En matemáticas , en el campo del análisis tropical , el logaritmo semirring es la estructura semirring en la escala logarítmica , obtenida al considerar los números reales extendidos como logaritmos . Es decir, las operaciones de suma y multiplicación se definen por conjugación : exponenciar los números reales, obteniendo un número positivo (o cero), sumar o multiplicar estos números con las operaciones algebraicas ordinarias sobre números reales, y luego tomar el logaritmo para invertir el exponenciación inicial. Estas operaciones también se conocen como, por ejemplo, suma logarítmica , etc. Como es habitual en el análisis tropical, las operaciones se denotan por ⊕ y ⊗ para distinguirlas de la habitual suma + y multiplicación × (o ⋅). Estas operaciones dependen de la elección de la base b para el exponente y el logaritmo ( b es una elección de unidad logarítmica ), que corresponde a un factor de escala, y están bien definidas para cualquier base positiva distinta de 1; usar una base b < 1 es equivalente a usar un signo negativo y usar la inversa 1/ b > 1 . [a] Si no se califica, la base se considera convencionalmente e o 1/ e , que corresponde a e con un negativo.
El logaritmo tiene como límite el semianillo tropical (" tropicalización ", "descuantización") ya que la base va al infinito ( max-plus semiring ) o a cero ( min-plus semiring ), y por lo tanto puede verse como una deformación (" cuantización") del semianillo tropical. En particular, la operación de suma, logadd (para términos múltiples, LogSumExp ) puede verse como una deformación de máximo o mínimo . El semirring logarítmico tiene aplicaciones en optimización matemática , ya que reemplaza el máximo y mínimo no suaves por un funcionamiento suave. El semianillo logarítmico también surge cuando se trabaja con números que son logaritmos (medidos en una escala logarítmica ), como decibeles (ver Decibel § Suma ), probabilidad logarítmica o verosimilitudes logarítmicas .
Las operaciones en el semianillo logarítmico se pueden definir extrínsecamente mapeándolas a los números reales no negativos, realizando las operaciones allí y mapeándolas nuevamente. Los números reales no negativos con las operaciones habituales de suma y multiplicación forman un semianillo (no hay negativos), conocido como semianillo de probabilidad , por lo que las operaciones logarítmicas de semianillo pueden verse como retrocesos de las operaciones en el semianillo de probabilidad, y estas son isomórficos como anillos.
Formalmente, dados los números reales extendidos R ∪ {–∞, +∞ } [b] y una base b ≠ 1 , se define:
Independientemente de la base, la multiplicación logarítmica es la misma que la suma habitual, ya que los logaritmos llevan la multiplicación a la suma; sin embargo, la suma de registros depende de la base. Las unidades habituales para la suma y la multiplicación son 0 y 1; en consecuencia, la unidad para la suma de registros es para y para , y la unidad para la multiplicación de registros es , independientemente de la base.
De manera más concisa, el semiring logarítmico unitario se puede definir para base e como:
con unidad aditiva −∞ y unidad multiplicativa 0; esto corresponde a la convención máxima.
La convención opuesta también es común y corresponde a la base 1/ e , la convención mínima: [1]
con unidad aditiva +∞ y unidad multiplicativa 0.
Un log semiring es de hecho un semicampo , ya que todos los números distintos de la unidad aditiva −∞ (o +∞ ) tienen un inverso multiplicativo, dado por desde Por lo tanto, la división log ⊘ está bien definida, aunque la resta log ⊖ no siempre está definida.
Una media se puede definir mediante suma logarítmica y división logarítmica (como la media cuasi aritmética correspondiente al exponente), como
Esto es solo una suma desplazada, ya que la división logarítmica corresponde a la resta lineal.
Un logaritmo semianillo tiene la métrica euclidiana habitual, que corresponde a la escala logarítmica de los números reales positivos .
De manera similar, un logaritmo semianillo tiene la medida de Lebesgue habitual , que es una medida invariante con respecto a la multiplicación logarítmica (suma habitual, traslación geométrica) que corresponde a la medida logarítmica en el semianillo de probabilidad .
