Series cuyas sumas parciales eventualmente sólo tienen un número fijo de términos después de la cancelación
En matemáticas , una serie telescópica es una serie cuyo término general tiene la forma , es decir, la diferencia de dos términos consecutivos de una secuencia . [1]
Como consecuencia, las sumas parciales sólo constan de dos términos después de la cancelación. [2] [3] La técnica de cancelación, en la que parte de cada término se cancela con parte del término siguiente, se conoce como el método de diferencias .
Una formulación temprana de la fórmula para la suma o sumas parciales de una serie telescópica se puede encontrar en una obra de 1644 de Evangelista Torricelli , De dimensione parabolae . [4]
Definición
Las sumas telescópicas son sumas finitas en las que pares de términos consecutivos se cancelan entre sí, dejando solo los términos inicial y final. [5] Sea una secuencia de números. Entonces,
como converge a 0, la suma resultante da:
Más ejemplos
Muchas funciones trigonométricas admiten también la representación como diferencia, lo que permite la cancelación telescópica entre los términos consecutivos.
Algunas sumas de la forma donde f y g son funciones polinómicas cuyo cociente puede descomponerse en fracciones parciales no admitirán la suma por este método. En particular, se tiene El problema es que los términos no se cancelan.
Sea k un entero positivo. Entonces, donde H k es el k -ésimo número armónico . Todos los términos después de 1/( k − 1) se cancelan.
Sean k,m y k m números enteros positivos. Entonces
donde λ es el número promedio de ocurrencias en cualquier intervalo de tiempo de longitud 1. Observe que el evento { X t ≥ x} es el mismo que el evento { T x ≤ t }, y por lo tanto tienen la misma probabilidad. Intuitivamente, si algo ocurre al menos veces antes del tiempo , tenemos que esperar como máximo a que ocurra. La función de densidad que buscamos es, por lo tanto
Un producto telescópico es un producto finito (o el producto parcial de un producto infinito) que puede cancelarse por el método de cocientes para quedar finalmente solo un número finito de factores. [6] [7] Son los productos finitos en los que términos consecutivos cancelan denominador con numerador, quedando solo los términos inicial y final. Sea una secuencia de números. Entonces,
si converge a 1, el producto resultante da:
Por ejemplo, el producto infinito [6]
se simplifica como
Referencias
^ Apostol, Tom (1967). Cálculo, volumen 1 (segunda edición). John Wiley & Sons. pág. 386.
^ Tom M. Apostol , Cálculo, Volumen 1, Blaisdell Publishing Company, 1962, páginas 422-3
^ Brian S. Thomson y Andrew M. Bruckner, Análisis real elemental, segunda edición , CreateSpace, 2008, página 85
^ Weil, André (1989). "Prehistoria de la función zeta". En Aubert, Karl Egil ; Bombieri, Enrico ; Goldfeld, Dorian (eds.). Teoría de números, fórmulas de trazas y grupos discretos: Simposio en honor de Atle Selberg, Oslo, Noruega, 14-21 de julio de 1987 . Boston, Massachusetts: Academic Press. pp. 1-9. doi :10.1016/B978-0-12-067570-8.50009-3. MR 0993308.
^ Weisstein, Eric W. "Suma telescópica". MathWorld . Wolfram.
^ ab "Serie telescópica - Producto". Wiki de matemáticas y ciencias brillantes . Brilliant.org . Consultado el 9 de febrero de 2020 .
^ Bogomolny, Alexander. "Telescoping Sums, Series and Products". Cut the Knot . Consultado el 9 de febrero de 2020 .