Base de numeración no entera

Una representación no entera utiliza números no enteros como el radio o base de un sistema de numeración posicional . Para un radio no entero β > 1, el valor de

x=d_{n}\dots d_{2}d_{1}d_{0}.d_{-1}d_{-2}\dots d_{-m}

{\begin{aligned}x&=\beta ^{n}d_{n}+\cdots +\beta ^{2}d_{2}+\beta d_{1}+d_{0}\\&\qquad +\beta ^{-1}d_{-1}+\beta ^{-2}d_{-2}+\cdots +\beta ^{-m}d_{-m}.\end{aligned}}

Los números d _i son enteros no negativos menores que β . Esto también se conoce como β -expansión , un concepto introducido por Rényi (1957) y estudiado en detalle por primera vez por Parry (1960). Todo número real tiene al menos una β -expansión (posiblemente infinita) . El conjunto de todas las β -expansiones que tienen una representación finita es un subconjunto del anillo Z [ β , β ⁻¹ ].

Existen aplicaciones de las β -expansiones en la teoría de codificación ^[1] y en modelos de cuasicristales . ^[2]

Construcción

Las expansiones β son una generalización de las expansiones decimales . Si bien las expansiones decimales infinitas no son únicas (por ejemplo, 1.000... = 0.999... ), todas las expansiones decimales finitas son únicas. Sin embargo, incluso las expansiones β finitas no son necesariamente únicas, por ejemplo φ + 1 = φ ² para β = φ , la proporción áurea . Una elección canónica para la expansión β de un número real dado puede determinarse mediante el siguiente algoritmo voraz , esencialmente debido a Rényi (1957) y formulado como se da aquí por Frougny (1992).

Sea $β > 1$ la base y x un número real no negativo. Denotemos por $⌊ x ⌋$ la función base de x (es decir, el mayor entero menor o igual a x ) y sea ${x} = x - ⌊ x ⌋$ la parte fraccionaria de x . Existe un entero k tal que $β k \leq x < β k +1$ .

d_{k}=\lfloor x/\beta ^{k}\rfloor

r_{k}=\{x/\beta ^{k}\}.\,

Para $k - 1 \geq j > -\infty$ , ponga

d_{j}=\lfloor \beta r_{j+1}\rfloor ,\quad r_{j}=\{\beta r_{j+1}\}.

En otras palabras, la expansión β canónica de x se define eligiendo el d _k más grande tal que $β k d k \leq x$ , luego eligiendo el d _{k −1} más grande tal que $β k d k + β k -1 d k -1 \leq x$ , y así sucesivamente. Por lo tanto, elige la cadena lexicográficamente más grande que representa a x .

Con una base entera, esto define la expansión de base habitual para el número x . Esta construcción extiende el algoritmo habitual a posibles valores no enteros de β .

Conversión

Siguiendo los pasos anteriores, podemos crear una expansión β para un número real (los pasos son idénticos para un , aunque primero se debe multiplicar $n por$ $n\geq 0$ $n<0$ −1 para que sea positivo, entonces el resultado debe multiplicarse por−1 para volverlo negativo nuevamente).

Primero, debemos definir nuestro valor $k$ (el exponente de la potencia de $β$ más cercana mayor que $n$ , así como la cantidad de dígitos en , donde $n$ se escribe en base $β$ ). El valor $k$ para $n$ y $β$ se puede escribir como: $\lfloor n_{\beta }\rfloor$ $n_{\beta }$

k=\lfloor \log _{\beta }(n)\rfloor +1

Después de encontrar un valor $k$ , se puede escribir como $d$ , donde $n_{\beta }$

d_{j}=\lfloor (n/\beta ^{j}){\bmod {\beta }}\rfloor ,\quad n=n-d_{j}*\beta ^{j}

para $k - 1 \geq j > -\infty$ . Los primeros $k$ valores de $d$ aparecen a la izquierda del decimal.

