Silogismo hipotético

Silogismo con premisa(s) condicional(es)

En lógica clásica , un silogismo hipotético es una forma de argumento válida , un silogismo deductivo con un enunciado condicional para una o ambas premisas . Las referencias antiguas apuntan a las obras de Teofrasto y Eudemo como las primeras investigaciones de este tipo de silogismos. ^{[1] [2]}

Tipos

Los silogismos hipotéticos son de dos tipos: mixtos y puros. Un silogismo hipotético mixto tiene dos premisas: un enunciado condicional y un enunciado que afirma o niega el antecedente o el consecuente de ese enunciado condicional. Por ejemplo,

Si P, entonces Q.

PAG.

∴ P.

En este ejemplo, la primera premisa es un enunciado condicional en el que "P" es el antecedente y "Q" es el consecuente. La segunda premisa "afirma" el antecedente. La conclusión, de que el consecuente debe ser verdadero, es deductivamente válida .

Un silogismo hipotético mixto tiene cuatro formas posibles, dos de las cuales son válidas, mientras que las otras dos son inválidas. Un silogismo hipotético mixto válido afirma el antecedente ( modus ponens ) o niega el consecuente ( modus tollens ). ^[3] Un silogismo hipotético inválido afirma el consecuente (falacia del recíproco ) o niega el antecedente (falacia del inverso ).

Existen cuatro formas posibles de silogismos hipotéticos mixtos, dos de las cuales son válidas y otras dos no. Consideremos un ejemplo simple para demostrar por qué las formas son válidas o no. Si "p" representa "Candiru es un pez" y "q" representa "Candiru tiene branquias", intente convencerse reemplazando estas afirmaciones por p y q en la tabla anterior. ^[3]

Un silogismo hipotético puro es un silogismo en el que tanto las premisas como la conclusión son enunciados condicionales . El antecedente de una premisa debe coincidir con el consecuente de la otra para que el condicional sea válido. En consecuencia, los condicionales contienen antecedente como antecedente y consecuente como consecuente.

Si P, entonces Q.

Si Q, entonces R.

∴ Si P, entonces R.

Un ejemplo en inglés:

Si no me despierto no puedo ir a trabajar.

Si no puedo ir a trabajar, entonces no me pagarán.

Por lo tanto, si no me despierto, no me pagarán.

Lógica proposicional

En lógica proposicional , el silogismo hipotético es el nombre de una regla de inferencia válida (a menudo abreviada como HS y a veces también llamada argumento en cadena , regla de la cadena o principio de transitividad de la implicación ). La regla puede enunciarse:

${\displaystyle {\frac {P\to Q,Q\to R}{\therefore P\to R}}}$

En otras palabras, siempre que aparezcan instancias de " " y " " en líneas de una prueba , " " se puede colocar en una línea posterior. ${\displaystyle P\to Q}$ ${\displaystyle Q\to R}$ ${\displaystyle P\to R}$

Aplicabilidad

La regla del silogismo hipotético se cumple en la lógica clásica , la lógica intuicionista , la mayoría de los sistemas de lógica de relevancia y muchos otros sistemas de lógica. Sin embargo, no se cumple en todas las lógicas, incluidas, por ejemplo, la lógica no monótona , la lógica probabilística y la lógica por defecto . La razón de esto es que estas lógicas describen un razonamiento refutable , y los condicionales que aparecen en contextos del mundo real suelen permitir excepciones, suposiciones por defecto, condiciones ceteris paribus o simplemente incertidumbre simple.

Un ejemplo, derivado de Ernest W. Adams, ^[4]

1. Si Jones gana las elecciones, Smith se retirará después de las elecciones.
2. Si Smith muere antes de las elecciones, Jones ganará las elecciones.
3. Si Smith muere antes de las elecciones, Smith se jubilará después de las elecciones.

Claramente, (3) no se sigue de (1) y (2). (1) es verdadera por defecto, pero no se cumple en las circunstancias excepcionales de la muerte de Smith. En la práctica, los condicionales del mundo real siempre tienden a involucrar supuestos o contextos predeterminados, y puede ser inviable o incluso imposible especificar todas las circunstancias excepcionales en las que podrían no ser verdaderos. Por razones similares, la regla del silogismo hipotético no se cumple para los condicionales contrafácticos .

