Método de promedios más altos

En matemáticas, economía y ciencias políticas, los métodos de promedios más altos , también llamados métodos de divisor , son una clase de algoritmos de reparto para la representación proporcional . Los algoritmos divisores buscan dividir equitativamente una legislatura entre agentes (como partidos políticos o estados federales). De manera más general, los métodos de divisor se utilizan para dividir o redondear un número entero de objetos que se utilizan para representar partes (no enteras) de un total. ^[1]

Los métodos divisorios tienen como objetivo tratar a los votantes por igual garantizando que cada legislador represente a un número igual de votantes , lo más cerca posible. ^[2]^{: 30}

Definiciones

Los dos nombres de estos métodos reflejan dos formas diferentes de pensar sobre ellos y sus dos invenciones independientes (primero en el contexto del reparto del Congreso de los Estados Unidos y más tarde en la representación proporcional de los partidos en Europa). Sin embargo, ambos procedimientos son equivalentes y arrojan las mismas respuestas.

Señalizaciones y redondeos

Los métodos de reparto son una especie de regla de redondeo: en la representación proporcional (o reparto), cada partido (o estado) tiene un número ideal de legisladores, que no es un número entero. Para convertirlos en números enteros, usamos una regla de redondeo dada por una secuencia de números reales, donde cada señal marca el límite entre dos números naturales: los números mayores que la señal se redondean hacia arriba, mientras que los menores o iguales a ella se redondean. redondeado hacia abajo. Esta secuencia es $post(k)$ , donde $k \leq post(k) \leq k +1$ .

método divisor

El procedimiento del divisor reparte escaños buscando un divisor o tamaño de distrito ideal , que sea aproximadamente igual al número de votantes representados por cada legislador. Si cada legislador representa un número igual de votantes, entonces el número de escaños para cada estado se puede encontrar dividiendo la población por el divisor.

Sin embargo, la asignación de escaños debe ser números enteros, por lo que para encontrar el reparto para un estado determinado debemos redondear después de dividir. Así, el reparto de cada parte viene dado por:

${\text{seats}}=\operatorname {round} \left({\frac {\text{votes}}{\text{divisor}}}\right)$

Este divisor es igual al número de votos necesarios para ganar un escaño adicional en la legislatura.

Sin embargo, si este divisor se elige incorrectamente, este procedimiento puede asignar demasiados o muy pocos escaños, y las distribuciones para cada estado no sumarán el tamaño total de la legislatura. Por lo tanto, se puede encontrar un divisor factible mediante prueba y error .

Promedios más altos

Con el procedimiento de promedios más altos, cada partido comienza con 0 escaños. Luego, en cada iteración, asignamos un escaño al partido con el mayor número promedio de votos, es decir, al partido con más votos por escaño . Este método continúa hasta que se asignan todos los asientos.

Sin embargo, una pregunta razonable es si deberíamos mirar el promedio de votos antes de asignar el escaño, cuál será el promedio después de asignar el escaño, o si deberíamos llegar a un acuerdo entre ellos con algún tipo de corrección de continuidad . Todos estos enfoques dan un reparto diferente. Podemos definir un promedio generalizado usando una secuencia de señales:

${\text{average}}:={\frac {\text{votes}}{\operatorname {post} ({\text{seats}})}}$

Métodos divisores específicos

Si bien todos los métodos de divisor comparten el mismo procedimiento general, difieren en la elección de la secuencia de señales y, por lo tanto, en la regla de redondeo. Estas reglas de redondeo dan a cada método sus propiedades únicas.

Tenga en cuenta que para los métodos en los que la primera señal es cero, cada partido con al menos un voto recibirá un escaño antes de que cualquier partido reciba un segundo escaño; en la práctica, esto normalmente significa que cada partido debe recibir al menos un escaño, a menos que esté descalificado por algún umbral electoral .

Método de Jefferson (D'Hondt)

El método de Jefferson fue el primer método divisor que se inventó o utilizó. Para cada estado, el método encuentra cuál sería el tamaño promedio de un distrito del Congreso si tuviera un legislador adicional. Luego asigna al representante al estado que estaría menos representado al final de la ronda.

