Dividir secuencia exacta

En matemáticas , una secuencia exacta dividida es una secuencia exacta corta en la que el término medio se construye a partir de los dos términos externos de la manera más simple posible.

Caracterizaciones equivalentes

Una secuencia corta y exacta de grupos abelianos o de módulos sobre un anillo fijo , o más generalmente de objetos en una categoría abeliana

${\displaystyle 0\to A\mathrel {\stackrel {a}{\to }} B\mathrel {\stackrel {b}{\to }} C\to 0}$

Se llama división exacta si es isomorfa a la secuencia exacta donde el término medio es la suma directa de los externos:

${\displaystyle 0\to A\mathrel {\stackrel {i}{\to }} A\oplus C\mathrel {\stackrel {p}{\to }} C\to 0}$

El requisito de que la secuencia sea isomorfa significa que existe un isomorfismo tal que el compuesto es la inclusión natural y tal que el compuesto es igual a b . Esto se puede resumir mediante un diagrama conmutativo como: ${\displaystyle f:B\to A\oplus C}$ ${\displaystyle f\circ a}$ ${\displaystyle i:A\to A\oplus C}$ ${\displaystyle p\circ f}$

El lema de división proporciona caracterizaciones equivalentes adicionales de secuencias exactas divididas.

Ejemplos

Un ejemplo trivial de una secuencia exacta corta dividida es

${\displaystyle 0\to M_{1}\mathrel {\stackrel {q}{\to }} M_{1}\oplus M_{2}\mathrel {\stackrel {p}{\to }} M_{2}\to 0}$

donde son R -módulos, es la inyección canónica y es la proyección canónica. ${\displaystyle M_{1},M_{2}}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle p}$

Cualquier secuencia corta y exacta de espacios vectoriales es una secuencia exacta dividida. Esto es una reformulación del hecho de que cualquier conjunto de vectores linealmente independientes en un espacio vectorial se puede extender a una base .

La secuencia exacta (donde el primer mapa es la multiplicación por 2) no es exactamente dividida. ${\displaystyle 0\to \mathbf {Z} \mathrel {\stackrel {2}{\to }} \mathbf {Z} \to \mathbf {Z} /2\mathbf {Z} \to 0}$

Nociones relacionadas

Las secuencias exactas puras se pueden caracterizar como los colímites filtrados de secuencias exactas divididas. ^[1]

Referencias

1. Fuchs (2015, cap. 5, tes. 3.4)

Fuentes

• Fuchs, László (2015), Grupos abelianos , Springer Monographs in Mathematics, Springer, ISBN 9783319194226
• Sharp, RY, Rodney (2001), Pasos en álgebra conmutativa, 2.ª ed. , Textos para estudiantes de la London Mathematical Society, Cambridge University Press, ISBN 0521646235