Red de mundo pequeño

Gráfico donde la mayoría de los nodos son alcanzables en una pequeña cantidad de pasos

Ejemplo de red de mundo pequeño
Los concentradores son más grandes que otros nodos

Una red de mundo pequeño es un grafo caracterizado por un coeficiente de agrupamiento alto y distancias bajas . En un ejemplo de red social, un alto agrupamiento implica la alta probabilidad de que dos amigos de una persona sean amigos ellos mismos. Las distancias bajas, por otro lado, significan que hay una cadena corta de conexiones sociales entre dos personas cualesquiera (este efecto se conoce como seis grados de separación ). ^[1] Específicamente, una red de mundo pequeño se define como una red donde la distancia típica L entre dos nodos elegidos aleatoriamente (el número de pasos requeridos) crece proporcionalmente al logaritmo del número de nodos N en la red, es decir: ^[2]

${\displaystyle L\propto \log N}$

Si bien el coeficiente de agrupamiento global no es pequeño.

En el contexto de una red social, esto da como resultado el fenómeno del mundo pequeño en el que desconocidos se vinculan entre sí mediante una cadena corta de conocidos . Muchos gráficos empíricos muestran el efecto del mundo pequeño, incluidas las redes sociales , wikis como Wikipedia, redes genéticas e incluso la arquitectura subyacente de Internet . Es la inspiración para muchas arquitecturas de red en chip en el hardware informático contemporáneo . ^[3]

Una cierta categoría de redes de mundo pequeño fueron identificadas como una clase de grafos aleatorios por Duncan Watts y Steven Strogatz en 1998. ^[4] Observaron que los grafos podían clasificarse según dos características estructurales independientes, a saber, el coeficiente de agrupamiento y la distancia promedio de nodo a nodo (también conocida como longitud promedio de ruta más corta ). Los grafos puramente aleatorios, construidos según el modelo Erdős–Rényi (ER) , exhiben una longitud promedio de ruta más corta pequeña (que varía típicamente como el logaritmo del número de nodos) junto con un coeficiente de agrupamiento pequeño. Watts y Strogatz midieron que, de hecho, muchas redes del mundo real tienen una longitud promedio de ruta más corta pequeña, pero también un coeficiente de agrupamiento significativamente más alto de lo esperado por el azar. Watts y Strogatz luego propusieron un nuevo modelo de grafo, actualmente llamado modelo de Watts y Strogatz , con (i) una longitud promedio de ruta más corta pequeña y (ii) un coeficiente de agrupamiento grande. El cruce en el modelo de Watts-Strogatz entre un "mundo grande" (como una red) y un mundo pequeño fue descrito por primera vez por Barthelemy y Amaral en 1999. ^[5] Este trabajo fue seguido por muchos estudios, incluidos resultados exactos (Barrat y Weigt, 1999; Dorogovtsev y Mendes ; Barmpoutis y Murray, 2010).

Propiedades de las redes de mundo pequeño

Las redes de mundo pequeño tienden a contener camarillas y casi camarillas, es decir, subredes que tienen conexiones entre casi dos nodos cualesquiera dentro de ellas. Esto se desprende de la propiedad definitoria de un coeficiente de agrupamiento alto . En segundo lugar, la mayoría de los pares de nodos estarán conectados por al menos un camino corto. Esto se desprende de la propiedad definitoria de que la longitud de camino más corto promedio sea pequeña. Varias otras propiedades a menudo se asocian con redes de mundo pequeño. Normalmente hay una sobreabundancia de centros : nodos en la red con un alto número de conexiones (conocidos como nodos de alto grado ). Estos centros sirven como conexiones comunes que median las longitudes de camino corto entre otros bordes. Por analogía, la red de mundo pequeño de vuelos de aerolíneas tiene una longitud de camino promedio pequeña (es decir, entre dos ciudades cualesquiera es probable que tenga que tomar tres vuelos o menos) porque muchos vuelos se enrutan a través de ciudades centrales . Esta propiedad a menudo se analiza considerando la fracción de nodos en la red que tienen un número particular de conexiones que los ingresan (la distribución de grados de la red). Las redes con una cantidad de concentradores mayor que la esperada tendrán una mayor fracción de nodos con un grado alto y, en consecuencia, la distribución de grados se enriquecerá con valores de grado altos. Esto se conoce coloquialmente como una distribución de cola gruesa . Los gráficos de topología muy diferente califican como redes de mundo pequeño siempre que cumplan con los dos requisitos de definición anteriores.

