Fórmula de adición de velocidad

Ecuación utilizada en física relativista

La teoría especial de la relatividad, formulada en 1905 por Albert Einstein , implica que la suma de velocidades no se comporta de acuerdo con la simple suma vectorial .

En física relativista , una fórmula de adición de velocidad es una ecuación que especifica cómo combinar las velocidades de los objetos de una manera que sea consistente con el requisito de que la velocidad de ningún objeto puede superar la velocidad de la luz . Tales fórmulas se aplican a transformaciones de Lorentz sucesivas , por lo que también relacionan diferentes marcos. La adición de velocidad acompaña a un efecto cinemático conocido como precesión de Thomas , por el cual los sucesivos impulsos de Lorentz no colineales se vuelven equivalentes a la composición de una rotación del sistema de coordenadas y un impulso.

Las aplicaciones estándar de las fórmulas de adición de velocidad incluyen el desplazamiento Doppler , la navegación Doppler , la aberración de la luz y el arrastre de la luz en agua en movimiento observado en el experimento de Fizeau de 1851. ^[1]

La notación emplea u como velocidad de un cuerpo dentro de un marco de Lorentz S , y v como velocidad de un segundo marco S ′ , medida en S , y u ′ como la velocidad transformada del cuerpo dentro del segundo marco.

Historia

La velocidad de la luz en un fluido es menor que la velocidad de la luz en el vacío y cambia si el fluido se mueve junto con la luz. En 1851, Fizeau midió la velocidad de la luz en un fluido que se movía en paralelo a la luz utilizando un interferómetro . Los resultados de Fizeau no estaban de acuerdo con las teorías prevalecientes en ese momento. Fizeau determinó correctamente de manera experimental el término cero de una expansión de la ley de adición relativistamente correcta en términos de V ⁄ c como se describe a continuación. El resultado de Fizeau llevó a los físicos a aceptar la validez empírica de la teoría bastante insatisfactoria de Fresnel de que un fluido que se mueve con respecto al éter estacionario arrastra parcialmente la luz consigo, es decir, la velocidad es c ⁄ n + (1 − 1 ⁄ n ² ) V en lugar de c ⁄ n + V , donde c es la velocidad de la luz en el éter, n es el índice de refracción del fluido y V es la velocidad del fluido con respecto al éter.

La aberración de la luz , cuya explicación más sencilla es la fórmula relativista de adición de velocidades, junto con el resultado de Fizeau, desencadenaron el desarrollo de teorías como la teoría del éter de Lorentz del electromagnetismo en 1892. En 1905, Albert Einstein , con el advenimiento de la relatividad especial , derivó la fórmula de configuración estándar ( V en la dirección x ) para la adición de velocidades relativistas. ^[2] Las cuestiones relacionadas con el éter se resolvieron gradualmente a lo largo de los años a favor de la relatividad especial.

Relatividad galileana

Galileo observó que una persona que se encuentra en un barco que se mueve de manera uniforme tiene la impresión de estar en reposo y ve un cuerpo pesado que cae verticalmente hacia abajo. ^[3] Esta observación se considera actualmente la primera formulación clara del principio de la relatividad mecánica. Galileo observó que, desde el punto de vista de una persona que se encuentra en la orilla, el movimiento de caída hacia abajo sobre el barco se combinaría con el movimiento de avance del barco o se sumaría a él. ^[4] En términos de velocidades, se puede decir que la velocidad del cuerpo que cae con respecto a la orilla es igual a la velocidad de ese cuerpo con respecto al barco más la velocidad del barco con respecto a la orilla.

En general, para tres objetos A (p. ej., Galileo en la costa), B (p. ej., barco), C (p. ej., cuerpo que cae sobre un barco), el vector de velocidad de C con respecto a A (velocidad del objeto que cae tal como la ve Galileo) es la suma de la velocidad de C con respecto a B (velocidad del objeto que cae con respecto al barco) más la velocidad v de B con respecto a A (velocidad del barco alejándose de la costa). La suma aquí es la suma vectorial del álgebra vectorial y la velocidad resultante se representa generalmente en la forma ${\displaystyle \mathbf {u} }$ ${\displaystyle \mathbf {u'} }$

$${\displaystyle \mathbf {u} =\mathbf {v} +\mathbf {u'} .}$$

El cosmos de Galileo está formado por espacio y tiempo absolutos y la suma de velocidades corresponde a la composición de las transformaciones galileanas . El principio de relatividad se denomina relatividad galileana y se rige por la mecánica newtoniana .

Relatividad especial

Según la teoría de la relatividad especial , el marco del barco tiene una frecuencia de reloj y una medida de distancia diferentes, y se altera la noción de simultaneidad en la dirección del movimiento, por lo que se cambia la ley de adición para las velocidades. Este cambio no es perceptible a bajas velocidades, pero a medida que la velocidad aumenta hacia la velocidad de la luz, se vuelve importante. La ley de adición también se denomina ley de composición para las velocidades . Para los movimientos colineales, la velocidad del objeto, por ejemplo, una bala de cañón disparada horizontalmente hacia el mar, medida desde el barco, moviéndose a velocidad , sería medida por alguien parado en la orilla y observando toda la escena a través de un telescopio como ^[5] La fórmula de composición puede tomar una forma algebraicamente equivalente, que se puede derivar fácilmente usando solo el principio de constancia de la velocidad de la luz, ^[6] El cosmos de la relatividad especial consiste en el espacio-tiempo de Minkowski y la adición de velocidades corresponde a la composición de las transformaciones de Lorentz . En la teoría de la relatividad especial, la mecánica newtoniana se modifica en mecánica relativista . ${\displaystyle u'}$ ${\displaystyle v}$ $${\displaystyle u={v+u' \over 1+(vu'/c^{2})}.}$$ $${\displaystyle {c-u \over c+u}=\left({c-u' \over c+u'}\right)\left({c-v \over c+v}\right).}$$

Configuración estándar

Las fórmulas para los impulsos en la configuración estándar se deducen más directamente de tomar los diferenciales del impulso de Lorentz inverso en la configuración estándar. ^{[7] [8]} Si el marco preparado se desplaza a una velocidad con un factor de Lorentz en la dirección x positiva en relación con el marco no preparado, entonces los diferenciales son ${\displaystyle v}$ ${\textstyle \gamma _{_{v}}=1/{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}$

$${\displaystyle dx=\gamma _{_{v}}(dx'+vdt'),\quad dy=dy',\quad dz=dz',\quad dt=\gamma _{_{v}}\left(dt'+{\frac {v}{c^{2}}}dx'\right).}$$

Divida las tres primeras ecuaciones por la cuarta,

$${\displaystyle {\frac {dx}{dt}}={\frac {\gamma _{_{v}}(dx'+vdt')}{\gamma _{_{v}}(dt'+{\frac {v}{c^{2}}}dx')}},\quad {\frac {dy}{dt}}={\frac {dy'}{\gamma _{_{v}}(dt'+{\frac {v}{c^{2}}}dx')}},\quad {\frac {dz}{dt}}={\frac {dz'}{\gamma _{_{v}}(dt'+{\frac {v}{c^{2}}}dx')}},}$$

o

$${\displaystyle u_{x}={\frac {dx}{dt}}={\frac {{\frac {dx'}{dt'}}+v}{(1+{\frac {v}{c^{2}}}{\frac {dx'}{dt'}})}},\quad u_{y}={\frac {dy}{dt}}={\frac {\frac {dy'}{dt'}}{\gamma _{_{v}}\ (1+{\frac {v}{c^{2}}}{\frac {dx'}{dt'}})}},\quad u_{z}={\frac {dz}{dt}}={\frac {\frac {dz'}{dt'}}{\gamma _{_{v}}\ (1+{\frac {v}{c^{2}}}{\frac {dx'}{dt'}})}},}$$

cual es

Transformación de la velocidad ( componentes cartesianas )

