Teorema del punto fijo de Lefschetz

Cuenta los puntos fijos de una aplicación continua de un espacio topológico compacto a sí mismo

En matemáticas , el teorema del punto fijo de Lefschetz es una fórmula que cuenta los puntos fijos de una aplicación continua de un espacio topológico compacto a sí mismo por medio de trazas de las aplicaciones inducidas en los grupos de homología de . Recibe su nombre en honor a Solomon Lefschetz , quien lo formuló por primera vez en 1926. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

El conteo está sujeto a una multiplicidad imputada en un punto fijo llamado índice de punto fijo . Una versión débil del teorema es suficiente para mostrar que una aplicación sin ningún punto fijo debe tener propiedades topológicas bastante especiales (como una rotación de un círculo).

Declaración formal

Para un enunciado formal del teorema, sea

${\displaystyle f\colon X\rightarrow X\,}$

sea ​​una función continua de un espacio triangulable compacto a sí mismo. Defina el número de Lefschetz de por ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \Lambda _{f}}$ ${\displaystyle f}$

${\displaystyle \Lambda _{f}:=\sum _{k\geq 0}(-1)^{k}\mathrm {tr} (H_{k}(f,\mathbb {Q} )),}$

la suma alterna (finita) de las trazas matriciales de los mapas lineales inducidos por en , los grupos de homología singulares de con coeficientes racionales . ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle H_{k}(X,\mathbb {Q} )}$ ${\displaystyle X}$

Una versión simple del teorema de punto fijo de Lefschetz establece: si

${\displaystyle \Lambda _{f}\neq 0\,}$

entonces tiene al menos un punto fijo, es decir, existe al menos uno en tal que . De hecho, dado que el número de Lefschetz se ha definido en el nivel de homología, la conclusión se puede extender para decir que cualquier función homotópica a también tiene un punto fijo. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f(x)=x}$ ${\displaystyle f}$

Sin embargo, hay que tener en cuenta que lo contrario no es cierto en general: puede ser cero incluso si tiene puntos fijos, como es el caso del mapa de identidad en esferas de dimensión impar. ${\displaystyle \Lambda _{f}}$ ${\displaystyle f}$

Boceto de una prueba

Primero, al aplicar el teorema de aproximación simplicial , se muestra que si no tiene puntos fijos, entonces (posiblemente después de subdividir ) es homotópico a una función simplicial libre de punto fijo (es decir, envía cada símplex a un símplex diferente). Esto significa que los valores diagonales de las matrices de las funciones lineales inducidas en el complejo de cadena simplicial de deben ser todos cero. Luego se observa que, en general, el número de Lefschetz también se puede calcular utilizando la suma alternada de las trazas matriciales de las funciones lineales mencionadas anteriormente (esto es cierto por casi exactamente la misma razón por la que la característica de Euler tiene una definición en términos de grupos de homología ; vea más abajo la relación con la característica de Euler). En el caso particular de una función simplicial libre de punto fijo, todos los valores diagonales son cero y, por lo tanto, las trazas son todas cero. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X}$

Teorema de Lefschetz-Hopf

Una forma más fuerte del teorema, también conocido como teorema de Lefschetz-Hopf , establece que, si tiene solo un número finito de puntos fijos, entonces ${\displaystyle f}$

${\displaystyle \sum _{x\in \mathrm {Fix} (f)}\mathrm {ind} (f,x)=\Lambda _{f},}$

donde es el conjunto de puntos fijos de , y denota el índice del punto fijo . ^[1] De este teorema se deduce el teorema de Poincaré-Hopf para campos vectoriales, ya que cada campo vectorial en una variedad diferencial compacta induce flujo de manera natural. Para cada es una aplicación continua homotópica a identidad (por lo tanto tiene el mismo número de Lefschetz) y para índices pequeños de puntos fijos iguales a índices de ceros del campo vectorial. ${\displaystyle \mathrm {Fix} (f)}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \mathrm {ind} (f,x)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \varphi (x,t)}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle f_{t}(x)=\varphi (x,t)}$ ${\displaystyle t}$

Relación con la característica de Euler

El número de Lefschetz del mapa identidad en un complejo CW finito se puede calcular fácilmente teniendo en cuenta que cada uno puede considerarse como una matriz identidad, y por lo tanto cada término traza es simplemente la dimensión del grupo de homología apropiado. Por lo tanto, el número de Lefschetz del mapa identidad es igual a la suma alternada de los números de Betti del espacio, que a su vez es igual a la característica de Euler . Por lo tanto, tenemos ${\displaystyle f_{\ast }}$ ${\displaystyle \chi (X)}$

${\displaystyle \Lambda _{\mathrm {id} }=\chi (X).\ }$

Relación con el teorema del punto fijo de Brouwer

El teorema de punto fijo de Lefschetz generaliza el teorema de punto fijo de Brouwer , que establece que cada mapa continuo del disco unitario cerrado de dimensión 1 a debe tener al menos un punto fijo. ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle D^{n}}$ ${\displaystyle D^{n}}$

