Superposición cuántica

Principio de la mecánica cuántica

Superposición cuántica de estados y decoherencia

La superposición cuántica es un principio fundamental de la mecánica cuántica que establece que las combinaciones lineales de soluciones de la ecuación de Schrödinger son también soluciones de la ecuación de Schrödinger. Esto se desprende del hecho de que la ecuación de Schrödinger es una ecuación diferencial lineal en tiempo y posición. Más precisamente, el estado de un sistema viene dado por una combinación lineal de todas las funciones propias de la ecuación de Schrödinger que gobiernan ese sistema.

Un ejemplo es un qubit utilizado en el procesamiento de información cuántica . Un estado de qubit es, por lo general, una superposición de los estados base y : ${\displaystyle |0\rangle }$ ${\displaystyle |1\rangle }$

${\displaystyle |\Psi \rangle =c_{0}|0\rangle +c_{1}|1\rangle ,}$

donde es el estado cuántico del qubit, y , denotan soluciones particulares de la ecuación de Schrödinger en notación de Dirac ponderadas por las dos amplitudes de probabilidad y que ambas son números complejos. Aquí corresponde al bit 0 clásico y al bit 1 clásico. Las probabilidades de medir el sistema en el estado o están dadas por y respectivamente (véase la regla de Born ). Antes de que se produzca la medición, el qubit está en una superposición de ambos estados. ${\displaystyle |\Psi \rangle }$ ${\displaystyle |0\rangle }$ ${\displaystyle |1\rangle }$ ${\displaystyle c_{0}}$ ${\displaystyle c_{1}}$ ${\displaystyle |0\rangle }$ ${\displaystyle |1\rangle }$ ${\displaystyle |0\rangle }$ ${\displaystyle |1\rangle }$ ${\displaystyle |c_{0}|^{2}}$ ${\displaystyle |c_{1}|^{2}}$

Las franjas de interferencia en el experimento de doble rendija proporcionan otro ejemplo del principio de superposición.

Postulado de onda

La teoría de la mecánica cuántica postula que una ecuación de onda determina completamente el estado de un sistema cuántico en todo momento. Además, esta ecuación diferencial está restringida a ser lineal y homogénea . Estas condiciones significan que para dos soluciones cualesquiera de la ecuación de onda, y , una combinación lineal de esas soluciones también resuelve la ecuación de onda: para coeficientes complejos arbitrarios y . ^{[1] : 61} Si la ecuación de onda tiene más de dos soluciones, las combinaciones de todas esas soluciones son nuevamente soluciones válidas. ${\displaystyle \Psi _{1}}$ ${\displaystyle \Psi _{2}}$ $${\displaystyle \Psi =c_{1}\Psi _{1}+c_{2}\Psi _{2}}$$ ${\displaystyle c_{1}}$ ${\displaystyle c_{2}}$

Transformación

La ecuación de onda cuántica se puede resolver utilizando funciones de posición, o utilizando funciones de momento, y en consecuencia la superposición de funciones de momento también son soluciones: Las soluciones de posición y momento están relacionadas por una transformación lineal , una transformación de Fourier . Esta transformación es en sí misma una superposición cuántica y cada función de onda de posición se puede representar como una superposición de funciones de onda de momento y viceversa. Estas superposiciones involucran un número infinito de ondas componentes. ^{[1] : 244} ${\displaystyle \Psi ({\vec {r}})}$ ${\displaystyle \Phi ({\vec {p}})}$ $${\displaystyle \Phi ({\vec {p}})=d_{1}\Phi _{1}({\vec {p}})+d_{2}\Phi _{2}({\vec {p}})}$$

Generalización a estados base

Otras transformaciones expresan una solución cuántica como una superposición de vectores propios , cada uno correspondiente a un posible resultado de una medición en el sistema cuántico. Un vector propio para un operador matemático, , tiene la ecuación donde es un posible valor cuántico medido para el observable . Una superposición de estos vectores propios puede representar cualquier solución: Los estados como se denominan estados base. ${\displaystyle \psi _{i}}$ ${\displaystyle {\hat {A}}}$ $${\displaystyle {\hat {A}}\psi _{i}=\lambda _{i}\psi _{i}}$$ ${\displaystyle \lambda _{i}}$ ${\displaystyle A}$ $${\displaystyle \Psi =\sum _{n}a_{i}\psi _{i}.}$$ ${\displaystyle \psi _{i}}$

