El voto posicional es un sistema electoral de votación por orden de preferencia en el que las opciones o candidatos reciben puntos en función de su posición en el ranking de cada papeleta y gana el que obtenga más puntos en total. [1] La preferencia de menor rango en cualquier par adyacente generalmente tiene menos valor que la de mayor rango. Aunque a veces puede tener el mismo peso, nunca vale más. Se puede elegir una progresión válida de puntos o ponderaciones a voluntad ( Festival de la Canción de Eurovisión ) o puede formar una secuencia matemática como una progresión aritmética ( recuento de Borda ), una geométrica ( sistema de numeración posicional ) o una armónica ( método de Nauru/Dowdall ). El conjunto de ponderaciones empleado en una elección influye en gran medida en el orden de clasificación de los candidatos. Cuanto más pronunciada sea la caída inicial de los valores de preferencia con el rango descendente, más polarizado y menos consensual se vuelve el sistema de votación posicional.
La votación posicional debe distinguirse de la votación por puntuación : en la primera, la puntuación que cada votante otorga a cada candidato está determinada únicamente por el rango del candidato; en la segunda, cada votante es libre de otorgar cualquier puntuación a cualquier candidato.
En la votación por posición, los votantes completan una papeleta clasificada expresando sus preferencias en orden de importancia. A la posición de cada preferencia de un votante se le asigna una ponderación fija específica. Por lo general, cuanto más alta sea la posición de la preferencia, más puntos vale. Ocasionalmente, puede compartir la misma ponderación que una preferencia de menor rango, pero nunca vale menos puntos.
Por lo general, cada votante debe expresar una preferencia ordinal única para cada opción de la papeleta en estricto orden descendente. Sin embargo, un sistema de votación posicional particular puede permitir a los votantes truncar sus preferencias después de expresar una o más de ellas y dejar las opciones restantes sin clasificar y, en consecuencia, sin valor. De manera similar, algunos otros sistemas pueden limitar el número de preferencias que se pueden expresar. Por ejemplo, en el Festival de la Canción de Eurovisión, solo se clasifican las diez preferencias principales de cada país, aunque en el concurso compiten muchas más de diez canciones. Nuevamente, las preferencias no clasificadas no tienen valor. En la votación posicional, las papeletas clasificadas con opciones empatadas normalmente se consideran inválidas.
El proceso de recuento es sencillo. A todas las preferencias emitidas por los votantes se les asignan los puntos asociados con su posición en el ranking. Luego, se cuentan todos los puntos para cada opción y la que tiene más puntos es la ganadora. Cuando se requieren unos pocos ganadores ( W ) después del recuento, se seleccionan las W opciones con mayor puntuación. La votación por posición no es solo un medio para identificar a un único ganador, sino también un método para convertir conjuntos de preferencias individuales (votos clasificados) en un conjunto colectivo y completamente ordenado por rango. Es posible y legítimo que las opciones estén empatadas en este conjunto resultante; incluso en primer lugar.
Consideremos una elección de votación por posición para elegir un único ganador entre tres opciones A, B y C. No se permiten truncamientos ni empates y una primera, segunda y tercera preferencia valen aquí 4, 2 y 1 punto respectivamente. Hay entonces seis maneras diferentes en las que cada votante puede ordenar por orden estas opciones. Los 100 votantes emiten sus votos por orden de preferencia de la siguiente manera:
Una vez finalizada la votación, se cuentan los puntos otorgados por los votantes y se clasifican las opciones según el total de puntos.
Por lo tanto, al tener el mayor número de votos, la opción A es la ganadora. Tenga en cuenta que el resultado de la elección también genera una clasificación completa de todas las opciones.
En el caso de la votación por posiciones, cualquier distribución de puntos según la posición en el ranking es válida, siempre que los puntos sean ligeramente decrecientes en el ranking de cada candidato. En otras palabras, un candidato peor clasificado debe recibir menos puntos que un candidato mejor clasificado. [1]
El ejemplo clásico de un sistema electoral de votación posicional es el recuento de Borda . [1] Normalmente, para una elección con un solo ganador y N candidatos, una primera preferencia vale N puntos, una segunda preferencia N – 1 punto, una tercera preferencia N – 2 puntos y así sucesivamente hasta la última ( Nª ) preferencia que vale solo 1 punto. Así, por ejemplo, los puntos son respectivamente 4, 3, 2 y 1 para una elección con cuatro candidatos.