La pequeñez de la red se ha cuantificado mediante un coeficiente pequeño, , calculado comparando la agrupación y la longitud de la ruta de una red dada con un modelo de Erdős–Rényi con el mismo grado en promedio. ^{[6] [7]} ${\displaystyle \sigma }$

${\displaystyle \sigma ={\frac {\frac {C}{C_{r}}}{\frac {L}{L_{r}}}}}$

Si ( y ), la red es de tamaño pequeño. Sin embargo, se sabe que esta métrica tiene un rendimiento deficiente porque está muy influenciada por el tamaño de la red. ^{[8] [9]} ${\displaystyle \sigma >1}$ ${\textstyle C\gg C_{r}}$ ${\textstyle L\approx {L_{r}}}$

Otro método para cuantificar el carácter pequeño de una red utiliza la definición original de red de mundo pequeño comparando la agrupación de una red dada con una red reticular equivalente y su longitud de ruta con una red aleatoria equivalente. La medida de mundo pequeño ( ) se define como ^[8] ${\displaystyle \omega }$

${\displaystyle \omega ={\frac {L_{r}}{L}}-{\frac {C}{C_{\ell }}}}$

Donde la longitud de ruta característica L y el coeficiente de agrupamiento C se calculan a partir de la red que está probando, C _ℓ es el coeficiente de agrupamiento para una red reticular equivalente y L _r es la longitud de ruta característica para una red aleatoria equivalente.

Otro método para cuantificar el carácter pequeño del mundo normaliza tanto la agrupación de la red como la longitud de la ruta en relación con estas características en redes reticulares y aleatorias equivalentes. El índice de mundo pequeño (SWI) se define como ^[9]

${\displaystyle {\text{SWI}}={\frac {L-L_{\ell }}{L_{r}-L_{\ell }}}\times {\frac {C-C_{r}}{C_{\ell }-C_{r}}}}$

Tanto ω ′ como SWI varían entre 0 y 1, y se ha demostrado que capturan aspectos de mundo pequeño. Sin embargo, adoptan concepciones ligeramente diferentes de mundo pequeño ideal. Para un conjunto dado de restricciones (por ejemplo, tamaño, densidad, distribución de grados), existe una red para la que ω ′ = 1, y por lo tanto, ω apunta a capturar el grado en que una red con restricciones dadas es lo más pequeña posible. Por el contrario, puede que no exista una red para la que SWI = 1, por lo que SWI apunta a capturar el grado en que una red con restricciones dadas se acerca al ideal teórico de mundo pequeño de una red donde C ≈ C _ℓ y L ≈ L _r . ^[9]

Ejemplos de redes de mundo pequeño

Las propiedades de mundo pequeño se encuentran en muchos fenómenos del mundo real, incluidos sitios web con menús de navegación, redes alimentarias, redes de energía eléctrica, redes de procesamiento de metabolitos, redes de neuronas cerebrales , redes de votantes, gráficos de llamadas telefónicas y redes de aeropuertos. ^[10] También se ha demostrado que las redes culturales ^[11] y las redes de coocurrencia de palabras ^[12] son ​​redes de mundo pequeño.

