Representación esquemática de una categoría con objetos X , Y , Z y morfismos f , g , g ∘ f . (Los tres morfismos de identidad de la categoría 1 X , 1 Y y 1 Z , si se representaran explícitamente, aparecerían como tres flechas, desde las letras X, Y y Z hacia ellas mismas, respectivamente).
La teoría de categorías es una teoría general de las estructuras matemáticas y sus relaciones que fue introducida por Samuel Eilenberg y Saunders Mac Lane a mediados del siglo XX en su trabajo fundacional sobre topología algebraica . La teoría de categorías se utiliza en casi todas las áreas de las matemáticas. En particular, muchas construcciones de nuevos objetos matemáticos a partir de otros anteriores que aparecen de manera similar en varios contextos se expresan y unifican convenientemente en términos de categorías. Los ejemplos incluyen espacios cocientes , productos directos , compleción y dualidad .
Una categoría está formada por dos tipos de objetos : los objetos de la categoría y los morfismos , que relacionan dos objetos llamados origen y destino del morfismo. A menudo se dice que un morfismo es una flecha que asigna su origen a su objetivo. Los morfismos se pueden componer si el objetivo del primer morfismo es igual a la fuente del segundo, y la composición de morfismos tiene propiedades similares a las de la composición de funciones ( asociatividad y existencia de morfismos de identidad ). Los morfismos suelen ser algún tipo de función , pero no siempre es así. Por ejemplo, un monoide puede verse como una categoría con un solo objeto, cuyos morfismos son los elementos del monoide.
El segundo concepto fundamental de la teoría de categorías es el concepto de functor , que desempeña el papel de un morfismo entre dos categorías y asigna objetos de a objetos de y morfismos de a morfismos de de tal manera que las fuentes se asignan a las fuentes, y los objetivos se asignan a objetivos (o, en el caso de un functor contravariante , las fuentes se asignan a objetivos y viceversa ). Un tercer concepto fundamental es una transformación natural que puede verse como un morfismo de functores.
Categorías, objetos y morfismos.
Categorías
Una categoría C consta de las tres entidades matemáticas siguientes:
Una clase ob( C ), cuyos elementos se llaman objetos ;
Una clase hom( C ), cuyos elementos se llaman morfismos o mapas o flechas . Cada morfismo f tiene un objeto de origen a y un objeto de destino b . La expresión f : a → b , se expresaría verbalmente como " f es un morfismo de a a b ". La expresión hom( a , b ) – expresada alternativamente como hom C ( a , b ) , mor( a , b ) o C ( a , b ) – denota la clase hom de todos los morfismos de a a b .
Una operación binaria ∘, llamada composición de morfismos , tal que para tres objetos cualesquiera a , b y c , tenemos
∘ : hom( segundo , c ) × hom( a , b ) → hom( a , c ) .
La composición de f : a → b y g : b → c se escribe como g ∘ f o gf , [a] regida por dos axiomas:
1. Asociatividad : Si f : a → b , g : b → c y h : c → d entonces
h ∘ ( gramo ∘ f ) = ( h ∘ gramo ) ∘ f
2. Identidad : Para cada objeto x , existe un morfismo 1 x : x → x (también denominado id x ) llamado morfismo de identidad para x , tal que
para cada morfismo f : a → b , tenemos
1 segundo ∘ f = f = f ∘ 1 a
A partir de los axiomas se puede demostrar que existe exactamente un morfismo de identidad para cada objeto.
Morfismos
Las relaciones entre morfismos (como fg = h ) a menudo se representan mediante diagramas conmutativos , con "puntos" (esquinas) que representan objetos y "flechas" que representan morfismos.
Los morfismos pueden tener cualquiera de las siguientes propiedades. Un morfismo f : a → b es a:
monomorfismo (o mónico ) si f ∘ g 1 = f ∘ g 2 implica g 1 = g 2 para todos los morfismos g 1 , g 2 : x → a .
epimorfismo (o épico ) si g 1 ∘ f = g 2 ∘ f implica g 1 = g 2 para todos los morfismos g 1 , g 2 : b → x .
bimorfismo si f es a la vez épico y mónico.
isomorfismo si existe un morfismo g : b → a tal que f ∘ g = 1 b y g ∘ f = 1 a . [b]
endomorfismo si a = b . end( a ) denota la clase de endomorfismos de a .
automorfismo si f es tanto un endomorfismo como un isomorfismo. aut( a ) denota la clase de automorfismos de a .
retracción si existe una inversa derecha de f , es decir, si existe un morfismo g : b → a con f ∘ g = 1 b .
sección si existe una inversa izquierda de f , es decir, si existe un morfismo g : b → a con g ∘ f = 1 a .
