Punto singular de una curva.

Punto en una curva que no está dado por una incrustación suave de un parámetro

En geometría , un punto singular en una curva es aquel en el que la curva no está dada por una incrustación suave de un parámetro . La definición precisa de un punto singular depende del tipo de curva que se estudia.

Curvas algebraicas en el plano.

Las curvas algebraicas en el plano se pueden definir como el conjunto de puntos ( x , y ) que satisfacen una ecuación de la forma donde f es una función polinómica Si f se expande como ${\displaystyle f(x,y)=0,}$ ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} .}$

$${\displaystyle f=a_{0}+b_{0}x+b_{1}y+c_{0}x^{2}+2c_{1}xy+c_{2}y^{2}+\cdots }$$

(0, 0)a ₀ = 0b ₁ ≠ 0teorema de la función implícitahy = h ( x )b ₀ ≠ 0kx = k ( y ) ${\displaystyle \mathbb {R} }$

$${\displaystyle b_{0}={\frac {\partial f}{\partial x}},\;b_{1}={\frac {\partial f}{\partial y}},}$$

regularderivadas parcialesf

$${\displaystyle f(x,y)={\frac {\partial f}{\partial x}}={\frac {\partial f}{\partial y}}=0.}$$

Puntos regulares

Suponga que la curva pasa por el origen y escriba Entonces f se puede escribir ${\displaystyle y=mx.}$

$${\displaystyle f=(b_{0}+mb_{1})x+(c_{0}+2mc_{1}+c_{2}m^{2})x^{2}+\cdots .}$$

f = 0x = 0f = 0x ²x ³punto de inflexiónx ²x ³punto de ondulación^[1] ${\displaystyle b_{0}+mb_{1}}$ ${\displaystyle y=mx.}$ ${\displaystyle b_{0}+mb_{1}=0}$ ${\displaystyle y=mx,}$ ${\displaystyle b_{0}x+b_{1}y=0,}$ ${\displaystyle c_{0}+2mc_{1}+c_{2}m^{2}}$ ${\displaystyle y=mx.}$ ${\displaystyle c_{0}+2mc_{1}+c_{2}m^{2},}$

puntos dobles

Tres limaçons que ilustran los tipos de doble punta. Cuando se convierte a coordenadas cartesianas , la curva izquierda adquiere un acánodo en el origen, que es un punto aislado en el plano. La curva central, la cardioide , tiene una cúspide en el origen. La curva derecha tiene un crunodo en el origen y la curva se cruza para formar un bucle. ${\displaystyle (x^{2}+y^{2}-x)^{2}=(1.5)^{2}(x^{2}+y^{2}),}$

Si b ₀ y b ₁ son ambos 0 en la expansión anterior, pero al menos uno de c ₀ , c ₁ , c ₂ no es 0, entonces el origen se llama punto doble de la curva. De nuevo poniendo f se puede escribir ${\displaystyle y=mx,}$

$${\displaystyle f=(c_{0}+2mc_{1}+c_{2}m^{2})x^{2}+(d_{0}+3md_{1}+3m^{2}d_{2}+d_{3}m^{3})x^{3}+\cdots .}$$

${\displaystyle c_{0}+2mc_{1}+m^{2}c_{2}=0.}$

Crunodos

Si tiene dos soluciones reales para m , es decir, si entonces el origen se llama crunodo . En este caso, la curva se cruza a sí misma en el origen y tiene dos tangentes distintas correspondientes a las dos soluciones de La función f tiene un punto de silla en el origen en este caso. ${\displaystyle c_{0}+2mc_{1}+m^{2}c_{2}=0}$ ${\displaystyle c_{0}c_{2}-c_{1}^{2}<0,}$ ${\displaystyle c_{0}+2mc_{1}+m^{2}c_{2}=0.}$

Acnodos

Si no tiene soluciones reales para m , es decir, si entonces el origen se llama acnodo . En el plano real el origen es un punto aislado de la curva; sin embargo, cuando se considera una curva compleja, el origen no está aislado y tiene dos tangentes imaginarias correspondientes a las dos soluciones complejas de. La función f tiene un extremo local en el origen en este caso. ${\displaystyle c_{0}+2mc_{1}+m^{2}c_{2}=0}$ ${\displaystyle c_{0}c_{2}-c_{1}^{2}>0,}$ ${\displaystyle c_{0}+2mc_{1}+m^{2}c_{2}=0.}$

cúspides

Si tiene una solución única de multiplicidad 2 para m , es decir, si entonces el origen se llama cúspide . La curva en este caso cambia de dirección en el origen creando un punto agudo. La curva tiene una única tangente en el origen que puede considerarse como dos tangentes coincidentes. ${\displaystyle c_{0}+2mc_{1}+m^{2}c_{2}=0}$ ${\displaystyle c_{0}c_{2}-c_{1}^{2}=0,}$

Clasificación adicional

El término nodo se utiliza para indicar un crunodo o un acnodo, en otras palabras, un punto doble que no es una cúspide. El número de nodos y el número de cúspides de una curva son dos de los invariantes utilizados en las fórmulas de Plücker .