Las redes de proteínas conectadas tienen propiedades de mundo pequeño, como distribuciones de grados que obedecen a leyes de potencia. ^[13] De manera similar , las redes transcripcionales , en las que los nodos son genes y están vinculados si un gen tiene una influencia genética reguladora positiva o negativa sobre el otro, tienen propiedades de red de mundo pequeño. ^[14]

Ejemplos de redes que no son de mundo pequeño

En otro ejemplo, la famosa teoría de los “ seis grados de separación ” entre las personas presupone tácitamente que el dominio del discurso es el conjunto de personas vivas en un momento dado. El número de grados de separación entre Albert Einstein y Alejandro Magno es casi con toda seguridad mayor que 30 ^[15] y esta red no tiene propiedades de mundo pequeño. Una red con restricciones similares sería la red “fue a la escuela con”: si dos personas fueron a la misma universidad con diez años de diferencia, es poco probable que tengan conocidos en común entre el alumnado.

De manera similar, el número de estaciones de relevo por las que debía pasar un mensaje no siempre era pequeño. En la época en que el correo se transportaba a mano o a caballo, el número de veces que una carta cambiaba de manos entre su origen y su destino habría sido mucho mayor que en la actualidad. El número de veces que un mensaje cambiaba de manos en la época del telégrafo visual (circa 1800-1850) estaba determinado por el requisito de que dos estaciones estuvieran conectadas por una línea de visión.

Las suposiciones tácitas, si no se examinan, pueden causar un sesgo en la literatura sobre gráficos a favor de encontrar redes de mundo pequeño (un ejemplo del efecto del cajón de archivos que resulta del sesgo de publicación ).

Robustez de la red

Algunos investigadores, como Albert-László Barabási , han planteado la hipótesis de que la prevalencia de redes de mundo pequeño en sistemas biológicos puede reflejar una ventaja evolutiva de dicha arquitectura. Una posibilidad es que las redes de mundo pequeño sean más resistentes a las perturbaciones que otras arquitecturas de red. Si este fuera el caso, proporcionaría una ventaja a los sistemas biológicos que están sujetos a daños por mutación o infección viral .

En una red de mundo pequeño con una distribución de grados que sigue una ley de potencia , la eliminación de un nodo aleatorio rara vez causa un aumento dramático en la longitud de la ruta más corta media (o una disminución dramática en el coeficiente de agrupamiento ). Esto se desprende del hecho de que la mayoría de las rutas más cortas entre nodos fluyen a través de centros , y si se elimina un nodo periférico, es poco probable que interfiera con el paso entre otros nodos periféricos. Como la fracción de nodos periféricos en una red de mundo pequeño es mucho mayor que la fracción de centros , la probabilidad de eliminar un nodo importante es muy baja. Por ejemplo, si se cerrara el pequeño aeropuerto de Sun Valley, Idaho , no aumentaría el número promedio de vuelos que otros pasajeros que viajan en los Estados Unidos tendrían que tomar para llegar a sus respectivos destinos. Sin embargo, si la eliminación aleatoria de un nodo afecta a un centro por casualidad, la longitud de la ruta promedio puede aumentar drásticamente. Esto se puede observar anualmente cuando los aeropuertos centrales del norte, como el aeropuerto O'Hare de Chicago , se cierran debido a la nieve; muchas personas tienen que tomar vuelos adicionales.

En cambio, en una red aleatoria, en la que todos los nodos tienen aproximadamente la misma cantidad de conexiones, es probable que la eliminación de un nodo aleatorio aumente la longitud de la ruta más corta media de manera leve, pero significativa, para casi todos los nodos eliminados. En este sentido, las redes aleatorias son vulnerables a perturbaciones aleatorias, mientras que las redes de mundo pequeño son robustas. Sin embargo, las redes de mundo pequeño son vulnerables a ataques dirigidos a los nodos, mientras que las redes aleatorias no pueden ser el objetivo de un fallo catastrófico.

Construcción de redes de mundo pequeño

El mecanismo principal para construir redes de mundo pequeño es el mecanismo de Watts-Strogatz .

