Toro algebraico

Grupo algebraico específico

En matemáticas , un toro algebraico , donde un toro unidimensional se denota típicamente por , , o , es un tipo de grupo algebraico afín conmutativo que se encuentra comúnmente en la geometría algebraica proyectiva y la geometría tórica . Los toros algebraicos de dimensiones superiores se pueden modelar como un producto de grupos algebraicos . Estos grupos se nombraron por analogía con la teoría de toros en la teoría de grupos de Lie (ver subgrupo de Cartan ). Por ejemplo, sobre los números complejos el toro algebraico es isomorfo al esquema de grupo , que es el análogo teórico del esquema del grupo de Lie . De hecho, cualquier -acción en un espacio vectorial complejo se puede retrotraer a una -acción desde la inclusión como variedades reales. ${\displaystyle \mathbf {G} _{\mathbf {m} }}$ ${\displaystyle \mathbb {G} _{m}}$ ${\displaystyle \mathbb {T} }$ ${\displaystyle \mathbf {G} _{\mathbf {m} }}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbf {G} _{\mathbf {m} }}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{*}={\text{Spec}}(\mathbb {C} [t,t^{-1}])}$ ${\displaystyle U(1)\subset \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbf {G} _{\mathbf {m} }}$ ${\displaystyle U(1)}$ ${\displaystyle U(1)\subset \mathbb {C} ^{*}}$

Los toros son de importancia fundamental en la teoría de grupos algebraicos y grupos de Lie y en el estudio de los objetos geométricos asociados a ellos, como espacios simétricos y edificios .

Toros algebraicos sobre campos

En la mayoría de los casos suponemos que el campo base es perfecto (por ejemplo, cero finito o característico). Esta hipótesis es necesaria para tener un esquema de grupo suave ^{[1] pág. 64} , ya que para que un grupo algebraico sea suave sobre la característica , las aplicaciones deben reducirse geométricamente para valores suficientemente grandes , lo que significa que la imagen de la aplicación correspondiente en es suave para valores suficientemente grandes . ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle p}$ $${\displaystyle (\cdot )^{p^{r}}:{\mathcal {O}}(G)\to {\mathcal {O}}(G)}$$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle r}$

En general, hay que utilizar cierres separables en lugar de cierres algebraicos.

Grupo multiplicativo de un cuerpo

Si es un cuerpo entonces el grupo multiplicativo sobre es el grupo algebraico tal que para cualquier extensión de cuerpo los puntos son isomorfos al grupo . Para definirlo correctamente como un grupo algebraico se puede tomar la variedad afín definida por la ecuación en el plano afín sobre con coordenadas . La multiplicación se da entonces restringiendo la función racional regular definida por y la inversa es la restricción de la función racional regular . ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle \mathbf {G} _{\mathbf {m} }}$ ${\displaystyle E/F}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle E^{\times }}$ ${\displaystyle xy=1}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle x,y}$ ${\displaystyle F^{2}\times F^{2}\to F^{2}}$ ${\displaystyle ((x,y),(x',y'))\mapsto (xx',yy')}$ ${\displaystyle (x,y)\mapsto (y,x)}$

Definición

Sea un cuerpo con clausura algebraica . Entonces un -toro es un grupo algebraico definido sobre el cual es isomorfo a un producto finito de copias del grupo multiplicativo. ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle {\overline {F}}}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle {\overline {F}}}$

En otras palabras, si es un grupo es un toro si y solo si para algún . La terminología básica asociada a los toros es la siguiente. ${\displaystyle \mathbf {T} }$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle \mathbf {T} ({\overline {F}})\cong ({\overline {F}}^{\times })^{r}}$ ${\displaystyle r\geq 1}$

• Al número entero se le llama rango o rango absoluto del toro . ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle \mathrm {T} }$
• Se dice que el toro está dividido sobre una extensión de campo si . Existe una única extensión finita mínima de sobre la cual se divide, que se denomina campo de división de . ${\displaystyle E/F}$ ${\displaystyle \mathbf {T} (E)\cong (E^{\times })^{r}}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle \mathbf {T} }$ ${\displaystyle \mathbf {T} }$
• El -rango de es el rango máximo de un subtoro dividido de . Un toro está dividido si y solo si su -rango es igual a su rango absoluto. ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle \mathbf {T} }$ ${\displaystyle \mathbf {T} }$ ${\displaystyle F}$
• Se dice que un toro es anisotrópico si su rango es cero. ${\displaystyle F}$

