Simetrización

En matemáticas , la simetrización es un proceso que convierte cualquier función en variables en una función simétrica en variables. De manera similar, la antisimetrización convierte cualquier función en variables en una función antisimétrica . ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$

Dos variables

Sea un conjunto y un grupo abeliano aditivo . Una función se denomina ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \alpha :S\times S\to A}$Mapa simétrico si se llama $${\displaystyle \alpha (s,t)=\alpha (t,s)\quad {\text{ for all }}s,t\in S.}$$mapa antisimétrico si en cambio $${\displaystyle \alpha (s,t)=-\alpha (t,s)\quad {\text{ for all }}s,t\in S.}$$

ElLa simetrización de un mapaes el mapa. De manera similar, la ${\displaystyle \alpha :S\times S\to A}$ ${\displaystyle (x,y)\mapsto \alpha (x,y)+\alpha (y,x).}$antisimetrización oLa simetrización oblicua de un mapaes el mapa ${\displaystyle \alpha :S\times S\to A}$ ${\displaystyle (x,y)\mapsto \alpha (x,y)-\alpha (y,x).}$

La suma de la simetrización y la antisimetrización de una función es Por lo tanto, lejos de 2 , es decir, si 2 es invertible , como para los números reales , se puede dividir por 2 y expresar cada función como una suma de una función simétrica y una función antisimétrica. ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle 2\alpha .}$

La simetrización de una función simétrica es su doble, mientras que la simetrización de una función alternada es cero; de manera similar, la antisimetrización de una función simétrica es cero, mientras que la antisimetrización de una función antisimétrica es su doble.

Formas bilineales

La simetrización y antisimetrización de un mapa bilineal son bilineales; por lo tanto, lejos de 2, cada forma bilineal es una suma de una forma simétrica y una forma antisimétrica, y no hay diferencia entre una forma simétrica y una forma cuadrática.

En 2, no todas las formas se pueden descomponer en una forma simétrica y una forma antisimétrica. Por ejemplo, sobre los números enteros , la forma simétrica asociada (sobre los racionales ) puede tomar valores semienteros, mientras que sobre una función es antisimétrica si y solo si es simétrica (como ). ${\displaystyle \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} ,}$ ${\displaystyle 1=-1}$

Esto nos lleva a la noción de formas ε-cuadráticas y formas ε-simétricas.

Teoría de la representación

En términos de teoría de la representación :

• El intercambio de variables da una representación del grupo simétrico en el espacio de funciones en dos variables,
• Las funciones simétricas y antisimétricas son las subrepresentaciones correspondientes a la representación trivial y a la representación de signos, y
• La simetrización y la antisimetrización convierten una función en estas subrepresentaciones: si se divide por 2, se obtienen mapas de proyección .

Como el grupo simétrico de orden dos es igual al grupo cíclico de orden dos ( ), esto corresponde a la transformada de Fourier discreta de orden dos. ${\displaystyle \mathrm {S} _{2}=\mathrm {C} _{2}}$

nortevariables

De manera más general, dada una función en variables, se puede simetrizar tomando la suma de todas las permutaciones de las variables, ^[1] o antisimetrizar tomando la suma de todas las permutaciones pares y restando la suma de todas las permutaciones impares (excepto cuando la única permutación es par). ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n!}$ ${\displaystyle n!/2}$ ${\displaystyle n!/2}$ ${\displaystyle n\leq 1,}$

Aquí, al simetrizar una función simétrica se multiplica por – por lo tanto, si es invertible, como cuando se trabaja sobre un campo de características o entonces estas producen proyecciones cuando se dividen por ${\displaystyle n!}$ ${\displaystyle n!}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle p>n,}$ ${\displaystyle n!.}$

En términos de teoría de representación, estos solo producen las subrepresentaciones correspondientes a la representación trivial y de signo, pero hay otras: véase teoría de representación del grupo simétrico y polinomios simétricos . ${\displaystyle n>2}$

Arranque

Dada una función en variables, se puede obtener una función simétrica en variables tomando la suma de los subconjuntos de elementos de las variables. En estadística, esto se conoce como bootstrap y las estadísticas asociadas se denominan estadísticas U. ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle k}$

Véase también

• Mapa multilineal alterno  : Mapa multilineal que es 0 siempre que los argumentos sean linealmente dependientes
• Tensor antisimétrico  – Tensor igual al negativo de cualquiera de sus transposiciones

Notas

1. Hazewinkel (1990), pág. 344

Referencias

• Hazewinkel, Michiel (1990). Enciclopedia de matemáticas: traducción actualizada y comentada de la "Enciclopedia matemática" soviética. Vol. 6. Springer. ISBN 978-1-55608-005-0.