Las redes de mundo pequeño también pueden introducirse con retardo temporal, ^[16] lo que no solo producirá fractales sino también caos ^[17] en las condiciones adecuadas, o transición al caos en redes dinámicas. ^[18]

Poco después de la publicación del mecanismo de Watts-Strogatz , Mashaghi y sus colaboradores desarrollaron métodos para generar modelos de redes que exhiben correlaciones de alto grado, al tiempo que preservan la distribución de grados deseada y las propiedades de mundo pequeño. Estos métodos se basan en la transformación dual de aristas y se pueden utilizar para generar modelos de redes de mundo pequeño que se puedan resolver analíticamente para la investigación de estos sistemas. ^[19]

Los grafos de grado-diámetro se construyen de modo que el número de vecinos que tiene cada vértice de la red esté limitado, mientras que la distancia desde cualquier vértice dado en la red a cualquier otro vértice (el diámetro de la red) se minimiza. La construcción de estas redes de mundo pequeño se realiza como parte del esfuerzo por encontrar grafos de orden cercano al límite de Moore .

En Barmpoutis et al. [ ^20] se ofrece otra forma de construir una red de mundo pequeño desde cero, donde se construye una red con una distancia media muy pequeña y una agrupación media muy grande. Se ofrece un algoritmo rápido de complejidad constante, junto con mediciones de la robustez de los grafos resultantes. Según la aplicación de cada red, se puede empezar con una de esas redes de "mundo ultra pequeño" y luego volver a conectar algunos bordes, o utilizar varias redes pequeñas de ese tipo como subgrafos de un grafo más grande.

Las propiedades de mundo pequeño pueden surgir de manera natural en redes sociales y otros sistemas del mundo real a través del proceso de evolución de doble fase . Esto es particularmente común donde las restricciones temporales o espaciales limitan la adición de conexiones entre vértices. El mecanismo generalmente implica cambios periódicos entre fases, en las que se agregan conexiones durante una fase "global" y se refuerzan o eliminan durante una fase "local".

Las redes de mundo pequeño pueden cambiar de una clase sin escala a una clase de escala amplia cuya distribución de conectividad tiene un corte abrupto siguiendo un régimen de ley de potencia debido a restricciones que limitan la adición de nuevos enlaces. ^[21] Para restricciones suficientemente fuertes, las redes sin escala pueden incluso convertirse en redes de escala única cuya distribución de conectividad se caracteriza por decaer rápidamente. ^[21] También se demostró analíticamente que las redes sin escala son ultrapequeñas, lo que significa que la distancia escala de acuerdo con . ^[22] ${\displaystyle L\propto \log \log N}$

Aplicaciones

Aplicaciones a la sociología

Las ventajas de las redes de mundo pequeño para los grupos de movimientos sociales son su resistencia al cambio debido al aparato de filtrado que consiste en utilizar nodos altamente conectados y su mayor eficacia en la transmisión de información manteniendo al mínimo el número de enlaces necesarios para conectar una red. ^[23]

El modelo de red de mundo pequeño es directamente aplicable a la teoría de los grupos de afinidad representada en argumentos sociológicos por William Finnegan . Los grupos de afinidad son grupos de movimientos sociales que son pequeños y semi-independientes comprometidos con un objetivo o función más grande. Aunque en gran medida no están afiliados a nivel de nodo, unos pocos miembros de alta conectividad funcionan como nodos de conectividad, vinculando a los diferentes grupos a través de la creación de redes. Este modelo de mundo pequeño ha demostrado ser una táctica de organización de protesta extremadamente eficaz contra la acción policial. ^[24] Clay Shirky sostiene que cuanto mayor sea la red social creada a través de la creación de redes de mundo pequeño, más valiosos serán los nodos de alta conectividad dentro de la red. ^[23] Lo mismo puede decirse del modelo de grupo de afinidad, donde las pocas personas dentro de cada grupo conectadas a grupos externos permitieron una gran cantidad de movilización y adaptación. Un ejemplo práctico de esto es la creación de redes de mundo pequeño a través de grupos de afinidad que William Finnegan describe en referencia a las protestas de la OMC de Seattle de 1999 .