Isogenias

Una isogenia entre grupos algebraicos es un morfismo sobreyectivo con núcleo finito; se dice que dos toros son isógenos si existe una isogenia del primero al segundo. Las isogenias entre toros se comportan particularmente bien: para cualquier isogenia existe una isogenia "dual" tal que es una función de potencia. En particular, ser isógeno es una relación de equivalencia entre toros. ${\displaystyle \phi :\mathbf {T} \to \mathbf {T} '}$ ${\displaystyle \psi :\mathbf {T} '\to \mathbf {T} }$ ${\displaystyle \psi \circ \phi }$

Ejemplos

Sobre un campo algebraicamente cerrado

Sobre cualquier cuerpo algebraicamente cerrado existe, hasta isomorfismo, un único toro de cualquier rango dado. Para un toro algebraico de rango sobre éste se da el esquema de grupos ^{[1] pg 230} . ${\displaystyle k={\overline {k}}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \mathbf {G} _{m}^{n}={\text{Spec}}_{k}(k[t_{1},t_{1}^{-1},\ldots ,t_{n},t_{n}^{-1}])}$

Sobre los números reales

Sobre el cuerpo de los números reales hay exactamente (salvo isomorfismo) dos toros de rango 1: ${\displaystyle \mathbb {R} }$

• El toro partido ${\displaystyle \mathbb {R} ^{\times }}$
• la forma compacta, que puede realizarse como grupo unitario o como grupo ortogonal especial . Es un toro anisotrópico. Como grupo de Lie, también es isomorfo al 1- toro , lo que explica la imagen de los grupos algebraicos diagonalizables como toros. ${\displaystyle \mathbf {U} (1)}$ ${\displaystyle \mathrm {SO} (2)}$ ${\displaystyle \mathbf {T} ^{1}}$

Cualquier toro real es isógeno a una suma finita de esos dos; por ejemplo, el toro real está doblemente cubierto por (pero no es isomorfo a) . Esto da un ejemplo de toros isógenos, no isomorfos. ${\displaystyle \mathbb {C} ^{\times }}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{\times }\times \mathbb {T} ^{1}}$

Sobre un campo finito

Sobre el cuerpo finito hay dos toros de rango 1: el escindido, de cardinalidad , y el anisotrópico, de cardinalidad . Este último puede realizarse como el grupo de matrices ${\displaystyle \mathbb {F} _{q}}$ ${\displaystyle q-1}$ ${\displaystyle q+1}$ $${\displaystyle \left\{{\begin{pmatrix}t&du\\u&t\end{pmatrix}}:t,u\in \mathbb {F} _{q},t^{2}-du^{2}=1\right\}\subset \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {F} _{q}).}$$

De manera más general, si es una extensión de campo finito de grado entonces la restricción de Weil de a del grupo multiplicativo de es un -toro de rango y -rango 1 (nótese que la restricción de escalares sobre una extensión de campo inseparable producirá un grupo algebraico conmutativo que no es un toro). El núcleo de su norma de campo también es un toro, que es anisotrópico y de rango . Cualquier -toro de rango uno está dividido o es isomorfo al núcleo de la norma de una extensión cuadrática. ^[2] Los dos ejemplos anteriores son casos especiales de esto: el toro real compacto es el núcleo de la norma de campo de y el toro anisotrópico sobre es el núcleo de la norma de campo de . ${\displaystyle E/F}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle N_{E/F}}$ ${\displaystyle d-1}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle \mathbb {C} /\mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {F} _{q}}$ ${\displaystyle \mathbb {F} _{q^{2}}/\mathbb {F} _{q}}$

