En matemáticas , un operador de cierre sobre un conjunto S es una función del conjunto potencia de S sobre sí mismo que satisface las siguientes condiciones para todos los conjuntos
Los operadores de clausura están determinados por sus conjuntos cerrados , es decir, por los conjuntos de la forma cl( X ), ya que la clausura cl( X ) de un conjunto X es el conjunto cerrado más pequeño que contiene a X . Tales familias de "conjuntos cerrados" a veces se denominan sistemas de clausura o " familias de Moore ". [1] Un conjunto junto con un operador de clausura sobre él a veces se denomina espacio de clausura . Los operadores de clausura también se denominan " operadores de casco ", lo que evita la confusión con los "operadores de clausura" estudiados en topología .
EH Moore estudió los operadores de cierre en su Introducción a una forma de análisis general de 1910 , mientras que el concepto de cierre de un subconjunto se originó en el trabajo de Frigyes Riesz en conexión con los espacios topológicos. [2] Aunque no se formalizó en ese momento, la idea de cierre se originó a fines del siglo XIX con contribuciones notables de Ernst Schröder , Richard Dedekind y Georg Cantor . [3]
El cierre de conjunto habitual de la topología es un operador de cierre. Otros ejemplos incluyen la extensión lineal de un subconjunto de un espacio vectorial , la envoltura convexa o envoltura afín de un subconjunto de un espacio vectorial o la envoltura semicontinua inferior de una función , donde es, por ejemplo, un espacio normado , definido implícitamente , donde es el epígrafe de una función .
El interior relativo no es un operador de clausura: aunque es idempotente, no es creciente y si es un cubo en y es una de sus caras, entonces , pero y , por lo que no es creciente. [4]
En topología, los operadores de cierre son operadores de cierre topológicos , que deben satisfacer
para todos (Tenga en cuenta que para esto da ).
En álgebra y lógica , muchos operadores de cierre son operadores de cierre finitarios , es decir, satisfacen
En la teoría de conjuntos parcialmente ordenados , que son importantes en la informática teórica , los operadores de cierre tienen una definición más general que reemplaza a . (Véase § Operadores de cierre en conjuntos parcialmente ordenados).
La clausura topológica de un subconjunto X de un espacio topológico está formada por todos los puntos y del espacio, de modo que cada entorno de y contiene un punto de X. La función que asocia a cada subconjunto X su clausura es un operador de clausura topológica. A la inversa, todo operador de clausura topológica sobre un conjunto da lugar a un espacio topológico cuyos conjuntos cerrados son exactamente los conjuntos cerrados respecto del operador de clausura.
Los operadores de clausura finitaria desempeñan un papel relativamente destacado en el álgebra universal , y en este contexto se los denomina tradicionalmente operadores de clausura algebraica . Cada subconjunto de un álgebra genera una subálgebra : la subálgebra más pequeña que contiene el conjunto. Esto da lugar a un operador de clausura finitaria.
Quizás el ejemplo más conocido de esto es la función que asocia a cada subconjunto de un espacio vectorial dado su amplitud lineal . De manera similar, la función que asocia a cada subconjunto de un grupo dado el subgrupo generado por él, y lo mismo ocurre con los cuerpos y todos los demás tipos de estructuras algebraicas .
Tanto el espacio lineal en un espacio vectorial como el cierre algebraico similar en un cuerpo satisfacen la propiedad de intercambio: si x está en el cierre de la unión de A y { y } pero no en el cierre de A , entonces y está en el cierre de la unión de A y { x }. Un operador de cierre finitario con esta propiedad se denomina matroide . La dimensión de un espacio vectorial, o el grado de trascendencia de un cuerpo (sobre su cuerpo primo ) es exactamente el rango del matroide correspondiente.
La función que asigna cada subconjunto de un cuerpo dado a su clausura algebraica también es un operador de clausura finitaria y, en general, es diferente del operador mencionado anteriormente. Los operadores de clausura finitaria que generalizan estos dos operadores se estudian en la teoría de modelos como dcl (para clausura definible ) y acl (para clausura algebraica ).
