrack =1.\end{aligned}}}$

Una formulación temprana de la fórmula para la suma o sumas parciales de una serie telescópica se puede encontrar en una obra de 1644 de Evangelista Torricelli , De dimensione parabolae . ^[4]

Definición

Serie telescópica de potencias. Nótese que en el signo de suma , el índice n va de 1 a m . No existe relación entre n y m más allá del hecho de que ambos son números naturales . ${\textstyle \sum }$

Las sumas telescópicas son sumas finitas en las que pares de términos consecutivos se cancelan entre sí, dejando solo los términos inicial y final. ^[5] Sea una secuencia de números. Entonces, como converge a 0, la suma resultante da: ${\displaystyle a_{n}}$ $${\displaystyle \sum _{n=1}^{N}\left(a_{n}-a_{n-1}\right)=a_{N}-a_{0}}$$ ${\displaystyle a_{n}}$ $${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\left(a_{n}-a_{n-1}\right)=-a_{0}.}$$

Más ejemplos

• Muchas funciones trigonométricas admiten también la representación como diferencia, lo que permite la cancelación telescópica entre los términos consecutivos. $${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{n=1}^{N}\sin \left(n\right)&{}=\sum _{n=1}^{N}{\frac {1}{2}}\csc \left({\frac {1}{2}}\right)\left(2\sin \left({\frac {1}{2}}\right)\sin \left(n\right)\right)\\&{}={\frac {1}{2}}\csc \left({\frac {1}{2}}\right)\sum _{n=1}^{N}\left(\cos \left({\frac {2n-1}{2}}\right)-\cos \left({\frac {2n+1}{2}}\right)\right)\\&{}={\frac {1}{2}}\csc \left({\frac {1}{2}}\right)\left(\cos \left({\frac {1}{2}}\right)-\cos \left({\frac {2N+1}{2}}\right)\right).\end{aligned}}}$$
• Algunas sumas de la forma donde f y g son funciones polinómicas cuyo cociente puede descomponerse en fracciones parciales no admitirán la suma por este método. En particular, se tiene El problema es que los términos no se cancelan. $${\displaystyle \sum _{n=1}^{N}{f(n) \over g(n)}}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {2n+3}{(n+1)(n+2)}}={}&\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {1}{n+1}}+{\frac {1}{n+2}}\right)\\={}&\left({\frac {1}{1}}+{\frac {1}{2}}\right)+\left({\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}\right)+\left({\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}\right)+\cdots \\&{}\cdots +\left({\frac {1}{n-1}}+{\frac {1}{n}}\right)+\left({\frac {1}{n}}+{\frac {1}{n+1}}\right)+\left({\frac {1}{n+1}}+{\frac {1}{n+2}}\right)+\cdots \\={}&\infty .\end{aligned}}}$$
• Sea k un entero positivo. Entonces, donde H _k es el k -ésimo número armónico . Todos los términos después de 1/( k − 1) se cancelan. $${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n(n+k)}}={\frac {H_{k}}{k}}}$$
• Sean k,m y k m números enteros positivos. Entonces ${\displaystyle \neq }$ $${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{(n+k)(n+k+1)\dots (n+m-1)(n+m)}}={\frac {1}{m-k}}\cdot {\frac {k!}{m!}}}$$

Aplicaciones

En teoría de la probabilidad , un proceso de Poisson es un proceso estocástico cuyo caso más simple implica "ocurrencias" en momentos aleatorios, el tiempo de espera hasta la siguiente ocurrencia tiene una distribución exponencial sin memoria y el número de "ocurrencias" en cualquier intervalo de tiempo tiene una distribución de Poisson cuyo valor esperado es proporcional a la longitud del intervalo de tiempo. Sea X _t el número de "ocurrencias" antes del tiempo t y sea T _x el tiempo de espera hasta la x ésima "ocurrencia". Buscamos la función de densidad de probabilidad de la variable aleatoria T _x . Usamos la función de masa de probabilidad para la distribución de Poisson, que nos dice que

${\displaystyle \Pr(X_{t}=x)={\frac {(\lambda t)^{x}e^{-\lambda t}}{x!}},}$

donde λ es el número promedio de ocurrencias en cualquier intervalo de tiempo de longitud 1. Observe que el evento { X _t ≥ x} es el mismo que el evento { T _x ≤ t }, y por lo tanto tienen la misma probabilidad. Intuitivamente, si algo ocurre al menos veces antes del tiempo , tenemos que esperar como máximo a que ocurra. La función de densidad que buscamos es, por lo tanto ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle xth}$