El método de Jefferson utiliza la secuencia (1, 2, 3,...), ^[3] lo que implica que siempre redondea hacia abajo el reparto de cada parte. $\operatorname {post} (k)=k+1$

El método de Jefferson tiene la ventaja de garantizar la regla de cuotas más bajas y minimiza la sobrerrepresentación en el peor de los casos. Sin embargo, generalmente otorga a los partidos grandes una proporción de escaños que excede su proporción de votos ^[4] y, por lo tanto, fomenta la votación deshonesta y los sistemas bipartidistas (aunque no tan fuertemente como sistemas como el pluralista ). El método de Jefferson funciona mal cuando se lo juzga según la mayoría de las métricas de distribución errónea. ^[5]

Método de Adams (Cambridge)

El método de Adams fue concebido por John Quincy Adams después de notar que el método de Jefferson asignaba muy pocos escaños a estados más pequeños. ^[6] Puede describirse como lo inverso del método de Jefferson; otorga un escaño al partido que tenga la mayor cantidad de votos por escaño antes de agregar el escaño. La función divisora es $post(k) = k$ , lo que equivale a redondear siempre hacia arriba. ^[5]

El método de Adams sólo puede violar la regla de la cuota superior , ^[7] y minimiza la subrepresentación en el peor de los casos. Sin embargo, las violaciones de cuotas superiores en el método Adams puro son muy comunes. ^[8] Al igual que Jefferson, el método de Adams funciona mal según las métricas de distribución errónea comunes. ^[5]

El método de Adams fue sugerido como parte del compromiso de Cambridge para el reparto de escaños en el Parlamento Europeo entre los estados miembros, con el objetivo de satisfacer la proporcionalidad degresiva . ^[9]

Método Webster (Sainte-Laguë)

El método de Webster utiliza la secuencia de postes de cerca $post(k) = k +.5$ , es decir, 0.5, 1.5, 2.5, que corresponde a la regla de redondeo estándar . De manera equivalente, los números enteros impares, es decir, 1, 3, 5, etc., se pueden utilizar como divisores.

El método de Webster es más proporcional que el de D'Hondt en muchos aspectos de tergiversación y, como tal, los politólogos y matemáticos suelen recomendarlo sobre D'Hondt. ^[10]^[11] También se destaca por ser el método menos sesgado en los datos históricos de las distribuciones del Congreso de los Estados Unidos (a pesar de la sección sobre sesgo), y por ser imparcial incluso cuando se trata de partidos que obtienen un número muy pequeño de escaños. En ocasiones, el método de Webster puede infringir la regla de la cuota ; En raras situaciones, esto puede resultar en que una parte reciba un .

En teoría, Sainte-Laguë puede alentar a los partidos a dividirse en muchas listas pequeñas, con el objetivo de ganar un escaño para cada lista, aunque dicha coordinación se vuelve extremadamente difícil para los distritos que tienen más de unos pocos escaños. Se ha intentado una estrategia de este tipo como parte de las elecciones en Hong Kong ^{[ cita requerida ]} . Este problema puede solucionarse fácilmente introduciendo una pequeña cuota para que los partidos ganen un escaño, normalmente igual a la cuota exacta de Droop .

Método de Hill (Huntington-Hill)

En el método Huntington-Hill , la secuencia de señales es $post(k) = \sqrt k (k +1)$ , la media geométrica de los números vecinos. Conceptualmente, este método redondea al número entero que tiene la diferencia relativa (porcentual) más pequeña . Por ejemplo, 2,47 y 3 son aproximadamente el 19 %, mientras que la diferencia con 2 es aproximadamente el 21 %, por lo que 2,47 se redondea hacia arriba. Este método se utiliza para asignar escaños en la Cámara de Representantes de Estados Unidos entre los estados.

El método de Hill tiende a producir resultados muy similares al método de Webster; Cuando se adoptaron por primera vez para su uso en el reparto del Congreso , los dos métodos diferían sólo en si asignaban un solo escaño a Michigan o Arkansas . ^[2]^{: 58}

Comparación de propiedades

Reparto de escaños cero

Los métodos de Huntington-Hill, Dean y Adams tienen un valor de 0 para el primer poste de la cerca, lo que da un promedio de ∞. Así, sin un umbral, todos los partidos que hayan recibido al menos un voto también recibirán al menos un escaño. Esta propiedad puede ser deseable, por ejemplo, al repartir escaños entre distritos o estados electorales. De lo contrario, es posible que sea necesario eliminar los partidos pequeños utilizando un umbral electoral (como la cuota Droop ).

