media estolar

En matemáticas , la media de Stolarsky es una generalización de la media logarítmica . Fue introducido por Kenneth B. Stolarsky en 1975. ^[1]

Definición

Para dos números reales positivos x , y la media de Stolarsky se define como:

{\begin{aligned}S_{p}(x,y)&=\lim _{(\xi ,\eta )\to (x,y)}\left({\frac {\xi ^{ p}-\eta ^{p}}{p(\xi -\eta )}}\right)^{1/(p-1)}\\[10pt]&={\begin{casos}x&{\ texto{si }}x=y\\\left({\frac {x^{p}-y^{p}}{p(xy)}}\right)^{1/(p-1)}& {\text{else}}\end{cases}}\end{aligned}}

Se deriva del teorema del valor medio , que establece que una recta secante , que corta la gráfica de una función diferenciable en y , tiene la misma pendiente que una recta tangente a la gráfica en algún punto del intervalo . $f$ $(x,f(x))$ $(y,f(y))$ $\xi$ $[x,y]$

\exists \xi \in [x,y]\ f'(\xi )={\frac {f(x)-f(y)}{xy}}

La media de Stolarsky se obtiene mediante

\xi =\left[f'\right]^{-1}\left({\frac {f(x)-f(y)}{xy}}\right)

a la hora de elegir . $f(x)=x^{p}$

$\lim _{p\to -\infty }S_{p}(x,y)$ es el mínimo .
$S_{-1}(x,y)$ es la media geométrica .
$\lim _{p\to 0}S_{p}(x,y)$ es la media logarítmica . Se puede obtener del teorema del valor medio eligiendo . $f(x)=\lnx$
$S_{\frac {1}{2}}(x,y)$ es la media en potencia con exponente . ${\frac {1}{2}}$
$\lim _{p\to 1}S_{p}(x,y)$ es la media idéntica . Se puede obtener del teorema del valor medio eligiendo . $f(x)=x\cdot \ln x$
$S_{2}(x,y)$ es la media aritmética .
$S_{3}(x,y)=QM(x,y,GM(x,y))$ es una conexión con la media cuadrática y la media geométrica .
$\lim _{p\to \infty }S_{p}(x,y)$ es el máximo .

Se puede generalizar la media a n + 1 variables considerando el teorema del valor medio para diferencias divididas para la n -ésima derivada . Se obtiene

S_{p}(x_{0},\dots ,x_{n})={f^{(n)}}^{-1}(n!\cdot f[x_{0},\dots ,x_{n}])

para .

f(x)=x^{p}

^ Stolarsky, Kenneth B. (1975). "Generalizaciones de la media logarítmica". Revista Matemáticas . 48 : 87–92. doi :10.2307/2689825. ISSN 0025-570X. JSTOR 2689825. Zbl 0302.26003.