Álgebra de Clifford generalizada

En matemáticas , un álgebra de Clifford generalizada (ACG) es un álgebra asociativa unitaria que generaliza el álgebra de Clifford y se remonta al trabajo de Hermann Weyl , ^[1] quien utilizó y formalizó estos operadores de reloj y desplazamiento introducidos por JJ Sylvester (1882), ^[2] y organizados por Cartan (1898) ^[3] y Schwinger . ^[4]

Las matrices de reloj y de desplazamiento encuentran aplicaciones rutinarias en numerosas áreas de la física matemática, proporcionando la piedra angular de la dinámica mecánica cuántica en espacios vectoriales de dimensión finita . ^{[5] [6] [7]} El concepto de espinor puede vincularse además a estas álgebras. ^[6]

El término álgebra de Clifford generalizada también puede referirse a álgebras asociativas que se construyen utilizando formas de grado superior en lugar de formas cuadráticas. ^{[8] [9] [10] [11]}

Definición y propiedades

Definición abstracta

El álgebra de Clifford generalizada n -dimensional se define como un álgebra asociativa sobre un campo F , generada por ^[12]

${\displaystyle {\begin{aligned}e_{j}e_{k}&=\omega _{jk}e_{k}e_{j}\\\omega _{jk}e_{\ell }&=e_{\ell }\omega _{jk}\\\omega _{jk}\omega _{\ell m}&=\omega _{\ell m}\omega _{jk}\end{aligned}}}$

y

${\displaystyle e_{j}^{N_{j}}=1=\omega _{jk}^{N_{j}}=\omega _{jk}^{N_{k}}\,}$

∀ j , k , ℓ , m = 1, . . . , n .

Además, en cualquier representación matricial irreducible, relevante para aplicaciones físicas, se requiere que

${\displaystyle \omega _{jk}=\omega _{kj}^{-1}=e^{2\pi i\nu _{kj}/N_{kj}}}$

∀ j , k = 1, . . . , n , y mcd . El campo F se toma generalmente como los números complejos C . ${\displaystyle N_{kj}={}}$ ${\displaystyle (N_{j},N_{k})}$

Definición más específica

En los casos más comunes de GCA, ^[6] el álgebra de Clifford generalizada n -dimensional de orden p tiene la propiedad ω _kj = ω ,   para todos j , k y . De ello se deduce que ${\displaystyle N_{k}=p}$ ${\displaystyle \nu _{kj}=1}$

${\displaystyle {\begin{aligned}e_{j}e_{k}&=\omega \,e_{k}e_{j}\,\\\omega e_{\ell }&=e_{\ell }\omega \,\end{aligned}}}$

y

${\displaystyle e_{j}^{p}=1=\omega ^{p}\,}$

para todos j , k , ℓ = 1, . . . , n , y

${\displaystyle \omega =\omega ^{-1}=e^{2\pi i/p}}$

es la raíz p- ésima de 1.

Existen varias definiciones de Álgebra de Clifford Generalizada en la literatura. ^[13]

Álgebra de Clifford

En el álgebra de Clifford (ortogonal), los elementos siguen una regla de anticonmutación, con ω = −1 y p = 2 .

Representación matricial

Las matrices de reloj y de desplazamiento se pueden representar ^[14] mediante matrices n×n en la notación canónica de Schwinger como

${\displaystyle {\begin{aligned}V&={\begin{pmatrix}0&1&0&\cdots &0\\0&0&1&\cdots &0\\0&0&\ddots &1&0\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\1&0&0&\cdots &0\end{pmatrix}},&U&={\begin{pmatrix}1&0&0&\cdots &0\\0&\omega &0&\cdots &0\\0&0&\omega ^{2}&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&0&\cdots &\omega ^{(n-1)}\end{pmatrix}},&W&={\begin{pmatrix}1&1&1&\cdots &1\\1&\omega &\omega ^{2}&\cdots &\omega ^{n-1}\\1&\omega ^{2}&(\omega ^{2})^{2}&\cdots &\omega ^{2(n-1)}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\1&\omega ^{n-1}&\omega ^{2(n-1)}&\cdots &\omega ^{(n-1)^{2}}\end{pmatrix}}\end{aligned}}}$.