Esto también se puede escribir en el siguiente pseudocódigo : ^[3]

función toBase ( n , b ) { k = floor ( log ( b , n )) + 1 precisión = 8 resultado = ""            para ( i = k - 1 , i > - precisión - 1 , i -- ) { si ( resultado . length == k ) resultado += "." dígito = floor (( n / b ^ i ) mod b ) n -= dígito * b ^ i resultado += dígito }                            devolver resultado }

Tenga en cuenta que el código anterior solo es válido para y , ya que no convierte cada dígito a sus símbolos correctos ni a los números negativos correctos. Por ejemplo, si el valor de un dígito es $1<\beta \leq 10$ $n\geq 0$ 10 , se representará como10 en lugar de $A.$

Código de implementación de ejemplo

A la base $π$

JavaScript : ^[3]

función toBasePI ( num , precisión = 8 ) { sea k = Math.floor ( Math.log ( num ) / Math.log ( Math.PI ) ) + 1 ; si ( k < 0 ) k = 0 ;                    deje dígitos = [];    para ( sea i = k - 1 ; i > ( - 1 * precisión ) - 1 ; i -- ) { sea dígito = Math . floor (( num / Math . pow ( Math . PI , i )) % Math . PI ); num -= dígito * Math . pow ( Math . PI , i ); dígitos . push ( dígito );                          si ( num < 0.1 ** ( precisión + 1 ) && i <= 0 ) break ; }          si ( dígitos . longitud > k ) dígitos . splice ( k , 0 , "." );       devolver dígitos .join ( "" ) ; }

Desde la base $π$

JavaScript: ^[3]

función fromBasePI ( num ) { let numberSplit = num.split ( /\./ g ) ; let numberLength = numberSplit [ 0 ] .length ;           deje que la salida sea 0 ; deje que los dígitos sean = numberSplit.join ( "" ) ;        para ( sea i = 0 ; i < dígitos . length ; i ++ ) { salida += dígitos [ i ] * Math . pow ( Math . PI , numberLength - i - 1 ); }                 devolver salida ; }

Ejemplos

Base√ 2

La base √ 2 se comporta de una manera muy similar a la base 2, ya que todo lo que hay que hacer para convertir un número de binario a base √ 2 es poner un dígito cero entre cada dígito binario; por ejemplo, 1911 ₁₀ = 11101110111 ₂ se convierte en 101010001010100010101 _{√ 2} y 5118 ₁₀ = 1001111111110 ₂ se convierte en 100000101010101010101010100 _{√ 2} . Esto significa que cada número entero se puede expresar en base √ 2 sin la necesidad de un punto decimal. La base también se puede utilizar para mostrar la relación entre el lado de un cuadrado y su diagonal , ya que un cuadrado con una longitud de lado de 1 _{√ 2} tendrá una diagonal de 10 _{√ 2} y un cuadrado con una longitud de lado de 10 _{√ 2} tendrá una diagonal de 100 _{√ 2.} Otro uso de la base es mostrar la proporción de plata , ya que su representación en la base √ 2 es simplemente 11 _{√ 2.} Además, el área de un octágono regular con una longitud de lado de 1 _{√ 2} es 1100 _{√ 2} , el área de un octágono regular con una longitud de lado de 10 _{√ 2} es 110000 _{√ 2} , el área de un octágono regular con una longitud de lado de 100 _{√ 2} es 11000000 _{√ 2} , etc.

Base dorada

En la base áurea, algunos números tienen más de una base decimal equivalente: son ambiguos . Por ejemplo: 11 _φ = 100 _φ .

Base ψ

Hay algunos números en base ψ que también son ambiguos. Por ejemplo, 101 _ψ = 1000 _ψ .

Basemi

Con base e, el logaritmo natural se comporta como el logaritmo común , ya que ln(1 _e ) = 0, ln(10 _e ) = 1, ln(100 _e ) = 2 y ln(1000 _e ) = 3.

La base e es la opción más económica de base β > 1, ^[4] donde la economía de base se mide como el producto de la base y la longitud de la cadena de símbolos necesarios para expresar un rango dado de valores.

Base π

La base π se puede utilizar para mostrar más fácilmente la relación entre el diámetro de un círculo y su circunferencia , que corresponde a su perímetro ; como circunferencia = diámetro × π, un círculo con un diámetro 1 _π tendrá una circunferencia de 10 _π , un círculo con un diámetro 10 _π tendrá una circunferencia de 100 _π , etc. Además, como el área = π × radio ² , un círculo con un radio de 1 _π tendrá un área de 10 _π , un círculo con un radio de 10 _π tendrá un área de 1000 _π y un círculo con un radio de 100 _π tendrá un área de 100000 _π . ^[5]

Propiedades

En ningún sistema de numeración posicional se puede expresar cada número de forma única. Por ejemplo, en base diez, el número 1 tiene dos representaciones: 1,000... y 0,999... . El conjunto de números con dos representaciones diferentes es denso en los números reales, ^[6] pero la cuestión de clasificar los números reales con expansiones β únicas es considerablemente más sutil que la de las bases enteras. ^[7]

Otro problema es clasificar los números reales cuyas β -expansiones son periódicas. Sea β > 1, y Q ( β ) la extensión de campo más pequeña de los racionales que contienen a β . Entonces cualquier número real en [0,1) que tenga una β -expansión periódica debe estar en Q ( β ). Por otra parte, la inversa no tiene por qué ser cierta. La inversa sí se cumple si β es un número de Pisot , ^[8] aunque no se conocen las condiciones necesarias y suficientes.