$${\displaystyle u_{x}={\frac {u_{x}'+v}{1+{\frac {v}{c^{2}}}u_{x}'}},\quad u_{x}'={\frac {u_{x}-v}{1-{\frac {v}{c^{2}}}u_{x}}},}$$ $${\displaystyle u_{y}={\frac {u_{y}'{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}{1+{\frac {v}{c^{2}}}u_{x}'}},\quad u_{y}'={\frac {u_{y}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}{1-{\frac {v}{c^{2}}}u_{x}}},}$$ $${\displaystyle u_{z}={\frac {u_{z}'{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}{1+{\frac {v}{c^{2}}}u_{x}'}},\quad u_{z}'={\frac {u_{z}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}{1-{\frac {v}{c^{2}}}u_{x}}},}$$

en el que las expresiones para las velocidades primadas se obtuvieron utilizando la receta estándar reemplazando v por – v e intercambiando las coordenadas primadas y no primadas. Si se eligen las coordenadas de modo que todas las velocidades se encuentren en un plano x – y (común) , entonces las velocidades se pueden expresar como (ver coordenadas polares ) y se encuentra ^{[2] [9]} $${\displaystyle u_{x}=u\cos \theta ,u_{y}=u\sin \theta ,\quad u_{x}'=u'\cos \theta ',\quad u_{y}'=u'\sin \theta ',}$$

Transformación de la velocidad ( componentes polares planas )

$${\displaystyle u={\frac {\sqrt {u'^{2}+v^{2}+2vu'\cos \theta '-\left({\frac {vu'\sin \theta '}{c}}\right)^{2}}}{1+{\frac {v}{c^{2}}}u'\cos \theta '}},}$$ ${\displaystyle \tan \theta ={\frac {u_{y}}{u_{x}}}={\frac {{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}u_{y}'}{u_{x}'+v}}={\frac {{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}u'\sin \theta '}{u'\cos \theta '+v}}.}$

Detalles para ti

$${\displaystyle {\begin{aligned}u&={\sqrt {u_{x}^{2}+u_{y}^{2}}}={\frac {\sqrt {(u_{x}'+v)^{2}+(1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}})u_{y}'^{2}}}{1+{\frac {v}{c^{2}}}u_{x}'}}={\frac {\sqrt {u_{x}'^{2}+v^{2}+2u_{x}'v+(1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}})u_{y}'^{2}}}{1+{\frac {v}{c^{2}}}u_{x}'}}\\&={\frac {\sqrt {u'^{2}\cos ^{2}\theta '+v^{2}+2vu'\cos \theta '+u'^{2}\sin ^{2}\theta '-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}u'^{2}\sin ^{2}\theta '}}{1+{\frac {v}{c^{2}}}u_{x}'}}\\&={\frac {\sqrt {u'^{2}+v^{2}+2vu'\cos \theta '-({\frac {vu'\sin \theta '}{c}})^{2}}}{1+{\frac {v}{c^{2}}}u'\cos \theta '}}\end{aligned}}}$$

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La prueba que se presenta es muy formal. Hay otras pruebas más complejas que pueden resultar más esclarecedoras, como la que se muestra a continuación.

Una demostración utilizando 4 vectores y matrices de transformación de Lorentz

Dado que una transformación relativista hace rotar el espacio y el tiempo entre sí de forma muy similar a como las rotaciones geométricas en el plano hacen rotar los ejes x e y , es conveniente utilizar las mismas unidades para el espacio y el tiempo; de lo contrario, aparece un factor de conversión de unidades en todas las fórmulas relativistas, que es la velocidad de la luz . En un sistema en el que las longitudes y los tiempos se miden en las mismas unidades, la velocidad de la luz es adimensional e igual a 1. Una velocidad se expresa entonces como una fracción de la velocidad de la luz.

Para encontrar la ley de transformación relativista, es útil introducir las cuatro velocidades V = ( V ₀ , V ₁ , 0, 0) , que es el movimiento del barco alejándose de la orilla, medido desde la orilla, y U′ = ( U′ ₀ , U′ ₁ , U′ ₂ , U′ ₃ ) que es el movimiento de la mosca alejándose del barco, medido desde el barco. La cuatro-velocidad se define como un cuatro-vector con longitud relativista igual a 1 , dirigido hacia el futuro y tangente a la línea del mundo del objeto en el espacio-tiempo. Aquí, V ₀ corresponde al componente temporal y V ₁ al componente x de la velocidad del barco visto desde la orilla. Es conveniente tomar el eje x como la dirección del movimiento del barco alejándose de la orilla, y el eje y de modo que el plano x – y sea el plano abarcado por el movimiento del barco y la mosca. Esto da como resultado que varios componentes de las velocidades sean cero: V ₂ = V ₃ = U′ ₃ = 0

La velocidad ordinaria es la relación entre la tasa a la que aumentan las coordenadas espaciales y la tasa a la que aumentan las coordenadas temporales:

$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {v} &=(v_{1},v_{2},v_{3})=(V_{1}/V_{0},0,0),\\\mathbf {u} '&=(u'_{1},u'_{2},u'_{3})=(U'_{1}/U'_{0},U'_{2}/U'_{0},0)\end{aligned}}}$$

Dado que la longitud relativista de V es 1 , entonces $${\displaystyle V_{0}^{2}-V_{1}^{2}=1,}$$ $${\displaystyle V_{0}=1/{\sqrt {1-v_{1}^{2}}}\ =\gamma ,\quad V_{1}=v_{1}/{\sqrt {1-v_{1}^{2}}}=v_{1}\gamma .}$$

La matriz de transformación de Lorentz que convierte las velocidades medidas en el marco del barco al marco de la costa es la inversa de la transformación descrita en la página de transformación de Lorentz , por lo que los signos menos que aparecen allí deben invertirse aquí:

$${\displaystyle {\begin{pmatrix}\gamma &v_{1}\gamma &0&0\\v_{1}\gamma &\gamma &0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}}}$$

Esta matriz rota el vector de eje de tiempo puro (1, 0, 0, 0) a ( V ₀ , V ₁ , 0, 0) , y todas sus columnas son relativísticamente ortogonales entre sí, por lo que define una transformación de Lorentz.

Si una mosca se mueve con una velocidad cuádruple U′ en el marco del barco, y se la impulsa al multiplicarla por la matriz anterior, la nueva velocidad cuádruple en el marco de la costa es U = ( U ₀ , U ₁ , U ₂ , U ₃ ) , $${\displaystyle {\begin{aligned}U_{0}&=V_{0}U'_{0}+V_{1}U'_{1},\\U_{1}&=V_{1}U'_{0}+V_{0}U'_{1},\\U_{2}&=U'_{2},\\U_{3}&=U'_{3}.\end{aligned}}}$$

Dividiendo por el componente de tiempo U ₀ y sustituyendo los componentes de los cuatro vectores U′ y V en términos de los componentes de los tres vectores u′ y v se obtiene la ley de composición relativista como

$${\displaystyle {\begin{aligned}u_{1}&={v_{1}+u'_{1} \over 1+v_{1}u'_{1}},\\u_{2}&={u'_{2} \over (1+v_{1}u'_{1})}{1 \over V_{0}}={u'_{2} \over 1+v_{1}u'_{1}}{\sqrt {1-v_{1}^{2}}},\\u_{3}&=0\end{aligned}}}$$

La forma de la ley de composición relativista puede entenderse como un efecto de la falla de simultaneidad a distancia. Para el componente paralelo, la dilatación del tiempo disminuye la velocidad, la contracción de la longitud la aumenta y los dos efectos se cancelan. La falla de simultaneidad significa que la mosca está cambiando rebanadas de simultaneidad como la proyección de u′ sobre v . Dado que este efecto se debe completamente a la división del tiempo, el mismo factor multiplica el componente perpendicular, pero para el componente perpendicular no hay contracción de la longitud, por lo que la dilatación del tiempo se multiplica por un factor de 1 ⁄ V ₀ = √ (1 − v ₁ ² ) .