Pesos y copesos

Sobre un cuerpo separablemente cerrado, un toro T admite dos invariantes primarios. La red de pesos es el grupo de homomorfismos algebraicos T  →  G _m , y la red de copesos es el grupo de homomorfismos algebraicos  G _m  →  T . Ambos son grupos abelianos libres cuyo rango es el del toro, y tienen un emparejamiento canónico no degenerado dado por , donde grado es el número n tal que la composición es igual a la función de potencia n en el grupo multiplicativo. El funtor dado al tomar pesos es una antiequivalencia de categorías entre toros y grupos abelianos libres, y el funtor de copesos es una equivalencia. En particular, las funciones de toros se caracterizan por transformaciones lineales sobre pesos o copesos, y el grupo de automorfismos de un toro es un grupo lineal general sobre  Z . El cuasi-inverso del funtor de pesos está dado por un funtor de dualización de grupos abelianos libres a toros, definido por su funtor de puntos como: ${\displaystyle X^{\bullet }(T)}$ ${\displaystyle X_{\bullet }(T)}$ ${\displaystyle X^{\bullet }(T)\times X_{\bullet }(T)\to \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle (f,g)\mapsto \deg(f\circ g)}$

${\displaystyle D(M)_{S}(X):=\mathrm {Hom} (M,\mathbb {G} _{m,S}(X)).}$

Esta equivalencia se puede generalizar para pasar entre grupos de tipo multiplicativo (una clase distinguida de grupos formales ) y grupos abelianos arbitrarios, y dicha generalización puede ser conveniente si uno quiere trabajar en una categoría de buen comportamiento, ya que la categoría de toros no tiene núcleos o colimites filtrados.

Cuando un cuerpo K no está cerrado separablemente, las redes de pesos y copesos de un toro sobre K se definen como las redes respectivas sobre el cierre separable. Esto induce acciones continuas canónicas del grupo absoluto de Galois de K sobre las redes. Los pesos y copesos que se fijan mediante esta acción son precisamente las funciones que se definen sobre  K . El funtor de tomar pesos es una antiequivalencia entre la categoría de toros sobre K con homomorfismos algebraicos y la categoría de grupos abelianos libres de torsión finitamente generados con una acción del grupo absoluto de Galois de K .

Dada una extensión de campo separable finita L / K y un toro T sobre L , tenemos un isomorfismo de módulo de Galois

${\displaystyle X^{\bullet }(\mathrm {Res} _{L/K}T)\cong \mathrm {Ind} _{G_{L}}^{G_{K}}X^{\bullet }(T).}$

Si T es el grupo multiplicativo, entonces esto le da a la restricción de escalares una estructura de módulo de permutación. Los toros cuyas redes de pesos son módulos de permutación para el grupo de Galois se denominan cuasi-divididos, y todos los toros cuasi-divididos son productos finitos de restricciones de escalares.

Toros en grupos semisimples

Representaciones lineales de toros

Como se ve en los ejemplos anteriores, los toros se pueden representar como grupos lineales. Una definición alternativa de toros es:

Un grupo algebraico lineal es un toro si y sólo si es diagonalizable sobre un cierre algebraico.

El toro se divide en un campo si y sólo si es diagonalizable en este campo.

Rango dividido de un grupo semisimple

Si es un grupo algebraico semisimple sobre un cuerpo entonces: ${\displaystyle \mathbf {G} }$ ${\displaystyle F}$

• su rango (o rango absoluto ) es el rango de un subgrupo de toros máximos en (nótese que todos los toros máximos están conjugados, por lo que el rango está bien definido); ${\displaystyle \mathbf {G} }$ ${\displaystyle F}$
• Su -rango (a veces llamado rango -split ) es el rango máximo de un subgrupo de toro en el que se divide en . ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle F}$

Obviamente, el rango es mayor o igual que el rango ; el grupo se llama dividido si y solo si se cumple la igualdad (es decir, hay un toro máximo en el que está dividido en ). El grupo se llama anisotrópico si no contiene toros divididos (es decir, su rango es cero). ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle \mathbf {G} }$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle F}$

Clasificación de grupos semisimples

En la teoría clásica de las álgebras de Lie semisimples sobre el cuerpo complejo, las subálgebras de Cartan juegan un papel fundamental en la clasificación mediante sistemas de raíces y diagramas de Dynkin . Esta clasificación es equivalente a la de los grupos algebraicos conexos sobre el cuerpo complejo, y las subálgebras de Cartan corresponden a toros maximalistas en estos. De hecho, la clasificación se traslada al caso de un cuerpo base arbitrario bajo el supuesto de que existe un toro maximalista dividido (que se satisface automáticamente sobre un cuerpo algebraicamente cerrado). Sin el supuesto de división, las cosas se vuelven mucho más complicadas y se debe desarrollar una teoría más detallada, que todavía se basa en parte en el estudio de las acciones adjuntas de los toros.