Matemáticamente, el valor o ponderación en puntos ( w n ) asociado a una posición de rango dada ( n ) se define a continuación; donde la ponderación de la primera preferencia es a y la diferencia común es d .
donde a = N , el número de candidatos.
El valor de la primera preferencia no tiene por qué ser N. A veces se fija en N – 1 para que la última preferencia valga cero. Aunque es conveniente para el recuento, la diferencia común no tiene por qué fijarse en uno, ya que la clasificación general de los candidatos no se ve afectada por su valor específico. Por lo tanto, a pesar de generar diferentes recuentos, cualquier valor de a o d para una elección de recuento de Borda dará como resultado clasificaciones de candidatos idénticas. [1]
Las ponderaciones consecutivas del recuento de Borda forman una progresión aritmética .
Los sistemas habituales para evaluar las preferencias, distintos del método Borda, suelen ser de tipo "top-heavy", es decir, el método se centra en cuántos votantes consideran a un candidato como uno de sus "favoritos".
En el sistema de votación por mayoría simple (FPP), la opción más preferida recibe 1 punto, mientras que todas las demás opciones reciben 0 puntos cada una. Este es el sistema de votación por posiciones con mayor peso en la parte superior.
En la votación por posiciones también se puede utilizar una secuencia matemática alternativa conocida como progresión geométrica . En este caso, existe una razón común r entre ponderaciones adyacentes. Para satisfacer las dos condiciones de validez, el valor de r debe ser menor que uno, de modo que las ponderaciones disminuyan a medida que las preferencias descienden en rango. Cuando el valor de la primera preferencia es a , la ponderación ( w n ) otorgada a una posición de rango dada ( n ) se define a continuación.
Por ejemplo, la secuencia de ponderaciones consecutivamente divididas por la mitad de 1, 1/2, 1/4, 1/8, … como se usa en el sistema de numeración binario constituye una progresión geométrica con una razón común de la mitad ( r = 1/2). Tales ponderaciones son inherentemente válidas para su uso en sistemas de votación posicional siempre que se emplee una razón común legítima. Usando una razón común de cero, esta forma de votación posicional tiene ponderaciones de 1, 0, 0, 0, … y por lo tanto produce resultados de clasificación idénticos a los de la votación por mayoría simple o por mayoría relativa .
Alternativamente, los denominadores de las ponderaciones fraccionarias anteriores podrían formar una progresión aritmética; es decir, 1/1, 1/2, 1/3, 1/4 y así sucesivamente hasta 1/ N . Esta secuencia matemática adicional es un ejemplo de una progresión armónica . Estas ponderaciones particulares de orden de rango descendente se utilizan de hecho en las elecciones de votación posicional de N candidatos al parlamento de Nauru . Para tales sistemas electorales, la ponderación ( w n ) asignada a una posición de rango dada ( n ) se define a continuación; donde el valor de la primera preferencia es a .
donde w 1 = a .
En el sistema de Nauru ( Dowdall ), la primera preferencia a vale uno y la diferencia común d entre denominadores adyacentes también vale uno. También se pueden utilizar otras numerosas secuencias armónicas en la votación posicional. Por ejemplo, establecer a en 1 y d en 2 genera los recíprocos de todos los números impares (1, 1/3, 1/5, 1/7, …) mientras que dejar a en 1/2 y d en 1/2 produce los de todos los números pares (1/2, 1/4, 1/6, 1/8, …).
La nación insular de Nauru utiliza una variante llamada sistema Dowdall: [2] [3] el votante otorga al candidato en primer lugar 1 punto, mientras que el candidato en segundo lugar recibe 1 ⁄ 2 punto, el candidato en tercer lugar recibe 1 ⁄ 3 de un punto, etc. (Este sistema no debe confundirse con el uso de divisores secuenciales en sistemas proporcionales como la votación de aprobación proporcional , un método no relacionado). Un sistema similar de ponderación de los votos de menor preferencia se utilizó en el sistema electoral primario de Oklahoma de 1925 .