Configuración general

Descomposición de la velocidad 3- u en componentes paralelas y perpendiculares y cálculo de las componentes. El procedimiento para u ′ es idéntico.

Partiendo de la expresión en coordenadas para v paralela al eje x , las expresiones para las componentes perpendiculares y paralelas se pueden convertir en forma vectorial de la siguiente manera, un truco que también funciona para las transformaciones de Lorentz de otras cantidades físicas 3d originalmente en la configuración estándar establecida. Introduzca el vector de velocidad u en el marco no primado y u ′ en el marco primado, y divídalos en componentes paralelas (∥) y perpendiculares (⊥) al vector de velocidad relativa v (ver ocultar el recuadro a continuación) así entonces con los vectores de base estándar cartesianos habituales e _x , e _y , e _z , establezca la velocidad en el marco no primado en que da, utilizando los resultados para la configuración estándar, donde · es el producto escalar . Dado que estas son ecuaciones vectoriales, todavía tienen la misma forma para v en cualquier dirección. La única diferencia con las expresiones de coordenadas es que las expresiones anteriores se refieren a vectores , no a componentes. $${\displaystyle \mathbf {u} =\mathbf {u} _{\parallel }+\mathbf {u} _{\perp },\quad \mathbf {u} '=\mathbf {u} '_{\parallel }+\mathbf {u} '_{\perp },}$$ $${\displaystyle \mathbf {u} _{\parallel }=u_{x}\mathbf {e} _{x},\quad \mathbf {u} _{\perp }=u_{y}\mathbf {e} _{y}+u_{z}\mathbf {e} _{z},\quad \mathbf {v} =v\mathbf {e} _{x},}$$ $${\displaystyle \mathbf {u} _{\parallel }={\frac {\mathbf {u} _{\parallel }'+\mathbf {v} }{1+{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} _{\parallel }'}{c^{2}}}}},\quad \mathbf {u} _{\perp }={\frac {{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}\mathbf {u} _{\perp }'}{1+{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} _{\parallel }'}{c^{2}}}}}.}$$

Se obtiene

$${\displaystyle \mathbf {u} =\mathbf {u} _{\parallel }+\mathbf {u} _{\perp }={\frac {1}{1+{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{c^{2}}}}}\left[\alpha _{v}\mathbf {u} '+\mathbf {v} +(1-\alpha _{v}){\frac {(\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} ')}{v^{2}}}\mathbf {v} \right]\equiv \mathbf {v} \oplus \mathbf {u} ',}$$

donde α _v = 1/ γ _v es el recíproco del factor de Lorentz . El orden de los operandos en la definición se elige para que coincida con el de la configuración estándar de la que se deriva la fórmula.

El álgebra

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\mathbf {u} '_{\parallel }+\mathbf {v} }{1+{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{c^{2}}}}}+{\frac {\alpha _{v}\mathbf {u} '_{\perp }}{1+{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{c^{2}}}}}&={\frac {\mathbf {v} +{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{v^{2}}}\mathbf {v} }{1+{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{c^{2}}}}}+{\frac {\alpha _{v}\mathbf {u} '-\alpha _{v}{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{v^{2}}}\mathbf {v} }{1+{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{c^{2}}}}}\\&={\frac {1+{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{v^{2}}}(1-\alpha _{v})}{1+{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{c^{2}}}}}\mathbf {v} +\alpha _{v}{\frac {1}{1+{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{c^{2}}}}}\mathbf {u} '\\&={\frac {1}{1+{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{c^{2}}}}}\mathbf {v} +\alpha _{v}{\frac {1}{1+{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{c^{2}}}}}\mathbf {u} '+{\frac {1}{1+{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{c^{2}}}}}{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{v^{2}}}(1-\alpha _{v})\mathbf {v} \\&={\frac {1}{1+{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{c^{2}}}}}\mathbf {v} +\alpha _{v}{\frac {1}{1+{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{c^{2}}}}}\mathbf {u} '+{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {1}{1+{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{c^{2}}}}}{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{v^{2}/c^{2}}}(1-\alpha _{v})\mathbf {v} \\&={\frac {1}{1+{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{c^{2}}}}}\mathbf {v} +\alpha _{v}{\frac {1}{1+{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{c^{2}}}}}\mathbf {u} '+{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {1}{1+{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{c^{2}}}}}{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{(1-\alpha _{v})(1+\alpha _{v})}}(1-\alpha _{v})\mathbf {v} \\&={\frac {1}{1+{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{c^{2}}}}}\left[\alpha _{v}\mathbf {u} '+\mathbf {v} +(1-\alpha _{v}){\frac {(\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} ')}{v^{2}}}\mathbf {v} \right].\end{aligned}}}$$

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Descomposición en componentes paralelas y perpendiculares en términos de V

Es necesario encontrar el componente paralelo o perpendicular para cada vector, ya que el otro componente se eliminará mediante la sustitución de los vectores completos.

El componente paralelo de u ′ se puede encontrar proyectando el vector completo en la dirección del movimiento relativo y el componente perpendicular de u' ′ se puede encontrar mediante las propiedades geométricas del producto vectorial (ver la figura de arriba a la derecha). $${\displaystyle \mathbf {u} '_{\parallel }={\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{v^{2}}}\mathbf {v} ,}$$ $${\displaystyle \mathbf {u} '_{\perp }=-{\frac {\mathbf {v} \times (\mathbf {v} \times \mathbf {u} ')}{v^{2}}}.}$$

En cada caso, v / v es un vector unitario en la dirección del movimiento relativo.

Las expresiones para u _|| y u _⊥ se pueden encontrar de la misma manera. Sustituyendo el componente paralelo en $${\displaystyle \mathbf {u} ={\frac {\mathbf {u} _{\parallel }'+\mathbf {v} }{1+{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} _{\parallel }'}{c^{2}}}}}+{\frac {{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}(\mathbf {u} -\mathbf {u} _{\parallel }')}{1+{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} _{\parallel }'}{c^{2}}}}},}$$

da como resultado la ecuación anterior. ^[10]

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Usando una identidad en y , ^{[11] [nb 1]} ${\displaystyle \alpha _{v}}$ ${\displaystyle \gamma _{v}}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {v} \oplus \mathbf {u} '\equiv \mathbf {u} &={\frac {1}{1+{\frac {\mathbf {u} '\cdot \mathbf {v} }{c^{2}}}}}\left[\mathbf {v} +{\frac {\mathbf {u} '}{\gamma _{v}}}+{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\gamma _{v}}{1+\gamma _{v}}}(\mathbf {u} '\cdot \mathbf {v} )\mathbf {v} \right]\\&={\frac {1}{1+{\frac {\mathbf {u} '\cdot \mathbf {v} }{c^{2}}}}}\left[\mathbf {v} +\mathbf {u} '+{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\gamma _{v}}{1+\gamma _{v}}}\mathbf {v} \times (\mathbf {v} \times \mathbf {u} ')\right],\end{aligned}}}$$y en dirección hacia adelante (v positiva, S → S') $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {v} \oplus \mathbf {u} \equiv \mathbf {u} '&={\frac {1}{1-{\frac {\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} }{c^{2}}}}}\left[{\frac {\mathbf {u} }{\gamma _{v}}}-\mathbf {v} +{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\gamma _{v}}{1+\gamma _{v}}}(\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} )\mathbf {v} \right]\\&={\frac {1}{1-{\frac {\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} }{c^{2}}}}}\left[\mathbf {u} -\mathbf {v} +{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\gamma _{v}}{1+\gamma _{v}}}\mathbf {v} \times (\mathbf {v} \times \mathbf {u} )\right]\end{aligned}}}$$

donde la última expresión es la fórmula estándar de análisis vectorial v × ( v × u ) = ( v ⋅ u ) v − ( v ⋅ v ) u . La primera expresión se extiende a cualquier número de dimensiones espaciales, pero el producto vectorial se define solo en tres dimensiones. Los objetos A , B , C con B que tiene velocidad v relativa a A y C que tiene velocidad u relativa a A pueden ser cualquier cosa. En particular, pueden ser tres marcos, o podrían ser el laboratorio, una partícula en descomposición y uno de los productos de desintegración de la partícula en descomposición.