En particular, V ⁿ = 1 , VU = ωUV (las relaciones de trenzado de Weyl ), y W ⁻¹ VW = U (la transformada de Fourier discreta ). Con e ₁ = V , e ₂ = VU , y e ₃ = U , uno tiene tres elementos base que, junto con ω , cumplen las condiciones anteriores del Álgebra de Clifford Generalizada (ACG).

Estas matrices, V y U , normalmente denominadas " matrices de desplazamiento y de reloj ", fueron introducidas por JJ Sylvester en la década de 1880. (Tenga en cuenta que las matrices V son matrices de permutación cíclica que realizan un desplazamiento circular ; no deben confundirse con las matrices de desplazamiento superior e inferior que tienen solo unos por encima o por debajo de la diagonal, respectivamente).

Ejemplos específicos

Cason = p = 2

En este caso, tenemos ω = −1, y

${\displaystyle {\begin{aligned}V&={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}},&U&={\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}},&W&={\begin{pmatrix}1&1\\1&-1\end{pmatrix}}\end{aligned}}}$

de este modo

${\displaystyle {\begin{aligned}e_{1}&={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}},&e_{2}&={\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}},&e_{3}&={\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}},\end{aligned}}}$

que constituyen las matrices de Pauli .

Cason = p = 4

En este caso tenemos ω = i , y

${\displaystyle {\begin{aligned}V&={\begin{pmatrix}0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\\1&0&0&0\end{pmatrix}},&U&={\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&i&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&-i\end{pmatrix}},&W&={\begin{pmatrix}1&1&1&1\\1&i&-1&-i\\1&-1&1&-1\\1&-i&-1&i\end{pmatrix}}\end{aligned}}}$

y e ₁ , e ₂ , e ₃ pueden determinarse en consecuencia.

Véase también

• Álgebra de Clifford
• Generalizaciones de matrices de Pauli
• Matriz DFT
• Matriz circulante

