Recta de números reales extendida

Números reales con +∞ y −∞ sumados

Números reales extendidos:
a) Números reales extendidos afínmente
b) Números reales extendidos proyectivamente

En matemáticas , el sistema de números reales extendido ^[a] se obtiene del sistema de números reales sumando dos elementos denotados y ^[b] que son respectivamente mayores y menores que cada número real. Esto permite tratar los infinitos potenciales de secuencias infinitamente crecientes y series infinitamente decrecientes como infinitos reales . Por ejemplo, la secuencia infinita de los números naturales aumenta infinitamente y no tiene límite superior en el sistema de números reales (un infinito potencial); en la línea de números reales extendida, la secuencia tiene como su límite superior mínimo y como su límite (un infinito real). En cálculo y análisis matemático , el uso de y como límites reales extiende significativamente los cálculos posibles. ^[1] Es la compleción de Dedekind-MacNeille de los números reales. ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle +\infty }$ ${\displaystyle -\infty }$ ${\displaystyle (1,2,\ldots )}$ ${\displaystyle +\infty }$ ${\displaystyle +\infty }$ ${\displaystyle -\infty }$

El sistema de números reales extendido se denota o o ^[2] Cuando el significado es claro a partir del contexto, el símbolo a menudo se escribe simplemente como ^[2] ${\displaystyle {\overline {\mathbb {R} }}}$ ${\displaystyle [-\infty ,+\infty ]}$ ${\displaystyle \mathbb {R} \cup \left\{-\infty ,+\infty \right\}.}$ ${\displaystyle +\infty }$ ${\displaystyle \infty .}$

También hay una línea real extendida proyectivamente distinta donde y no se distinguen, es decir, hay un único infinito actual tanto para secuencias infinitamente crecientes como para secuencias infinitamente decrecientes que se denota como simplemente o como . ${\displaystyle +\infty }$ ${\displaystyle -\infty }$ ${\displaystyle \infty }$ ${\displaystyle \pm \infty }$

Motivación

Límites

La línea numérica extendida suele ser útil para describir el comportamiento de una función cuando el argumento o el valor de la función se vuelven "infinitamente grandes" en algún sentido. Por ejemplo, considere la función definida por ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$

${\displaystyle f(x)={\frac {1}{x^{2}}}.}$

La gráfica de esta función tiene una asíntota horizontal en Geométricamente, al moverse cada vez más hacia la derecha a lo largo del eje , el valor de tiende a 0. Este comportamiento límite es similar al límite de una función en la que el número real se acerca excepto que no hay ningún número real que se acerque cuando aumenta infinitamente. La unión de los elementos y a permite una definición de "límites en el infinito" que es muy similar a la definición habitual de límites, excepto que se reemplaza por (para ) o (para ). Esto permite probar y escribir ${\displaystyle y=0.}$ ${\displaystyle x}$ ${\textstyle {1}/{x^{2}}}$ ${\textstyle \lim _{x\to x_{0}}f(x)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x_{0},}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle +\infty }$ ${\displaystyle -\infty }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle |x-x_{0}|<\varepsilon }$ ${\displaystyle x>N}$ ${\displaystyle +\infty }$ ${\displaystyle x<-N}$ ${\displaystyle -\infty }$

${\displaystyle {\begin{aligned}\lim _{x\to +\infty }{\frac {1}{x^{2}}}&=0,\\\lim _{x\to -\infty }{\frac {1}{x^{2}}}&=0,\\\lim _{x\to 0}{\frac {1}{x^{2}}}&=+\infty .\end{aligned}}}$

Medición e integración

En la teoría de la medida , a menudo es útil permitir conjuntos que tengan medida infinita e integrales cuyo valor pueda ser infinito.

