Operador de turno

Operador matemático lineal que traduce una función

En matemáticas , y en particular en análisis funcional , el operador de desplazamiento , también conocido como operador de traslación , es un operador que lleva una función x ↦ f ( x ) a su traslación x ↦ f ( x + a ) . ^[1] En el análisis de series de tiempo , el operador de desplazamiento se denomina operador de rezago .

Los operadores de desplazamiento son ejemplos de operadores lineales , importantes por su simplicidad y ocurrencia natural. La acción del operador de desplazamiento sobre funciones de una variable real juega un papel importante en el análisis armónico , por ejemplo, aparece en las definiciones de funciones casi periódicas , funciones definidas positivas , derivadas y convolución . ^[2] Los desplazamientos de secuencias (funciones de una variable entera) aparecen en diversas áreas como los espacios de Hardy , la teoría de variedades abelianas y la teoría de la dinámica simbólica , para la cual el mapa de Baker es una representación explícita. La noción de categoría triangulada es un análogo categorizado del operador de desplazamiento.

Definición

Funciones de una variable real

El operador de desplazamiento T ^t (donde ⁠ ⁠ ${\displaystyle t\in \mathbb {R} }$ ) lleva una función f en ⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ a su traslación f _t ,

${\displaystyle T^{t}f(x)=f_{t}(x)=f(x+t)~.}$

Lagrange introdujo una representación práctica del cálculo operacional del operador lineal T ^t en términos de la derivada simple . ${\displaystyle {\tfrac {d}{dx}}}$

${\displaystyle T^{t}=e^{t{\frac {d}{dx}}}~,}$

que puede interpretarse operacionalmente a través de su expansión formal de Taylor en t ; y cuya acción sobre el monomio x ⁿ es evidente por el teorema binomial , y por lo tanto sobre todas las series en x , y por lo tanto sobre todas las funciones f ( x ) como se indicó anteriormente. ^[3] Esta es, entonces, una codificación formal de la expansión de Taylor en el cálculo de Heaviside.

El operador proporciona así el prototipo ^[4] para el célebre flujo advectivo de Lie para grupos abelianos ,

${\displaystyle \exp \left(t\beta (x){\frac {d}{dx}}\right)f(x)=\exp \left(t{\frac {d}{dh}}\right)F(h)=F(h+t)=f\left(h^{-1}(h(x)+t)\right),}$

donde las coordenadas canónicas h ( funciones de Abel ) se definen de manera que

${\displaystyle h'(x)\equiv {\frac {1}{\beta (x)}}~,\qquad f(x)\equiv F(h(x)).}$

Por ejemplo, se deduce fácilmente que los rendimientos se escalan, ${\displaystyle \beta (x)=x}$

${\displaystyle \exp \left(tx{\frac {d}{dx}}\right)f(x)=f(e^{t}x),}$

por lo tanto (paridad); asimismo, se obtiene ^[5] ${\displaystyle \exp \left(i\pi x{\tfrac {d}{dx}}\right)f(x)=f(-x)}$ ${\displaystyle \beta (x)=x^{2}}$

${\displaystyle \exp \left(tx^{2}{\frac {d}{dx}}\right)f(x)=f\left({\frac {x}{1-tx}}\right),}$

${\displaystyle \beta (x)={\tfrac {1}{x}}}$rendimientos

${\displaystyle \exp \left({\frac {t}{x}}{\frac {d}{dx}}\right)f(x)=f\left({\sqrt {x^{2}+2t}}\right),}$

${\displaystyle \beta (x)=e^{x}}$rendimientos

${\displaystyle \exp \left(te^{x}{\frac {d}{dx}}\right)f(x)=f\left(\ln \left({\frac {1}{e^{-x}-t}}\right)\right),}$

etc.

La condición inicial del flujo y la propiedad del grupo determinan completamente todo el flujo de Lie, proporcionando una solución a la ecuación funcional de la traducción ^[6]

${\displaystyle f_{t}(f_{\tau }(x))=f_{t+\tau }(x).}$

Secuencias

El operador de desplazamiento a la izquierda actúa sobre una secuencia infinita unilateral de números mediante

${\displaystyle S^{*}:(a_{1},a_{2},a_{3},\ldots )\mapsto (a_{2},a_{3},a_{4},\ldots )}$

y en secuencias infinitas de dos lados por

${\displaystyle T:(a_{k})_{k\,=\,-\infty }^{\infty }\mapsto (a_{k+1})_{k\,=\,-\infty }^{\infty }.}$

El operador de desplazamiento a la derecha actúa sobre una secuencia infinita unilateral de números mediante

${\displaystyle S:(a_{1},a_{2},a_{3},\ldots )\mapsto (0,a_{1},a_{2},\ldots )}$

y en secuencias infinitas de dos lados por

${\displaystyle T^{-1}:(a_{k})_{k\,=\,-\infty }^{\infty }\mapsto (a_{k-1})_{k\,=\,-\infty }^{\infty }.}$

Los operadores de desplazamiento a la derecha y a la izquierda que actúan sobre secuencias infinitas de dos lados se denominan desplazamientos bilaterales .

