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Amplio paquete de líneas

En matemáticas, una característica distintiva de la geometría algebraica es que algunos fibrados de líneas en una variedad proyectiva pueden considerarse "positivos", mientras que otros son "negativos" (o una mezcla de los dos). La noción más importante de positividad es la de fibrado de líneas amplio, aunque hay varias clases relacionadas de fibrados de líneas. En términos generales, las propiedades de positividad de un fibrado de líneas están relacionadas con tener muchas secciones globales . Comprender los fibrados de líneas amplios en una variedad dada equivale a comprender las diferentes formas de mapeo en espacios proyectivos . En vista de la correspondencia entre fibrados de líneas y divisores (construidos a partir de subvariedades de codimensión -1), existe una noción equivalente de divisor amplio .

En más detalle, un fibrado lineal se llama libre de puntos base si tiene suficientes secciones para dar un morfismo al espacio proyectivo. Un fibrado lineal es semiamplio si alguna potencia positiva de él está libre de puntos base; la semiamplitud es un tipo de "no negatividad". Más fuertemente, un fibrado lineal en una variedad completa es muy amplio si tiene suficientes secciones para dar una inmersión cerrada (o "incrustación") de en un espacio proyectivo. Un fibrado lineal es amplio si alguna potencia positiva es muy amplia.

Un fibrado lineal amplio en una variedad proyectiva tiene grado positivo en cada curva en . La inversa no es del todo cierta, pero existen versiones corregidas de la inversa, los criterios de amplitud de Nakai-Moishezon y Kleiman.

Introducción

Retroceso de un fibrado lineal y divisores de hiperplanos

Dado un morfismo de esquemas , un fibrado vectorial (o más generalmente un haz coherente en ) tiene un pullback a , donde la proyección es la proyección en la primera coordenada (véase Haz de módulos#Operaciones ). El pullback de un fibrado vectorial es un fibrado vectorial del mismo rango. En particular, el pullback de un fibrado lineal es un fibrado lineal. (En resumen, la fibra de en un punto es la fibra de en ).

Las nociones descritas en este artículo están relacionadas con esta construcción en el caso de un morfismo al espacio proyectivo.

con el fibrado lineal en el espacio proyectivo cuyas secciones globales son los polinomios homogéneos de grado 1 (es decir, funciones lineales) en variables . El fibrado lineal también puede describirse como el fibrado lineal asociado a un hiperplano en (porque el conjunto cero de una sección de es un hiperplano). Si es una inmersión cerrada, por ejemplo, se sigue que el pullback es el fibrado lineal en asociado a una sección de hiperplano (la intersección de con un hiperplano en ).

Paquetes de líneas sin puntos de base

Sea un esquema sobre un cuerpo (por ejemplo, una variedad algebraica) con un fibrado lineal . (Un fibrado lineal también puede llamarse haz invertible .) Sean elementos del espacio vectorial - de secciones globales de . El conjunto cero de cada sección es un subconjunto cerrado de ; sea el subconjunto abierto de puntos en los que al menos uno de no es cero. Entonces estas secciones definen un morfismo

En más detalle: para cada punto de , la fibra de sobre es un espacio vectorial unidimensional sobre el cuerpo de residuos . Elegir una base para esta fibra convierte en una secuencia de números, no todos cero, y por lo tanto un punto en el espacio proyectivo. Cambiar la elección de la base escala todos los números por la misma constante distinta de cero, y por lo tanto el punto en el espacio proyectivo es independiente de la elección.

Además, este morfismo tiene la propiedad de que la restricción de a es isomorfa al pullback . [1]

El lugar geométrico base de un fibrado lineal en un esquema es la intersección de los conjuntos cero de todas las secciones globales de . Un fibrado lineal se llama libre de puntos base si su lugar geométrico base está vacío. Es decir, para cada punto de hay una sección global de la cual es distinta de cero en . Si es propio sobre un cuerpo , entonces el espacio vectorial de secciones globales tiene dimensión finita; la dimensión se llama . [2] Por lo tanto, un fibrado lineal libre de puntos base determina un morfismo sobre , donde , dado al elegir una base para . Sin hacer una elección, esto puede describirse como el morfismo

del espacio de hiperplanos en , asociado canónicamente al fibrado de líneas sin punto base . Este morfismo tiene la propiedad de que es el pullback .