La envoltura convexa en el espacio euclidiano n -dimensional es otro ejemplo de un operador de clausura finitaria. Satisface la propiedad antiintercambio: si x está en la clausura de la unión de { y } y A , pero no en la unión de { y } y la clausura de A , entonces y no está en la clausura de la unión de { x } y A . Los operadores de clausura finitaria con esta propiedad dan lugar a antimatroides .
Como otro ejemplo de un operador de cierre utilizado en álgebra, si alguna álgebra tiene universo A y X es un conjunto de pares de A , entonces el operador que asigna a X la congruencia más pequeña que contiene a X es un operador de cierre finitario en A x A . [5]
Supongamos que tenemos un formalismo lógico que contiene ciertas reglas que nos permiten derivar nuevas fórmulas a partir de otras dadas. Consideremos el conjunto F de todas las fórmulas posibles, y sea P el conjunto potencia de F , ordenado por ⊆. Para un conjunto X de fórmulas, sea cl( X ) el conjunto de todas las fórmulas que se pueden derivar de X . Entonces cl es un operador de clausura sobre P . Más precisamente, podemos obtener cl de la siguiente manera. Llamemos "continuo" a un operador J tal que, para cada clase dirigida T ,
Esta condición de continuidad se basa en un teorema de punto fijo para J . Considere el operador de un paso J de una lógica monótona. Este es el operador que asocia cualquier conjunto X de fórmulas con el conjunto J ( X ) de fórmulas que son axiomas lógicos o se obtienen por una regla de inferencia a partir de fórmulas en X o están en X . Entonces, dicho operador es continuo y podemos definir cl( X ) como el punto fijo mínimo para J mayor o igual a X . De acuerdo con este punto de vista, Tarski, Brown, Suszko y otros autores propusieron un enfoque general de la lógica basado en la teoría del operador de cierre. También, esta idea se propone en la lógica de programación (ver Lloyd 1987) y en la lógica difusa (ver Gerla 2000).
Alrededor de 1930, Alfred Tarski desarrolló una teoría abstracta de deducciones lógicas que modela algunas propiedades de los cálculos lógicos. Matemáticamente, lo que describió es solo un operador de clausura finitario sobre un conjunto (el conjunto de oraciones ). En la lógica algebraica abstracta , los operadores de clausura finitarios aún se estudian bajo el nombre de operador de consecuencia , que fue acuñado por Tarski. El conjunto S representa un conjunto de oraciones, un subconjunto T de S una teoría y cl( T ) es el conjunto de todas las oraciones que se siguen de la teoría. Hoy en día, el término puede referirse a operadores de clausura que no necesitan ser finitarios; los operadores de clausura finitarios a veces se denominan operadores de consecuencia finita .
Los conjuntos cerrados respecto de un operador de clausura sobre S forman un subconjunto C del conjunto potencia P ( S ). Cualquier intersección de conjuntos en C está a su vez en C . En otras palabras, C es un semirretículo de encuentro completo de P ( S ). Por el contrario, si C ⊆ P ( S ) es cerrado bajo intersecciones arbitrarias, entonces la función que asocia a cada subconjunto X de S el conjunto más pequeño Y ∈ C tal que X ⊆ Y es un operador de clausura.
Existe un algoritmo simple y rápido para generar todos los conjuntos cerrados de un operador de cierre dado. [6]
Un operador de cierre sobre un conjunto es topológico si y solo si el conjunto de conjuntos cerrados es cerrado bajo uniones finitas, es decir, C es una subred de encuentro-completo de P ( S ). Incluso para operadores de cierre no topológicos, C puede verse como teniendo la estructura de una red. (La unión de dos conjuntos X , Y ⊆ P ( S ) es cl( X Y ).) Pero entonces C no es una subred de la red P ( S ).
Dado un operador de clausura finitario sobre un conjunto, las clausuras de los conjuntos finitos son exactamente los elementos compactos del conjunto C de conjuntos cerrados. De ello se deduce que C es un conjunto parcial algebraico . Como C también es un retículo, en este contexto se suele hablar de retículo algebraico. Por el contrario, si C es un conjunto parcial algebraico, entonces el operador de clausura es finitario.