Aplicaciones a las ciencias de la tierra

Se ha demostrado que muchas redes estudiadas en geología y geofísica tienen características de redes de mundo pequeño. Las redes definidas en sistemas de fracturas y sustancias porosas han demostrado estas características. ^[25] La red sísmica en la región del sur de California puede ser una red de mundo pequeño. ^[26] Los ejemplos anteriores ocurren en escalas espaciales muy diferentes, lo que demuestra la invariancia de escala del fenómeno en las ciencias de la tierra.

Aplicaciones a la informática

Las redes de mundo pequeño se han utilizado para estimar la usabilidad de la información almacenada en grandes bases de datos. La medida se denomina Medida de Transformación de Datos de Mundo Pequeño. ^{[27] [28]} Cuanto más se alineen los vínculos de la base de datos con una red de mundo pequeño, más probabilidades hay de que un usuario pueda extraer información en el futuro. Esta usabilidad suele darse a costa de la cantidad de información que se puede almacenar en el mismo repositorio.

Se ha demostrado que la red peer to peer Freenet forma una red de mundo pequeño en la simulación, ^[29] lo que permite almacenar y recuperar información de una manera que aumenta la eficiencia a medida que la red crece.

Las soluciones de búsqueda de vecinos más cercanos como HNSW utilizan redes de mundo pequeño para encontrar de manera eficiente la información en grandes corpus de elementos. ^{[30] [31]}

Redes neuronales de mundo pequeño en el cerebro

Tanto las conexiones anatómicas en el cerebro ^[32] como las redes de sincronización de las neuronas corticales ^[33] exhiben una topología de mundo pequeño.

También se ha descubierto que la conectividad estructural y funcional en el cerebro refleja la topología de mundo pequeño de longitud de ruta corta y alta agrupación. ^[34] La estructura de red se ha encontrado en la corteza de mamíferos en todas las especies, así como en estudios de imágenes a gran escala en humanos. ^[35] Los avances en conectómica y neurociencia de redes han encontrado que el mundo pequeño de las redes neuronales está asociado con una comunicación eficiente. ^[36]

En las redes neuronales, la corta longitud de camino entre nodos y la alta agrupación en los centros de la red respaldan una comunicación eficiente entre las regiones cerebrales con el menor costo energético. ^[36] El cerebro está constantemente procesando y adaptándose a nueva información y el modelo de red de mundo pequeño respalda las intensas demandas de comunicación de las redes neuronales. ^[37] La ​​alta agrupación de nodos forma redes locales que a menudo están relacionadas funcionalmente. La corta longitud de camino entre estos centros respalda una comunicación global eficiente. ^[38] Este equilibrio permite la eficiencia de la red global al mismo tiempo que equipa al cerebro para manejar interrupciones y mantener la homeostasis, debido a que los subsistemas locales están aislados de la red global. ^[39] Se ha descubierto que la pérdida de la estructura de la red de mundo pequeño indica cambios en la cognición y un mayor riesgo de trastornos psicológicos. ^[9]

Además de caracterizar la conectividad funcional y estructural de todo el cerebro, sistemas neuronales específicos, como el sistema visual, exhiben propiedades de red de mundo pequeño. ^[6]

Una red neuronal de mundo pequeño puede exhibir memoria de corto plazo . Un modelo informático desarrollado por Sara Solla ^{[40] [41]} tenía dos estados estables, una propiedad (llamada biestabilidad ) que se pensaba que era importante en el almacenamiento de la memoria . Un pulso activador generaba bucles autosostenidos de actividad de comunicación entre las neuronas. Un segundo pulso terminaba esta actividad. Los pulsos cambiaban el sistema entre estados estables: flujo (registro de un "recuerdo") y estasis (retención del mismo). Las redes neuronales de mundo pequeño también se han utilizado como modelos para comprender las convulsiones . ^[42]