Si es un toro maximal en un grupo algebraico semisimple entonces sobre la clausura algebraica da lugar a un sistema raíz en el espacio vectorial . Por otra parte, si es un toro maximal -split su acción sobre el álgebra de -Lie de da lugar a otro sistema raíz . La función de restricción induce una función y el índice de Tits es una forma de codificar las propiedades de esta función y de la acción del grupo de Galois de sobre . El índice de Tits es una versión "relativa" del diagrama de Dynkin "absoluto" asociado a ; obviamente, solo un número finito de índices de Tits puede corresponder a un diagrama de Dynkin dado. ${\displaystyle \mathbf {T} }$ ${\displaystyle \mathbf {G} }$ ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle V=X^{*}(\mathbf {T} )\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {R} }$ ${\displaystyle {}_{F}\mathbf {T} \subset \mathbf {T} }$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle \mathbf {G} }$ ${\displaystyle {}_{F}\Phi }$ ${\displaystyle X^{*}(\mathbf {T} )\to X^{*}(_{F}\mathbf {T} )}$ ${\displaystyle \Phi \to {}_{F}\Phi \cup \{0\}}$ ${\displaystyle {\overline {F}}/F}$ ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle \Phi }$

Otro invariante asociado al toro partido es el núcleo anisotrópico : se trata del grupo algebraico semisimple obtenido como subgrupo derivado del centralizador de in (este último es sólo un grupo reductivo). Como su nombre lo indica es un grupo anisotrópico, y su tipo absoluto está determinado unívocamente por . ${\displaystyle {}_{F}\mathbf {T} }$ ${\displaystyle {}_{F}\mathbf {T} }$ ${\displaystyle \mathbf {G} }$ ${\displaystyle {}_{F}\Phi }$

El primer paso hacia una clasificación es entonces el siguiente teorema ^[3]

Dos grupos -algebraicos semisimples son isomorfos si y sólo si tienen los mismos índices Tits y núcleos anisotrópicos isomorfos. ${\displaystyle F}$

Esto reduce el problema de clasificación a grupos anisotrópicos y a determinar qué índices de Tits pueden ocurrir para un diagrama de Dynkin dado. El último problema se ha resuelto en Tits (1966). El primero está relacionado con los grupos de cohomología de Galois de . Más precisamente, a cada índice de Tits se asocia un grupo cuasi-split único sobre ; entonces cada grupo con el mismo índice es una forma interna de este grupo cuasi-split, y aquellos se clasifican por la cohomología de Galois de con coeficientes en el grupo adjunto. ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle F}$

Toros y geometría

Subespacios planos y rango de espacios simétricos

Si es un grupo de Lie semisimple, entonces su rango real es el rango -tal como se definió anteriormente (para cualquier grupo -algebraico cuyo grupo de puntos reales sea isomorfo a ), en otras palabras, el máximo tal que existe una incrustación . Por ejemplo, el rango real de es igual a , y el rango real de es igual a . ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle (\mathbb {R} ^{\times })^{r}\to G}$ ${\displaystyle \mathrm {SL} _{n}(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle n-1}$ ${\displaystyle \mathrm {SO} (p,q)}$ ${\displaystyle \min(p,q)}$

Si es el espacio simétrico asociado a y es un toro partido máximo entonces existe una órbita única de en la que es un subespacio plano totalmente geodésico en . De hecho es un subespacio plano máximo y todos los máximos de este tipo se obtienen como órbitas de toros partidos de esta manera. Por lo tanto, existe una definición geométrica del rango real, como la dimensión máxima de un subespacio plano en . ^[4] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle T\subset G}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