${\displaystyle {\begin{aligned}f(t)&{}={\frac {d}{dt}}\Pr(T_{x}\leq t)={\frac {d}{dt}}\Pr(X_{t}\geq x)={\frac {d}{dt}}(1-\Pr(X_{t}\leq x-1))\\\\&{}={\frac {d}{dt}}\left(1-\sum _{u=0}^{x-1}\Pr(X_{t}=u)\right)={\frac {d}{dt}}\left(1-\sum _{u=0}^{x-1}{\frac {(\lambda t)^{u}e^{-\lambda t}}{u!}}\right)\\\\&{}=\lambda e^{-\lambda t}-e^{-\lambda t}\sum _{u=1}^{x-1}\left({\frac {\lambda ^{u}t^{u-1}}{(u-1)!}}-{\frac {\lambda ^{u+1}t^{u}}{u!}}\right)\end{aligned}}}$

La suma de los telescopios, dejando

${\displaystyle f(t)={\frac {\lambda ^{x}t^{x-1}e^{-\lambda t}}{(x-1)!}}.}$

Para otras aplicaciones, consulte:

• La serie de Grandi ;
• Prueba de que la suma de los recíprocos de los primos diverge , donde una de las pruebas utiliza una suma telescópica;
• Teorema fundamental del cálculo , análogo continuo de la serie telescópica;
• Estadística de orden , donde se produce una suma telescópica en la derivación de una función de densidad de probabilidad;
• Teorema de punto fijo de Lefschetz , donde surge una suma telescópica en topología algebraica ;
• Teoría de homología , nuevamente en topología algebraica;
• Estafa de Eilenberg-Mazur , en la que se produce una suma telescópica de nudos;
• Algoritmo de Faddeev-LeVerrier .

Conceptos relacionados

Un producto telescópico es un producto finito (o el producto parcial de un producto infinito) que puede cancelarse por el método de cocientes para quedar finalmente solo un número finito de factores. ^{[6] [7]} Son los productos finitos en los que términos consecutivos cancelan denominador con numerador, quedando solo los términos inicial y final. Sea una secuencia de números. Entonces, si converge a 1, el producto resultante da: ${\displaystyle a_{n}}$ $${\displaystyle \prod _{n=1}^{N}{\frac {a_{n-1}}{a_{n}}}={\frac {a_{0}}{a_{N}}}.}$$ ${\displaystyle a_{n}}$ $${\displaystyle \prod _{n=1}^{\infty }{\frac {a_{n-1}}{a_{n}}}=a_{0}}$$

Por ejemplo, el producto infinito ^[6] se simplifica como $${\displaystyle \prod _{n=2}^{\infty }\left(1-{\frac {1}{n^{2}}}\right)}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\prod _{n=2}^{\infty }\left(1-{\frac {1}{n^{2}}}\right)&=\prod _{n=2}^{\infty }{\frac {(n-1)(n+1)}{n^{2}}}\\&=\lim _{N\to \infty }\prod _{n=2}^{N}{\frac {n-1}{n}}\times \prod _{n=2}^{N}{\frac {n+1}{n}}\\&=\lim _{N\to \infty }\left\lbrack {{\frac {1}{2}}\times {\frac {2}{3}}\times {\frac {3}{4}}\times \cdots \times {\frac {N-1}{N}}}\right\rbrack \times \left\lbrack {{\frac {3}{2}}\times {\frac {4}{3}}\times {\frac {5}{4}}\times \cdots \times {\frac {N}{N-1}}\times {\frac {N+1}{N}}}\right\rbrack \\&=\lim _{N\to \infty }\left\lbrack {\frac {1}{2}}\right\rbrack \times \left\lbrack {\frac {N+1}{N}}\right\rbrack \\&={\frac {1}{2}}\times \lim _{N\to \infty }\left\lbrack {\frac {N+1}{N}}\right\rbrack \\&={\frac {1}{2}}\times \lim _{N\to \infty }\left\lbrack {\frac {N}{N}}+{\frac {1}{N}}\right\rbrack \\&={\frac {1}{2}}.\end{aligned}}}$$

Referencias

1. Apostol, Tom (1967). Cálculo, volumen 1 (segunda edición). John Wiley & Sons. pág. 386.
2. Tom M. Apostol , Cálculo, Volumen 1, Blaisdell Publishing Company, 1962, páginas 422-3
3. Brian S. Thomson y Andrew M. Bruckner, Análisis real elemental, segunda edición , CreateSpace, 2008, página 85
4. Weil, André (1989). "Prehistoria de la función zeta". En Aubert, Karl Egil ; Bombieri, Enrico ; Goldfeld, Dorian (eds.). Teoría de números, fórmulas de trazas y grupos discretos: Simposio en honor de Atle Selberg, Oslo, Noruega, 14-21 de julio de 1987 . Boston, Massachusetts: Academic Press. pp. 1-9. doi :10.1016/B978-0-12-067570-8.50009-3. MR  0993308.
5. Weisstein, Eric W. "Suma telescópica". MathWorld . Wolfram.
6. "Serie telescópica - Producto". Wiki de matemáticas y ciencias brillantes . Brilliant.org . Consultado el 9 de febrero de 2020 .
7. Bogomolny, Alexander. "Telescoping Sums, Series and Products". Cut the Knot . Consultado el 9 de febrero de 2020 .