Por el contrario, para cualquier morfismo de un esquema a un espacio proyectivo sobre , el fibrado de líneas de pullback es libre de punto base. De hecho, es libre de punto base en , porque para cada punto en hay un hiperplano que no contiene a . Por lo tanto, para cada punto en , hay una sección de sobre que no es cero en , y el pullback de es una sección global de que no es cero en . En resumen, los fibrados de líneas libres de punto base son exactamente aquellos que pueden expresarse como el pullback de por algún morfismo a un espacio proyectivo.

Nef, semiamplificación global generada

El grado de un fibrado lineal L sobre una curva propia C sobre k se define como el grado del divisor ( s ) de cualquier sección racional distinta de cero s de L. Los coeficientes de este divisor son positivos en los puntos donde s se anula y negativos donde s tiene un polo. Por lo tanto, cualquier fibrado lineal L sobre una curva C tal que tiene grado no negativo (porque las secciones de L sobre C , a diferencia de las secciones racionales, no tienen polos). [3] En particular, cada fibrado lineal sin punto base sobre una curva tiene grado no negativo. Como resultado, un fibrado lineal sin punto base L sobre cualquier esquema propio X sobre un cuerpo es nef , lo que significa que L tiene grado no negativo en cada curva (irreducible) en X. [4 ]

De manera más general, se dice que un haz F de -módulos en un esquema X se genera globalmente si hay un conjunto I de secciones globales tales que el morfismo correspondiente

de haces es sobreyectivo. [5] Un fibrado de líneas se genera globalmente si y solo si no tiene puntos base.

Por ejemplo, cada haz cuasi-coherente en un esquema afín se genera globalmente. [6] De manera análoga, en geometría compleja , el teorema A de Cartan dice que cada haz coherente en una variedad de Stein se genera globalmente.

Un fibrado lineal L en un esquema propio sobre un cuerpo es semiamplio si existe un entero positivo r tal que la potencia tensorial no tiene punto base. Un fibrado lineal semiamplio es nef (por el hecho correspondiente para fibrados lineales sin punto base). [7]

Paquetes de líneas muy amplios

Se dice que un fibrado lineal en un esquema propio sobre un cuerpo es muy amplio si no tiene puntos base y el morfismo asociado

es una inmersión cerrada. Aquí . Equivalentemente, es muy amplia si se puede incrustar en un espacio proyectivo de alguna dimensión sobre de tal manera que es la restricción del fibrado lineal a . [8] La última definición se utiliza para definir amplitud muy amplia para un fibrado lineal en un esquema propio sobre cualquier anillo conmutativo . [9]

El nombre "muy amplio" fue introducido por Alexander Grothendieck en 1961. [10] Varios nombres se habían utilizado anteriormente en el contexto de sistemas lineales de divisores .

Para un fibrado lineal muy amplio en un esquema propio sobre un cuerpo con morfismo asociado , el grado de en una curva en es el grado de como una curva en . Por lo tanto tiene grado positivo en cada curva en (porque cada subvariedad del espacio proyectivo tiene grado positivo). [11]

Definiciones

Amplios haces invertibles en esquemas cuasi compactos

Los haces de líneas amplias se utilizan con mayor frecuencia en esquemas adecuados, pero pueden definirse con una generalidad mucho más amplia.

Sea X un esquema, y ​​sea un haz invertible en X . Para cada , sea el haz ideal del subesquema reducido soportado solo en x . Para , defina De manera equivalente, si denota el cuerpo de residuos en x (considerado como un haz de rascacielos soportado en x ), entonces donde es la imagen de s en el producto tensorial.

Solución . Para cada s , la restricción es un módulo libre trivializado por la restricción de s , lo que significa que el morfismo de multiplicación por s es un isomorfismo. El conjunto siempre es abierto y el morfismo de inclusión es un morfismo afín. A pesar de esto, no es necesario que sea un esquema afín. Por ejemplo, si , entonces es abierto en sí mismo y afín sobre sí mismo, pero generalmente no es afín.

Supongamos que X es cuasi-compacto. Entonces es amplio si, para cada , existe un y un tal que y es un esquema afín. [12] Por ejemplo, el fibrado de líneas trivial es amplio si y solo si X es cuasi-afín . [13]

En general, no es cierto que cada uno sea afín. Por ejemplo, si para algún punto O , y si es la restricción de a X , entonces y tienen las mismas secciones globales, y el lugar geométrico no nulo de una sección de es afín si y solo si la sección correspondiente de contiene O .