Tales medidas surgen naturalmente del cálculo. Por ejemplo, al asignar una medida a que concuerde con la longitud habitual de los intervalos , esta medida debe ser mayor que cualquier número real finito. Además, al considerar integrales impropias , como ${\displaystyle \mathbb {R} }$

${\displaystyle \int _{1}^{\infty }{\frac {dx}{x}}}$

surge el valor "infinito". Por último, a menudo resulta útil considerar el límite de una secuencia de funciones, como

${\displaystyle f_{n}(x)={\begin{cases}2n(1-nx),&{\mbox{if }}0\leq x\leq {\frac {1}{n}}\\0,&{\mbox{if }}{\frac {1}{n}}<x\leq 1\end{cases}}}$

Sin permitir que las funciones tomen valores infinitos, resultados esenciales como el teorema de convergencia monótona y el teorema de convergencia dominada no tendrían sentido.

Orden y propiedades topológicas

El sistema de números reales extendido , definido como o , se puede convertir en un conjunto totalmente ordenado definiendo para todos Con esta topología de orden , tiene la propiedad deseable de compacidad : Cada subconjunto de tiene un supremo y un ínfimo ^[3] (el ínfimo del conjunto vacío es , y su supremo es ). Además, con esta topología , es homeomorfa al intervalo unitario Por lo tanto, la topología es metrizable , correspondiente (para un homeomorfismo dado) a la métrica ordinaria en este intervalo. Sin embargo, no hay ninguna métrica que sea una extensión de la métrica ordinaria en ${\displaystyle {\overline {\mathbb {R} }}}$ ${\displaystyle [-\infty ,+\infty ]}$ ${\displaystyle \mathbb {R} \cup \left\{-\infty ,+\infty \right\}}$ ${\displaystyle -\infty \leq a\leq +\infty }$ ${\displaystyle a\in {\overline {\mathbb {R} }}.}$ ${\displaystyle {\overline {\mathbb {R} }}}$ ${\displaystyle {\overline {\mathbb {R} }}}$ ${\displaystyle +\infty }$ ${\displaystyle -\infty }$ ${\displaystyle {\overline {\mathbb {R} }}}$ ${\displaystyle [0,1].}$ ${\displaystyle \mathbb {R} .}$

En esta topología, un conjunto es un entorno de si y solo si contiene un conjunto para algún número real. La noción de entorno de se puede definir de manera similar. Utilizando esta caracterización de entornos reales extendidos, los límites con que tienden a o , y los límites "iguales" a y , se reducen a la definición topológica general de límites, en lugar de tener una definición especial en el sistema de números reales. ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle +\infty }$ ${\displaystyle \{x:x>a\}}$ ${\displaystyle a.}$ ${\displaystyle -\infty }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle +\infty }$ ${\displaystyle -\infty }$ ${\displaystyle +\infty }$ ${\displaystyle -\infty }$

Operaciones aritméticas

Las operaciones aritméticas de pueden extenderse parcialmente de la siguiente manera: ^[2] ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle {\overline {\mathbb {R} }}}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}a\pm \infty =\pm \infty +a&=\pm \infty ,&a&\neq \mp \infty \\a\cdot (\pm \infty )=\pm \infty \cdot a&=\pm \infty ,&a&\in (0,+\infty ]\\a\cdot (\pm \infty )=\pm \infty \cdot a&=\mp \infty ,&a&\in [-\infty ,0)\\{\frac {a}{\pm \infty }}&=0,&a&\in \mathbb {R} \\{\frac {\pm \infty }{a}}&=\pm \infty ,&a&\in (0,+\infty )\\{\frac {\pm \infty }{a}}&=\mp \infty ,&a&\in (-\infty ,0)\end{aligned}}}$$

Para la exponenciación, véase Exponenciación § Límites de potencias . Aquí, significa tanto y mientras que significa tanto y ${\displaystyle a+\infty }$ ${\displaystyle a+(+\infty )}$ ${\displaystyle a-(-\infty ),}$ ${\displaystyle a-\infty }$ ${\displaystyle a-(+\infty )}$ ${\displaystyle a+(-\infty ).}$

