Marco de referencia giratorio

Concepto en mecánica clásica

Un marco de referencia giratorio es un caso especial de un marco de referencia no inercial que gira con respecto a un marco de referencia inercial . Un ejemplo cotidiano de un marco de referencia giratorio es la superficie de la Tierra . (Este artículo solo considera marcos que giran alrededor de un eje fijo. Para rotaciones más generales, consulte Ángulos de Euler ).

En el sistema de referencia inercial (parte superior de la imagen), la bola negra se mueve en línea recta. Sin embargo, el observador (punto rojo) que se encuentra en el sistema de referencia giratorio/no inercial (parte inferior de la imagen) ve que el objeto sigue una trayectoria curva debido a las fuerzas de Coriolis y centrífugas presentes en este sistema.

Fuerzas ficticias

Todos los marcos de referencia no inerciales exhiben fuerzas ficticias ; los marcos de referencia rotatorios se caracterizan por tres: ^[1]

• la fuerza centrífuga ,
• la fuerza de Coriolis ,

y, para marcos de referencia que giran de manera no uniforme,

• La fuerza de Euler .

Los científicos pueden medir la velocidad de rotación y el eje de rotación de una caja giratoria midiendo estas fuerzas ficticias. Por ejemplo, Léon Foucault pudo demostrar la fuerza de Coriolis que resulta de la rotación de la Tierra utilizando el péndulo de Foucault . Si la Tierra girara muchas veces más rápido, los humanos podrían sentir estas fuerzas ficticias, como cuando están en un carrusel giratorio .

Fuerza centrífuga

En mecánica clásica , la fuerza centrífuga es una fuerza externa asociada con la rotación . La fuerza centrífuga es una de las llamadas pseudofuerzas (también conocidas como fuerzas inerciales ), llamadas así porque, a diferencia de las fuerzas reales , no se originan en interacciones con otros cuerpos situados en el entorno de la partícula sobre la que actúan. En cambio, la fuerza centrífuga se origina en la rotación del marco de referencia dentro del cual se realizan las observaciones. ^{[2] [3] [4] [5] [6] [7]}

Fuerza de Coriolis

La expresión matemática de la fuerza de Coriolis apareció en un artículo de 1835 del científico francés Gaspard-Gustave Coriolis en relación con la hidrodinámica , y también en las ecuaciones de marea de Pierre-Simon Laplace en 1778. A principios del siglo XX, el término fuerza de Coriolis comenzó a usarse en relación con la meteorología .

Quizás el sistema de referencia giratorio más común es la Tierra . Los objetos en movimiento sobre la superficie de la Tierra experimentan una fuerza de Coriolis y parecen desviarse hacia la derecha en el hemisferio norte y hacia la izquierda en el sur . Los movimientos del aire en la atmósfera y del agua en el océano son ejemplos notables de este comportamiento: en lugar de fluir directamente desde áreas de alta presión a baja presión, como lo harían en un planeta que no rota, los vientos y las corrientes tienden a fluir hacia la derecha de esta dirección al norte del ecuador y hacia la izquierda de esta dirección al sur del ecuador. Este efecto es responsable de la rotación de grandes ciclones (ver efectos Coriolis en meteorología ).

Fuerza de Euler

En mecánica clásica , la aceleración de Euler (llamada así por Leonhard Euler ), también conocida como aceleración azimutal ^[8] o aceleración transversal ^[9], es una aceleración que aparece cuando se utiliza un marco de referencia que gira de manera no uniforme para el análisis del movimiento y hay una variación en la velocidad angular del eje del marco de referencia . Este artículo se limita a un marco de referencia que gira alrededor de un eje fijo.