Inclinación

El concepto de "sesgo" en la distribución de escaños resulta complejo, ya que se puede definir de varias maneras diferentes. Si bien a menudo se argumenta que el método de Webster es "imparcial" o se dice que tiene el "menor sesgo" de cualquier sistema, ^[12] esto se basa en una definición técnica de sesgo que es específica del campo de la estadística : el sesgo se define como la diferencia esperada entre el número de escaños de un estado y su cuota. En otras palabras, un método se considera imparcial si el número promedio de escaños que recibe un estado es igual a su cuota promedio .

Según esta definición, el método de Webster es el único método de reparto imparcial, ^[12] mientras que Huntington-Hill muestra un ligero sesgo hacia los estados más pequeños. Sin embargo, otros investigadores han demostrado que definiciones alternativas de sesgo basadas en diferencias relativas muestran el resultado opuesto. ^[13]

En la práctica, la diferencia entre estas definiciones es pequeña cuando se trata de partidos o estados con al menos un escaño. Por lo tanto, tanto el método de Huntington-Hill como el de Webster pueden considerarse métodos imparciales o de bajo sesgo (a diferencia de los métodos de Jefferson o Adams). Un informe de 1930 presentado al Congreso por la Academia Nacional de Ciencias recomendó la adopción del método de Hill, pero desde entonces los partidarios de ambos lados han presentado otros argumentos, lo que ha llevado a la mayoría de los matemáticos a considerar la elección del método del divisor como una cuestión de opinión. ^[13]

Comparación y ejemplos

Ejemplo: jefferson

El siguiente ejemplo muestra cómo el método de Jefferson puede diferir sustancialmente de métodos menos sesgados como el de Webster. En esta elección, el partido más grande gana el 46% de los votos, pero se lleva el 52,5% de los escaños, suficiente para obtener una mayoría absoluta frente a una coalición de todos los demás partidos (que en conjunto alcanzan el 54% de los votos). Además, lo hace violando la cuota: el partido más grande sólo tiene derecho a 9,7 escaños, pero de todos modos gana 11. El distrito más grande del Congreso según el método de Jefferson es aproximadamente el doble del tamaño del distrito más pequeño aquí. El método de Webster no muestra ninguna de estas propiedades, con un error máximo del 22,6%.

Ejemplo: Adams

El siguiente ejemplo muestra un caso en el que el método de Adams no logra dar una mayoría a un partido que obtiene el 55% de los votos, violando nuevamente su derecho a la cuota.

Ejemplo: todos los sistemas

A continuación se muestra un ejemplo resuelto para todos los sistemas de votación. Observe cómo los métodos de Huntington-Hill y Adams dan a cada partido un escaño antes de asignar más, a diferencia de los de Webster o Jefferson.

Propiedades

monotonicidad

Los matemáticos generalmente prefieren los métodos del divisor a los métodos del resto más grande porque es menos probable que exhiban un comportamiento paradójico. En particular, los métodos de divisor satisfacen el principio de monotonicidad de la población , que establece que si un partido recibe votos adicionales, mientras mantiene constantes los totales de votos de todos los demás partidos, esto no debería hacer que pierdan escaños. Con los métodos de cuota, votar por un partido puede hacer que pierda un escaño al aumentar la cuota de votos (el número promedio de votos por escaño); este efecto puede provocar que el resto se reduzca y que el estado pierda un escaño.

Los métodos divisorios también satisfacen la monotonía de los recursos (a diferencia de las reglas de cuotas), que dice que aumentar el número de escaños en una legislatura no debería hacer que un estado pierda un escaño.