Es necesario permitir potencias de en la definición. De hecho, para cada N , es posible que no sea afín para cada con . De hecho, supongamos que Z es un conjunto finito de puntos en , , y . Los lugares geométricos evanescentes de las secciones de son curvas planas de grado N . Al tomar Z como un conjunto suficientemente grande de puntos en posición general, podemos asegurar que ninguna curva plana de grado N (y, por lo tanto, cualquier grado inferior) contenga todos los puntos de Z . En particular, sus lugares geométricos no evanescentes son todos no afines.

Defina . Sea , el morfismo estructural. Existe un isomorfismo natural entre los homomorfismos y endomorfismos del álgebra de S del anillo graduado . El endomorfismo identidad de S corresponde a un homomorfismo . La aplicación del funtor produce un morfismo de un subesquema abierto de X , denotado , a .

La caracterización básica de haces invertibles amplios establece que si X es un esquema cuasi-compacto cuasi-separado y es un haz invertible en X , entonces las siguientes afirmaciones son equivalentes: [14]

  1. es suficiente
  2. Los conjuntos abiertos , donde y , forman una base para la topología de X .
  3. Los conjuntos abiertos con la propiedad de ser afines, donde y , forman una base para la topología de X .
  4. y el morfismo es una inmersión abierta dominante.
  5. y el morfismo es un homeomorfismo del espacio topológico subyacente de X con su imagen.
  6. Para cada haz cuasi-coherente en X , la función canónica es sobreyectiva.
  7. Para cada haz cuasi-coherente de ideales en X , la función canónica es sobreyectiva.
  8. Para cada haz cuasi-coherente de ideales en X , la función canónica es sobreyectiva.
  9. Para cada haz cuasi-coherente de tipo finito en X , existe un entero tal que para , es generado por sus secciones globales.
  10. Para cada haz cuasi-coherente de tipo finito en X , existen números enteros y tales que son isomorfos a un cociente de .
  11. Para cada haz cuasi-coherente de ideales de tipo finito en X , existen números enteros y tales que son isomorfos a un cociente de .

Sobre esquemas adecuados

Cuando X es separado y de tipo finito sobre un esquema afín, un haz invertible es amplio si y solo si existe un entero positivo r tal que la potencia tensorial es muy amplia. [15] [16] En particular, un esquema propio sobre R tiene un fibrado lineal amplio si y solo si es proyectivo sobre R . A menudo, esta caracterización se toma como la definición de amplitud.

El resto de este artículo se centrará en la amplitud en esquemas propios sobre un cuerpo, ya que este es el caso más importante. Un fibrado lineal amplio en un esquema propio X sobre un cuerpo tiene grado positivo en cada curva en X , por el enunciado correspondiente para fibrados lineales muy amplios.

Se dice que un divisor de Cartier D en un esquema propio X sobre un cuerpo k es amplio si el fibrado lineal correspondiente O ( D ) es amplio. (Por ejemplo, si X es suave sobre k , entonces un divisor de Cartier puede identificarse con una combinación lineal finita de subvariedades cerradas de codimensión 1 de X con coeficientes enteros).

Debilitar la noción de "muy amplio" a "amplio" da un concepto flexible con una amplia variedad de caracterizaciones diferentes. Un primer punto es que tensando altas potencias de un fibrado lineal amplio con cualquier haz coherente da un haz con muchas secciones globales. Más precisamente, un fibrado lineal L en un esquema propio X sobre un cuerpo (o más generalmente sobre un anillo noetheriano ) es amplio si y solo si para cada haz coherente F en X , hay un entero s tal que el haz se genera globalmente para todos . Aquí s puede depender de F . [17] [18]

Otra caracterización de la amplitud, conocida como el teorema de Cartan - Serre - Grothendieck , es en términos de cohomología de haces coherentes . Es decir, un fibrado lineal L en un esquema propio X sobre un cuerpo (o más generalmente sobre un anillo noetheriano) es amplio si y solo si para cada haz coherente F en X , existe un entero s tal que

para todos y todas . [19] [18] En particular, las altas potencias de un fibrado lineal amplio eliminan la cohomología en grados positivos. Esta implicación se llama teorema de desaparición de Serre , demostrado por Jean-Pierre Serre en su artículo de 1955 Faisceaux algébriques cohérents .

Ejemplos/No ejemplos

por
Esta es una inmersión cerrada para , con imagen de una curva normal racional de grado d en . Por lo tanto, O ( d ) es libre de punto base si y solo si , y muy amplio si y solo si . De ello se deduce que O ( d ) es amplio si y solo si .