Esto se puede ver de la siguiente manera: es compacto y triangulable, todos sus grupos de homología excepto son cero, y cada mapa continuo induce el mapa identidad , cuya traza es uno; todo esto en conjunto implica que es distinto de cero para cualquier mapa continuo . ${\displaystyle D^{n}}$ ${\displaystyle H_{0}}$ ${\displaystyle f\colon D^{n}\to D^{n}}$ ${\displaystyle f_{*}\colon H_{0}(D^{n},\mathbb {Q} )\to H_{0}(D^{n},\mathbb {Q} )}$ ${\displaystyle \Lambda _{f}}$ ${\displaystyle f\colon D^{n}\to D^{n}}$

Contexto histórico

Lefschetz presentó su teorema del punto fijo en (Lefschetz 1926). El enfoque de Lefschetz no estaba en los puntos fijos de los mapas, sino en lo que ahora se denominan puntos de coincidencia de los mapas.

Dados dos mapas y de una variedad orientable a una variedad orientable de la misma dimensión, el número de coincidencia de Lefschetz de y se define como ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$

${\displaystyle \Lambda _{f,g}=\sum (-1)^{k}\mathrm {tr} (D_{X}\circ g^{*}\circ D_{Y}^{-1}\circ f_{*}),}$

donde es como arriba, es el homomorfismo inducido por en los grupos de cohomología con coeficientes racionales, y y son los isomorfismos de dualidad de Poincaré para y , respectivamente. ${\displaystyle f_{*}}$ ${\displaystyle g_{*}}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle D_{X}}$ ${\displaystyle D_{Y}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$

Lefschetz demostró que si el número de coincidencia es distinto de cero, entonces y tienen un punto de coincidencia. Señaló en su artículo que dejar que y sea la función identidad da un resultado más simple, que ahora conocemos como el teorema del punto fijo. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle X=Y}$ ${\displaystyle g}$

Frobenius

Sea una variedad definida sobre el cuerpo finito con elementos y sea el cambio de base de a la clausura algebraica de . El endomorfismo de Frobenius de (a menudo el Frobenius geométrico o simplemente el Frobenius ), denotado por , asigna un punto con coordenadas al punto con coordenadas . Por lo tanto, los puntos fijos de son exactamente los puntos de con coordenadas en ; el conjunto de tales puntos se denota por . La fórmula de la traza de Lefschetz se cumple en este contexto y dice: ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle {\bar {X}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle {\bar {X}}}$ ${\displaystyle F_{q}}$ ${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}}$ ${\displaystyle x_{1}^{q},\ldots ,x_{n}^{q}}$ ${\displaystyle F_{q}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle X(k)}$

${\displaystyle \#X(k)=\sum _{i}(-1)^{i}\mathrm {tr} (F_{q}^{*}|H_{c}^{i}({\bar {X}},\mathbb {Q} _{\ell })).}$

Esta fórmula implica la traza de Frobenius sobre la cohomología étale, con soportes compactos, de con valores en el cuerpo de los números -ádicos, donde es un primo coprimo a . ${\displaystyle {\bar {X}}}$ ${\displaystyle \ell }$ ${\displaystyle \ell }$ ${\displaystyle q}$

Si es suave y equidimensional , esta fórmula puede reescribirse en términos de la aritmética de Frobenius , que actúa como la inversa de en cohomología: ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \Phi _{q}}$ ${\displaystyle F_{q}}$

${\displaystyle \#X(k)=q^{\dim X}\sum _{i}(-1)^{i}\mathrm {tr} ((\Phi _{q}^{-1})^{*}|H^{i}({\bar {X}},\mathbb {Q} _{\ell })).}$

Esta fórmula implica cohomología habitual, en lugar de cohomología con soportes compactos.

La fórmula de traza de Lefschetz también se puede generalizar a pilas algebraicas sobre campos finitos.

Véase también

• Teoremas de punto fijo
• Función zeta de Lefschetz
• Fórmula de punto fijo de Lefschetz holomorfa

Notas

1. Dold, Albrecht (1980). Lecciones sobre topología algebraica . Vol. 200 (2.ª ed.). Berlín, Nueva York: Springer-Verlag . ISBN. 978-3-540-10369-1.Sr. 0606196  ., Proposición VII.6.6.

Referencias

• Lefschetz, Solomon (1926). "Intersecciones y transformaciones de complejos y variedades". Transactions of the American Mathematical Society . 28 (1): 1–49. doi : 10.2307/1989171 . JSTOR  1989171. MR  1501331.
• Lefschetz, Solomon (1937). "Sobre la fórmula del punto fijo". Anales de Matemáticas . 38 (4): 819–822. doi :10.2307/1968838. JSTOR  1968838. MR  1503373.

Enlaces externos

• "Fórmula de Lefschetz", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]