Utilizando el ejemplo anterior, en Nauru la distribución de puntos entre los cuatro candidatos sería la siguiente:
Este método es más favorable a los candidatos con muchas primeras preferencias que el recuento convencional de Borda. Se lo ha descrito como un sistema "que se encuentra en algún punto intermedio entre la pluralidad y el recuento de Borda, pero que tiende más hacia la pluralidad". [3] Las simulaciones muestran que el 30% de las elecciones de Nauru producirían resultados diferentes si se contaran utilizando las reglas estándar de Borda. [3]
El sistema fue ideado por el Secretario de Justicia de Nauru (Desmond Dowdall) en 1971. [3]
En el Festival de Eurovisión, la primera preferencia vale 12 puntos, mientras que la segunda recibe 10 puntos. Las siguientes ocho preferencias consecutivas reciben 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2 y 1 punto. Las demás preferencias reciben cero puntos.
En la votación posicional, las ponderaciones ( w ) de las preferencias consecutivas del primero al último disminuyen de manera monótona con la posición en el ranking ( n ). Sin embargo, la tasa de disminución varía según el tipo de progresión empleada. Las preferencias más bajas son más influyentes en los resultados electorales cuando la progresión elegida emplea una secuencia de ponderaciones que descienden de manera relativamente lenta con la posición en el ranking. Cuanto más lentamente disminuyen las ponderaciones, más consensual y menos polarizador se vuelve el voto posicional.
Esta figura ilustra dichas disminuciones a lo largo de diez preferencias para los siguientes cuatro sistemas electorales de votación posicional:
Para facilitar la comparación, se han normalizado las ponderaciones reales, es decir, la primera preferencia se establece en uno y las otras ponderaciones en la secuencia particular se escalan por el mismo factor de 1/ a .
La disminución relativa de las ponderaciones en cualquier progresión aritmética es constante, ya que no es una función de la diferencia común d . En otras palabras, la diferencia relativa entre ponderaciones adyacentes se fija en 1/ N. Por el contrario, el valor de d en una progresión armónica sí afecta la velocidad de su disminución. Cuanto mayor sea su valor, más rápido descienden las ponderaciones. Mientras que cuanto menor sea el valor de la razón común r para una progresión geométrica, más rápido declinan sus ponderaciones.
Las ponderaciones de las posiciones de los dígitos en el sistema de numeración binario se eligieron aquí para destacar un ejemplo de una progresión geométrica en la votación posicional. De hecho, se pueden emplear las ponderaciones consecutivas de cualquier sistema de numeración digital , ya que todos constituyen progresiones geométricas. Por ejemplo, los sistemas de numeración binario, ternario, octal y decimal utilizan un radio R de 2, 3, 8 y 10 respectivamente. El valor R es también la razón común de la progresión geométrica que asciende en orden de rango, mientras que r es la razón común complementaria que desciende en rango. Por lo tanto, r es el recíproco de R y las razones r son respectivamente 1/2, 1/3, 1/8 y 1/10 para estos sistemas de numeración posicional cuando se emplean en la votación posicional.
Como tiene el radio más pequeño, la tasa de disminución en las ponderaciones de preferencia es más lenta cuando se utiliza el sistema numérico binario. Aunque el radio R (el número de dígitos únicos utilizados en el sistema numérico) tiene que ser un entero, la razón común r para la votación posicional no tiene que ser el recíproco de dicho entero. Cualquier valor entre cero y un poco menos de uno es válido. Para un descenso más lento de las ponderaciones que el generado utilizando el sistema numérico binario, se debe emplear una razón común mayor que la mitad. Cuanto mayor sea el valor de r , más lenta será la disminución de las ponderaciones con el rango descendente.
Aunque no se los clasifica como sistemas electorales de votación posicional, algunos métodos sin clasificación pueden analizarse matemáticamente como si lo fueran, asignando los puntos de forma adecuada. [1] Dada la ausencia de una clasificación monótona estricta, todas las opciones favorecidas tienen la misma ponderación con un valor alto y todas las demás opciones tienen un valor inferior común. Por lo tanto, se satisfacen los dos criterios de validez para una secuencia de ponderaciones.