La fuerza de Euler es una fuerza ficticia sobre un cuerpo que está relacionada con la aceleración de Euler por F  =  m a , donde a es la aceleración de Euler y m es la masa del cuerpo. ^{[10] [11]}

Relación entre marcos giratorios y marcos estacionarios

A continuación se presenta una derivación de las fórmulas para las aceleraciones y las fuerzas ficticias en un marco giratorio. Comienza con la relación entre las coordenadas de una partícula en un marco giratorio y sus coordenadas en un marco inercial (estacionario). Luego, tomando derivadas temporales, se derivan fórmulas que relacionan la velocidad de la partícula como se ve en los dos marcos y la aceleración relativa a cada marco. Utilizando estas aceleraciones, las fuerzas ficticias se identifican comparando la segunda ley de Newton tal como se formula en los dos marcos diferentes.

Relación entre posiciones en los dos marcos

Para derivar estas fuerzas ficticias, es útil poder convertir entre las coordenadas del marco de referencia giratorio y las coordenadas de un marco de referencia inercial con el mismo origen. ^{[nota 1]} Si la rotación es sobre el eje con una velocidad angular constante (por lo que y lo que implica para alguna constante donde denota el ángulo en el plano formado en el tiempo por y el eje ), y si los dos marcos de referencia coinciden en el tiempo (es decir, cuando así toma o algún otro múltiplo entero de ), la transformación de coordenadas giratorias a coordenadas inerciales se puede escribir mientras que la transformación inversa es ${\displaystyle \left(x',y',z'\right)}$ ${\displaystyle (x,y,z)}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle z'=z}$ ${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} \theta }{\mathrm {d} t}}\equiv \Omega ,}$ ${\displaystyle \theta (t)=\Omega t+\theta _{0}}$ ${\displaystyle \theta _{0}}$ ${\displaystyle \theta (t)}$ ${\displaystyle x-y}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle \left(x',y'\right)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle t=0}$ ${\displaystyle \left(x',y',z'\right)=(x,y,z)}$ ${\displaystyle t=0,}$ ${\displaystyle \theta _{0}=0}$ ${\displaystyle 2\pi }$ $${\displaystyle x=x'\cos(\theta (t))-y'\sin(\theta (t))}$$ $${\displaystyle y=x'\sin(\theta (t))+y'\cos(\theta (t))}$$ $${\displaystyle x'=x\cos(-\theta (t))-y\sin(-\theta (t))}$$ $${\displaystyle y'=x\sin(-\theta (t))+y\cos(-\theta (t))\ .}$$

Este resultado se puede obtener a partir de una matriz de rotación .

Introduzca los vectores unitarios que representan vectores unitarios base estándar en el marco giratorio. A continuación, se encuentran las derivadas temporales de estos vectores unitarios. Suponga que los marcos están alineados en y el eje es el eje de rotación. Luego, para una rotación en sentido antihorario a través del ángulo : donde los componentes se expresan en el marco estacionario. Asimismo, ${\displaystyle {\hat {\boldsymbol {\imath }}},\ {\hat {\boldsymbol {\jmath }}},\ {\hat {\boldsymbol {k}}}}$ ${\displaystyle t=0}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle \Omega t}$ $${\displaystyle {\hat {\boldsymbol {\imath }}}(t)=(\cos \theta (t),\ \sin \theta (t))}$$ ${\displaystyle (x,y)}$ $${\displaystyle {\hat {\boldsymbol {\jmath }}}(t)=(-\sin \theta (t),\ \cos \theta (t))\ .}$$

Por lo tanto, la derivada temporal de estos vectores, que giran sin cambiar de magnitud, es donde Este resultado es el mismo que el que se encontró usando un producto vectorial con el vector de rotación apuntando a lo largo del eje z de rotación , es decir, donde es o $${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\hat {\boldsymbol {\imath }}}(t)=\Omega (-\sin \theta (t),\ \cos \theta (t))=\Omega {\hat {\boldsymbol {\jmath }}}\ ;}$$ $${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\hat {\boldsymbol {\jmath }}}(t)=\Omega (-\cos \theta (t),\ -\sin \theta (t))=-\Omega {\hat {\boldsymbol {\imath }}}\ ,}$$ ${\displaystyle \Omega \equiv {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\theta (t).}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\Omega }}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\Omega }}=(0,\ 0,\ \Omega ),}$ $${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\hat {\boldsymbol {u}}}={\boldsymbol {\Omega \times }}{\hat {\boldsymbol {u}}}\ ,}$$ ${\displaystyle {\hat {\boldsymbol {u}}}}$ ${\displaystyle {\hat {\boldsymbol {\imath }}}}$ ${\displaystyle {\hat {\boldsymbol {\jmath }}}.}$