Las expresiones y (llamadas formas indeterminadas ) suelen dejarse sin definir . Estas reglas se basan en las leyes de límites infinitos . Sin embargo, en el contexto de la teoría de la probabilidad o de la medida, a menudo se define como ^[4] ${\displaystyle \infty -\infty ,0\times (\pm \infty )}$ ${\displaystyle \pm \infty /\pm \infty }$ ${\displaystyle 0\times \pm \infty }$ ${\displaystyle 0.}$

Cuando se trata de números reales extendidos positivos y negativos, la expresión generalmente se deja sin definir, porque, si bien es cierto que para cada secuencia real distinta de cero que converge a la secuencia recíproca está eventualmente contenida en cada vecindad de, no es cierto que la secuencia deba converger a o . Dicho de otra manera, si una función continua alcanza un cero en un cierto valor , entonces no necesariamente debe ser el caso que tienda a o en el límite cuando tiende a. Este es el caso de los límites de la función identidad cuando tiende a y de (para la última función, ni ni es un límite de incluso si solo se consideran valores positivos de ). ${\displaystyle 1/0}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle 0,}$ ${\displaystyle 1/f}$ ${\displaystyle \{\infty ,-\infty \},}$ ${\displaystyle 1/f}$ ${\displaystyle -\infty }$ ${\displaystyle \infty .}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x_{0},}$ ${\displaystyle 1/f}$ ${\displaystyle -\infty }$ ${\displaystyle \infty }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x_{0}.}$ ${\displaystyle f(x)=x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle 0,}$ ${\displaystyle f(x)=x^{2}\sin \left(1/x\right)}$ ${\displaystyle -\infty }$ ${\displaystyle \infty }$ ${\displaystyle 1/f(x),}$ ${\displaystyle x}$

Sin embargo, en contextos donde solo se consideran valores no negativos, a menudo es conveniente definir Por ejemplo, cuando se trabaja con series de potencias , el radio de convergencia de una serie de potencias con coeficientes a menudo se define como el recíproco del límite supremo de la secuencia . Por lo tanto, si se permite tomar el valor , entonces se puede usar esta fórmula independientemente de si el límite supremo es o no. ${\displaystyle 1/0=+\infty .}$ ${\displaystyle a_{n}}$ ${\displaystyle \left(|a_{n}|^{1/n}\right)}$ ${\displaystyle 1/0}$ ${\displaystyle +\infty ,}$ ${\displaystyle 0}$

Propiedades algebraicas

Con las operaciones aritméticas definidas anteriormente, ni siquiera es un semigrupo , y mucho menos un grupo , un anillo o un cuerpo como en el caso de Sin embargo, tiene varias propiedades convenientes: ${\displaystyle {\overline {\mathbb {R} }}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} .}$

• ${\displaystyle a+(b+c)}$y son iguales o ambos indefinidos. ${\displaystyle (a+b)+c}$
• ${\displaystyle a+b}$y son iguales o ambos indefinidos. ${\displaystyle b+a}$
• ${\displaystyle a\cdot (b\cdot c)}$y son iguales o ambos indefinidos. ${\displaystyle (a\cdot b)\cdot c}$
• ${\displaystyle a\cdot b}$y son iguales o ambos indefinidos ${\displaystyle b\cdot a}$
• ${\displaystyle a\cdot (b+c)}$y son iguales si ambos están definidos. ${\displaystyle (a\cdot b)+(a\cdot c)}$
• Si y si ambos y están definidos, entonces ${\displaystyle a\leq b}$ ${\displaystyle a+c}$ ${\displaystyle b+c}$ ${\displaystyle a+c\leq b+c.}$
• Si y y si ambos y están definidos, entonces ${\displaystyle a\leq b}$ ${\displaystyle c>0}$ ${\displaystyle a\cdot c}$ ${\displaystyle b\cdot c}$ ${\displaystyle a\cdot c\leq b\cdot c.}$

En general, todas las leyes de la aritmética son válidas siempre que todas las expresiones que aparecen estén definidas. ${\displaystyle {\overline {\mathbb {R} }}}$

Misceláneas

Varias funciones pueden extenderse de forma continua tomando límites. Por ejemplo, se pueden definir los puntos extremos de las siguientes funciones como: ${\displaystyle {\overline {\mathbb {R} }}}$