Rango Q de las redes

Si el grupo de Lie se obtiene como los puntos reales de un grupo algebraico sobre el cuerpo racional , entonces el -rango de tiene también un significado geométrico. Para llegar a él, hay que introducir un grupo aritmético asociado a , que aproximadamente es el grupo de puntos enteros de , y el espacio cociente , que es un orbifold de Riemann y, por lo tanto, un espacio métrico. Entonces, cualquier cono asintótico de es homeomorfo a un complejo simplicial finito con símplices de dimensión superior de dimensión igual al -rango de . En particular, es compacto si y solo si es anisotrópico. ^[5] ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \mathbf {G} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbf {G} }$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle \mathbf {G} }$ ${\displaystyle \mathbf {G} }$ ${\displaystyle M=\Gamma \backslash X}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbf {G} }$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \mathbf {G} }$

Nótese que esto permite definir el rango de cualquier red en un grupo de Lie semisimple, como la dimensión de su cono asintótico. ${\displaystyle \mathbf {Q} }$

Edificios

Si es un grupo semisimple sobre los toros de máxima división en corresponden a los apartamentos del edificio Bruhat-Tits asociado a . En particular, la dimensión de es igual al rango de . ${\displaystyle \mathbf {G} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$ ${\displaystyle \mathbf {G} }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbf {G} }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$ ${\displaystyle \mathbf {G} }$

Esquema de toros algebraicos sobre una base arbitraria

Definición

Dado un esquema base S , un toro algebraico sobre S se define como un esquema de grupo sobre S que es fpqc localmente isomorfo a un producto finito de copias del esquema de grupo multiplicativo G _m / S sobre S . En otras palabras, existe una función fielmente plana X  →  S tal que cualquier punto en X tiene un vecindario abierto cuasi compacto U cuya imagen es un subesquema afín abierto de S , tal que el cambio de base a U produce un producto finito de copias de GL _{1, U} = G _m / U . ^{[ aclaración necesaria ]} Un caso particularmente importante es cuando S es el espectro de un campo K , lo que hace que un toro sobre S sea un grupo algebraico cuya extensión a alguna extensión separable finita L es un producto finito de copias de G _m / L . En general, la multiplicidad de este producto (es decir, la dimensión del esquema) se llama rango del toro, y es una función localmente constante en S .

La mayoría de las nociones definidas para toros sobre campos se trasladan a este contexto más general.

Ejemplos

Un ejemplo común de un toro algebraico es considerar el cono afín de un esquema proyectivo . Luego, con el origen eliminado, el mapa de proyección inducido da la estructura de un toro algebraico sobre . ${\displaystyle {\text{Aff}}(X)\subset \mathbb {A} ^{n+1}}$ ${\displaystyle X\subset \mathbb {P} ^{n}}$ $${\displaystyle \pi :({\text{Aff}}(X)-\{0\})\to X}$$ ${\displaystyle X}$

Pesos

Para un esquema de base general S , los pesos y copesos se definen como haces fpqc de grupos abelianos libres en S . Estos proporcionan representaciones de grupoides fundamentales de la base con respecto a la topología fpqc. Si el toro es trivializable localmente con respecto a una topología más débil como la topología étale, entonces los haces de grupos descienden a las mismas topologías y estas representaciones se factorizan a través de los grupoides cocientes respectivos. En particular, un haz étale da lugar a un toro cuasi-isotrivial, y si S es localmente noetheriano y normal (más generalmente, geométricamente uniramificado ), el toro es isotrivial. Como recíproco parcial, un teorema de Grothendieck afirma que cualquier toro de tipo finito es cuasi-isotrivial, es decir, dividido por una sobreyección étale.