Criterios de amplitud de haces de líneas

Teoría de la intersección

Para determinar si un fibrado de líneas dado en una variedad proyectiva X es amplio, los siguientes criterios numéricos (en términos de números de intersección) suelen ser los más útiles. Es equivalente a preguntar cuándo un divisor de Cartier D en X es amplio, lo que significa que el fibrado de líneas asociado O ( D ) es amplio. El número de intersección se puede definir como el grado del fibrado de líneas O ( D ) restringido a C . En la otra dirección, para un fibrado de líneas L en una variedad proyectiva, la primera clase de Chern significa el divisor de Cartier asociado (definido hasta la equivalencia lineal), el divisor de cualquier sección racional no nula de L .

En una curva proyectiva suave X sobre un cuerpo algebraicamente cerrado k , un fibrado lineal L es muy amplio si y solo si para todos los k puntos racionales x , y en X . [ 23] Sea g el género de X . Por el teorema de Riemann-Roch , todo fibrado lineal de grado al menos 2 g  + 1 satisface esta condición y, por lo tanto, es muy amplio. Como resultado, un fibrado lineal en una curva es amplio si y solo si tiene grado positivo. [24]

Por ejemplo, el fibrado canónico de una curva X tiene grado 2 g  − 2, y por lo tanto es amplio si y solo si . Las curvas con fibrado canónico amplio forman una clase importante; por ejemplo, sobre los números complejos, estas son las curvas con una métrica de curvatura negativa . El fibrado canónico es muy amplio si y solo si y la curva no es hiperelíptica . [25]

El criterio de Nakai-Moishezon (nombrado así por Yoshikazu Nakai (1963) y Boris Moishezon (1964)) establece que un fibrado de líneas L en un esquema propio X sobre un cuerpo es amplio si y solo si para cada subvariedad cerrada ( irreducible ) Y de X ( no se permite que Y sea un punto). [26] En términos de divisores, un divisor de Cartier D es amplio si y solo si para cada subvariedad (de dimensión distinta de cero) Y de X . Para X una curva, esto dice que un divisor es amplio si y solo si tiene grado positivo. Para X una superficie, el criterio dice que un divisor D es amplio si y solo si su número de autointersección es positivo y cada curva C en X tiene .

Criterio de Kleiman

Para enunciar el criterio de Kleiman (1966), sea X un esquema proyectivo sobre un cuerpo. Sea el espacio vectorial real de 1-ciclos (combinaciones lineales reales de curvas en X ) módulo equivalencia numérica, lo que significa que dos 1-ciclos A y B son iguales en si y solo si cada fibrado lineal tiene el mismo grado en A y en B . Por el teorema de Néron-Severi , el espacio vectorial real tiene dimensión finita. El criterio de Kleiman establece que un fibrado lineal L en X es amplio si y solo si L tiene grado positivo en cada elemento distinto de cero C del cierre del cono de curvas NE( X ) en . (Esto es ligeramente más fuerte que decir que L tiene grado positivo en cada curva). De manera equivalente, un fibrado lineal es amplio si y solo si su clase en el espacio vectorial dual está en el interior del cono nef . [27]

El criterio de Kleiman falla en general para esquemas propios (en lugar de proyectivos) X sobre un cuerpo, aunque se cumple si X es suave o, más generalmente, Q -factorial. [28]

Un fibrado lineal en una variedad proyectiva se llama estrictamente nef si tiene grado positivo en cada curva Nagata (1959). y David Mumford construyeron fibrados lineales en superficies proyectivas suaves que son estrictamente nef pero no amplios. Esto muestra que la condición no se puede omitir en el criterio de Nakai-Moishezon, y es necesario utilizar el cierre de NE( X ) en lugar de NE( X ) en el criterio de Kleiman. [29] Cada fibrado lineal nef en una superficie tiene , y los ejemplos de Nagata y Mumford tienen .