Referencias

1. Weyl, H. (1927). "Quantenmechanik und Gruppentheorie". Zeitschrift für Physik . 46 (1–2): 1–46. Código Bib : 1927ZPhy...46....1W. doi :10.1007/BF02055756. S2CID  121036548.
   — (1950) [1931]. La teoría de grupos y la mecánica cuántica . Dover. ISBN 9780486602691.
2. Sylvester, JJ (1882), Una palabra sobre nonions , Johns Hopkins University Circulars, vol. I, págs. 241-2; ibid II (1883) 46; ibid III (1884) 7–9. Resumido en The Collected Mathematics Papers of James Joseph Sylvester (Cambridge University Press, 1909) v III . en línea y más.
3. Cartan, E. (1898). "Les groupes bilinéaires et les systèmes de nombres complexes" (PDF) . Annales de la Facultad de Ciencias de Toulouse . 12 (1): B65-B99.
4. Schwinger, J. (abril de 1960). "Bases de operadores unitarios". Proc Natl Acad Sci USA . 46 (4): 570–9. Bibcode :1960PNAS...46..570S. doi : 10.1073/pnas.46.4.570 . PMC 222876 . PMID  16590645. 
   — (1960). "Transformaciones unitarias y el principio de acción". Proc Natl Acad Sci USA . 46 (6): 883–897. Bibcode :1960PNAS...46..883S. doi : 10.1073/pnas.46.6.883 . PMC  222951 . PMID  16590686.
5. Santhanam, TS; Tekumalla, AR (1976). "Mecánica cuántica en dimensiones finitas". Fundamentos de la física . 6 (5): 583. Bibcode :1976FoPh....6..583S. doi :10.1007/BF00715110. S2CID  119936801.
6. Véase, por ejemplo: Granik, A.; Ross, M. (1996). "Sobre una nueva base para un álgebra de Clifford generalizada y su aplicación a la mecánica cuántica". En Ablamowicz, R.; Parra, J.; Lounesto, P. (eds.). Álgebras de Clifford con aplicaciones de computación numérica y simbólica . Birkhäuser. págs. 101–110. ISBN. 0-8176-3907-1.
7. Kwaśniewski, AK (1999). "Sobre el álgebra de Clifford generalizada C ⁽ⁿ⁾ ₄ y el grupo cuántico GL _q (2; C)". Avances en álgebras de Clifford aplicadas . 9 (2): 249–260. arXiv : math/0403061 . doi :10.1007/BF03042380. S2CID  117093671.
8. Tesser, Steven Barry (2011). "Álgebras de Clifford generalizadas y sus representaciones". En Micali, A.; Boudet, R.; Helmstetter, J. (eds.). Álgebras de Clifford y sus aplicaciones en física matemática . Springer. págs. 133–141. ISBN 978-90-481-4130-2.
9. Childs, Lindsay N. (30 de mayo de 2007). "Linealización de formas n-ic y álgebras de Clifford generalizadas". Álgebra lineal y multilineal . 5 (4): 267–278. doi :10.1080/03081087808817206.
10. Pappacena, Christopher J. (julio de 2000). "Lápices matriciales y un álgebra de Clifford generalizada". Álgebra lineal y sus aplicaciones . 313 (1–3): 1–20. doi : 10.1016/S0024-3795(00)00025-2 .
11. Chapman, Adam; Kuo, Jung-Miao (abril de 2015). "Sobre el álgebra de Clifford generalizada de un polinomio mónico". Álgebra lineal y sus aplicaciones . 471 : 184–202. arXiv : 1406.1981 . doi :10.1016/j.laa.2014.12.030. S2CID  119280952.
12. Para una revisión útil, véase Vourdas, A. (2004). "Sistemas cuánticos con espacio de Hilbert finito". Informes sobre el progreso en física . 67 (3): 267–320. Bibcode :2004RPPh...67..267V. doi :10.1088/0034-4885/67/3/R03.
13. Véase, por ejemplo, la reseña proporcionada en: Smith, Tara L. "Descomposición de álgebras generalizadas de Clifford" (PDF) . Archivado desde el original (PDF) el 12 de junio de 2010.
14. Ramakrishnan, Alladi (1971). "Álgebra de Clifford generalizada y sus aplicaciones: un nuevo enfoque para los números cuánticos internos". Actas de la Conferencia sobre álgebra de Clifford, su generalización y aplicaciones, 30 de enero–1 de febrero de 1971 (PDF) . Madrás: Matscience . págs. 87–96.

Lectura adicional

• Fairlie, DB; Fletcher, P.; Zachos, CK (1990). "Álgebras de dimensión infinita y una base trigonométrica para las álgebras de Lie clásicas". Journal of Mathematical Physics . 31 (5): 1088. Bibcode :1990JMP....31.1088F. doi :10.1063/1.528788.
• Jagannathan, R. (2010). "Sobre álgebras generalizadas de Clifford y sus aplicaciones físicas". arXiv : 1005.4300 [math-ph].(En El legado de Alladi Ramakrishnan en las ciencias matemáticas (pp. 465–489). Springer, Nueva York, NY.)
• Morinaga, K.; Nono, T. (1952). "Sobre la linealización de una forma de grado superior y su representación". J. Sci. Hiroshima Univ. Ser. A. 16 : 13–41. doi : 10.32917/hmj/1557367250 .
• Morris, AO (1967). "Sobre un álgebra de Clifford generalizada". Quart. J. Math (Oxford . 18 (1): 7–12. Bibcode :1967QJMat..18....7M. doi :10.1093/qmath/18.1.7.
• Morris, AO (1968). "Sobre un álgebra de Clifford generalizada II". Quart. J. Math (Oxford . 19 (1): 289–299. Bibcode :1968QJMat..19..289M. doi :10.1093/qmath/19.1.289.