Notación compacta para superposiciones

Se pueden realizar operaciones matemáticas importantes en soluciones de sistemas cuánticos utilizando solo los coeficientes de la superposición, suprimiendo los detalles de las funciones superpuestas. Esto conduce a sistemas cuánticos expresados ​​en la notación de corchetes de Dirac : ^{[1] : 245} Este enfoque es especialmente efectivo para sistemas como el espín cuántico sin análogo de coordenadas clásico. Esta notación abreviada es muy común en libros de texto y artículos sobre mecánica cuántica y la superposición de estados base es una herramienta fundamental en mecánica cuántica. $${\displaystyle |v\rangle =d_{1}|1\rangle +d_{2}|2\rangle }$$

Consecuencias

Paul Dirac describió el principio de superposición de la siguiente manera:

La naturaleza no clásica del proceso de superposición se pone claramente de manifiesto si consideramos la superposición de dos estados, A y B , de modo que existe una observación que, cuando se realiza en el sistema en el estado A , es seguro que conduce a un resultado particular, digamos a , y cuando se realiza en el sistema en el estado B es seguro que conduce a algún resultado diferente, digamos b . ¿Cuál será el resultado de la observación cuando se realiza en el sistema en el estado superpuesto? La respuesta es que el resultado será a veces a y a veces b , de acuerdo con una ley de probabilidad que depende de los pesos relativos de A y B en el proceso de superposición. Nunca será diferente de a y b [es decir, ni a ni b ]. El carácter intermedio del estado formado por la superposición se expresa así a través de la probabilidad de un resultado particular para una observación que es intermedia entre las probabilidades correspondientes para los estados originales, no a través del resultado en sí mismo que es intermedio entre los resultados correspondientes para los estados originales. ^[2]

Anton Zeilinger , refiriéndose al ejemplo prototípico del experimento de la doble rendija , ha explicado con más detalle la creación y destrucción de la superposición cuántica:

"La superposición de amplitudes... sólo es válida si no hay forma de saber, ni siquiera en principio, qué camino ha seguido la partícula. Es importante darse cuenta de que esto no implica que un observador tome nota de lo que sucede. Es suficiente destruir el patrón de interferencia, si la información de la trayectoria es accesible en principio desde el experimento o incluso si está dispersa en el entorno y más allá de cualquier posibilidad técnica de recuperación, pero en principio todavía está "ahí afuera". La ausencia de cualquier información de ese tipo es el criterio esencial para que aparezca la interferencia cuántica. ^[3]

Teoría

Formalismo general

Cualquier estado cuántico puede expandirse como una suma o superposición de los estados propios de un operador hermítico, como el hamiltoniano, porque los estados propios forman una base completa:

${\displaystyle |\alpha \rangle =\sum _{n}c_{n}|n\rangle ,}$

¿Dónde están los estados propios de energía del hamiltoniano? Para variables continuas como los estados propios de posición, : ${\displaystyle |n\rangle }$ ${\displaystyle |x\rangle }$

${\displaystyle |\alpha \rangle =\int dx'|x'\rangle \langle x'|\alpha \rangle ,}$

donde es la proyección del estado en la base y se denomina función de onda de la partícula. En ambos casos observamos que se puede desarrollar como una superposición de un número infinito de estados base. ${\displaystyle \phi _{\alpha }(x)=\langle x|\alpha \rangle }$ ${\displaystyle |x\rangle }$ ${\displaystyle |\alpha \rangle }$

Ejemplo

Dada la ecuación de Schrödinger

${\displaystyle {\hat {H}}|n\rangle =E_{n}|n\rangle ,}$

donde indexa el conjunto de estados propios del hamiltoniano con valores propios de energía vemos inmediatamente que ${\displaystyle |n\rangle }$ ${\displaystyle E_{n},}$

${\displaystyle {\hat {H}}{\big (}|n\rangle +|n'\rangle {\big )}=E_{n}|n\rangle +E_{n'}|n'\rangle ,}$

dónde

${\displaystyle |\Psi \rangle =|n\rangle +|n'\rangle }$

es una solución de la ecuación de Schrödinger pero no es generalmente un estado propio porque y no son generalmente iguales. Decimos que está formado por una superposición de estados propios de energía. Ahora consideremos el caso más concreto de un electrón que tiene espín hacia arriba o hacia abajo. Ahora indexamos los estados propios con los espinores en la base: ${\displaystyle E_{n}}$ ${\displaystyle E_{n'}}$ ${\displaystyle |\Psi \rangle }$ ${\displaystyle {\hat {z}}}$

${\displaystyle |\Psi \rangle =c_{1}|{\uparrow }\rangle +c_{2}|{\downarrow }\rangle ,}$

donde y denotan estados de espín hacia arriba y hacia abajo respectivamente. Como se explicó anteriormente, las magnitudes de los coeficientes complejos dan la probabilidad de encontrar el electrón en cualquiera de los estados de espín definidos: ${\displaystyle |{\uparrow }\rangle }$ ${\displaystyle |{\downarrow }\rangle }$