Véase también

Referencias

Notas al pie

^ Kautz 1965
^ Burdik y otros, 1998; Thurston, 1989
^ abc "Inicio", decimalsystem.js.org
^ Hayes 2001
^ "Bases numéricas extrañas", DataGenetics , consultado el 1 de febrero de 2018
^ Petkovšek 1990
^ Glendinning y Sidorov 2001
^ Schmidt 1980

Fuentes

Bugeaud, Yann (2012), Distribución módulo uno y aproximación diofántica , Cambridge Tracts in Mathematics, vol. 193, Cambridge: Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-11169-0, Zbl1260.11001
Burdik, Č.; Frougny, Ch.; Gazeau, JP; Krejcar, R. (1998), "Beta-enteros como sistemas de conteo naturales para cuasicristales", Journal of Physics A: Mathematical and General , 31 (30): 6449–6472, Bibcode :1998JPhA...31.6449B, CiteSeerX 10.1.1.30.5106 , doi :10.1088/0305-4470/31/30/011, ISSN 0305-4470, MR 1644115.
Frougny, Christiane (1992), "Cómo escribir números enteros en una base no entera", LATIN '92 , Lecture Notes in Computer Science, vol. 583/1992, Springer Berlin / Heidelberg, págs. 154–164, doi :10.1007/BFb0023826, ISBN 978-3-540-55284-0, ISSN 0302-9743.
Glendinning, Paul ; Sidorov, Nikita (2001), "Representaciones únicas de números reales en bases no enteras", Mathematical Research Letters , 8 (4): 535–543, doi : 10.4310/mrl.2001.v8.n4.a12 , ISSN 1073-2780, MR 1851269.
Hayes, Brian (2001), "Tercera base", American Scientist , 89 (6): 490–494, doi :10.1511/2001.40.3268, archivado desde el original el 24 de marzo de 2016.
Kautz, William H. (1965), "Códigos de Fibonacci para el control de la sincronización", Instituto de Ingenieros Eléctricos y Electrónicos. Transactions on Information Theory , IT-11 (2): 284–292, doi :10.1109/TIT.1965.1053772, ISSN 0018-9448, MR 0191744.
Parry, W. (1960), "Sobre las expansiones β de números reales", Acta Mathematica Academiae Scientiarum Hungaricae , 11 (3–4): 401–416, doi :10.1007/bf02020954, hdl : 10338.dmlcz/120535 , ISSN 0001-5954, SEÑOR 0142719, S2CID 116417864.
Petkovšek, Marko (1990), "Los números ambiguos son densos", The American Mathematical Monthly , 97 (5): 408–411, doi :10.2307/2324393, ISSN 0002-9890, JSTOR 2324393, MR 1048915.
Rényi, Alfréd (1957), "Representaciones de números reales y sus propiedades ergódicas", Acta Mathematica Academiae Scientiarum Hungaricae , 8 (3–4): 477–493, doi :10.1007/BF02020331, hdl : 10338.dmlcz/102491 , ISSN 0001-5954, SEÑOR 0097374, S2CID 122635654.
Schmidt, Klaus (1980), "Sobre expansiones periódicas de los números de Pisot y de Salem", The Bulletin of the London Mathematical Society , 12 (4): 269–278, doi :10.1112/blms/12.4.269, hdl : 10338.dmlcz/141479 , ISSN 0024-6093, MR 0576976.
Thurston, WP (1989), "Grupos, teselación y autómatas de estados finitos", Conferencias del Coloquio AMS

Lectura adicional

Sidorov, Nikita (2003), "Dinámica aritmética", en Bezuglyi, Sergey; Kolyada, Sergiy (eds.), Temas de dinámica y teoría ergódica. Documentos de estudio y minicursos presentados en la conferencia internacional y taller estadounidense-ucraniano sobre sistemas dinámicos y teoría ergódica, Katsiveli, Ucrania, 21-30 de agosto de 2000 , Lond. Math. Soc. Lect. Note Ser., vol. 310, Cambridge: Cambridge University Press , pp. 145-189, ISBN 978-0-521-53365-2, Zbl1051.37007

Enlaces externos

Weisstein, Eric W. "Base". MathWorld .