Propiedades

La suma relativista de 3-velocidades no es lineal , por lo que en general para el número real λ , si bien es cierto que $${\displaystyle (\lambda \mathbf {v} )\oplus (\lambda \mathbf {u} )\neq \lambda (\mathbf {v} \oplus \mathbf {u} ),}$$ $${\displaystyle (-\mathbf {v} )\oplus (-\mathbf {u} )=-(\mathbf {v} \oplus \mathbf {u} ),}$$

Además, debido a los últimos términos, en general no es ni conmutativa ni asociativa. $${\displaystyle \mathbf {v} \oplus \mathbf {u} \neq \mathbf {u} \oplus \mathbf {v} ,}$$ $${\displaystyle \mathbf {v} \oplus (\mathbf {u} \oplus \mathbf {w} )\neq (\mathbf {v} \oplus \mathbf {u} )\oplus \mathbf {w} .}$$

Merece especial mención que si u y v′ se refieren a velocidades de sistemas de referencia paralelos por pares (primado paralelo a no primado y doblemente primado paralelo a primado), entonces, según el principio de reciprocidad de velocidad de Einstein, el sistema de referencia no primado se mueve con velocidad − u relativa al sistema primado, y el sistema primado se mueve con velocidad − v′ relativa al sistema doblemente primado, por lo tanto (− v′ ⊕ − u ) es la velocidad del sistema de referencia no primado relativa al sistema doblemente primado, y uno podría esperar tener u ⊕ v′ = −(− v′ ⊕ − u ) por aplicación ingenua del principio de reciprocidad. Esto no se cumple, aunque las magnitudes son iguales. Los sistemas de referencia no primado y doblemente primado no son paralelos, sino que están relacionados a través de una rotación. Esto está relacionado con el fenómeno de la precesión de Thomas y no se trata más aquí.

Las normas están dadas por ^[12] y $${\displaystyle |\mathbf {u} |^{2}\equiv |\mathbf {v} \oplus \mathbf {u} '|^{2}={\frac {1}{\left(1+{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{c^{2}}}\right)^{2}}}\left[\left(\mathbf {v} +\mathbf {u} '\right)^{2}-{\frac {1}{c^{2}}}\left(\mathbf {v} \times \mathbf {u} '\right)^{2}\right]=|\mathbf {u} '\oplus \mathbf {v} |^{2}.}$$ $${\displaystyle |\mathbf {u} '|^{2}\equiv |\mathbf {v} \oplus \mathbf {u} |^{2}={\frac {1}{\left(1-{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} }{c^{2}}}\right)^{2}}}\left[\left(\mathbf {u} -\mathbf {v} \right)^{2}-{\frac {1}{c^{2}}}\left(\mathbf {v} \times \mathbf {u} \right)^{2}\right]=|\mathbf {u} \oplus \mathbf {v} |^{2}.}$$

Prueba

$${\displaystyle {\begin{aligned}&\left(1+{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{c^{2}}}\right)^{2}|\mathbf {v} \oplus \mathbf {u} '|^{2}\\&=\left[\mathbf {v} +\mathbf {u} '+{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\gamma _{v}}{1+\gamma _{v}}}\mathbf {v} \times (\mathbf {v} \times \mathbf {u} ')\right]^{2}\\&=(\mathbf {v} +\mathbf {u} ')^{2}+2{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\gamma _{v}}{\gamma _{v}+1}}\left[(\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} ')^{2}-(\mathbf {v} \cdot \mathbf {v} )(\mathbf {u} '\cdot \mathbf {u} ')\right]+{\frac {1}{c^{4}}}\left({\frac {\gamma _{v}}{\gamma _{v}+1}}\right)^{2}\left[(\mathbf {v} \cdot \mathbf {v} )^{2}(\mathbf {u} '\cdot \mathbf {u} ')-(\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} ')^{2}(\mathbf {v} \cdot \mathbf {v} )\right]\\&=(\mathbf {v} +\mathbf {u} ')^{2}+2{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\gamma _{v}}{\gamma _{v}+1}}\left[(\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} ')^{2}-(\mathbf {v} \cdot \mathbf {v} )(\mathbf {u} '\cdot \mathbf {u} ')\right]+{\frac {v^{2}}{c^{4}}}\left({\frac {\gamma _{v}}{\gamma _{v}+1}}\right)^{2}\left[(\mathbf {v} \cdot \mathbf {v} )(\mathbf {u} '\cdot \mathbf {u} ')-(\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} ')^{2}\right]\\&=(\mathbf {v} +\mathbf {u} ')^{2}+2{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\gamma _{v}}{\gamma _{v}+1}}\left[(\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} ')^{2}-(\mathbf {v} \cdot \mathbf {v} )(\mathbf {u} '\cdot \mathbf {u} ')\right]+{\frac {(1-\alpha _{v})(1+\alpha _{v})}{c^{2}}}\left({\frac {\gamma _{v}}{\gamma _{v}+1}}\right)^{2}\left[(\mathbf {v} \cdot \mathbf {v} )(\mathbf {u} '\cdot \mathbf {u} ')-(\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} ')^{2}\right]\\&=(\mathbf {v} +\mathbf {u} ')^{2}+2{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\gamma _{v}}{\gamma _{v}+1}}\left[(\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} ')^{2}-(\mathbf {v} \cdot \mathbf {v} )(\mathbf {u} '\cdot \mathbf {u} ')\right]+{\frac {(\gamma _{v}-1)}{c^{2}(\gamma _{v}+1)}}\left[(\mathbf {v} \cdot \mathbf {v} )(\mathbf {u} '\cdot \mathbf {u} ')-(\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} ')^{2}\right]\\&=(\mathbf {v} +\mathbf {u} ')^{2}+2{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\gamma _{v}}{\gamma _{v}+1}}\left[(\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} ')^{2}-(\mathbf {v} \cdot \mathbf {v} )(\mathbf {u} '\cdot \mathbf {u} ')\right]+{\frac {(1-\gamma _{v})}{c^{2}(\gamma _{v}+1)}}\left[(\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} ')^{2}-(\mathbf {v} \cdot \mathbf {v} )(\mathbf {u} '\cdot \mathbf {u} ')\right]\\&=(\mathbf {v} +\mathbf {u} ')^{2}+{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\gamma _{v}+1}{\gamma _{v}+1}}\left[(\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} ')^{2}-(\mathbf {v} \cdot \mathbf {v} )(\mathbf {u} '\cdot \mathbf {u} ')\right]\\&=(\mathbf {v} +\mathbf {u} ')^{2}-{\frac {1}{c^{2}}}|\mathbf {v} \times \mathbf {u} '|^{2}\end{aligned}}}$$Fórmula inversa que se obtiene utilizando el procedimiento estándar de intercambiar v por -v y u por u′ .

Está claro que la no conmutatividad se manifiesta como una rotación adicional del marco de coordenadas cuando están involucrados dos impulsos, ya que la norma al cuadrado es la misma para ambos órdenes de impulsos.