Derivadas temporales en los dos marcos

Introduzca vectores unitarios , que ahora representan vectores base unitarios estándar en el marco rotatorio general. A medida que giran, permanecerán normalizados y perpendiculares entre sí. Si giran a la velocidad de alrededor de un eje a lo largo del vector de rotación , entonces cada vector unitario del sistema de coordenadas rotatorio (como o ) se rige por la siguiente ecuación: Entonces, si denota la transformación que toma vectores base del sistema inercial al marco rotatorio, con columnas de matriz iguales a los vectores base del marco rotatorio, entonces la multiplicación del producto vectorial por el vector de rotación está dada por . ${\displaystyle {\hat {\boldsymbol {\imath }}},\ {\hat {\boldsymbol {\jmath }}},\ {\hat {\boldsymbol {k}}}}$ ${\displaystyle \Omega (t)}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\Omega }}(t)}$ ${\displaystyle {\hat {\boldsymbol {u}}}}$ ${\displaystyle {\hat {\boldsymbol {\imath }}},\ {\hat {\boldsymbol {\jmath }}},}$ ${\displaystyle {\hat {\boldsymbol {k}}}}$ $${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\hat {\boldsymbol {u}}}={\boldsymbol {\Omega }}\times {\boldsymbol {\hat {u}}}\ .}$$ ${\displaystyle R(t)}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\Omega }}\times =R'(t)\cdot R(t)^{T}}$

Si es una función vectorial que se escribe como ^{[nota 2]} y queremos examinar su primera derivada, entonces (usando la regla del producto de la diferenciación): ^{[12] [13]} donde denota la tasa de cambio de como se observa en el sistema de coordenadas rotatorio. Como abreviatura, la diferenciación se expresa como: ${\displaystyle {\boldsymbol {f}}}$ $${\displaystyle {\boldsymbol {f}}(t)=f_{1}(t){\hat {\boldsymbol {\imath }}}+f_{2}(t){\hat {\boldsymbol {\jmath }}}+f_{3}(t){\hat {\boldsymbol {k}}}\ ,}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\boldsymbol {f}}&={\frac {\mathrm {d} f_{1}}{\mathrm {d} t}}{\hat {\boldsymbol {\imath }}}+{\frac {\mathrm {d} {\hat {\boldsymbol {\imath }}}}{\mathrm {d} t}}f_{1}+{\frac {\mathrm {d} f_{2}}{\mathrm {d} t}}{\hat {\boldsymbol {\jmath }}}+{\frac {\mathrm {d} {\hat {\boldsymbol {\jmath }}}}{\mathrm {d} t}}f_{2}+{\frac {\mathrm {d} f_{3}}{\mathrm {d} t}}{\hat {\boldsymbol {k}}}+{\frac {\mathrm {d} {\hat {\boldsymbol {k}}}}{\mathrm {d} t}}f_{3}\\&={\frac {\mathrm {d} f_{1}}{\mathrm {d} t}}{\hat {\boldsymbol {\imath }}}+{\frac {\mathrm {d} f_{2}}{\mathrm {d} t}}{\hat {\boldsymbol {\jmath }}}+{\frac {\mathrm {d} f_{3}}{\mathrm {d} t}}{\hat {\boldsymbol {k}}}+\left[{\boldsymbol {\Omega }}\times \left(f_{1}{\hat {\boldsymbol {\imath }}}+f_{2}{\hat {\boldsymbol {\jmath }}}+f_{3}{\hat {\boldsymbol {k}}}\right)\right]\\&=\left({\frac {\mathrm {d} {\boldsymbol {f}}}{\mathrm {d} t}}\right)_{\mathrm {r} }+{\boldsymbol {\Omega }}\times {\boldsymbol {f}}\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle \left({\frac {\mathrm {d} {\boldsymbol {f}}}{\mathrm {d} t}}\right)_{\mathrm {r} }}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {f}}}$ $${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\boldsymbol {f}}=\left[\left({\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\right)_{\mathrm {r} }+{\boldsymbol {\Omega }}\times \right]{\boldsymbol {f}}\ .}$$