Cada retracción es un epimorfismo y cada sección es un monomorfismo. Además, las siguientes tres afirmaciones son equivalentes:
f es un monomorfismo y una retracción;
f es un epimorfismo y una sección;
f es un isomorfismo.
Functores
Los functores son mapas que preservan la estructura entre categorías. Se pueden considerar como morfismos en la categoría de todas las categorías (pequeñas).
Un funtor ( covariante ) F de una categoría C a una categoría D , escrito F : C → D , consta de:
para cada objeto x en C , un objeto F ( x ) en D ; y
para cada morfismo f : x → y en C , un morfismo F ( f ) : F ( x ) → F ( y ) en D ,
tal que se cumplan las dos propiedades siguientes:
Para cada objeto x en C , F (1 x ) = 1 F ( x ) ;
Para todos los morfismos f : x → y y g : y → z , F ( g ∘ f ) = F ( g ) ∘ F ( f ) .
Un funtor contravariante F : C → D es como un funtor covariante, excepto que "da la vuelta a los morfismos" ("invierte todas las flechas"). Más específicamente, cada morfismo f : x → y en C debe asignarse a un morfismo F ( f ) : F ( y ) → F ( x ) en D . En otras palabras, un funtor contravariante actúa como un funtor covariante de la categoría opuesta C op a D.
Transformaciones naturales
Una transformación natural es una relación entre dos functores. Los funtores a menudo describen "construcciones naturales" y las transformaciones naturales luego describen "homomorfismos naturales" entre dos de esas construcciones. A veces, dos construcciones muy diferentes producen "el mismo" resultado; esto se expresa mediante un isomorfismo natural entre los dos functores.
Si F y G son functores (covariantes) entre las categorías C y D , entonces una transformación natural η de F a G asocia a cada objeto X en C un morfismo η X : F ( X ) → G ( X ) en D tal que para cada morfismo f : X → Y en C , tenemos η Y ∘ F ( f ) = G ( f ) ∘ η X ; esto significa que el siguiente diagrama es conmutativo :
Diagrama conmutativo que define transformaciones naturales.
Los dos funtores F y G se llaman naturalmente isomorfos si existe una transformación natural de F a G tal que η X es un isomorfismo para todo objeto X en C.
Otros conceptos
Construcciones universales, límites y colimits.
Utilizando el lenguaje de la teoría de categorías, se pueden categorizar muchas áreas del estudio matemático. Las categorías incluyen conjuntos, grupos y topologías.
Cada categoría se distingue por propiedades que todos sus objetos tienen en común, como el conjunto vacío o el producto de dos topologías , sin embargo, en la definición de una categoría, los objetos se consideran atómicos, es decir, no sabemos si un objeto A es un conjunto, una topología o cualquier otro concepto abstracto. Por tanto, el desafío es definir objetos especiales sin hacer referencia a la estructura interna de esos objetos. Para definir el conjunto vacío sin hacer referencia a elementos, o la topología del producto sin hacer referencia a conjuntos abiertos, se pueden caracterizar estos objetos en términos de sus relaciones con otros objetos, según lo dado por los morfismos de las respectivas categorías. Por tanto, la tarea es encontrar propiedades universales que determinen de forma única los objetos de interés.
Numerosas construcciones importantes pueden describirse de una manera puramente categórica si el límite de categoría puede desarrollarse y dualizarse para producir la noción de colimit .
Categorías equivalentes
Es natural preguntarse: ¿bajo qué condiciones dos categorías pueden considerarse esencialmente iguales , en el sentido de que los teoremas sobre una categoría pueden transformarse fácilmente en teoremas sobre la otra categoría? La herramienta principal que se emplea para describir tal situación se llama equivalencia de categorías , que viene dada por funtores apropiados entre dos categorías. La equivalencia categórica ha encontrado numerosas aplicaciones en matemáticas.