Cada operador de cierre en un conjunto finito S está determinado de forma única por sus imágenes de sus conjuntos pseudocerrados . [7] Estas se definen recursivamente: Un conjunto es pseudocerrado si no es cerrado y contiene el cierre de cada uno de sus subconjuntos propios pseudocerrados. Formalmente: P ⊆ S es pseudocerrado si y solo si
Un conjunto parcialmente ordenado (poset) es un conjunto con un orden parcial ≤, es decir, una relación binaria que es reflexiva ( a ≤ a ), transitiva ( a ≤ b ≤ c implica a ≤ c ) y antisimétrica ( a ≤ b ≤ a implica a = b ). Todo conjunto potencia P ( S ) con inclusión ⊆ es un conjunto parcialmente ordenado.
Una función cl: P → P de un orden parcial P a sí misma se denomina operador de cierre si satisface los siguientes axiomas para todos los elementos x , y en P .
Hay alternativas más concisas: la definición anterior es equivalente al axioma único
para todo x , y en P.
Usando el orden puntual en funciones entre conjuntos parciales, uno puede alternativamente escribir la propiedad de extensibilidad como id P ≤ cl, donde id es la función identidad . Una auto-mapa k que es creciente e idempotente, pero satisface el dual de la propiedad de extensibilidad, es decir k ≤ id P se llama operador de núcleo , [8] operador interior , [9] o clausura dual . [10] Como ejemplos, si A es un subconjunto de un conjunto B , entonces la auto-mapa en el powerset de B dado por μ A ( X ) = A ∪ X es un operador de clausura, mientras que λ A ( X ) = A ∩ X es un operador de núcleo. La función techo de los números reales a los números reales, que asigna a cada real x el entero más pequeño no menor que x , es otro ejemplo de un operador de clausura.
Un punto fijo de la función cl, es decir, un elemento c de P que satisface cl( c ) = c , se denomina elemento cerrado . Un operador de clausura en un conjunto parcialmente ordenado está determinado por sus elementos cerrados. Si c es un elemento cerrado, entonces x ≤ c y cl( x ) ≤ c son condiciones equivalentes.
Toda conexión de Galois (o aplicación residual ) da lugar a un operador de clausura (como se explica en ese artículo). De hecho, todo operador de clausura surge de esta manera a partir de una conexión de Galois adecuada. [11] La conexión de Galois no está determinada de forma única por el operador de clausura. Una conexión de Galois que da lugar al operador de clausura cl puede describirse de la siguiente manera: si A es el conjunto de elementos cerrados con respecto a cl, entonces cl: P → A es el adjunto inferior de una conexión de Galois entre P y A , siendo el adjunto superior la incrustación de A en P . Además, todo adjunto inferior de una incrustación de algún subconjunto en P es un operador de clausura. "Los operadores de clausura son adjuntos inferiores de incrustaciones". Nótese, sin embargo, que no todas las incrustaciones tienen un adjunto inferior.
Cualquier conjunto parcialmente ordenado P puede ser visto como una categoría , con un único morfismo de x a y si y solo si x ≤ y . Los operadores de cierre en el conjunto parcialmente ordenado P no son entonces nada más que las mónadas en la categoría P . De manera equivalente, un operador de cierre puede ser visto como un endofunctor en la categoría de conjuntos parcialmente ordenados que tiene las propiedades adicionales idempotente y extensiva .
Si P es un retículo completo , entonces un subconjunto A de P es el conjunto de elementos cerrados para algún operador de clausura en P si y solo si A es una familia de Moore en P , es decir, el elemento más grande de P está en A , y el ínfimo (encuentro) de cualquier subconjunto no vacío de A está nuevamente en A. Cualquier conjunto A de este tipo es en sí mismo un retículo completo con el orden heredado de P (pero la operación de supremo (unión) puede diferir de la de P ). Cuando P es el álgebra booleana de conjunto potencia de un conjunto X , entonces una familia de Moore en P se llama un sistema de clausura en X.
Los operadores de cierre en P forman por sí mismos una red completa; el orden de los operadores de cierre está definido por cl 1 ≤ cl 2 sólo si cl 1 ( x ) ≤ cl 2 ( x ) para todo x en P .