Desigualdad mín-máx

Cada método de divisor se puede definir utilizando la desigualdad mínima-máxima. Si los corchetes indican la indexación de matrices, una asignación es válida si y solo si: ^[1]^{: 78–81}

$máximo.mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .sfrac.tion,.mw-parser-output .sfrac .tion{display:inline-block;vertical-align:-0.5em;font-size:85%;text-align:center}.mw-parser-output .sfrac .num{display:block;line-height:1em;margin:0.0em 0.1em;border-bottom:1px solid}.mw-parser-output .sfrac .den{display:block;line-height:1em;margin:0.1em 0.1em}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px}votos[partido]/post(asientos[partido])≤ mín.votos[partido]/post(asientos[partido]+1)$

En otras palabras, es imposible reducir el promedio de votos más alto reasignando un escaño de un partido a otro. Cada número en este rango es un posible divisor. Si la desigualdad es estricta, la solución es única; de lo contrario (si la desigualdad es una igualdad), hay un "empate" entre múltiples repartos (tradicionalmente roto a favor del partido más grande) ^[1]^{: 83} .

Familias de métodos

Los métodos de divisor descritos anteriormente se pueden generalizar en familias.

Promedio generalizado

En general, es posible construir un método de reparto a partir de cualquier función promedio generalizada , definiendo la función de señal como $post(k) = avg(k, k +1)$ .

familia estacionaria

Un método divisor se llama estacionario ^[14]^{: 68} si sus indicadores son de la forma para algún número real . Los métodos de Adams, Webster y Jefferson son estacionarios; los de Dean y Huntington-Hill no lo son. Un método estacionario corresponde a redondear números hacia arriba si exceden una media aritmética ponderada de $k$ $,$ $k$ $+1$ . $d(k)=k+r$ $r\in [0,1]$

El método danés se utiliza en las elecciones danesas para asignar los escaños compensatorios (o escaños niveladores ) de cada partido a nivel de provincia electoral a distritos electorales individuales de varios miembros. Divide el número de votos recibidos por un partido en una circunscripción de varios miembros por 0,33, 1,33, 2,33, 3,33, etc. La secuencia de los postes viene dada por $post(k) = k + 1 ⁄ 3$ . Este sistema intenta deliberadamente asignar escaños de manera equitativa y no exactamente proporcional. ^[15]

El método Imperiali es un algoritmo de pseudodistribución estacionario con divisores 2, 3, 4, 5, etc., correspondientes a una función divisora . Está diseñado para desfavorecer a los partidos más pequeños, similar a un corte. Se utiliza en las elecciones municipales belgas . Este método de promedios más altos no es un método de representación proporcional; incluso si existe una asignación perfectamente proporcional, no está garantizado que la encuentre. $d(k)=k+2$

Poder significa familia

La familia de métodos de divisor de media de potencia incluye los métodos de Adams, Huntington-Hill, Webster y Jefferson (ya sea directamente o como límites). ^[14] Para una constante $p$ dada , el método de media de potencia tiene la función de señal $post(k) = p \sqrt k p + (k +1) p$ . El método de Huntington-Hill corresponde al límite cuando $p$ tiende a 0, mientras que Adams y Jefferson representan los límites cuando $p$ tiende al infinito negativo o positivo.

La familia también incluye el método de Dean, menos común, para $p = -1$ , que corresponde al uso de la media armónica . El método de Dean equivale a redondear al promedio más cercano : cada estado redondea su recuento de escaños de una manera que minimiza la diferencia entre el tamaño promedio del distrito y el tamaño ideal del distrito. Por ejemplo: ^[16]^{: 29}

La población representativa de Massachusetts en 1830 era 610.408: si recibiera 12 escaños, el tamaño medio de su distrito electoral sería 50.867; si recibiera 13 serían 46.954. Entonces, si el divisor fuera 47.700 como propuso Polk, Massachusetts debería recibir 13 escaños porque 46.954 está más cerca de 47.700 que 50.867.