Véase también

• Modelo Barabási-Albert  : algoritmo de generación de redes sin escala
• El clima como redes complejas  : un modelo conceptual para generar conocimiento sobre la ciencia del clima
• Evolución en dos fases  : proceso que impulsa la autoorganización dentro de sistemas adaptativos complejos
• Número de Dunbar  : límite cognitivo sugerido, importante en sociología y antropología
• Número de Erdős  – Proximidad de la relación de alguien con el matemático Paul Erdős
• Modelo Erdős-Rényi (ER)  : dos modelos estrechamente relacionados para generar gráficos aleatorios
• Modelos de redes evolutivas del mundo local
• Teoría de la percolación  : teoría matemática sobre el comportamiento de grupos conectados en un gráfico aleatorio
• Ciencia de redes  – Campo académico – teoría matemática de redes
• Red libre de escala  : red cuya distribución de grados sigue una ley de potencia
• Seis grados de Kevin Bacon  – Juego de salón sobre los grados de separación
• Experimento de mundo pequeño  : experimentos que examinan la longitud de ruta promedio para redes sociales
• Red social  – Estructura social formada por un conjunto de actores sociales.
• Modelo de Watts-Strogatz  : método para generar gráficos aleatorios de mundo pequeño
• Red en un chip  – Subsistema de comunicación electrónica en un circuito integrado – sistemas en chip modelados en redes de mundo pequeño
• Club de karate de Zachary

Referencias

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Lectura adicional

Libros

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• Dorogovtsev SN, Mendes JF (2003). Evolución de las redes: desde las redes biológicas hasta Internet y la WWW . Oxford University Press. ISBN 978-0-19-851590-6.
• Watts DJ (1999). Mundos pequeños: la dinámica de las redes entre el orden y la aleatoriedad . Princeton University Press. ISBN 978-0-691-00541-6.
• Fowler JH (2005). "Participación en un mundo pequeño". En Zuckerman A (ed.). Lógica social de la política . Temple University Press. págs. 269–287.

Artículos de revistas

• Albert R, Barabási AL (2002). "Mecánica estadística de redes complejas". Rev. Mod. Phys . 74 (1): 47–97. arXiv : cond-mat/0106096 . Código Bibliográfico :2002RvMP...74...47A. doi :10.1103/RevModPhys.74.47. S2CID  60545.
• Barabasi AL, Albert R (octubre de 1999). "Aparición del escalamiento en redes aleatorias". Science . 286 (5439): 509–12. arXiv : cond-mat/9910332 . Bibcode :1999Sci...286..509B. doi :10.1126/science.286.5439.509. PMID  10521342. S2CID  524106.
• Barthelemy M, Amaral LA (1999). "Redes de mundo pequeño: evidencia de una imagen cruzada". Phys. Rev. Lett . 82 (15): 3180–3183. arXiv : cond-mat/9903108 . Código Bibliográfico :1999PhRvL..82.3180B. doi :10.1103/PhysRevLett.82.3180. S2CID  119398712.
• Dorogovtsev SN, Mendes JF (2000). "Analogía de redes de mundos pequeños que se puede resolver con exactitud". Europhys. Lett . 50 (1): 1–7. arXiv : cond-mat/9907445 . Bibcode :2000EL.....50....1D. doi :10.1209/epl/i2000-00227-1. S2CID  11334862.
• Milgram S (1967). "El problema del mundo pequeño". Psychology Today . 1 (1): 60–67.
• Newman M (2003). "La estructura y función de redes complejas". SIAM Review . 45 (2): 167–256. arXiv : cond-mat/0303516 . Código Bibliográfico :2003SIAMR..45..167N. doi :10.1137/S003614450342480. S2CID  65837.pdf Archivado el 14 de marzo de 2021 en Wayback Machine.
• Ravid D, Rafaeli S (2004). "Grupos de discusión asincrónicos como redes de mundo pequeño y de escala libre". Primer lunes . 9 (9). doi : 10.5210/fm.v9i9.1170 . S2CID  6388295.[1]

Enlaces externos

• Redes de proximidad dinámicas por Seth J. Chandler, The Wolfram Demonstrations Project .
• Entrada sobre redes de mundos pequeños en Scholarpedia (por Mason A. Porter)