Los factores gamma para las velocidades combinadas se calculan como $${\displaystyle \gamma _{u}=\gamma _{\mathbf {v} \oplus \mathbf {u} '}=\left[1-{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {1}{(1+{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{c^{2}}})^{2}}}\left((\mathbf {v} +\mathbf {u} ')^{2}-{\frac {1}{c^{2}}}(v^{2}u'^{2}-(\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} ')^{2})\right)\right]^{-{\frac {1}{2}}}=\gamma _{v}\gamma _{u}'\left(1+{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{c^{2}}}\right),\quad \quad \gamma _{u}'=\gamma _{v}\gamma _{u}\left(1-{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} }{c^{2}}}\right)}$$

Prueba detallada

$${\displaystyle {\begin{aligned}\gamma _{\mathbf {v} \oplus \mathbf {u} '}&=\left[{\frac {c^{3}(1+{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{c^{2}}})^{2}}{c^{2}(1+{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{c^{2}}})^{2}}}-{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {(\mathbf {v} +\mathbf {u} ')^{2}-{\frac {1}{c^{2}}}(v^{2}u'^{2}-(\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} ')^{2})}{(1+{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{c^{2}}})^{2}}}\right]^{-{\frac {1}{2}}}\\&=\left[{\frac {c^{2}(1+{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{c^{2}}})^{2}-(\mathbf {v} +\mathbf {u} ')^{2}+{\frac {1}{c^{2}}}(v^{2}u'^{2}-(\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} ')^{2})}{c^{2}(1+{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{c^{2}}})^{2}}}\right]^{-{\frac {1}{2}}}\\&=\left[{\frac {c^{2}(1+2{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{c^{2}}}+{\frac {(\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} ')^{2}}{c^{4}}})-v^{2}-u'^{2}-2(\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} ')+{\frac {1}{c^{2}}}(v^{2}u'^{2}-(\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} ')^{2})}{c^{2}(1+{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{c^{2}}})^{2}}}\right]^{-{\frac {1}{2}}}\\&=\left[{\frac {1+2{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{c^{2}}}+{\frac {(\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} ')^{2}}{c^{4}}}-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}-{\frac {u'^{2}}{c^{2}}}-{\frac {2}{c^{2}}}(\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} ')+{\frac {1}{c^{4}}}(v^{2}u'^{2}-(\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} ')^{2})}{(1+{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{c^{2}}})^{2}}}\right]^{-{\frac {1}{2}}}\\&=\left[{\frac {1+{\frac {(\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} ')^{2}}{c^{4}}}-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}-{\frac {u'^{2}}{c^{2}}}+{\frac {1}{c^{4}}}(v^{2}u'^{2}-(\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} ')^{2})}{(1+{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{c^{2}}})^{2}}}\right]^{-{\frac {1}{2}}}\\&=\left[{\frac {\left(1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}\right)\left(1-{\frac {u'^{2}}{c^{2}}}\right)}{\left(1+{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{c^{2}}}\right)^{2}}}\right]^{-{\frac {1}{2}}}=\left[{\frac {1}{\gamma _{v}^{2}\gamma _{u}'^{2}\left(1+{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{c^{2}}}\right)^{2}}}\right]^{-{\frac {1}{2}}}\\&=\gamma _{v}\gamma _{u}'\left(1+{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{c^{2}}}\right)\end{aligned}}}$$

Fórmula inversa que se obtiene utilizando el procedimiento estándar de intercambiar v por − v y u por u′ .

Convenciones de notación

Las notaciones y convenciones para la suma de velocidades varían de un autor a otro. Se pueden utilizar símbolos diferentes para la operación o para las velocidades involucradas, y se pueden intercambiar los operandos para la misma expresión o los símbolos para la misma velocidad. También se puede utilizar un símbolo completamente diferente para la velocidad transformada, en lugar del primo utilizado aquí. Dado que la suma de velocidades no es conmutativa, no se pueden intercambiar los operandos o los símbolos sin cambiar el resultado.

Algunos ejemplos de notación alternativa incluyen:

No hay ningún operando específico

Landau y Lifshitz (2002) (utilizando unidades donde c = 1) $${\displaystyle |\mathbf {v_{rel}} |^{2}={\frac {1}{(1-\mathbf {v_{1}} \cdot \mathbf {v_{2}} )^{2}}}\left[(\mathbf {v_{1}} -\mathbf {v_{2}} )^{2}-(\mathbf {v_{1}} \times \mathbf {v_{2}} )^{2}\right]}$$

Ordenación de operandos de izquierda a derecha

Mocanu (1992) $${\displaystyle \mathbf {u} \oplus \mathbf {v} ={\frac {1}{1+{\frac {\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} }{c^{2}}}}}\left[\mathbf {v} +\mathbf {u} +{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\gamma _{\mathbf {u} }}{\gamma _{\mathbf {u} }+1}}\mathbf {u} \times (\mathbf {u} \times \mathbf {v} )\right]}$$

Ungar (1988) $${\displaystyle \mathbf {u} *\mathbf {v} ={\frac {1}{1+{\frac {\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} }{c^{2}}}}}\left[\mathbf {v} +\mathbf {u} +{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\gamma _{\mathbf {u} }}{\gamma _{\mathbf {u} }+1}}\mathbf {u} \times (\mathbf {u} \times \mathbf {v} )\right]}$$

Ordenación de operandos de derecha a izquierda

Sexl y Urbantke (2001) $${\displaystyle \mathbf {w} \circ \mathbf {v} ={\frac {1}{1+{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {w} }{c^{2}}}}}\left[{\frac {\mathbf {w} }{\gamma _{\mathbf {v} }}}+\mathbf {v} +{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\gamma _{\mathbf {v} }}{\gamma _{\mathbf {v} }+1}}(\mathbf {w} \cdot \mathbf {v} )\mathbf {v} \right]}$$

Aplicaciones

A continuación se detallan algunas aplicaciones clásicas de las fórmulas de adición de velocidad, al efecto Doppler, a la aberración de la luz y al arrastre de la luz en el agua en movimiento, que dan lugar a expresiones relativísticamente válidas para estos fenómenos. También es posible utilizar la fórmula de adición de velocidad, suponiendo la conservación del momento (mediante la apelación a la invariancia rotacional ordinaria), la forma correcta de la parte 3 - vectorial del cuatrivector del momento , sin recurrir al electromagnetismo, o a versiones relativistas a priori no conocidas como válidas del formalismo lagrangiano . Esto implica el rebotar experimentalista de bolas de billar relativistas entre sí. Esto no se detalla aquí, pero véase como referencia Lewis & Tolman (1909) versión Wikisource (fuente primaria) y Sard (1970, Sección 3.2).

Experimento de Fizeau

Hippolyte Fizeau (1819-1896), físico francés, fue en 1851 el primero en medir la velocidad de la luz en el agua corriente.

Cuando la luz se propaga en un medio, su velocidad se reduce, en el marco de referencia en reposo del medio, a c _m = c ⁄ n _m , donde n _m es el índice de refracción del medio m . La velocidad de la luz en un medio que se mueve uniformemente con velocidad V en la dirección x positiva , medida en el marco de referencia del laboratorio, se obtiene directamente mediante las fórmulas de adición de velocidad. Para la dirección de avance (configuración estándar, índice de caída m en n ) se obtiene, ^[13] $${\displaystyle {\begin{aligned}c_{m}&={\frac {V+c_{m}'}{1+{\frac {Vc_{m}'}{c^{2}}}}}={\frac {V+{\frac {c}{n}}}{1+{\frac {Vc}{nc^{2}}}}}={\frac {c}{n}}{\frac {1+{\frac {nV}{c}}}{1+{\frac {V}{nc}}}}\\&={\frac {c}{n}}\left(1+{\frac {nV}{c}}\right){\frac {1}{1+{\frac {V}{nc}}}}=\left({\frac {c}{n}}+V\right)\left(1-{\frac {V}{nc}}+\left({\frac {V}{nc}}\right)^{2}-\cdots \right).\end{aligned}}}$$

Al recopilar explícitamente las contribuciones más grandes, Fizeau encontró los primeros tres términos. ^{[14] [15]} El resultado clásico son los dos primeros términos. $${\displaystyle c_{m}={\frac {c}{n}}+V\left(1-{\frac {1}{n^{2}}}-{\frac {V}{nc}}+\cdots \right).}$$