Dado un toro de rango n T sobre S , una forma torcida es un toro sobre S para el cual existe un recubrimiento fpqc de S para el cual sus extensiones de base son isomorfas, es decir, es un toro del mismo rango. Las clases de isomorfismo de formas torcidas de un toro partido están parametrizadas por cohomología plana no abeliana , donde el grupo de coeficientes forma un haz constante. En particular, las formas torcidas de un toro partido T sobre un cuerpo K están parametrizadas por elementos del conjunto puntiagudo de cohomología de Galois con acción de Galois trivial sobre los coeficientes. En el caso unidimensional, los coeficientes forman un grupo de orden dos, y las clases de isomorfismo de formas torcidas de G _m están en biyección natural con extensiones cuadráticas separables de  K . ${\displaystyle H^{1}(S,GL_{n}(\mathbb {Z} ))}$ ${\displaystyle H^{1}(G_{K},GL_{n}(\mathbb {Z} ))}$

Dado que tomar una red de pesos es una equivalencia de categorías, las secuencias cortas exactas de toros corresponden a secuencias cortas exactas de las redes de pesos correspondientes. En particular, las extensiones de toros se clasifican por haces Ext ^1. Estos son naturalmente isomorfos a los grupos de cohomología plana . Sobre un cuerpo, las extensiones están parametrizadas por elementos del grupo de cohomología de Galois correspondiente. ${\displaystyle H^{1}(S,\mathrm {Hom} _{\mathbb {Z} }(X^{\bullet }(T_{1}),X^{\bullet }(T_{2})))}$

Invariantes aritméticos

En su trabajo sobre los números de Tamagawa , T. Ono introdujo un tipo de invariantes funcionales de toros sobre extensiones finitas separables de un cuerpo elegido k . Un invariante de este tipo es una colección de funciones reales positivas f _K sobre clases de isomorfismo de toros sobre K , ya que K se ejecuta sobre extensiones finitas separables de k , satisfaciendo tres propiedades:

1. Multiplicatividad: Dados dos toros T ₁ y T ₂ sobre K , f _K ( T ₁ × T ₂ ) = f _K ( T ₁ ) f _K ( T ₂ )
2. Restricción: Para una extensión separable finita L / K , f _L evaluado en un toro L es igual a f _K evaluado en su restricción de escalares a K .
3. Trivialidad proyectiva: Si T es un toro sobre K cuya red de pesos es un módulo de Galois proyectivo, entonces f _K ( T ) = 1.

T. Ono demostró que el número de Tamagawa de un toro sobre un cuerpo de números es un invariante de este tipo. Además, demostró que es un cociente de dos invariantes cohomológicos, a saber, el orden del grupo (a veces llamado erróneamente el grupo de Picard de T , aunque no clasifica a los torsores G _m sobre T ), y el orden del grupo de Tate–Shafarevich . ${\displaystyle H^{1}(G_{k},X^{\bullet }(T))\cong Ext^{1}(T,\mathbb {G} _{m})}$

La noción de invariante dada anteriormente se generaliza naturalmente a toros sobre esquemas de base arbitrarios, con funciones que toman valores en anillos más generales. Si bien el orden del grupo de extensión es un invariante general, los otros dos invariantes anteriores no parecen tener análogos interesantes fuera del ámbito de los cuerpos fraccionarios de dominios unidimensionales y sus compleciones.

Véase también

• Portal de matemáticas

• Geometría tórica
• Toro
• Criptografía basada en Torus
• Álgebra de Hopf

Notas

1. Milne. "Grupos algebraicos: la teoría de esquemas de grupos de tipo finito" (PDF) . Archivado (PDF) desde el original el 7 de marzo de 2016.
2. Voskresenskii, VS (1998). Grupos algebraicos y sus invariantes biracionales . Traducciones de monografías matemáticas. American Math. Soc.
3. Tits 1966, Teorema 2.7.1.
4. Witte-Morris 2015, pág. 22.
5. Witte-Morris 2015, pág. 25.

Referencias

• A. Grothendieck, SGA 3 Exp. VIII–X
• T. Ono, Sobre los números de Tamagawa
• T. Ono, Sobre el número Tamagawa de toros algebraicos Annals of Mathematics 78 (1) 1963.
• Tits, Jacques (1966). "Clasificación de grupos algebraicos semisimples". En Borel, Armand; Mostow, George D. (eds.). Grupos algebraicos y grupos discontinuos . Actas de simposios sobre matemáticas puras. Vol. 9. American math. soc. págs. 33–62.
• Witte-Morris, Dave (2015). Introducción a los grupos aritméticos. Deductive Press. pág. 492. ISBN 978-0-9865716-0-2.