${\displaystyle P{\big (}|{\uparrow }\rangle {\big )}=|c_{1}|^{2},}$

${\displaystyle P{\big (}|{\downarrow }\rangle {\big )}=|c_{2}|^{2},}$

${\displaystyle P_{\text{total}}=P{\big (}|{\uparrow }\rangle {\big )}+P{\big (}|{\downarrow }\rangle {\big )}=|c_{1}|^{2}+|c_{2}|^{2}=1,}$

donde la probabilidad de encontrar la partícula con espín hacia arriba o hacia abajo se normaliza a 1. Nótese que y son números complejos, de modo que ${\displaystyle c_{1}}$ ${\displaystyle c_{2}}$

${\displaystyle |\Psi \rangle ={\frac {3}{5}}i|{\uparrow }\rangle +{\frac {4}{5}}|{\downarrow }\rangle .}$

es un ejemplo de un estado permitido. Ahora obtenemos

${\displaystyle P{\big (}|{\uparrow }\rangle {\big )}=\left|{\frac {3i}{5}}\right|^{2}={\frac {9}{25}},}$

${\displaystyle P{\big (}|{\downarrow }\rangle {\big )}=\left|{\frac {4}{5}}\right|^{2}={\frac {16}{25}},}$

${\displaystyle P_{\text{total}}=P{\big (}|{\uparrow }\rangle {\big )}+P{\big (}|{\downarrow }\rangle {\big )}={\frac {9}{25}}+{\frac {16}{25}}=1.}$

Si consideramos un qubit con posición y espín, el estado es una superposición de todas las posibilidades para ambos:

${\displaystyle \Psi =\psi _{+}(x)\otimes |{\uparrow }\rangle +\psi _{-}(x)\otimes |{\downarrow }\rangle ,}$

donde tenemos un estado general que es la suma de los productos tensoriales de las funciones de onda del espacio de posición y los espinores. ${\displaystyle \Psi }$

Experimentos

Se han realizado experimentos exitosos que implican superposiciones de objetos relativamente grandes (según los estándares de la física cuántica).

• Un ion de berilio ha quedado atrapado en un estado superpuesto. ^[4]
• Se ha realizado un experimento de doble rendija con moléculas tan grandes como buckyballs y oligoporfirinas funcionalizadas con hasta 2000 átomos. ^{[5] [6]}
• Se han superpuesto con éxito moléculas con masas superiores a 10.000 y compuestas por más de 810 átomos ^[7]
• Se han creado magnetómetros muy sensibles utilizando dispositivos de interferencia cuántica superconductores (SQUIDS) que funcionan utilizando efectos de interferencia cuántica en circuitos superconductores.

• Se ha construido un " diapasón " piezoeléctrico que puede colocarse en una superposición de estados vibrantes y no vibrantes. El resonador está formado por unos 10 billones de átomos. ^[8]
• Investigaciones recientes indican que la clorofila dentro de las plantas parece explotar la característica de superposición cuántica para lograr una mayor eficiencia en el transporte de energía, permitiendo que las proteínas pigmentarias estén más espaciadas de lo que sería posible de otra manera. ^{[9] [10]}

En los ordenadores cuánticos

En las computadoras cuánticas , un qubit es el análogo del bit de información clásico y los qubits pueden superponerse. ^{[11] : 13} A diferencia de los bits clásicos, una superposición de qubits representa información sobre dos estados en paralelo. ^{[11] : 31} Controlar la superposición de qubits es un desafío central en la computación cuántica. Los sistemas de qubits como los espines nucleares con una pequeña fuerza de acoplamiento son robustos a las perturbaciones externas, pero el mismo pequeño acoplamiento dificulta la lectura de los resultados. ^{[11] : 278}

Véase también

• Estados propios  : entidad matemática que describe la probabilidad de cada medición posible en un sistema.Pages displaying short descriptions of redirect targets
• Interferómetro de Mach-Zehnder  : dispositivo para determinar el desplazamiento de fase relativo
• Interpretación de Penrose  – Interpretación de la mecánica cuántica
• Estado qubit puro  : unidad básica de información cuánticaPages displaying short descriptions of redirect targets
• Computación cuántica  : tecnología que utiliza la mecánica cuánticaPages displaying short descriptions of redirect targets
• El gato de Schrödinger  : experimento mental sobre mecánica cuántica
• Principio de superposición  : Principio fundamental de la física que establece que las soluciones físicas de los sistemas lineales son lineales.
• Paquete de ondas  : "ráfaga" o "envoltura" corta de acción de onda restringida que viaja como una unidad