Aberración de la luz

Otra aplicación básica es considerar la desviación de la luz, es decir, el cambio de su dirección, al transformarse a un nuevo sistema de referencia con ejes paralelos, llamada aberración de la luz . En este caso, v ′ = v = c , y la inserción en la fórmula para tan θ da como resultado $${\displaystyle \tan \theta ={\frac {{\sqrt {1-{\frac {V^{2}}{c^{2}}}}}c\sin \theta '}{c\cos \theta '+V}}={\frac {{\sqrt {1-{\frac {V^{2}}{c^{2}}}}}\sin \theta '}{\cos \theta '+{\frac {V}{c}}}}.}$$

Para este caso también se puede calcular sen θ y cos θ a partir de las fórmulas estándar, ^[16] $${\displaystyle \sin \theta ={\frac {{\sqrt {1-{\frac {V^{2}}{c^{2}}}}}\sin \theta '}{1+{\frac {V}{c}}\cos \theta '}},}$$

Trigonometría

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {v_{y}}{v}}&={\frac {\frac {{\sqrt {1-{\frac {V^{2}}{c^{2}}}}}v_{y}'}{1+{\frac {V}{c^{2}}}v_{x}'}}{\frac {\sqrt {v'^{2}+V^{2}+2Vv'\cos \theta '-({\frac {Vv'\sin \theta '}{c}})^{2}}}{1+{\frac {V}{c^{2}}}v'\cos \theta '}}}\\&={\frac {c{\sqrt {1-{\frac {V^{2}}{c^{2}}}}}\sin \theta '}{\sqrt {c^{2}+V^{2}+2Vc\cos \theta '-V^{2}\sin ^{2}\theta '}}}\\&={\frac {c{\sqrt {1-{\frac {V^{2}}{c^{2}}}}}\sin \theta '}{\sqrt {c^{2}+V^{2}+2Vc\cos \theta '-V^{2}(1-\cos ^{2}\theta ')}}}={\frac {c{\sqrt {1-{\frac {V^{2}}{c^{2}}}}}\sin \theta '}{\sqrt {c^{2}+2Vc\cos \theta '+V^{2}\cos ^{2}\theta '}}}\\&={\frac {{\sqrt {1-{\frac {V^{2}}{c^{2}}}}}\sin \theta '}{1+{\frac {V}{c}}\cos \theta '}},\end{aligned}}}$$

---

$${\displaystyle \cos \theta ={\frac {{\frac {V}{c}}+\cos \theta '}{1+{\frac {V}{c}}\cos \theta '}},}$$

James Bradley (1693–1762) FRS , proporcionó una explicación de la aberración de la luz correcta a nivel clásico, ^[17] en desacuerdo con las teorías posteriores que prevalecieron en el siglo XIX basadas en la existencia del éter .

Las manipulaciones trigonométricas son esencialmente idénticas en el caso cos y en el caso sen . Considere la diferencia,

$${\displaystyle {\begin{aligned}\sin \theta -\sin \theta '&=\sin \theta '\left({\frac {\sqrt {1-{\frac {V^{2}}{c^{2}}}}}{1+{\frac {V}{c}}\cos \theta '}}-1\right)\\&\approx \sin \theta '\left(1-{\frac {V}{c}}\cos \theta '-1\right)=-{\frac {V}{c}}\sin \theta '\cos \theta ',\end{aligned}}}$$correcto para ordenar v ⁄ c . Emplear para realizar aproximaciones de ángulos pequeños una fórmula trigonométrica, donde cos ⁠ $${\displaystyle \sin \theta '-\sin \theta =2\sin {\frac {1}{2}}(\theta '-\theta )\cos {\frac {1}{2}}(\theta +\theta ')\approx (\theta '-\theta )\cos \theta ',}$$1/2⁠ ( θ + θ ′) ≈ cos θ ′, pecado ⁠1/2⁠ ( θ − θ ′) ≈ ⁠1/2⁠ ( θ − θ ′) .

Por lo tanto, la cantidad del ángulo de aberración clásica se obtiene en el límite V ⁄ c → 0 . $${\displaystyle \Delta \theta \equiv \theta '-\theta ={\frac {V}{c}}\sin \theta ',}$$

Desplazamiento Doppler relativista

Christian Doppler (1803–1853) fue un matemático y físico austríaco que descubrió que la frecuencia observada de una onda depende de la velocidad relativa de la fuente y el observador.

Aquí se utilizarán componentes de velocidad en lugar de rapidez para lograr una mayor generalidad y para evitar la introducción, quizás aparentemente ad hoc, de signos negativos. Los signos negativos que aparecen aquí servirán, en cambio, para iluminar características cuando se consideren velocidades inferiores a la de la luz.

Para las ondas de luz en el vacío, la dilatación del tiempo junto con una simple observación geométrica es suficiente para calcular el efecto Doppler en la configuración estándar (velocidad relativa colineal del emisor y del observador, así como de la onda de luz observada).

Todas las velocidades en lo que sigue son paralelas a la dirección x positiva común , por lo que se eliminan los subíndices de los componentes de velocidad. En el marco de los observadores, introduzca la observación geométrica

$${\displaystyle \lambda =-sT+VT=(-s+V)T}$$

como la distancia espacial, o longitud de onda , entre dos pulsos (crestas de onda), donde T es el tiempo transcurrido entre la emisión de dos pulsos. El tiempo transcurrido entre el paso de dos pulsos en el mismo punto del espacio es el período de tiempo τ , y su inverso ν = 1 ⁄ τ es la frecuencia observada (temporal) . Las cantidades correspondientes en el marco de los emisores están dotadas de primos. ^[18]

Para las ondas de luz , la frecuencia observada es ^{[2] [19] [20]} donde T = γ _V T ′ es la fórmula de dilatación del tiempo estándar . $${\displaystyle s=s'=-c,}$$ $${\displaystyle \nu ={-s \over \lambda }={-s \over (V-s)T}={c \over (V+c)\gamma _{_{V}}T'}=\nu '{\frac {c{\sqrt {1-{V^{2} \over c^{2}}}}}{c+V}}=\nu '{\sqrt {\frac {1-\beta }{1+\beta }}}\,.}$$

Supongamos, en cambio, que la onda no está compuesta de ondas de luz con velocidad c , sino, para facilitar la visualización, de balas disparadas desde una ametralladora relativista, con velocidad s ′ en el marco del emisor. Entonces, en general, la observación geométrica es exactamente la misma . Pero ahora, s ′ ≠ s , y s se da por la suma de velocidades, $${\displaystyle s={\frac {s'+V}{1+{s'V \over c^{2}}}}.}$$

El cálculo es entonces esencialmente el mismo, excepto que aquí es más fácil hacerlo al revés con τ = 1 ⁄ ν en lugar de ν . Se encuentra

${\displaystyle \tau ={1 \over \gamma _{_{V}}\nu '}\left({\frac {1}{1+{V \over s'}}}\right),\quad \nu =\gamma _{_{V}}\nu '\left(1+{V \over s'}\right)}$

Detalles en la derivación

$${\displaystyle {\begin{aligned}{L \over -s}&={\frac {\left({\frac {-s'-V}{1+{s'V \over c^{2}}}}+V\right)T}{\frac {-s'-V}{1+{s'V \over c^{2}}}}}\\&={\gamma _{_{V}} \over \nu '}{\frac {-s'-V+V(1+{s'V \over c^{2}})}{-s'-V}}\\&={\gamma _{_{V}} \over \nu '}\left({\frac {s'\left(1-{V^{2} \over c^{2}}\right)}{s'+V}}\right)\\&={\gamma _{_{V}} \over \nu '}\left({\frac {s'\gamma ^{-2}}{s'+V}}\right)\\&={1 \over \gamma _{_{V}}\nu '}\left({\frac {1}{1+{V \over s'}}}\right).\\\end{aligned}}}$$

---

Observe que en el caso típico, el s ′ que entra es negativo . Sin embargo, la fórmula tiene validez general. ^{[nb 2]} Cuando s ′ = − c , la fórmula se reduce a la fórmula calculada directamente para las ondas de luz anterior,

$${\displaystyle \nu =\nu '\gamma _{_{V}}(1-\beta )=\nu '{\frac {1-\beta }{{\sqrt {1-\beta }}{\sqrt {1+\beta }}}}=\nu '{\sqrt {\frac {1-\beta }{1+\beta }}}\,.}$$

Si el emisor no dispara balas en el espacio vacío, sino que emite ondas en un medio, entonces la fórmula todavía se aplica , pero ahora, puede ser necesario calcular primero s ′ a partir de la velocidad del emisor en relación con el medio.