Otros conceptos y resultados
Las definiciones de categorías y funtores proporcionan sólo los conceptos básicos del álgebra categórica; A continuación se enumeran temas importantes adicionales. Aunque existen fuertes interrelaciones entre todos estos temas, el orden dado puede considerarse como una guía para lecturas posteriores.
La categoría de funtores D C tiene como objetos los funtores de C a D y como morfismos las transformaciones naturales de dichos funtores. El lema de Yoneda es uno de los resultados básicos más famosos de la teoría de categorías; describe functores representables en categorías de functores.
Dualidad : cada enunciado, teorema o definición en la teoría de categorías tiene un dual que se obtiene esencialmente "invirtiendo todas las flechas". Si un enunciado es verdadero en una categoría C , entonces su dual es verdadero en la categoría dual C op . Esta dualidad, que es transparente en el nivel de la teoría de categorías, a menudo queda oscurecida en las aplicaciones y puede conducir a relaciones sorprendentes.
Functores adjuntos : un funtor puede ser adjunto a la izquierda (o a la derecha) de otro funtor que se asigna en la dirección opuesta. Un par de functores adjuntos suele surgir de una construcción definida por una propiedad universal; esto puede verse como una visión más abstracta y poderosa de las propiedades universales.
Categorías de dimensiones superiores
Muchos de los conceptos anteriores, especialmente la equivalencia de categorías, los pares de funtores adjuntos y las categorías de functores, pueden situarse en el contexto de categorías de dimensiones superiores . Brevemente, si consideramos un morfismo entre dos objetos como un "proceso que nos lleva de un objeto a otro", entonces las categorías de dimensiones superiores nos permiten generalizar esto de manera rentable al considerar "procesos de dimensiones superiores".
Por ejemplo, una categoría 2 (estricta) es una categoría junto con "morfismos entre morfismos", es decir, procesos que nos permiten transformar un morfismo en otro. Entonces podemos "componer" estos "bimorfismos" tanto horizontal como verticalmente, y para que se cumplan necesitamos una "ley de intercambio" bidimensional que relacione las dos leyes de composición. En este contexto, el ejemplo estándar es Cat , la categoría 2 de todas las categorías (pequeñas), y en este ejemplo, los bimorfismos de morfismos son simplemente transformaciones naturales de morfismos en el sentido habitual. Otro ejemplo básico es considerar una categoría 2 con un solo objeto; éstas son esencialmente categorías monoidales . Las bicategorías son una noción más débil de categorías bidimensionales en las que la composición de los morfismos no es estrictamente asociativa, sino sólo asociativa "hasta" un isomorfismo.
Las categorías de dimensiones superiores son parte del campo matemático más amplio del álgebra de dimensiones superiores , un concepto introducido por Ronald Brown . Para una introducción conversacional a estas ideas, véase John Baez, 'A Tale of n-categories' (1996).
Notas historicas
En primer lugar, debe observarse que todo el concepto de categoría es esencialmente auxiliar; nuestros conceptos básicos son esencialmente los de un funtor y de una transformación natural [...]
Si bien Samuel Eilenberg y Saunders Mac Lane habían dado ejemplos específicos de functores y transformaciones naturales en un artículo de 1942 sobre teoría de grupos , [2] estos conceptos se introdujeron en un sentido más general, junto con la noción adicional de categorías, en un artículo de 1945. artículo de los mismos autores [1] (que discutieron las aplicaciones de la teoría de categorías al campo de la topología algebraica ). [3] Su trabajo fue una parte importante de la transición de la homología intuitiva y geométrica al álgebra homológica . Eilenberg y Mac Lane escribieron más tarde que su objetivo era comprender las transformaciones naturales, que primero requerían la definición de functores y luego de categorías.
Stanislaw Ulam , y algunos escritos en su nombre, han afirmado que ideas relacionadas estaban vigentes a finales de la década de 1930 en Polonia. Eilenberg era polaco y estudió matemáticas en Polonia en la década de 1930. La teoría de categorías es también, en cierto sentido, una continuación del trabajo de Emmy Noether (una de las maestras de Mac Lane) en la formalización de procesos abstractos; [4] Noether se dio cuenta de que comprender un tipo de estructura matemática requiere comprender los procesos que preservan esa estructura ( homomorfismos ). [ cita necesaria ] Eilenberg y Mac Lane introdujeron categorías para comprender y formalizar los procesos ( functores ) que relacionan las estructuras topológicas con las estructuras algebraicas ( invariantes topológicas ) que las caracterizan.
