Semianillo de troncos

Semianillo que surge en el análisis tropical

En matemáticas , en el campo del análisis tropical , el semianillo logarítmico es la estructura de semianillo en la escala logarítmica , obtenida al considerar los números reales extendidos como logaritmos . Es decir, las operaciones de adición y multiplicación se definen por conjugación : exponenciar los números reales, obteniendo un número positivo (o cero), sumar o multiplicar estos números con las operaciones algebraicas ordinarias sobre números reales, y luego tomar el logaritmo para invertir la exponenciación inicial. Tales operaciones también se conocen como, p. ej., adición logarítmica , etc. Como es habitual en el análisis tropical, las operaciones se denotan por ⊕ y ⊗ para distinguirlas de la adición habitual + y la multiplicación × (o ⋅). Estas operaciones dependen de la elección de la base b para el exponente y el logaritmo ( b es una elección de unidad logarítmica ), que corresponde a un factor de escala, y están bien definidas para cualquier base positiva distinta de 1; usar una base b < 1 es equivalente a usar un signo negativo y usar el inverso 1/ b > 1 . ^[a] Si no está calificado, la base se toma convencionalmente como e o 1/ e , que corresponde a e con un signo negativo.

El semianillo logarítmico tiene como límite el semianillo tropical (" tropicalización ", "descuantificación") ya que la base tiende al infinito ( semianillo ${\displaystyle b\to \infty }$ máximo más ) o a cero ( ${\displaystyle b\to 0}$ semianillo mínimo más ), y por lo tanto puede verse como una deformación ("cuantificación") del semianillo tropical. En particular, la operación de adición, logadd (para términos múltiples, LogSumExp ) puede verse como una deformación de máximo o mínimo . El semianillo logarítmico tiene aplicaciones en optimización matemática , ya que reemplaza el máximo y mínimo no suaves por una operación suave. El semianillo logarítmico también surge cuando se trabaja con números que son logaritmos (medidos en una escala logarítmica ), como decibeles (ver Decibel § Adición ), probabilidad logarítmica o verosimilitud logarítmica .

Definición

Las operaciones sobre el semianillo logarítmico se pueden definir de forma extrínseca asignándolas a los números reales no negativos, realizando las operaciones allí y asignándolas de nuevo. Los números reales no negativos con las operaciones habituales de suma y multiplicación forman un semianillo (no hay negativos), conocido como semianillo de probabilidad , por lo que las operaciones del semianillo logarítmico se pueden ver como pullbacks de las operaciones sobre el semianillo de probabilidad, y estas son isomorfas como anillos.

Formalmente, dados los números reales extendidos R ∪ {–∞, +∞ } ^[b] y una base b ≠ 1 , se define:

${\displaystyle {\begin{aligned}x\oplus _{b}y&=\log _{b}\left(b^{x}+b^{y}\right)\\x\otimes _{b}y&=\log _{b}\left(b^{x}\times b^{y}\right)=\log _{b}\left(b^{x+y}\right)=x+y.\end{aligned}}}$

Independientemente de la base, la multiplicación logarítmica es lo mismo que la suma habitual, , ya que los logaritmos convierten la multiplicación en suma; sin embargo, la suma logarítmica depende de la base. Las unidades para la suma y la multiplicación habituales son 0 y 1; en consecuencia, la unidad para la suma logarítmica es para y para , y la unidad para la multiplicación logarítmica es , independientemente de la base. ${\displaystyle x\otimes _{b}y=x+y}$ ${\displaystyle \log _{b}0=-\infty }$ ${\displaystyle b>1}$ ${\displaystyle \log _{b}0=-\log _{1/b}0=+\infty }$ ${\displaystyle b<1}$ ${\displaystyle \log 1=0}$

De manera más concisa, el semianillo logarítmico unitario se puede definir para la base e como:

${\displaystyle {\begin{aligned}x\oplus y&=\log \left(e^{x}+e^{y}\right)\\x\otimes y&=x+y.\end{aligned}}}$

con unidad aditiva −∞ y unidad multiplicativa 0; esto corresponde a la convención máxima.

La convención opuesta también es común, y corresponde a la base 1/ e , la convención mínima: ^[1]

${\displaystyle {\begin{aligned}x\oplus y&=-\log \left(e^{-x}+e^{-y}\right)\\x\otimes _{b}y&=x+y.\end{aligned}}}$

con unidad aditiva +∞ y unidad multiplicativa 0.

Propiedades

Un semianillo logarítmico es de hecho un semicuerpo , ya que todos los números excepto la unidad aditiva −∞ (o +∞ ) tienen un inverso multiplicativo, dado por ya que Por lo tanto, la división logarítmica ⊘ está bien definida, aunque la resta logarítmica ⊖ no siempre está definida. ${\displaystyle -x,}$ ${\displaystyle x\otimes -x=\log _{b}(b^{x}\cdot b^{-x})=\log _{b}(1)=0.}$

Una media se puede definir mediante la suma de logaritmos y la división de logaritmos (como la media cuasi-aritmética correspondiente al exponente), como

${\displaystyle M_{\mathrm {lm} }(x,y):=(x\oplus y)\oslash 2=\log _{b}{\bigl (}(b^{x}+b^{y})/2{\bigr )}=\log _{b}(b^{x}+b^{y})-\log _{b}2=(x\oplus y)-\log _{b}2.}$

Esto es simplemente una suma desplazada ya que la división logarítmica corresponde a una resta lineal. ${\displaystyle -\log _{b}2,}$

Un semianillo logarítmico tiene la métrica euclidiana habitual, que corresponde a la escala logarítmica en los números reales positivos .

De manera similar, un semianillo logarítmico tiene la medida de Lebesgue habitual , que es una medida invariante con respecto a la multiplicación logarítmica (suma habitual, traducción geométrica) que corresponde a la medida logarítmica del semianillo de probabilidad .

Véase también

• Media logarítmica
• suma logarítmica de la expresión
• Máximo suave

Notas

1. Desde ${\displaystyle b^{-x}=\left(b^{-1}\right)^{x}=(1/b)^{x}}$
2. Generalmente solo se incluye un infinito, no ambos, ya que es ambiguo y es mejor dejarlo sin definir, como lo es 0/0 en números reales. ${\displaystyle \infty \otimes -\infty =\infty +(-\infty )}$

Referencias

1. Lothaire 2005, pág. 211.

• Lotario, M. (2005). Combinatoria aplicada a las palabras . Enciclopedia de Matemáticas y sus aplicaciones. vol. 105. Una obra colectiva de Jean Berstel, Dominique Perrin, Maxime Crochemore, Eric Laporte, Mehryar Mohri, Nadia Pisanti, Marie-France Sagot, Gesine Reinert , Sophie Schbath , Michael Waterman, Philippe Jacquet, Wojciech Szpankowski , Dominique Poulalhon, Gilles Schaeffer, Roman Kolpakov, Gregory Koucherov, Jean-Paul Allouche y Valérie Berthé . Cambridge: Prensa de la Universidad de Cambridge . ISBN 0-521-84802-4.Zbl 1133.68067  .