CS Seshadri demostró que un fibrado de líneas L en un esquema propio sobre un campo algebraicamente cerrado es amplio si y sólo si hay un número real positivo ε tal que deg( L | C ) ≥ ε m ( C ) para todas las curvas (irreducibles) C en X , donde m ( C ) es el máximo de las multiplicidades en los puntos de C . [30]

Varias caracterizaciones de amplitud se cumplen de manera más general para fibrados lineales en un espacio algebraico propio sobre un cuerpo k . En particular, el criterio de Nakai-Moishezon es válido en esa generalidad. [31] El criterio de Cartan-Serre-Grothendieck se cumple incluso de manera más general, para un espacio algebraico propio sobre un anillo noetheriano R . [32] (Si un espacio algebraico propio sobre R tiene un fibrado lineal amplio, entonces es de hecho un esquema proyectivo sobre R .) El criterio de Kleiman falla para espacios algebraicos propios X sobre un cuerpo, incluso si X es suave. [33]

Apertura de amplitud

En un esquema proyectivo X sobre un cuerpo, el criterio de Kleiman implica que la amplitud es una condición abierta en la clase de un R -divisor (una R -combinación lineal de divisores de Cartier) en , con su topología basada en la topología de los números reales. (Un R -divisor se define como amplio si puede escribirse como una combinación lineal positiva de divisores de Cartier amplios. [34] ) Un caso especial elemental es: para un divisor amplio H y cualquier divisor E , existe un número real positivo b tal que es amplio para todos los números reales a de valor absoluto menor que b . En términos de divisores con coeficientes enteros (o fibrados de líneas), esto significa que nH + E es amplio para todos los enteros positivos suficientemente grandes n .

La amplitud es también una condición abierta en un sentido muy diferente, cuando la variedad o fibrado lineal varía en una familia algebraica. Es decir, sea un morfismo propio de esquemas, y sea L un fibrado lineal en X . Entonces el conjunto de puntos y en Y tales que L es amplio en la fibra es abierto (en la topología de Zariski ). Más fuertemente, si L es amplio en una fibra , entonces hay un entorno abierto afín U de y tal que L es amplio en sobre U . [35]

Otras caracterizaciones de la amplitud de Kleiman

Kleiman también demostró las siguientes caracterizaciones de amplitud, que pueden considerarse como pasos intermedios entre la definición de amplitud y los criterios numéricos. Es decir, para un fibrado lineal L en un esquema propio X sobre un cuerpo, las siguientes son equivalentes: [36]

como .

Generalizaciones

Amplios paquetes de vectores

Robin Hartshorne definió un fibrado vectorial F en un esquema proyectivo X sobre un cuerpo como amplio si el fibrado lineal en el espacio de hiperplanos en F es amplio. [37]

Varias propiedades de los fibrados lineales amplios se extienden a los fibrados vectoriales amplios. Por ejemplo, un fibrado vectorial F es amplio si y solo si las altas potencias simétricas de F eliminan la cohomología de haces coherentes para todo . [38] Además, la clase Chern de un fibrado vectorial amplio tiene grado positivo en cada subvariedad r -dimensional de X , para . [39]

Paquetes de líneas grandes

Un debilitamiento útil de la amplitud, en particular en geometría biracional , es la noción de un fibrado lineal grande . Se dice que un fibrado lineal L en una variedad proyectiva X de dimensión n sobre un cuerpo es grande si hay un número real positivo a y un entero positivo tal que para todo . Esta es la tasa de crecimiento máxima posible para los espacios de secciones de potencias de L , en el sentido de que para cada fibrado lineal L en X hay un número positivo b con para todo j > 0. [40]

Existen otras caracterizaciones de los grandes fibrados lineales. En primer lugar, un fibrado lineal es grande si y solo si existe un entero positivo r tal que la función racional de X a dada por las secciones de es biracional sobre su imagen. [41] Además, un fibrado lineal L es grande si y solo si tiene una potencia tensorial positiva que es el producto tensorial de un fibrado lineal amplio A y un fibrado lineal efectivo B (lo que significa que ). [42] Finalmente, un fibrado lineal es grande si y solo si su clase en está en el interior del cono de divisores efectivos. [43]

La grandeza puede verse como un análogo biracionalmente invariante de la amplitud. Por ejemplo, si es una función racional dominante entre variedades proyectivas suaves de la misma dimensión, entonces el pullback de un fibrado lineal grande en Y es grande en X. (A primera vista, el pullback es solo un fibrado lineal en el subconjunto abierto de X donde f es un morfismo, pero esto se extiende únicamente a un fibrado lineal en todo X. ) Para fibrados lineales amplios, solo se puede decir que el pullback de un fibrado lineal amplio por un morfismo finito es amplio. [20]

Ejemplo: Sea X la expansión del plano proyectivo en un punto sobre los números complejos. Sea H el retroceso a X de una línea en , y sea E la curva excepcional de la expansión . Entonces el divisor H + E es grande pero no amplio (o incluso nulo) en X , porque

Esta negatividad también implica que el lugar geométrico base de H + E (o de cualquier múltiplo positivo) contiene la curva E . De hecho, este lugar geométrico base es igual a E .