Referencias

1. Messiah, Albert (1976). Mecánica cuántica. 1 (2.ª ed.). Ámsterdam: Holanda Septentrional. ISBN 978-0-471-59766-7.
2. PAM Dirac (1947). Los principios de la mecánica cuántica (2.ª ed.). Clarendon Press. pág. 12.
3. Zeilinger A (1999). "Experimento y fundamentos de la física cuántica". Rev. Mod. Phys . 71 (2): S288–S297. Código Bibliográfico :1999RvMPS..71..288Z. doi :10.1103/revmodphys.71.s288.
4. Monroe, C.; Meekhof, DM; King, BE; Wineland, DJ (24 de mayo de 1996). "Un estado de superposición de un átomo al estilo del "gato de Schrödinger". Science . 272 ​​(5265): 1131–1136. doi :10.1126/science.272.5265.1131. ISSN  0036-8075.
5. "Dualidad onda-partícula de C60". 31 de marzo de 2012. Archivado desde el original el 31 de marzo de 2012.{{cite web}}: CS1 maint: bot: original URL status unknown (link)
6. Nairz, Olaf. "onda de luz estacionaria".Yaakov Y. Fein; Philipp Geyer; Patrick Zwick; Filip Kiałka; Sebastian Pedalino; Marcel Mayor; Stefan Gerlich; Markus Arndt (septiembre de 2019). «Superposición cuántica de moléculas más allá de los 25 kDa». Nature Physics . 15 (12): 1242–1245. Código Bibliográfico :2019NatPh..15.1242F. doi :10.1038/s41567-019-0663-9. S2CID  203638258.
7. Eibenberger, S., Gerlich, S., Arndt, M., Mayor, M., Tüxen, J. (2013). "Interferencia de ondas de materia con partículas seleccionadas de una biblioteca molecular con masas superiores a 10 000 uma", Physical Chemistry Chemical Physics , 15 : 14696-14700. arXiv :1310.8343
8. Scientific American: Macro-rarezas: "Micrófono cuántico" coloca un objeto visible a simple vista en dos lugares a la vez: un nuevo dispositivo pone a prueba los límites del gato de Schrödinger
9. Scholes, Gregory; Elisabetta Collini; Cathy Y. Wong; Krystyna E. Wilk; Paul MG Curmi; Paul Brumer; Gregory D. Scholes (4 de febrero de 2010). "Recolección de luz coherentemente conectada en algas marinas fotosintéticas a temperatura ambiente". Nature . 463 (7281): 644–647. Bibcode :2010Natur.463..644C. doi :10.1038/nature08811. PMID  20130647. S2CID  4369439.
10. Moyer, Michael (septiembre de 2009). «Enredo cuántico, fotosíntesis y mejores células solares». Scientific American . Consultado el 12 de mayo de 2010 .
11. Nielsen, Michael A. ; Chuang, Isaac (2010). Computación cuántica e información cuántica. Cambridge: Cambridge University Press . ISBN 978-1-10700-217-3.OCLC 43641333  .

Lectura adicional

• Bohr, N. (1927/1928). El postulado cuántico y el desarrollo reciente de la teoría atómica, Nature Supplement 14 de abril de 1928, 121: 580–590.
• Cohen-Tannoudji, C. , Diu, B., Laloë, F. (1973/1977). Mecánica cuántica , traducido del francés por SR Hemley, N. Ostrowsky, D. Ostrowsky, segunda edición, volumen 1, Wiley, Nueva York, ISBN 0471164321 . 
• Einstein, A. (1949). Observaciones sobre los ensayos reunidos en este volumen cooperativo, traducidos del original alemán por el editor, págs. 665-688 en Schilpp, PA editor (1949), Albert Einstein: Philosopher-Scientist, volumen II , Open Court, La Salle IL.
• Feynman, RP , Leighton, RB, Sands, M. (1965). Las conferencias Feynman sobre física , volumen 3, Addison-Wesley, Reading, MA.
• Merzbacher, E. (1961/1970). Mecánica cuántica , segunda edición, Wiley, Nueva York.
• Messiah, A. (1961). Mecánica cuántica , volumen 1, traducido por GM Temmer del francés Mécanique Quantique , Holanda Septentrional, Amsterdam.
• Wheeler, JA ; Zurek, WH (1983). Teoría cuántica y medición . Princeton NJ: Princeton University Press.
• Nielsen, Michael A .; Chuang, Isaac (2000). Computación cuántica e información cuántica . Cambridge: Cambridge University Press . ISBN 0521632358.OCLC 43641333  .
• Williams, Colin P. (2011). Exploraciones en computación cuántica . Springer . ISBN. 978-1-84628-887-6.
• Yanofsky, Noson S.; Mannucci, Mirco (2013). Computación cuántica para científicos informáticos . Cambridge University Press . ISBN 978-0-521-87996-5.