Si una de las soluciones de es también solución de entonces la rama correspondiente de la curva tiene un punto de inflexión en el origen. En este caso el origen se llama flecnodo . Si ambas tangentes tienen esta propiedad, también lo es un factor de entonces el origen se llama biflecnodo . ^[2] ${\displaystyle c_{0}+2mc_{1}+m^{2}c_{2}=0}$ ${\displaystyle d_{0}+3md_{1}+3m^{2}d_{2}+m^{3}d_{3}=0,}$ ${\displaystyle c_{0}+2mc_{1}+m^{2}c_{2}}$ ${\displaystyle d_{0}+3md_{1}+3m^{2}d_{2}+m^{3}d_{3},}$

Múltiples puntos

Una curva con un punto triple en el origen: x ( t ) = sin(2 t ) + cos( t ) , y ( t ) = sin( t ) + cos(2 t )

En general, si todos los términos de grado menores que k son 0, y al menos un término de grado k no es 0 en f , entonces se dice que la curva tiene un punto múltiple de orden k o un punto k-ple . La curva tendrá, en general, k tangentes en el origen, aunque algunas de estas tangentes pueden ser imaginarias. ^[3]

Curvas paramétricas

Una curva parametrizada se define como la imagen de una función. Los puntos singulares son aquellos puntos donde ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle g:\mathbb {R} \to \mathbb {R} ^{2},}$ ${\displaystyle g(t)=(g_{1}(t),g_{2}(t)).}$

$${\displaystyle {\frac {dg_{1}}{dt}}={\frac {dg_{2}}{dt}}=0.}$$

Una cúspide en la parábola semicúbica ${\displaystyle y^{2}=x^{3}}$

Muchas curvas se pueden definir de cualquier manera, pero es posible que las dos definiciones no concuerden. Por ejemplo, la cúspide se puede definir en una curva algebraica o en una curva parametrizada. Ambas definiciones dan un punto singular en el origen. Sin embargo, un nodo como el del origen es una singularidad de la curva considerada como una curva algebraica, pero si lo parametrizamos nunca desaparece y, por lo tanto, el nodo no es una singularidad de la curva parametrizada como se definió anteriormente. ${\displaystyle x^{3}-y^{2}=0,}$ ${\displaystyle g(t)=(t^{2},t^{3}).}$ ${\displaystyle y^{2}-x^{3}-x^{2}=0}$ ${\displaystyle g(t)=(t^{2}-1,t(t^{2}-1)),}$ ${\displaystyle g'(t)}$

Se debe tener cuidado al elegir una parametrización. Por ejemplo, la línea recta y = 0 se puede parametrizar mediante la cual tiene una singularidad en el origen. Cuando está parametrizado por it no es singular. Por lo tanto, es técnicamente más correcto discutir aquí puntos singulares de un mapeo suave en lugar de un punto singular de una curva. ${\displaystyle g(t)=(t^{3},0),}$ ${\displaystyle g(t)=(t,0),}$

Las definiciones anteriores se pueden ampliar para cubrir curvas implícitas que se definen como el conjunto cero de una función suave , y no es necesario considerar simplemente variedades algebraicas. Las definiciones se pueden ampliar para cubrir curvas en dimensiones superiores. ${\displaystyle f^{-1}(0)}$

Un teorema de Hassler Whitney ^{[4] [5]} afirma

Teorema  :  cualquier conjunto cerrado ocurre como el conjunto solución de alguna función suave ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle f^{-1}(0)}$ ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} .}$

Cualquier curva parametrizada también puede definirse como una curva implícita, y la clasificación de puntos singulares de curvas puede estudiarse como una clasificación de puntos singulares de variedad algebraica .

Tipos de puntos singulares

Algunas de las posibles singularidades son:

• Un punto aislado: un acnodo ${\displaystyle x^{2}+y^{2}=0,}$
• Dos líneas que se cruzan: un crunodo ${\displaystyle x^{2}-y^{2}=0,}$
• Una cúspide : también llamada espinodo. ${\displaystyle x^{3}-y^{2}=0,}$
• Un tacnodo : ${\displaystyle x^{4}-y^{2}=0}$
• Una cúspide ramfoidea : ${\displaystyle x^{5}-y^{2}=0.}$

Ver también

• Punto singular de una variedad algebraica.
• Teoría de la singularidad
• teoría morse

Referencias

1. Hilton Capítulo II §1
2. Hilton Capítulo II §2
3. Hilton Capítulo II §3
4. Th. Bröcker, Gérmenes diferenciables y catástrofes , Sociedad Matemática de Londres. Notas de clase 17. Cambridge, (1975)
5. Bruce y Giblin, Curvas y singularidades , (1984, 1992) ISBN  0-521-41985-9 , ISBN 0-521-42999-4 (libro de bolsillo) 

• Hilton, Harold (1920). "Capítulo II: Puntos Singulares". Curvas algebraicas planas. Oxford.