Número pronico

Número, producto de números enteros consecutivos

Un número pronico es un número que es el producto de dos enteros consecutivos , es decir, un número de la forma . ^[1] El estudio de estos números se remonta a Aristóteles . También se les llama números oblongos , números heteroméricos , ^[2] o números rectangulares ; ^[3] sin embargo, el término "número rectangular" también se ha aplicado a los números compuestos . ^{[4] [5]} ${\displaystyle n(n+1)}$

Los primeros números pronicos son:

, 2 , 6 , 12 , 20 , 30 , 42 , 56 , 72 , 90 , 110 , 132 , 156, 182, 210, 240, 272, 306, 342, 380, 420 , 462 … (secuencia A002378 en la OEIS ).

Si denotamos el número prónico con , tenemos . Por lo tanto, al analizar los números prónicos, podemos suponer que sin pérdida de generalidad , convención que se adopta en las siguientes secciones. ${\displaystyle P_{n}}$ ${\displaystyle n(n+1)}$ ${\displaystyle P_{{-}n}=P_{n{-}1}}$ ${\displaystyle n\geq 0}$

Como números figurativos

El doble de un número triangular es un número pronico

El n -ésimo número pronico es n mayor que el n -ésimo número cuadrado

Los números prónicos fueron estudiados como números figurados junto con los números triangulares y los números cuadrados en la Metafísica de Aristóteles , ^[2] y su descubrimiento ha sido atribuido mucho antes a los pitagóricos . ^[3] Como una especie de número figurado, los números prónicos a veces se denominan oblongos ^[2] porque son análogos a los números poligonales de esta manera: ^[1]

El n -ésimo número pronico es la suma de los primeros n enteros pares, y como tal es el doble del n -ésimo número triangular ^{[1] [2]} y n más que el n -ésimo número cuadrado , como lo da la fórmula alternativa n ² + n para números pronicos. El n- ésimo número pronico es también la diferencia entre el cuadrado impar (2 n + 1) ² y el ( n +1) º número hexagonal centrado .

Dado que el número de entradas fuera de la diagonal en una matriz cuadrada es el doble de un número triangular, es un número prónico. ^[6]

Suma de números pronicos

La suma parcial de los primeros n números pronicos positivos es el doble del valor del n- ésimo número tetraédrico :

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}k(k+1)={\frac {n(n+1)(n+2)}{3}}=2T_{n}}$.

La suma de los recíprocos de los números pronicos positivos (excluyendo 0) es una serie telescópica que suma 1: ^[7]

${\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }{\frac {1}{i(i+1)}}={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{6}}+{\frac {1}{12}}+{\frac {1}{20}}\cdots =1}$.

La suma parcial de los primeros n términos de esta serie es ^[7]

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{i(i+1)}}={\frac {n}{n+1}}}$.

La suma alternada de los recíprocos de los números pronicos positivos (excluyendo el 0) es una serie convergente :

${\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{i+1}}{i(i+1)}}={\frac {1}{2}}-{\frac {1}{6}}+{\frac {1}{12}}-{\frac {1}{20}}\cdots =\log(4)-1}$.

Propiedades adicionales

Los números prónicos son pares y el 2 es el único número prónico primo . También es el único número prónico en la secuencia de Fibonacci y el único número prónico de Lucas . ^{[8] [9]}

La media aritmética de dos números pronicos consecutivos es un número cuadrado :

${\displaystyle {\frac {n(n+1)+(n+1)(n+2)}{2}}=(n+1)^{2}}$

Por lo tanto, existe un cuadrado entre dos números pronicos consecutivos. Es unico, ya que

${\displaystyle n^{2}\leq n(n+1)<(n+1)^{2}<(n+1)(n+2)<(n+2)^{2}.}$

Otra consecuencia de esta cadena de desigualdades es la siguiente propiedad: si m es un número pronico, entonces se cumple lo siguiente:

${\displaystyle \lfloor {\sqrt {m}}\rfloor \cdot \lceil {\sqrt {m}}\rceil =m.}$

El hecho de que los números enteros consecutivos sean coprimos y que un número prónico sea el producto de dos números enteros consecutivos conduce a una serie de propiedades. Cada factor primo distinto de un número prónico está presente en solo uno de los factores n o n + 1 . Por lo tanto, un número prónico es libre de cuadrados si y solo si n y n + 1 también son libres de cuadrados. El número de factores primos distintos de un número prónico es la suma del número de factores primos distintos de n y n + 1 .

Si se añade 25 a la representación decimal de cualquier número pronico, el resultado es un número cuadrado, el cuadrado de un número que termina en 5; por ejemplo, 625 = 25 ² y 1225 = 35 ² . Esto es así porque

${\displaystyle 100n(n+1)+25=100n^{2}+100n+25=(10n+5)^{2}}$.

Referencias

1. Conway, JH ; Guy, RK (1996), El libro de los números , Nueva York: Copernicus, Figura 2.15, pág. 34.
2. Knorr, Wilbur Richard (1975), La evolución de los elementos euclidianos, Dordrecht-Boston, Mass.: D. Reidel Publishing Co., págs. 144-150, ISBN 90-277-0509-7, Sr.  0472300.
3. Ben-Menahem, Ari (2009), Enciclopedia histórica de ciencias naturales y matemáticas, volumen 1, referencia Springer, Springer-Verlag, pág. 161, ISBN 9783540688310.
4. "Plutarco, De Iside et Osiride, sección 42", www.perseus.tufts.edu , consultado el 16 de abril de 2018
5. Higgins, Peter Michael (2008), Historia de los números: del conteo a la criptografía, Copernicus Books, pág. 9, ISBN 9781848000018.
6. Rummel, Rudolf J. (1988), Análisis factorial aplicado, Northwestern University Press, pág. 319, ISBN 9780810108240.
7. Frantz, Marc (2010), "La serie telescópica en perspectiva", en Diefenderfer, Caren L. ; Nelsen, Roger B. (eds.), The Calculus Collection: A Resource for AP and Beyond , Materiales de recursos para el aula, Asociación Matemática de Estados Unidos, págs. 467–468, ISBN 9780883857618.
8. McDaniel, Wayne L. (1998), "Números de Lucas de Pronic" (PDF) , Fibonacci Quarterly , 36 (1): 60–62, doi :10.1080/00150517.1998.12428962, MR  1605345, archivado desde el original (PDF) el 2017-07-05 , consultado el 2011-05-21.
9. McDaniel, Wayne L. (1998), "Números de Fibonacci pronicos" (PDF) , Fibonacci Quarterly , 36 (1): 56–59, doi :10.1080/00150517.1998.12428961, MR  1605341.