Grupos abelianos

En general, como se ilustra arriba, si F es una función en un grupo abeliano G , y h es un elemento de G , el operador de desplazamiento T ^g asigna F a ^{[6] [7]}

${\displaystyle F_{g}(h)=F(h+g).}$

Propiedades del operador shift

El operador de desplazamiento que actúa sobre funciones o sucesiones de valores reales o complejos es un operador lineal que conserva la mayoría de las normas estándar que aparecen en el análisis funcional. Por lo tanto, suele ser un operador continuo con norma uno.

Acción sobre espacios de Hilbert

El operador de desplazamiento que actúa sobre secuencias bilaterales es un operador unitario en ⁠ ⁠ ${\displaystyle \ell _{2}(\mathbb {Z} ).}$ El operador de desplazamiento que actúa sobre funciones de una variable real es un operador unitario en ⁠ ⁠ ${\displaystyle L_{2}(\mathbb {R} ).}$

En ambos casos, el operador de desplazamiento (izquierda) satisface la siguiente relación de conmutación con la transformada de Fourier: donde M ^t es el operador de multiplicación por exp( itx ) . Por lo tanto, el espectro de T ^t es el círculo unitario. $${\displaystyle {\mathcal {F}}T^{t}=M^{t}{\mathcal {F}},}$$

El desplazamiento unilateral S que actúa sobre ⁠ ⁠ es una ${\displaystyle \ell _{2}(\mathbb {N} )}$isometría propia con rango igual a todos los vectores que se anulan en la primera coordenada . El operador S es una compresión de T ⁻¹ , en el sentido de que donde y es el vector en ⁠ ⁠ con y _i = x _i para i ≥ 0 e _y i = 0 para i < 0 . Esta observación está en el corazón de la construcción de muchas dilataciones unitarias de isometrías. $${\displaystyle T^{-1}y=Sx{\text{ for each }}x\in \ell ^{2}(\mathbb {N} ),}$$ ${\displaystyle \ell _{2}(\mathbb {Z} )}$

El espectro de S es el disco unitario . El desplazamiento S es un ejemplo de operador de Fredholm ; tiene índice de Fredholm −1.

Generalización

Jean Delsarte introdujo el concepto de operador de desplazamiento generalizado (también llamado operador de desplazamiento generalizado ), que fue desarrollado posteriormente por Boris Levitan . ^{[2] [8] [9]}

Una familia de operadores que actúan ${\displaystyle \{L^{x}\}_{x\in X}}$ sobre un espacio Φ de funciones de un conjunto X a se denomina familia de operadores de desplazamiento generalizados si se cumplen las siguientes propiedades : ${\displaystyle \mathbb {C} }$

1. Asociatividad : sea Entonces ${\displaystyle (R^{y}f)(x)=(L^{x}f)(y).}$ ${\displaystyle L^{x}R^{y}=R^{y}L^{x}.}$
2. Existe e en X tal que L ^e es el operador identidad .

En este caso, el conjunto X se llama hipergrupo .

Véase también

• Desplazamiento aritmético
• Cambio lógico
• Matrices de reloj y de desplazamiento
• Diferencia finita
• Operador de traducción (mecánica cuántica)

Notas

1. Weisstein, Eric W. "Operador de desplazamiento". MathWorld .
2. Marchenko, VA (2006). "El desplazamiento generalizado, los operadores de transformación y los problemas inversos". Eventos matemáticos del siglo XX . Berlín: Springer. pp. 145–162. doi :10.1007/3-540-29462-7_8. ISBN 978-3-540-23235-3.Señor 2182783  .
3. Jordan, Charles, (1939/1965). Cálculo de diferencias finitas , (AMS Chelsea Publishing), ISBN 978-0828400336 . 
4. M Hamermesh (1989), Teoría de grupos y su aplicación a problemas físicos (Dover Books on Physics), Hamermesh ISBM 978-0486661810, Cap. 8-6, pp. 294-5, en línea.
5. p 75 de Georg Scheffers (1891): Sophus Lie, Vorlesungen Ueber Differentialgleichungen Mit Bekannten Infinitesimalen Transformationen , Teubner, Leipzig, 1891. ISBN 978-3743343078 en línea 
6. Aczel, J (2006), Conferencias sobre ecuaciones funcionales y sus aplicaciones (Dover Books on Mathematics, 2006), cap. 6, ISBN 978-0486445236 . 
7. "Un grupo continuo de un parámetro es equivalente a un grupo de traslaciones". M Hamermesh, ibid .
8. Levitan, BM ; Litvinov, GL (2001) [1994], "Operadores de desplazamiento generalizados", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
9. Bredikhina, EA (2001) [1994], "Función casi periódica", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press

Bibliografía

• Partington, Jonathan R. (15 de marzo de 2004). Operadores lineales y sistemas lineales . Cambridge University Press. doi :10.1017/cbo9780511616693. ISBN 978-0-521-83734-7.
• Marvin Rosenblum y James Rovnyak, Clases Hardy y teoría de operadores , (1985) Oxford University Press.