Ciertas categorías llamadas topoi ( topos singular ) pueden incluso servir como alternativa a la teoría de conjuntos axiomática como fundamento de las matemáticas. Un topos también puede considerarse como un tipo específico de categoría con dos axiomas de topos adicionales. Estas aplicaciones fundamentales de la teoría de categorías se han elaborado con bastante detalle como base y justificación de las matemáticas constructivas . La teoría del topos es una forma de teoría abstracta de la gavilla , con orígenes geométricos, y conduce a ideas como la topología sin sentido .
La teoría de categorías también se ha aplicado en otros campos; consulte teoría de categorías aplicada . Por ejemplo, John Baez ha mostrado un vínculo entre los diagramas de Feynman en física y las categorías monoidales. [5] Otra aplicación de la teoría de categorías, más específicamente: la teoría del topos, se ha realizado en la teoría musical matemática, véase por ejemplo el libro Los topos de la música, lógica geométrica de conceptos, teoría y interpretación de Guerino Mazzola .
Los esfuerzos más recientes para presentar a los estudiantes universitarios las categorías como base de las matemáticas incluyen los de William Lawvere y Rosebrugh (2003), Lawvere y Stephen Schanuel (1997) y Mirroslav Yotov (2012).
^ Algunos autores componen en orden opuesto, escribiendo fg o f ∘ g en lugar de g ∘ f . Los informáticos que utilizan la teoría de categorías suelen escribir f ; gramo para gramo ∘ f
^ ¡ Un morfismo que es a la vez épico y mónico no es necesariamente un isomorfismo! Un contraejemplo elemental: en la categoría que consta de dos objetos A y B , los morfismos de identidad y un único morfismo f de A a B , f es a la vez épico y mónico, pero no es un isomorfismo.
Referencias
Citas
^ ab Eilenberg, Samuel; Mac Lane, Saunders (1945). «Teoría general de las equivalencias naturales» (PDF) . Transacciones de la Sociedad Matemática Estadounidense . 58 : 247. doi : 10.1090/S0002-9947-1945-0013131-6. ISSN 0002-9947. Archivado (PDF) desde el original el 10/10/2022.
^ Eilenberg, S.; Mac Lane, S. (1942). "Extensiones de grupo y homología" . Anales de Matemáticas . 43 (4): 757–831. doi :10.2307/1968966. ISSN 0003-486X. JSTOR 1968966 - vía JSTOR .
^ Reck, Erich (2020). La prehistoria del estructuralismo matemático (1ª ed.). Prensa de la Universidad de Oxford. págs. 215-219. ISBN9780190641221.
^ Báez, JC; Quédate, M. (2010). "Física, topología, lógica y computación: una piedra de Rosetta". Nuevas estructuras para la física . Apuntes de conferencias de física. vol. 813, págs. 95-172. arXiv : 0903.0340 . doi :10.1007/978-3-642-12821-9_2. ISBN978-3-642-12820-2. S2CID 115169297.
Fuentes
Adámek, Jiří; Herrlich, Horst ; Strecker, George E. (2004). Categorías abstractas y concretas. Heldermann Verlag Berlín.
Awodey, Steve (2010). Teoría de categorías . Prensa de la Universidad de Oxford. ISBN 978-0199237180.
Barr, Michael ; Wells, Charles (2012) [1995], Teoría de categorías para las ciencias de la computación, Reimpresiones en teoría y aplicaciones de categorías, vol. 22 (3ª ed.).
Barr, Michael ; Wells, Charles (2005), Toposis, triples y teorías, reimpresiones en teoría y aplicaciones de categorías, vol. 12, SEÑOR 2178101.
Borceux, Francisco (1994). Manual de álgebra categórica. Enciclopedia de Matemáticas y sus Aplicaciones. Prensa de la Universidad de Cambridge. págs. 50–52. ISBN 9780521441780.
Freyd, Peter J. (2003) [1964]. Categorías abelianas. Reimpresiones en Teoría y Aplicaciones de Categorías. vol. 3.
Freyd, Peter J .; Scedrov, André (1990). Categorías, alegorías. Biblioteca de Matemáticas de Holanda Septentrional. vol. 39. Holanda del Norte. ISBN 978-0-08-088701-2.