Volviendo al caso de un emisor de luz, en el caso de que el observador y el emisor no sean colineales, el resultado tiene poca modificación, ^{[2] [21] [22]} donde θ es el ángulo entre el emisor de luz y el observador. Esto se reduce al resultado anterior para el movimiento colineal cuando θ = 0 , pero para el movimiento transversal correspondiente a θ = π /2 , la frecuencia se desplaza por el factor de Lorentz . Esto no sucede en el efecto Doppler óptico clásico. $${\displaystyle \nu =\gamma _{_{V}}\nu '\left(1+{\frac {V}{s'}}\cos \theta \right),}$$

Geometría hiperbólica

Las funciones sinh , cosh y tanh . La función tanh relaciona la rapidez −∞ < ς < +∞ con la velocidad relativista −1 < β < +1 .

Asociada a la velocidad relativista de un objeto hay una cantidad cuya norma se llama rapidez . Estas están relacionadas a través de donde se piensa que el vector son coordenadas cartesianas en un subespacio tridimensional del álgebra de Lie del grupo de Lorentz abarcado por los generadores de impulso . Este espacio, llamado espacio de rapidez , es isomorfo a ℝ ³ como espacio vectorial, y se asigna a la bola unitaria abierta, , espacio de velocidad , a través de la relación anterior. ^[23] La ley de adición en forma colineal coincide con la ley de adición de tangentes hiperbólicas con ${\displaystyle {\boldsymbol {\beta }}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\zeta }}}$ $${\displaystyle {\mathfrak {so}}(3,1)\supset \mathrm {span} \{K_{1},K_{2},K_{3}\}\approx \mathbb {R} ^{3}\ni {\boldsymbol {\zeta }}={\boldsymbol {\hat {\beta }}}\tanh ^{-1}\beta ,\quad {\boldsymbol {\beta }}\in \mathbb {B} ^{3},}$$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\zeta }}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {so}}(3,1)}$ ${\displaystyle K_{1},K_{2},K_{3}}$ ${\displaystyle \mathbb {B} ^{3}}$ $${\displaystyle \tanh(\zeta _{v}+\zeta _{u'})={\tanh \zeta _{v}+\tanh \zeta _{u'} \over 1+\tanh \zeta _{v}\tanh \zeta _{u'}}}$$ $${\displaystyle {\frac {v}{c}}=\tanh \zeta _{v}\ ,\quad {\frac {u'}{c}}=\tanh \zeta _{u'}\ ,\quad \,{\frac {u}{c}}=\tanh(\zeta _{v}+\zeta _{u'}).}$$

El elemento de línea en el espacio de velocidad se desprende de la expresión para la velocidad relativa relativista en cualquier marco, ^[24] donde la velocidad de la luz se establece en la unidad de modo que y concuerdan. En esta expresión, y son las velocidades de dos objetos en cualquier marco dado. La cantidad es la velocidad de uno u otro objeto en relación con el otro objeto como se ve en el marco dado . La expresión es invariante de Lorentz, es decir, independiente de qué marco sea el marco dado, pero la cantidad que calcula no es . Por ejemplo, si el marco dado es el marco en reposo del objeto uno, entonces . ${\displaystyle \mathbb {B} ^{3}}$ $${\displaystyle v_{r}={\frac {\sqrt {(\mathbf {v_{1}} -\mathbf {v_{2}} )^{2}-(\mathbf {v_{1}} \times \mathbf {v_{2}} )^{2}}}{1-\mathbf {v_{1}} \cdot \mathbf {v_{2}} }},}$$ ${\displaystyle v_{i}}$ ${\displaystyle \beta _{i}}$ ${\displaystyle \mathbf {v} _{1}}$ ${\displaystyle \mathbf {v} _{2}}$ ${\displaystyle v_{r}}$ ${\displaystyle v_{r}=v_{2}}$

El elemento de línea se encuentra poniendo o equivalentemente , ^[25] ${\displaystyle \mathbf {v} _{2}=\mathbf {v} _{1}+d\mathbf {v} }$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\beta }}_{2}={\boldsymbol {\beta }}_{1}+d{\boldsymbol {\beta }}}$

$${\displaystyle dl_{\boldsymbol {\beta }}^{2}={\frac {d{\boldsymbol {\beta }}^{2}-({\boldsymbol {\beta }}\times d{\boldsymbol {\beta }})^{2}}{(1-\beta ^{2})^{2}}}={\frac {d\beta ^{2}}{(1-\beta ^{2})^{2}}}+{\frac {\beta ^{2}}{1-\beta ^{2}}}(d\theta ^{2}+\sin ^{2}\theta d\varphi ^{2}),}$$

con θ y φ, las coordenadas de ángulo esférico habituales para tomadas en la dirección z . Ahora introduzca ζ a través de ${\displaystyle {\boldsymbol {\beta }}}$

$${\displaystyle \zeta =|{\boldsymbol {\zeta }}|=\tanh ^{-1}\beta ,}$$

y el elemento de línea en el espacio de rapidez se convierte en ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

$${\displaystyle dl_{\boldsymbol {\zeta }}^{2}=d\zeta ^{2}+\sinh ^{2}\zeta (d\theta ^{2}+\sin ^{2}\theta d\varphi ^{2}).}$$

Colisiones de partículas relativistas

En los experimentos de dispersión, el objetivo principal es medir la sección eficaz de dispersión invariante . Esto entra en la fórmula para la dispersión de dos tipos de partículas en un estado final que se supone que tiene dos o más partículas, ^[26] ${\displaystyle f}$

$${\displaystyle dN_{f}=R_{f}\,dV\,dt=\sigma F\,dV\,dt}$$

o, en la mayoría de los libros de texto,

$${\displaystyle dN_{f}=\sigma n_{1}n_{2}v_{r}\,dV\,dt}$$

dónde

• ${\displaystyle dVdt}$es el volumen del espacio-tiempo. Es invariante bajo las transformaciones de Lorentz.
• ${\displaystyle dN_{f}}$es el número total de reacciones que dan lugar al estado final en el volumen del espacio-tiempo . Al ser un número, es invariante cuando se considera el mismo volumen del espacio-tiempo. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle dVdt}$
• ${\displaystyle R_{f}=F\sigma }$es el número de reacciones que dan lugar al estado final por unidad de espacio-tiempo, o velocidad de reacción . Es invariante. ${\displaystyle f}$
• ${\displaystyle F=n_{1}n_{2}v_{r}}$Se denomina flujo incidente . Se requiere que sea invariante, pero no lo es en el contexto más general.
• ${\displaystyle \sigma }$es la sección eficaz de dispersión. Se requiere que sea invariante.
• ${\displaystyle n_{1},n_{2}}$son las densidades de partículas en los rayos incidentes. Estas no son invariantes como es evidente debido a la contracción de la longitud .
• ${\displaystyle v_{r}=|\mathbf {v} _{2}-\mathbf {v} _{1}|}$es la velocidad relativa de los dos rayos incidentes. Esta no puede ser invariante ya que se requiere que así sea. ${\displaystyle F=n_{1}n_{2}v_{r}}$