En el caso de una votación por orden de preferencia de N candidatos, se permite que el número de candidatos favorecidos por votación sea F y las dos ponderaciones sean un punto para estos candidatos favorecidos y cero puntos para los no favorecidos. Cuando se representan analíticamente mediante votación por posición, los candidatos favorecidos deben figurar en las primeras posiciones del ranking F en cualquier orden en cada votación por orden de preferencia y los demás candidatos en las últimas posiciones del ranking N - F. Esto es esencial, ya que la ponderación de cada posición del ranking es fija y común para todas y cada una de las votaciones en la votación por posición.
Los métodos de ganador único sin clasificación que pueden analizarse como sistemas electorales de votación posicional incluyen:
Y los métodos no clasificados para elecciones con múltiples ganadores (con ganadores W ) incluyen:
En la votación de aprobación , los votantes tienen la libertad de favorecer a tantos o tan pocos candidatos como deseen, de modo que F no es fijo, sino que varía según las papeletas individuales que se emiten. Como las posiciones de clasificación tendrían entonces diferentes ponderaciones en las distintas papeletas, la votación de aprobación no es un sistema de votación posicional; ni puede analizarse como tal.
Supongamos que Tennessee está celebrando unas elecciones para decidir la ubicación de su capital . La población está concentrada en torno a cuatro ciudades importantes. Todos los votantes quieren que la capital esté lo más cerca posible de ellos. Las opciones son:
Las preferencias de los votantes de cada región son:
Donde w n es la ponderación de la n- ésima preferencia, la siguiente tabla define el cálculo del recuento resultante para cada ciudad:
Para una primera preferencia con un valor w 1 = 1 , la siguiente tabla indica el valor de cada una de las cuatro ponderaciones para una variedad de diferentes sistemas de votación posicional que podrían emplearse para esta elección:
Estos cinco sistemas de votación posicional se enumeran en orden de progresión. Cuanto más lento sea el descenso de los valores de ponderación con el orden de clasificación descendente, mayor será la suma de las cuatro ponderaciones (véase la columna final). La pluralidad es la que desciende más rápidamente, mientras que la antipluralidad es la que lo hace más lentamente.
Para cada sistema de votación posicional, los recuentos para cada una de las cuatro opciones de ciudad se determinan a partir de las dos tablas anteriores y se indican a continuación:
Para cada uno de los posibles sistemas de votación posicional que podrían utilizarse en esta elección, el orden de clasificación general de las opciones se muestra a continuación:
Esta tabla destaca la importancia del tipo de progresión para determinar el resultado ganador. Con todos los votantes fuertemente a favor o en contra de Memphis, es una opción muy "polarizada", por lo que Memphis termina primero en pluralidad y último en antipluralidad. Dada su ubicación central, Nashville es la opción de "consenso" aquí. Gana con el recuento de Borda y los otros dos sistemas no polarizados.
Como clase de sistemas de votación, la votación posicional puede evaluarse según criterios matemáticos objetivos para evaluar sus fortalezas y debilidades en comparación con otros métodos electorales de ganador único.
La votación posicional satisface los siguientes criterios:
Pero no cumple los siguientes criterios:
Según el teorema de imposibilidad de Arrow , ningún sistema de votación por orden de preferencia puede satisfacer los cuatro criterios siguientes al clasificar colectivamente tres o más alternativas:
Antes de que se emitan las preferencias de los votantes, los sistemas de votación que tratan a todos los votantes como iguales y a todos los candidatos como iguales cumplen los dos primeros criterios anteriores. Por lo tanto, como cualquier otro sistema de clasificación, la votación por posiciones no puede cumplir los otros dos. Es eficiente en el sentido de Pareto, pero no es independiente de las alternativas irrelevantes . Esta falla significa que la adición o eliminación de un candidato no ganador (irrelevante) puede alterar quién gana la elección a pesar de que las preferencias de clasificación de todos los votantes permanezcan iguales.
Consideremos una elección con votación por posición con tres candidatos A, B y C, donde la primera, segunda y tercera preferencia valen 4, 2 y 1 punto respectivamente. Los 12 votantes emiten sus votos clasificados de la siguiente manera:
El resultado de la elección es por tanto:
Por lo tanto, el candidato A es el único ganador y los candidatos B y C son los dos perdedores. Como alternativa irrelevante (perdedor), el hecho de que B participe o no en la contienda no debería suponer ninguna diferencia para la victoria de A, siempre que el sistema de votación cumpla con el IIA.