Este resultado también se conoce como teorema de transporte en dinámica analítica y a veces también se lo denomina ecuación cinemática básica . ^[14]

Relación entre las velocidades en los dos marcos

La velocidad de un objeto es la derivada temporal de la posición del objeto, por lo que

${\displaystyle \mathbf {v} \ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\frac {\mathrm {d} \mathbf {r} }{\mathrm {d} t}}\ .}$

La derivada temporal de una posición en un sistema de referencia giratorio tiene dos componentes: uno de la dependencia temporal explícita debida al movimiento del propio objeto en el sistema de referencia giratorio y otro de la propia rotación del sistema. Aplicando el resultado de la subsección anterior al desplazamiento, las velocidades en los dos sistemas de referencia están relacionadas por la ecuación ${\displaystyle {\boldsymbol {r}}(t)}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {r}}(t),}$

${\displaystyle \mathbf {v_{i}} \ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \left({\frac {\mathrm {d} \mathbf {r} }{\mathrm {d} t}}\right)_{\mathrm {i} }\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\frac {\mathrm {d} \mathbf {r} }{\mathrm {d} t}}=\left[\left({\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\right)_{\mathrm {r} }+{\boldsymbol {\Omega }}\times \right]{\boldsymbol {r}}=\left({\frac {\mathrm {d} \mathbf {r} }{\mathrm {d} t}}\right)_{\mathrm {r} }+{\boldsymbol {\Omega }}\times \mathbf {r} =\mathbf {v} _{\mathrm {r} }+{\boldsymbol {\Omega }}\times \mathbf {r} \ ,}$

donde subíndice significa el marco de referencia inercial, y significa el marco de referencia giratorio. ${\displaystyle \mathrm {i} }$ ${\displaystyle \mathrm {r} }$

Relación entre las aceleraciones en los dos marcos

La aceleración es la segunda derivada temporal de la posición, o la primera derivada temporal de la velocidad.

${\displaystyle \mathbf {a} _{\mathrm {i} }\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \left({\frac {\mathrm {d} ^{2}\mathbf {r} }{\mathrm {d} t^{2}}}\right)_{\mathrm {i} }=\left({\frac {\mathrm {d} \mathbf {v} }{\mathrm {d} t}}\right)_{\mathrm {i} }=\left[\left({\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\right)_{\mathrm {r} }+{\boldsymbol {\Omega }}\times \right]\left[\left({\frac {\mathrm {d} \mathbf {r} }{\mathrm {d} t}}\right)_{\mathrm {r} }+{\boldsymbol {\Omega }}\times \mathbf {r} \right]\ ,}$

donde subíndice significa el marco de referencia inercial, el marco de referencia giratorio y donde la expresión, nuevamente, en la expresión entre corchetes de la izquierda debe interpretarse como un operador que trabaja sobre la expresión entre corchetes de la derecha. ${\displaystyle \mathrm {i} }$ ${\displaystyle \mathrm {r} }$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\Omega }}\times }$

Como , las primeras derivadas temporales de dentro de cada marco, cuando se expresan con respecto a la base de, por ejemplo, el marco inercial, coinciden. Al llevar a cabo las diferenciaciones y reorganizar algunos términos, se obtiene la aceleración relativa al marco de referencia giratorio, ${\displaystyle {\boldsymbol {\Omega }}\times {\boldsymbol {\Omega }}={\boldsymbol {0}}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\Omega }}}$ ${\displaystyle \mathbf {a} _{\mathrm {r} }}$