${\displaystyle \exp(-\infty )=0,}$

${\displaystyle \ln(0)=-\infty ,}$

${\displaystyle \tanh(\pm \infty )=\pm 1,}$

${\displaystyle \arctan(\pm \infty )=\pm {\frac {\pi }{2}}.}$

Algunas singularidades pueden eliminarse adicionalmente. Por ejemplo, la función puede extenderse continuamente a (según algunas definiciones de continuidad), fijando el valor en para y para y Por otro lado, la función no puede extenderse continuamente, porque la función se aproxima como se aproxima desde abajo y como se aproxima desde arriba, es decir, la función no converge al mismo valor que su variable independiente se aproxima al mismo elemento del dominio tanto desde el lado del valor positivo como del negativo. ${\displaystyle 1/x^{2}}$ ${\displaystyle {\overline {\mathbb {R} }}}$ ${\displaystyle +\infty }$ ${\displaystyle x=0,}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle x=+\infty }$ ${\displaystyle x=-\infty .}$ ${\displaystyle 1/x}$ ${\displaystyle -\infty }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle +\infty }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle 0}$

Un sistema de línea real similar pero diferente, la línea real proyectivamente extendida , no distingue entre y (es decir, el infinito no tiene signo). ^[5] Como resultado, una función puede tener límite en la línea real proyectivamente extendida, mientras que en el sistema de números reales extendido solo el valor absoluto de la función tiene un límite, por ejemplo, en el caso de la función en Por otro lado, en la línea real proyectivamente extendida, y corresponden solo a un límite por la derecha y uno por la izquierda, respectivamente, y el límite completo solo existe cuando los dos son iguales. Por lo tanto, las funciones y no se pueden hacer continuas en en la línea real proyectivamente extendida. ${\displaystyle +\infty }$ ${\displaystyle -\infty }$ ${\displaystyle \infty }$ ${\displaystyle 1/x}$ ${\displaystyle x=0.}$ ${\displaystyle \lim _{x\to -\infty }{f(x)}}$ ${\displaystyle \lim _{x\to +\infty }{f(x)}}$ ${\displaystyle e^{x}}$ ${\displaystyle \arctan(x)}$ ${\displaystyle x=\infty }$

Véase también

• División por cero
• Plano complejo extendido
• Números naturales extendidos
• Integral impropia
• Infinidad
• Semianillo de troncos
• Serie (matemáticas)
• Línea real extendida proyectivamente
• Representaciones informáticas de números reales extendidos, véase Aritmética de punto flotante § Infinitos y punto flotante IEEE

Notas

1. Algunos autores utilizan el sistema de números reales extendido afín y la línea de números reales extendida afín , aunque los números reales extendidos no forman una línea afín .
2. Se lee como "infinito positivo" e "infinito negativo" respectivamente.

Referencias

1. Wilkins, David (2007). "Sección 6: El sistema de números reales extendido" (PDF) . maths.tcd.ie . Consultado el 3 de diciembre de 2019 .
2. Weisstein, Eric W. "Números reales extendidos de manera afín". mathworld.wolfram.com . Consultado el 3 de diciembre de 2019 .
3. Oden, J. Tinsley; Demkowicz, Leszek (16 de enero de 2018). Análisis funcional aplicado (3.ª ed.). Chapman y Hall/CRC. pág. 74. ISBN 9781498761147. Recuperado el 8 de diciembre de 2019 .
4. "Número real extendido en nLab". ncatlab.org . Consultado el 3 de diciembre de 2019 .
5. Weisstein, Eric W. "Números reales proyectivamente extendidos". mathworld.wolfram.com . Consultado el 3 de diciembre de 2019 .

Lectura adicional

• Aliprantis, Charalambos D.; Burkinshaw, Owen (1998), Principios de análisis real (3.ª ed.), San Diego, CA: Academic Press, Inc., pág. 29, ISBN 0-12-050257-7, Sr.  1669668
• David W. Cantrell. "Números reales afínmente extendidos". MathWorld .