Notación formal

La regla de inferencia del silogismo hipotético puede escribirse en notación secuencial , lo que equivale a una especialización de la regla de corte:

${\displaystyle {\frac {P\vdash Q\quad Q\vdash R}{P\vdash R}}}$

donde es un símbolo metalógico y un significado que es una consecuencia sintáctica de en algún sistema lógico ; ${\displaystyle \vdash }$ ${\displaystyle A\vdash B}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A}$

y expresado como una tautología veritativo-funcional o teorema de lógica proposicional :

${\displaystyle ((P\to Q)\land (Q\to R))\to (P\to R)}$

donde , , y son proposiciones expresadas en algún sistema formal . ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle R}$

Prueba

Formas alternativas

Una forma alternativa de silogismo hipotético, más útil para los sistemas de cálculo proposicional clásico con implicación y negación (es decir, sin el símbolo de conjunción), es la siguiente:

(HS1) ${\displaystyle (Q\to R)\to ((P\to Q)\to (P\to R))}$

Otra forma más es:

(HS2) ${\displaystyle (P\to Q)\to ((Q\to R)\to (P\to R))}$

Prueba

A continuación se ofrece un ejemplo de las demostraciones de estos teoremas en tales sistemas. Utilizamos dos de los tres axiomas utilizados en uno de los sistemas populares descritos por Jan Łukasiewicz . Las demostraciones se basan en dos de los tres axiomas de este sistema:

(A1) ${\displaystyle \phi \to \left(\psi \to \phi \right)}$

(A2) ${\displaystyle \left(\phi \to \left(\psi \rightarrow \xi \right)\right)\to \left(\left(\phi \to \psi \right)\to \left(\phi \to \xi \right)\right)}$

La prueba de (HS1) es la siguiente:

(1)       (instancia de (A1)) ${\displaystyle ((p\to (q\to r))\to ((p\to q)\to (p\to r)))\to ((q\to r)\to ((p\to (q\to r))\to ((p\to q)\to (p\to r))))}$

(2)       (instancia de (A2)) ${\displaystyle (p\to (q\to r))\to ((p\to q)\to (p\to r))}$

(3)       (de (1) y (2) por modus ponens ) ${\displaystyle (q\to r)\to ((p\to (q\to r))\to ((p\to q)\to (p\to r)))}$

(4)       (instancia de (A2)) ${\displaystyle ((q\to r)\to ((p\to (q\to r))\to ((p\to q)\to (p\to r))))\to (((q\to r)\to (p\to (q\to r)))\to ((q\to r)\to ((p\to q)\to (p\to r))))}$

(5)       (de (3) y (4) por modus ponens ) ${\displaystyle ((q\to r)\to (p\to (q\to r)))\to ((q\to r)\to ((p\to q)\to (p\to r)))}$

(6)       (instancia de (A1)) ${\displaystyle (q\to r)\to (p\to (q\to r))}$

(7) (de (5) y (6) por modus ponens ) ${\displaystyle (q\to r)\to ((p\to q)\to (p\to r))}$

La prueba de (HS2) se da aquí .

Como metateorema

Siempre que tengamos dos teoremas de la forma y , podemos demostrarlo mediante los siguientes pasos: ${\displaystyle T_{1}=(Q\to R)}$ ${\displaystyle T_{2}=(P\to Q)}$ ${\displaystyle (P\to R)}$

(1)       (instancia del teorema demostrado anteriormente) ${\displaystyle (Q\to R)\to ((P\to Q)\to (P\to R)))}$

(2)       (instancia de (T1)) ${\displaystyle Q\to R}$

(3)       (de (1) y (2) por modus ponens) ${\displaystyle (P\to Q)\to (P\to R)}$

(4)       (instancia de (T2)) ${\displaystyle P\to Q}$

(5)       (de (3) y (4) por modus ponens) ${\displaystyle P\to R}$

Véase también

• Razonamiento plausible
• Relación transitiva
• Tipo de silogismo (disyuntivo, hipotético, legal, poli-, prosléptico, cuasi-, estadístico)

Referencias

1. "Historia de la lógica: Teofrasto de Eresus" en Encyclopædia Britannica Online .
2. Susanne Bobzien, "El desarrollo del Modus Ponens en la antigüedad:" Desde Aristóteles hasta el siglo II d.C. ", Phronesis, Vol. 47, No. 4 (2002), págs. 359-394.
3. Kashef, Arman. (2023), En busca de la lógica universal: una breve descripción general de la evolución de la lógica formal, doi :10.13140/RG.2.2.24043.82724/1
4. Adams, Ernest W. (1975). La lógica de los condicionales . Dordrecht: Reidel. pág. 22.

Enlaces externos

• Índice de Filosofía: Silogismo hipotético