${\displaystyle \mathbf {a} _{\mathrm {r} }=\mathbf {a} _{\mathrm {i} }-2{\boldsymbol {\Omega }}\times \mathbf {v} _{\mathrm {r} }-{\boldsymbol {\Omega }}\times ({\boldsymbol {\Omega }}\times \mathbf {r} )-{\frac {\mathrm {d} {\boldsymbol {\Omega }}}{\mathrm {d} t}}\times \mathbf {r} }$

donde es la aceleración aparente en el marco de referencia giratorio, el término representa la aceleración centrífuga y el término es la aceleración de Coriolis . El último término, , es la aceleración de Euler y es cero en marcos de referencia que giran uniformemente. ${\displaystyle \mathbf {a} _{\mathrm {r} }\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \left({\tfrac {\mathrm {d} ^{2}\mathbf {r} }{\mathrm {d} t^{2}}}\right)_{\mathrm {r} }}$ ${\displaystyle -{\boldsymbol {\Omega }}\times ({\boldsymbol {\Omega }}\times \mathbf {r} )}$ ${\displaystyle -2{\boldsymbol {\Omega }}\times \mathbf {v} _{\mathrm {r} }}$ ${\displaystyle -{\tfrac {\mathrm {d} {\boldsymbol {\Omega }}}{\mathrm {d} t}}\times \mathbf {r} }$

Segunda ley de Newton en los dos marcos

Cuando la expresión de aceleración se multiplica por la masa de la partícula, los tres términos adicionales en el lado derecho dan como resultado fuerzas ficticias en el marco de referencia giratorio, es decir, fuerzas aparentes que resultan de estar en un marco de referencia no inercial , en lugar de cualquier interacción física entre cuerpos.

Utilizando la segunda ley del movimiento de Newton obtenemos: ^{[1] [12] [13] [15] [16]} ${\displaystyle \mathbf {F} =m\mathbf {a} ,}$

• La fuerza de Coriolis $${\displaystyle \mathbf {F} _{\mathrm {Coriolis} }=-2m{\boldsymbol {\Omega }}\times \mathbf {v} _{\mathrm {r} }}$$
• La fuerza centrífuga $${\displaystyle \mathbf {F} _{\mathrm {centrifugal} }=-m{\boldsymbol {\Omega }}\times ({\boldsymbol {\Omega }}\times \mathbf {r} )}$$
• y la fuerza de Euler $${\displaystyle \mathbf {F} _{\mathrm {Euler} }=-m{\frac {\mathrm {d} {\boldsymbol {\Omega }}}{\mathrm {d} t}}\times \mathbf {r} }$$

¿Dónde está la masa del objeto sobre el que actúan estas fuerzas ficticias ? Observe que las tres fuerzas desaparecen cuando el marco no está girando, es decir, cuando ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\Omega }}=0\ .}$

Para completar, la aceleración inercial debida a las fuerzas externas aplicadas se puede determinar a partir de la fuerza física total en el marco inercial (no giratorio) (por ejemplo, la fuerza de las interacciones físicas como las fuerzas electromagnéticas ) utilizando la segunda ley de Newton en el marco inercial: La ley de Newton en el marco giratorio se convierte entonces en ${\displaystyle \mathbf {a} _{\mathrm {i} }}$ ${\displaystyle \mathbf {F} _{\mathrm {imp} }}$ $${\displaystyle \mathbf {F} _{\mathrm {imp} }=m\mathbf {a} _{\mathrm {i} }}$$

${\displaystyle \mathbf {F_{\mathrm {r} }} =\mathbf {F} _{\mathrm {imp} }+\mathbf {F} _{\mathrm {centrifugal} }+\mathbf {F} _{\mathrm {Coriolis} }+\mathbf {F} _{\mathrm {Euler} }=m\mathbf {a_{\mathrm {r} }} \ .}$

En otras palabras, para manejar las leyes del movimiento en un marco de referencia giratorio: ^{[16] [17] [18]}

Trata las fuerzas ficticias como fuerzas reales y finge que estás en un marco inercial.