Redondeando al promedio de votos con el error relativo más pequeño se obtiene una vez más el método Huntington-Hill porque $| Iniciar sesión(x ⁄ y) | = | Iniciar sesión(y ⁄ x) |$ , es decir, las diferencias relativas son reversibles. Este hecho fue fundamental para el uso por parte de Edward V. Huntington de errores relativos (en lugar de absolutos) al medir la tergiversación, y para su defensa de la técnica Huntington-Hill: ^[17] Huntington argumentó que la elección del método de distribución no debería depender de cómo la ecuación para una representación igual se reorganiza y sólo los errores relativos (es decir, la técnica de Huntington-Hill) satisfacen esta propiedad. ^[16]^{: 53}

Stolarsky significa familia

De manera similar, la media de Stolarsky se puede utilizar para definir una familia de métodos divisores que minimice el índice de entropía generalizada de tergiversación. ^[18] Esta familia incluye la media logarítmica , la media geométrica y la media iéntrica . Los medios de Stolarsky pueden justificarse minimizando estas medidas de desigualdad, que son de gran importancia en el estudio de la teoría de la información . ^[19]

Modificaciones

Además de los métodos de divisor puro, existen muchos métodos de divisor modificados que están estrechamente relacionados.

Umbrales

Muchos países tienen umbrales electorales para la representación, según los cuales los partidos deben obtener una fracción específica de los votos para estar representados; Los partidos con menos votos que el umbral requerido para la representación son eliminados.

Además, muchos países modifican el primer divisor para introducir un "umbral efectivo". Una modificación común es utilizar el método de Webster, pero estableciendo el primer divisor en 0,7 o 1,0 (modificación de escaños completos) para evitar que los partidos ganen su primer escaño con demasiada facilidad.

Método del divisor limitado por cuotas

Un método de divisor limitado por cuotas es un método de reparto en el que comenzamos asignando a cada estado su cuota más baja de escaños. Luego, agregamos escaños secuencialmente uno por uno al estado con el promedio más alto de votos por escaño, siempre que agregar un estado adicional no dé como resultado que el estado exceda su cuota superior.

Formalmente, en cada iteración (correspondiente a la asignación del -ésimo asiento), se calculan los siguientes conjuntos (consulte matemáticas de reparto para las definiciones y notación): $h$ $h$

$U(\mathbf {t} ,\mathbf {a} )$ es el conjunto de partidos que pueden obtener un escaño adicional sin violar su cuota superior, es decir, . $a_{i}<\lceil t_{i}\cdot h\rceil$
$L(\mathbf {t} ,\mathbf {a} )$ es el conjunto de partidos cuyo número de escaños podría estar por debajo de su cuota inferior en alguna iteración futura, es decir, para el número entero más pequeño para el cual . Si no existe tal, entonces contiene todos los estados. $a_{i}<\lfloor t_{i}\cdot (h+z)\rfloor$ $z$ $\sum _{i}\lfloor t_{i}\cdot (h+z)\rfloor \geq h-1+z$ $z$ $L(\mathbf {t} ,\mathbf {a} )$

El -ésimo escaño se otorga al partido cuya proporción sea mayor. $h$ $i\in U(\mathbf {t} ,\mathbf {a} )\cap L(\mathbf {t} ,\mathbf {a} )$ ${\frac {t_{i}}{d(a_{i})}}$

El método de cuotas Balinsky - Young^[20] es la variante con límites de cuotas del método D'Hondt (también llamado: Cuota-Jefferson). De manera similar, se pueden definir Quota-Webster, Quota-Adams, etc. ^[21]

Todo método de divisor limitado por cuotas satisface la monotonicidad de la casa. Además, los métodos de divisores limitados por cuotas satisfacen la cuota superior por definición y se puede demostrar que también satisfacen la cuota inferior. ^[16]^{: Thm.7.1}

Sin embargo, los métodos de divisores limitados por cuotas violan el criterio de participación (también llamado monotonicidad de la población ): es posible que un partido pierda un escaño como resultado de ganar "demasiados votos". ^[16]^{: Tbl.A7.2}^[22] Esto puede suceder cuando, debido a que el partido i obtiene más votos, la cuota superior de algún otro partido j disminuye. Por lo tanto, el partido j no es elegible para un escaño en la iteración actual y algún tercero recibe el siguiente escaño. Pero luego, en la siguiente iteración, el partido j vuelve a ser elegible para un escaño y vence al partido i .

Además, las versiones limitadas por cuotas de otros algoritmos con frecuencia violan la "cuota verdadera" en presencia de errores (por ejemplo, conteos erróneos en el censo). El método de Jefferson frecuentemente viola la cuota verdadera, incluso después de haber sido limitada, mientras que el método de Webster y Huntington-Hill funcionan bien incluso sin límites de cuota. ^[23]

Notas

Referencias

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