El objetivo es encontrar una expresión correcta para la velocidad relativa relativista y una expresión invariante para el flujo incidente. ${\displaystyle v_{rel}}$

De manera no relativista, se tiene para la velocidad relativa . Si el sistema en el que se miden las velocidades es el sistema en reposo del tipo de partícula , se requiere que Al establecer la velocidad de la luz , la expresión para se deduce inmediatamente de la fórmula para la norma (segunda fórmula) en la configuración general como ^{[27] [28]} ${\displaystyle v_{r}=|\mathbf {v} _{2}-\mathbf {v} _{1}|}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle v_{rel}=v_{r}=|\mathbf {v} _{2}|.}$ ${\displaystyle c=1}$ ${\displaystyle v_{rel}}$

$${\displaystyle v_{\text{rel}}={\frac {\sqrt {(\mathbf {v_{1}} -\mathbf {v_{2}} )^{2}-(\mathbf {v_{1}} \times \mathbf {v_{2}} )^{2}}}{1-\mathbf {v_{1}} \cdot \mathbf {v_{2}} }}.}$$

La fórmula se reduce en el límite clásico a lo que debería y da el resultado correcto en los marcos de reposo de las partículas. La velocidad relativa se da incorrectamente en la mayoría, quizás en todos los libros sobre física de partículas y teoría cuántica de campos. ^[27] Esto es mayormente inofensivo, ya que si uno de los tipos de partículas es estacionario o el movimiento relativo es colineal, entonces se obtiene el resultado correcto a partir de las fórmulas incorrectas. La fórmula es invariante, pero no manifiestamente. Puede reescribirse en términos de cuatro velocidades como ${\displaystyle v_{r}=|\mathbf {v} _{1}-\mathbf {v} _{2}|}$

$${\displaystyle v_{\text{rel}}={\frac {\sqrt {(u_{1}\cdot u_{2})^{2}-1}}{u_{1}\cdot u_{2}}}.}$$

La expresión correcta para el flujo, publicada por Christian Møller ^[29] en 1945, viene dada por ^[30]

$${\displaystyle F=n_{1}n_{2}{\sqrt {(\mathbf {v} _{1}-\mathbf {v} _{2})^{2}-(\mathbf {v} _{1}\times \mathbf {v} _{2})^{2}}}\equiv n_{1}n_{2}{\bar {v}}.}$$

Se observa que para velocidades colineales, . Para obtener una expresión manifiestamente invariante de Lorentz se escribe con , donde es la densidad en el sistema de reposo, para los flujos de partículas individuales y se llega a ^[31] ${\displaystyle F=n_{1}n_{2}|\mathbf {v} _{2}-\mathbf {v} _{1}|=n_{1}n_{2}v_{r}}$ ${\displaystyle J_{i}=(n_{i},n_{i}\mathbf {v} _{i})}$ ${\displaystyle n_{i}=\gamma _{i}n_{i}^{0}}$ ${\displaystyle n_{i}^{0}}$

$${\displaystyle F=(J_{1}\cdot J_{2})v_{\text{rel}}.}$$

En la literatura, tanto la cantidad como la velocidad relativa se denominan velocidad relativa. En algunos casos (física estadística y literatura sobre materia oscura), se denomina velocidad de Møller , en cuyo caso significa velocidad relativa. La verdadera velocidad relativa es en cualquier caso . ^[31] La discrepancia entre y es relevante, aunque en la mayoría de los casos las velocidades son colineales. En el LHC, el ángulo de cruce es pequeño, alrededor de 300 μ rad, pero en el antiguo anillo de almacenamiento de intersección del CERN , era de aproximadamente 18 ^◦ . ^[32] ${\displaystyle {\bar {v}}}$ ${\displaystyle v_{r}}$ ${\displaystyle {\bar {v}}}$ ${\displaystyle v_{r}}$ ${\displaystyle v_{rel}}$ ${\displaystyle v_{rel}}$ ${\displaystyle v_{r}}$

Véase también

• Ley hiperbólica de los cosenos
• Bicuaternión
• Velocidad relativa

Observaciones

1. Estas fórmulas se derivan de invertir α _v para v ² y aplicar la diferencia de dos cuadrados para obtener
   v ² = c ² (1 − α _v ² ) = c ² (1 − α _v )(1 + α _v )

   de modo que

   ⁠(1 − α _v )/versión ²⁠ = ⁠1/c ² (1 + α _v )⁠ = ⁠y _v/c ² (1 + γ _v )⁠ .
2. Nótese que s ′ es negativo en el sentido en que se plantea el problema, es decir, un emisor con velocidad positiva dispara balas rápidas hacia el observador en un sistema no preparado. La convención es que − s > V debería dar una frecuencia positiva de acuerdo con el resultado para la velocidad máxima, s = − c . Por lo tanto, el signo menos es una convención, pero una convención muy natural, hasta el punto de ser canónica.
   La fórmula también puede dar como resultado frecuencias negativas. La interpretación entonces es que las balas se aproximan desde el eje x negativo . Esto puede tener dos causas. El emisor puede tener una velocidad positiva alta y disparar balas lentas. También puede darse el caso de que el emisor tenga una velocidad negativa baja y dispare balas rápidas. Pero si el emisor tiene una velocidad negativa alta y dispara balas lentas, la frecuencia es nuevamente positiva.
   Para que algunas de estas combinaciones tengan sentido, se requiere que el emisor haya estado disparando balas durante un tiempo suficientemente largo, con el límite de que el eje x en cualquier instante tenga balas igualmente espaciadas en todas partes.

Notas

1. Kleppner y Kolenkow 1978, capítulos 11 a 14
2. Einstein 1905, Véase la sección 5, "La composición de las velocidades".
3. Galileo 2001
4. Galileo 1954 Galileo utilizó esta idea para demostrar que la trayectoria del peso visto desde la orilla sería una parábola.
5. Arfken, George (2012). Física universitaria. Academic Press. pág. 367. ISBN 978-0-323-14202-1.Extracto de la página 367
6. Mermin 2005, pág. 37
7. Landau y Lifshitz 2002, pág. 13
8. Kleppner y Kolenkow 1978, pág. 457
9. Jackson 1999, pág. 531
10. Lerner y Trigg 1991, pág. 1053
11. Friedman 2002, págs. 1–21 harvnb error: no target: CITEREFFriedman2002 (help)
12. Landau & Lifshitz 2002, p. 37 Ecuación (12.6) Esta se deriva de manera bastante diferente al considerar secciones transversales invariantes.
13. Kleppner y Kolenkow 1978, pág. 474
14. Fizeau y 1851E harvnb error: no target: CITEREFFizeau1851E (help)
15. Fizeau 1860 harvnb error: no target: CITEREFFizeau1860 (help)
16. Landau y Lifshitz 2002, pág. 14
17. Bradley 1727–1728
18. Kleppner & Kolenkow 1978, p. 477 En la referencia, la velocidad de un emisor que se aproxima se considera positiva . De ahí la diferencia de signos.
19. Tipler y Mosca 2008, págs. 1328-1329
20. Mansfield y O'Sullivan 2011, págs. 491-492 harvnb error: no target: CITEREFMansfieldO'Sullivan2011 (help)
21. Lerner y Trigg 1991, pág. 259
22. Parker 1993, pág. 312
23. Jackson 1999, pág. 547
24. Landau y Lifshitz 2002, Ecuación 12.6
25. Landau y Lifshitz 2002, Problema p. 38
26. Cannoni 2017, pág. 1
27. Cannoni 2017, pág. 4
28. Landau y Lifshitz 2002
29. Møller 1945
30. Cannoni 2017, pág. 8
31. Cannoni 2017, pág. 13
32. Cannoni 2017, pág. 15

Referencias

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Enlaces externos

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