—  Louis N. Hand, Janet D. Finch Mecánica analítica , pág. 267

Obviamente, un sistema de referencia giratorio es un caso de sistema no inercial. Por lo tanto, además de la fuerza real, sobre la partícula actúa una fuerza ficticia... La partícula se moverá de acuerdo con la segunda ley de movimiento de Newton si la fuerza total que actúa sobre ella se toma como la suma de las fuerzas real y ficticia.

—  HS Hans y SP Pui: Mecánica ; pág. 341

Esta ecuación tiene exactamente la forma de la segunda ley de Newton, excepto que además de F , la suma de todas las fuerzas identificadas en el marco inercial, hay un término extra a la derecha... Esto significa que podemos seguir usando la segunda ley de Newton en el marco no inercial siempre que estemos de acuerdo en que en el marco no inercial debemos agregar un término extra similar a una fuerza, a menudo llamado fuerza inercial .

—  John R. Taylor: Mecánica clásica ; pág. 328

Uso en resonancia magnética

Es conveniente considerar la resonancia magnética en un sistema que gira a la frecuencia de Larmor de los espines. Esto se ilustra en la animación siguiente. También se puede utilizar la aproximación de onda rotatoria .

Animación que muestra el marco giratorio. La flecha roja es un espín en la esfera de Bloch que precesa en el marco de laboratorio debido a un campo magnético estático. En el marco giratorio, el espín permanece inmóvil hasta que un campo magnético oscilante resonante genera resonancia magnética.

Véase también

• Rotación absoluta
• Fuerza centrífuga (marco de referencia giratorio) Fuerza centrífuga vista desde sistemas que giran alrededor de un eje fijo
• Mecánica del movimiento de partículas planas Fuerzas ficticias exhibidas por una partícula en movimiento plano tal como las ve la partícula misma y los observadores en un marco de referencia co-rotativo
• Fuerza de Coriolis El efecto de la fuerza de Coriolis sobre la Tierra y otros sistemas giratorios
• Marco de referencia inercial
• Marco no inercial
• Fuerza ficticia Un tratamiento más general del tema de este artículo

Referencias

1. Vladimir Igorević Arnolʹd (1989). Métodos matemáticos de la mecánica clásica (2.ª ed.). Springer. pág. 130. ISBN 978-0-387-96890-2.
2. Robert Resnick y David Halliday (1966). Física . Wiley. pág. 121. ISBN. 0-471-34524-5.
3. Jerrold E. Marsden; Tudor S. Ratiu (1999). Introducción a la mecánica y la simetría: una exposición básica de los sistemas mecánicos clásicos. Springer. pág. 251. ISBN 0-387-98643-X.
4. John Robert Taylor (2005). Mecánica clásica. University Science Books. pág. 343. ISBN 1-891389-22-X.
5. Stephen T. Thornton y Jerry B. Marion (2004). "Capítulo 10". Dinámica clásica de partículas y sistemas (quinta edición). Belmont CA: Brook/Cole. ISBN 0-534-40896-6.OCLC 52806908  .
6. David McNaughton. "Efectos centrífugo y de Coriolis" . Consultado el 18 de mayo de 2008 .
7. David P. Stern. «Marcos de referencia: La fuerza centrífuga» . Consultado el 26 de octubre de 2008 .
8. David Morin (2008). Introducción a la mecánica clásica: con problemas y soluciones . Cambridge University Press. pág. 469. ISBN 978-0-521-87622-3. aceleración azimutal Morin.
9. Grant R. Fowles y George L. Cassiday (1999). Mecánica analítica (6.ª ed.). Harcourt College Publishers. pág. 178.
10. Richard H Battin (1999). Introducción a las matemáticas y los métodos de la astrodinámica. Reston, VA: Instituto Americano de Aeronáutica y Astronáutica . p. 102. ISBN 1-56347-342-9.
11. Jerrold E. Marsden; Tudor S. Ratiu (1999). Introducción a la mecánica y la simetría: una exposición básica de los sistemas mecánicos clásicos. Springer. pág. 251. ISBN 0-387-98643-X.
12. Cornelius Lanczos (1986). Los principios variacionales de la mecánica (reimpresión de la cuarta edición de 1970). Dover Publications . Capítulo 4, §5. ISBN 0-486-65067-7.
13. John R Taylor (2005). Mecánica clásica. University Science Books. pág. 342. ISBN 1-891389-22-X.
14. Corless, Martin. "Cinemática" (PDF) . Apuntes del curso de Aeromecánica I. Universidad de Purdue . p. 213. Archivado desde el original (PDF) el 24 de octubre de 2012. Consultado el 18 de julio de 2011 .
15. LD Landau y LM Lifshitz (1976). Mecánica (tercera edición). Butterworth-Heinemann. pág. 128. ISBN 978-0-7506-2896-9.
16. Louis N. Hand; Janet D. Finch (1998). Mecánica analítica. Cambridge University Press . pág. 267. ISBN 0-521-57572-9.
17. HS Hans y SP Pui (2003). Mecánica. Tata McGraw-Hill. pág. 341. ISBN 0-07-047360-9.
18. John R Taylor (2005). Mecánica clásica. University Science Books. pág. 328. ISBN 1-891389-22-X.