Amplitud relativa

Dado un morfismo cuasi-compacto de esquemas , se dice que un haz invertible L en X es amplio en relación con f o f -amplio si se cumplen las siguientes condiciones equivalentes: [44] [45]

  1. Para cada subconjunto afín abierto , la restricción de L a es amplia (en el sentido habitual).
  2. f está cuasi-separado y hay una inmersión abierta inducida por el mapa de adjunción :
    .
  3. La condición 2. sin "abierto".

La condición 2 dice (aproximadamente) que X puede compactificarse abiertamente a un esquema proyectivo con (no sólo a un esquema propio).

Véase también

Geometría algebraica general

Amplitud en geometría compleja

Notas

  1. ^ Hartshorne (1977), Teorema II.7.1.
  2. ^ Hartshorne (1977), Teorema III.5.2; (etiqueta 02O6).
  3. ^ Hartshorne (1977), Lema IV.1.2.
  4. ^ Lazarsfeld (2004), Ejemplo 1.4.5.
  5. ^ etiqueta 01AM.
  6. ^ Hartshorne (1977), Ejemplo II.5.16.2.
  7. ^ Lazarsfeld (2004), Definición 2.1.26.
  8. ^ Hartshorne (1977), sección II.5.
  9. ^ etiqueta 02NP.
  10. ^ Grothendieck, EGA II, Definición 4.2.2.
  11. ^ Hartshorne (1977), Proposición I.7.6 y Ejemplo IV.3.3.2.
  12. ^ etiqueta 01PS.
  13. ^ etiqueta 01QE.
  14. ^ EGA II, Théorème 4.5.2 y Proposición 4.5.5.
  15. ^ EGA II, Proposición 4.5.10.
  16. ^ etiqueta 01VU.
  17. ^ Hartshorne (1977), Teorema II.7.6
  18. ^ desde Lazarsfeld (2004), Teorema 1.2.6.
  19. ^ Hartshorne (1977), Proposición III.5.3
  20. ^ desde Lazarsfeld (2004), Teorema 1.2.13.
  21. ^ Hartshorne (1977), Ejemplo II.7.6.3.
  22. ^ Hartshorne (1977), Ejercicio IV.3.2(b).
  23. ^ Hartshorne (1977), Proposición IV.3.1.
  24. ^ Hartshorne (1977), Corolario IV.3.3.
  25. ^ Hartshorne (1977), Proposición IV.5.2.
  26. ^ Lazarsfeld (2004), Teorema 1.2.23, Observación 1.2.29; Kleiman (1966), Teorema III.1.
  27. ^ Lazarsfeld (2004), Teoremas 1.4.23 y 1.4.29; Kleiman (1966), Teorema IV.1.
  28. ^ Fujino (2005), Corolario 3.3; Lazarsfeld (2004), Observación 1.4.24.
  29. ^ Lazarsfeld (2004), Ejemplo 1.5.2.
  30. ^ Lazarsfeld (2004), Teorema 1.4.13; Hartshorne (1970), Teorema I.7.1.
  31. ^ Kollár (1990), Teorema 3.11.
  32. ^ etiqueta 0D38.
  33. ^ Kollár (1996), Capítulo VI, Apéndice, Ejercicio 2.19.3.
  34. ^ Lazarsfeld (2004), Definición 1.3.11.
  35. ^ Lazarsfeld (2004), Teorema 1.2.17 y su demostración.
  36. ^ Lazarsfeld (2004), Ejemplo 1.2.32; Kleiman (1966), Teorema III.1.
  37. ^ Lazarsfeld (2004), Definición 6.1.1.
  38. ^ Lazarsfeld (2004), Teorema 6.1.10.
  39. ^ Lazarsfeld (2004), Teorema 8.2.2.
  40. ^ Lazarsfeld (2004), Corolario 2.1.38.
  41. ^ Lazarsfeld (2004), sección 2.2.A.
  42. ^ Lazarsfeld (2004), Corolario 2.2.7.
  43. ^ Lazarsfeld (2004), Teorema 2.2.26.
  44. ^ etiqueta 01VG.
  45. ^ Grothendieck y Dieudonné 1961, Proposición 4.6.3.

Fuentes

Enlaces externos