Goldblatt, Robert (2006) [1979]. Topoi: el análisis categorial de la lógica. Estudios de lógica y fundamentos de las matemáticas. vol. 94. Dover. ISBN 978-0-486-45026-1.
Lawvere, F. William; Schanuel, Stephen Hoel (2009) [1997]. Matemáticas conceptuales: una primera introducción a las categorías (2ª ed.). Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 978-0-521-89485-2.
Leinster, Tom [en alemán] (2004). Óperadas superiores, categorías superiores. Matemáticas de Londres. Serie de notas de conferencias sobre sociedad. vol. 298. Prensa de la Universidad de Cambridge . pag. 448. Código Bib : 2004hohc.book.....L. ISBN 978-0-521-53215-0. Archivado desde el original el 25 de octubre de 2003 . Consultado el 3 de abril de 2006 .
Leinster, Tom [en alemán] (2014). Teoría básica de categorías. Estudios de Cambridge en Matemáticas Avanzadas. vol. 143. Prensa de la Universidad de Cambridge. arXiv : 1612.09375 . ISBN 9781107044241.
Lurie, Jacob (2009). Teoría del Topos Superior . Anales de estudios de matemáticas. vol. 170. Prensa de la Universidad de Princeton. arXiv : math.CT/0608040 . ISBN 978-0-691-14049-0. SEÑOR 2522659.
Martini, A.; Ehrig, H.; Nunes, D. (1996). "Elementos de la teoría de categorías básicas". Reporte técnico . 96 (5).
Mazzola, Guerino (2002). Los topos de la música, la lógica geométrica de los conceptos, la teoría y la interpretación . Birkhäuser. ISBN 978-3-7643-5731-3.
Pedicchio, María Cristina; Tholen, Walter, eds. (2004). Fundamentos categóricos. Temas especiales de orden, topología, álgebra y teoría de gavillas . Enciclopedia de Matemáticas y sus aplicaciones. vol. 97. Prensa de la Universidad de Cambridge . ISBN 978-0-521-83414-8. Zbl 1034.18001.
Schalk, A.; Simmons, H. (2005). Una introducción a la teoría de categorías en cuatro sencillos movimientos (PDF) . Archivado desde el original (PDF) el 21 de marzo de 2017 . Consultado el 3 de diciembre de 2007 .Notas para un curso ofrecido como parte de la Maestría. en Lógica Matemática , Universidad de Manchester .
Simmons, Harold (2011), Introducción a la teoría de categorías , ISBN 978-0521283045.
Simpson, Carlos (2010). Teoría de la homotopía de categorías superiores. arXiv : 1001.4071 . Código Bib : 2010arXiv1001.4071S., borrador de un libro.
Taylor, Paul (1999). Fundamentos prácticos de las matemáticas. Estudios de Cambridge en Matemáticas Avanzadas. vol. 59. Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 978-0-521-63107-5.
Turi, Daniele (1996–2001). "Notas de la conferencia sobre teoría de categorías" (PDF) . Consultado el 11 de diciembre de 2009 .Basado en Mac Lane 1998.
Otras lecturas
Marqués, Jean-Pierre (2008). Desde un punto de vista geométrico: un estudio de la historia y la filosofía de la teoría de categorías . Saltador. ISBN 978-1-4020-9384-5.
enlaces externos
Wikimedia Commons tiene medios relacionados con la teoría de categorías .
Wikiquote tiene citas relacionadas con la teoría de categorías .
Teoría y Aplicación de Categorías, revista electrónica de teoría de categorías, texto completo, gratuito, desde 1995.
nLab, un proyecto wiki sobre matemáticas, física y filosofía con énfasis en el punto de vista n -categórico.
El n-Category Café, esencialmente un coloquio sobre temas de teoría de categorías.
Teoría de categorías, una página web de enlaces a apuntes de conferencias y libros disponibles gratuitamente sobre teoría de categorías.
Hillman, Chris (2001), Introducción categórica , CiteSeerX 10.1.1.24.3264, una introducción formal a la teoría de categorías.
Adamek, J.; Herrlich, H.; Stecker, G. "Categorías abstractas y concretas: la alegría de los gatos" (PDF) . Archivado (PDF) desde el original el 10 de junio de 2006.