1. Así son las funciones de y el tiempo. Del mismo modo son las funciones de y Que estos marcos de referencia tengan el mismo origen significa que para todos si y sólo si ${\displaystyle x',y',z'}$ ${\displaystyle x,y,z,}$ ${\displaystyle t.}$ ${\displaystyle x,y,z}$ ${\displaystyle x',y',z',}$ ${\displaystyle t.}$ ${\displaystyle t,}$ ${\displaystyle \left(x',y',z'\right)=(0,0,0)}$ ${\displaystyle (x,y,z)=(0,0,0).}$
2. Por lo tanto, las coordenadas de con respecto al vector base rotatorio ( las coordenadas de con respecto al marco inercial no se utilizan). En consecuencia, en cualquier instante dado, la tasa de cambio de con respecto a estas coordenadas rotatorias es Por lo que, por ejemplo, si y son constantes, entonces es solo uno de los vectores base rotatorios y (como se esperaba) su tasa de cambio temporal con respecto a estas coordenadas rotatorias es idéntica (por lo que la fórmula para dada a continuación implica que la derivada en el tiempo de este vector base rotatorio es ); sin embargo, su tasa de cambio con respecto al marco inercial no rotatorio no será constante excepto (por supuesto) en el caso en que no se mueva en el marco inercial (esto sucede, por ejemplo, cuando el eje de rotación se fija como el eje (asumiendo coordenadas estándar) en el marco inercial y también o ). ${\displaystyle f_{1},f_{2},f_{3}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {f}}}$ ${\displaystyle {\hat {\boldsymbol {\imath }}},\ {\hat {\boldsymbol {\jmath }}},\ {\hat {\boldsymbol {k}}}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {f}}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {f}}}$ ${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} f_{1}}{\mathrm {d} t}}{\hat {\boldsymbol {\imath }}}+{\frac {\mathrm {d} f_{2}}{\mathrm {d} t}}{\hat {\boldsymbol {\jmath }}}+{\frac {\mathrm {d} f_{3}}{\mathrm {d} t}}{\hat {\boldsymbol {k}}}.}$ ${\displaystyle f_{1}\equiv 1}$ ${\displaystyle f_{2}=f_{3}\equiv 0}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {f}}\equiv {\hat {\boldsymbol {\imath }}}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {0}}}$ ${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\boldsymbol {f}}}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {f}}\equiv {\hat {\boldsymbol {\imath }}}}$ ${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\boldsymbol {i}}={\boldsymbol {\Omega }}(t)\times {\boldsymbol {i}}(t)}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {0}}}$ ${\displaystyle {\hat {\boldsymbol {\imath }}}}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle {\hat {\boldsymbol {\imath }}}\equiv (0,0,1)}$ ${\displaystyle {\hat {\boldsymbol {\imath }}}\equiv (0,0,-1)}$

Enlaces externos

• Clip de animación que muestra escenas vistas desde un marco inercial y un marco de referencia giratorio, visualizando las fuerzas de Coriolis y centrífuga.