Al repetir la elección sin el candidato B, pero manteniendo las preferencias de orden correcto para A y C, los 12 votos se emiten ahora de la siguiente manera:
El resultado de la repetición de las elecciones es ahora:
Dado el retiro del candidato B, el ganador es ahora C y ya no A. Independientemente de los puntos específicos otorgados a las posiciones de clasificación de las preferencias, siempre hay algunos casos en los que la adición o eliminación de una alternativa irrelevante altera el resultado de una elección. Por lo tanto, la votación por posiciones no cumple con el IIA.
La votación por posiciones tampoco cumple el criterio de independencia de los clones (IoC). Es muy probable que la nominación estratégica de clones afecte significativamente el resultado de una elección y, a menudo, esa es la intención detrás de ello. Un clon es un candidato nominalmente idéntico a uno que ya se presenta y los votantes no pueden distinguir entre ellos a menos que se les informe cuál de los dos es el clon. Como no se permiten clasificaciones empatadas, estos dos candidatos deben ser clasificados por los votantes en posiciones adyacentes. La clonación puede muy bien promover o degradar la clasificación colectiva de cualquier candidato no clonado.
Consideremos una elección con votación por posiciones en la que pueden competir tres candidatos. Hay sólo 12 votantes y una primera, segunda y tercera preferencia valen 4, 2 y 1 punto respectivamente.
En este primer escenario, se nominan dos candidatos A y B, pero ningún clon entra en la contienda. Los votantes emiten sus votos clasificados de la siguiente manera:
El resultado de la elección es por tanto:
Dado el mismo apoyo, existe un empate evitable por el primer lugar entre A y B.
Supongamos que B, previendo este empate, decide presentar un clon de sí mismo. Los candidatos nominados son ahora A, B 1 y B 2 . Como los votantes no pueden distinguir entre B 1 y B 2 , es probable que clasifiquen a B 1 sobre B 2 y prefieran B 2 sobre B 1 . En este segundo escenario, las 12 papeletas se emiten ahora de la siguiente manera:
El nuevo resultado electoral ahora es:
Al añadir un clon de sí mismo, B ha entregado la victoria al candidato A. Este efecto "spoiler" contraproducente o acto de autodestrucción se llama división de votos .
Para ascender al primer puesto, B debería, en cambio, ordenar a todos sus partidarios que siempre prefieran a uno de sus candidatos (por ejemplo, B 1 ) sobre el otro (B 2 ). En este tercer escenario, las 12 papeletas se emiten ahora de la siguiente manera:
El resultado electoral revisado es ahora:
Al indicar el «equipo» B a sus propios partidarios (pero no a los partidarios de A) cuál de sus dos candidatos quiere que gane, B ha logrado su objetivo de obtener la victoria para B 1 . Sin ningún clon, A y B empatan con el mismo número de preferencias en primera y segunda posición. La introducción del clon B 2 (una alternativa irrelevante) ha empujado las segundas preferencias por A al tercer lugar, mientras que las preferencias por el «equipo» B (B o B 1 ) no han cambiado en el primer y tercer escenario. Este acto deliberado de «enterrar» a A y promocionarse a sí mismo se llama «teaming» . Obsérvese que si A indica a sus propios partidarios que siempre prefieran a B 2 sobre B 1 en una represalia de ojo por ojo, entonces se restablece el empate original entre A y el «equipo» B.
En mayor o menor medida, todos los sistemas de votación posicional son vulnerables a la formación de equipos, con la única excepción de uno que sea equivalente a la pluralidad. Como solo las primeras preferencias tienen algún valor, el uso de clones para "enterrar" a los oponentes en posiciones inferiores nunca afecta los resultados electorales. Sin embargo, precisamente porque solo las primeras preferencias tienen algún valor, la pluralidad es en cambio particularmente susceptible a la división de votos. En menor medida, muchos otros sistemas de votación posicional también se ven afectados por candidatos "spoilers". Si bien es inherentemente vulnerable a la formación de equipos, el recuento de Borda es, sin embargo, invulnerable a la división de votos. [1]
Donald G. Saari ha publicado varios trabajos que analizan matemáticamente los sistemas electorales de votación posicional. El método fundamental explorado en su análisis es el recuento de Borda.
